01DIFRcviceni:Kapitola6: Porovnání verzí
(Založena nová stránka: \section{Lineární diferenciální rovnice 1.řádu} \subsection*{Zamyslete se:} Jaký mají tvar LDR? \\ Na jaké dva kroky se rozpadá řešení takovýchto rovnic? \\…) |
|||
Řádka 266: | Řádka 266: | ||
y = \arcsin \big( x - 1 + C \cdot e^{-x} \big) | y = \arcsin \big( x - 1 + C \cdot e^{-x} \big) | ||
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
+ | |||
+ | % následující řádky upravují pouze zobrazení stránky na wiki a na obsah dokumentu nemají vliv - prosím neměnit ! | ||
+ | %\parentlatexfile{01DIFRcviceni} ........................................... odkaz na hlavní dokument | ||
+ | %\usewikiobsah{01DIFRcviceni:Obsah} ............................................ vložení odkazu na Obsah, aby bylo možné se v dokumentu orientovat | ||
+ | %\parentlatexpreamble{01DIFRcviceni:Preamble} .................................. odkaz na hlavičkovou stránku dokumentu, jehož vložení umožní překlad částečného pdf, tj. pdf, které vznikne pouze z této stránky |
Verze z 10. 4. 2010, 12:08
\section{Lineární diferenciální rovnice 1.řádu}
\subsection*{Zamyslete se:}
Jaký mají tvar LDR? \\ Na jaké dva kroky se rozpadá řešení takovýchto rovnic? \\ Jak je to s jednoznačností řešení LDR?
\begin{displaymath} tvar: y` + q \big( x \big) \cdot y = q \big( x \big) \end{displaymath}
\subsection*{Příklad č.1}
Řešte:
\begin{displaymath} y` + 2xy = x \cdot e^{-x^2} \end{displaymath}
Z přednášky víme, že takovéto řešení se tento typ diferenciálních rovnic rozpadá na 2 etapy, v první řešíme rovnici \uv{bez pravé strany} a v druhé řešíme pomocí metody variace konstant celkové řešení.
\subsubsection*{ 1.etapa \ldots \uv{bez pravé strany} }
\begin{displaymath} y` + 2xy = 0 \end{displaymath}
Vidíme, že se jedná o rovnici separovatelnou, pro jistotu spočtu sám:
\begin{displaymath} \frac{ y` }{y} + 2x = 0 \end{displaymath}
kde $y=0$ je rovněž řešením.
\begin{center} \begin{math} \int \frac{dy}{y} + 2 \int x dx = 0 \ldots y \neq 0 \end{math}
\begin{math} \ln |y| = - x^2 + C \end{math}
\begin{math} |y| = A \cdot e^{-x^2} \ldots A>0 \end{math}
\begin{math} y = A \cdot e^{-x^2} \end{math} \end{center}
kde A může být libovolné. Máme tedy obecné řešení rovnice bez pravé strany.
\subsubsection*{2.etapa \ldots metoda variace konstant}
Předpokládejme tedy, že konstanta A závisí nějak na parametru X, tedy $A = A \big( x \big) $, pak tedy:
\begin{center} \begin{math} y = A \big( x \big) \cdot e^{-x^2} \end{math}
\begin{math} A` \big( x \big) \cdot e^{-x^2} + A \big( x \big) \cdot \big( -2x \big) \cdot e^{-x^2} + 2x \cdot A \big( x \big) \cdot e^{-x^2} = x \cdot e^{-x^2} \end{math}
\begin{math} A` \big( x \big) \cdot e^{-x^2} = x \cdot e^{-x^2} \end{math}
\begin{math} A` \big( x \big) = x \end{math}
\begin{math} A \big( x \big) = \frac{1}{2} x^2 + C \end{math} \end{center}
a tedy obecné řešení na intervalu $ \big( - \infty , + \infty \big) $ původní rovnice je:
\begin{displaymath} y = \big( \frac{1}{2} x^2 + C \big) \cdot e^{-x^2} \end{displaymath}
Pokud bychom chtěli nějaké konkrétní řešení, ke kterému bychom měli zadané nějaké počáteční podmínky, museli bychom je dosadit do zadání. Ukažme si jeden konkrétní případ:
\begin{displaymath} y \big( 1 \big) \frac{1}{e} \end{displaymath}
nechť je podmínka. Dosaďme tedy:
\begin{displaymath} \frac{1}{e} = \big( \frac{1}{2} \cdot 1 + C \big) \cdot e^{-1} \Longrightarrow c = \frac{1}{2} \end{displaymath}
Máme tedy jedno konkrétní řešení:
\begin{displaymath} y = \big( \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} \big) \cdot e^{-x^2} \end{displaymath}
\subsection*{Příklad č.2}
Následující zadání bude trochu zajímavější. Řešte:
\begin{displaymath} y` \cdot \sin x - y \cdot \cos x = - \frac{ \sin ^2 x }{x^2} \end{displaymath}
pokud požadujeme, aby při $x \to \infty $ bylo splněno: $y \big ( x \big) = 0$.
Opět se řešení rozpadá na dva případy.
\subsubsection*{ 1.etapa \ldots \uv{bez pravé strany} }
\begin{displaymath} y` \cdot \sin x - y \cdot \cos x = 0 \end{displaymath}
kde vidíme, že $y = 0$ je rovněž řešením. Proto můžeme do dalších výpočtů brát $y \neq 0$.
\begin{center} \begin{math} \frac{ y` }{y} = \frac{ \cos x }{ \sin x } \end{math}
\begin{math} \int \frac{ dy }{y} = \int \frac{ \cos x }{ \sin x } dx \end{math}
\begin{math} \ln |y| = \ln | \sin x | + \ln C \end{math}
\begin{math} |y| = c | \sin x | \end{math}
\begin{math} y = C \cdot \sin x ; \ldots C \in R \end{math} \end{center}
\subsubsection*{2.etapa \ldots metoda variace konstant}
\begin{center} \begin{math} C = C \big( x \big) \end{math}
\begin{math} y = C \big( x \big) \cdot \sin x \end{math}
\begin{math} C` \big( x \big) \cdot \sin ^2 x + C \big( x \big) \cos x \cdot \sin x - C \big( x \big) \cos x \cdot \sin x = - \frac{ \sin ^2 x}{x^2} \end{math}
\begin{math} C` \big( x \big) \cdot \sin ^2 x = - \frac{ \sin ^2 x }{x^2} \end{math}
\begin{math} C \big( x \big) \frac{1}{x} + A \end{math} \end{center}
Obecným řešením tedy je:
\begin{displaymath} y = \big( \frac{1}{x} + A \big) sin x \longrightarrow y = \frac{ \sin x }{x} + k \cdot \sin x \end{displaymath}
Naložíme-li na toto řešení podmínku, že $x \to \infty ;y \big ( x \big) = 0$, vidíme na první pohled, že $A = 0$, aby byla podmínka splněna.
\subsection*{Příklad č.3}
Řešte:
\begin{displaymath} y` + \tan y = \frac{x}{ \cos y} \end{displaymath}
Nejdříve tedy tuto rovnici převedeme na LDR.
\begin{displaymath} y` \cdot \cos y + \sin y = x \end{displaymath}
kde můžeme použít substituci a zjednodušit si řešení:
\begin{center} \begin{math} z = \sin y \end{math}
\begin{math} z` = \cos y \cdot y` \end{math} \end{center}
Dostávám tedy tuto jednoduchou diferenciální rovnici:
\begin{displaymath} z` + z = x \end{displaymath}
a dále už budu postupovat stejně jako v předchozím případě. 1.etapa:
\begin{center} \begin{math} z` + z = 0 \end{math}
\begin{math} \frac{z`}{z} = -1 \end{math}
\begin{math} \ln |z| = -x + C \end{math}
\begin{math} z = A \cdot e^{-x} \end{math} \end{center}
čímž jsme dostali obecné řešení bez pravé strany. V druhé etapě tedy budu postupovat:
\begin{center} \begin{math} z` = A` \big( x \big) \cdot e^{ -x} - A \big( x \big) \cdot e^{-x} \end{math}
\begin{math} A` \big( x \big) \cdot e^{-x} = x \end{math}
\begin{math} A` \big( x \big) = x \cdot e^x \end{math}
\begin{math} A = x \cdot e^x - e^x + C \end{math} \end{center}
tím dostávám:
\begin{displaymath} z = \big( x \cdot e^x - e^x + C \big) \cdot e^{-x} \end{displaymath}
tedy konečné řešení je:
\begin{displaymath}
y = \arcsin \big( x - 1 + C \cdot e^{-x} \big)
\end{displaymath}
% následující řádky upravují pouze zobrazení stránky na wiki a na obsah dokumentu nemají vliv - prosím neměnit ! %\parentlatexfile{01DIFRcviceni} ........................................... odkaz na hlavní dokument %\usewikiobsah{01DIFRcviceni:Obsah} ............................................ vložení odkazu na Obsah, aby bylo možné se v dokumentu orientovat %\parentlatexpreamble{01DIFRcviceni:Preamble} .................................. odkaz na hlavičkovou stránku dokumentu, jehož vložení umožní překlad částečného pdf, tj. pdf, které vznikne pouze z této stránky