01DIFRcviceni:Kapitola5

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01DIFRcviceni

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceniAdmin 13. 2. 201119:47
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:45
Header editovatHlavičkový souborAdmin 1. 8. 201001:34 header.tex
Kapitola1 editovatAdmin 13. 2. 201119:33 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatAdmin 13. 2. 201119:35 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKubuondr 16. 4. 201709:39 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKubuondr 16. 4. 201709:31 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatAdmin 13. 2. 201119:39 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKubuondr 16. 4. 201709:16 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAdmin 13. 2. 201119:45 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatAdmin 13. 2. 201119:43 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola12.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Rovnice tvaru $ y^\prime = f \Big( \frac{ ax +by +c }{ \alpha x + \beta y + \gamma } \Big) $ }
 
\subsection*{Zamyslete se:}
 
Jaké okrajové typy těchto rovnic známe? \\
Jaké jsou jejich typické řešení? \\
Jak je to s otázkou jednoznačnosti? 
 
\subsection*{Příklad č.1}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
2x - 4y +6 + \big( x+y-3 \big) \cdot y^\prime =0
\end{displaymath}
 
Jedná se o nejobecnější případ, tedy i determinant $a \cdot \beta - b \cdot \alpha \neq 0$. Musíme tedy posunout
souřadný systém. Sestavíme dvě rovnice:
 
\begin{center}
\begin{math}
2x - 4y + 6 = 0
\end{math}
 
\begin{math}
x + y -3 = 0
\end{math}
\end{center}
 
a kdo se dostal až sem, určitě umí od Pytlíčka vyřešit tuto soustavu. :-) Jejím řešením je: $x = 1, y = 2$. Tedy
musím zvolit substituci:
 
\begin{center}
\begin{math}
x = 1 + t
\end{math}
 
\begin{math}
y= 2 + u
\end{math}
\end{center}
 
Tímto dostávám zpátky dosazením do první rovnice n%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Rovnice tvaru $ y` = f \Big( \frac{ ax +by +c }{ \alpha x + \beta y + \gamma } \Big) $ }
 
\subsection*{Zamyslete se:}
 
Jaké okrajové typy těchto rovnic známe? \\
Jaké jsou jejich typické řešení? \\
Jak je to s otázkou jednoznačnosti? 
 
\subsection*{Příklad č.1}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
2x - 4y +6 + \big( x+y-3 \big) \cdot y` =0
\end{displaymath}
 
Jedná se o nejobecnější případ, tedy i determinant $a \cdot \beta - b \cdot \alpha \neq 0$. Musíme tedy posunout
souřadný systém. Sestavíme dvě rovnice:
 
\begin{center}
\begin{math}
2x - 4y + 6 = 0
\end{math}
 
\begin{math}
x + y -3 = 0
\end{math}
\end{center}
 
a kdo se dostal až sem, určitě umí od Pytlíčka vyřešit tuto soustavu. :-) Jejím řešením je: $x = 1, y = 2$. Tedy
musím zvolit substituci:
 
\begin{center}
\begin{math}
x = 1 + t
\end{math}
 
\begin{math}
y= 2 + u
\end{math}
\end{center}
 
Tímto dostávám zpátky dosazením do první rovnice následující:
 
\begin{center}
\begin{math}
2 + 2t -8 - 4u + 6 + \big( 1 + t + 2 + u - 3 \big) \cdot u` = 0
\end{math}
 
\begin{math}
2t - 4u + \big( t + u \big) \cdot  u` = 0
\end{math}
 
\begin{math}
u` = \frac{ 4u -2t }{ t + u }
\end{math}
\end{center}
 
čímž jsme se dostali na úroveň homogenní diferenciální rovnice. Postupoval bych opět analogicky, proto nechám tento 
krok na samostatné práci. Jen upozorním, že řešení vyjde implicitně. Nějak takto:
 
\begin{displaymath}
\big( y - 2x \big) ^3 = C \cdot \big( -x + y - 1 \big) ^2
\end{displaymath}
 
\subsection*{Příklad č.2}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
x + y + 1 + \big( 2x +2y -1 \big) \cdot y` = 0
\end{displaymath}
 
Při prvním pohledu na problém zjišťujeme, že determinant $a \cdot \beta - b \cdot \alpha = 0$. Použijeme tedy nám
známou substituci ( z přednášky ): $ u = \big( x + y \big) $ a její derivaci: $u` = 1 + y`$. A opětovně dosadím:
 
\begin{center}
\begin{math}
u + 1 + \big( 2u - 1 \big) \big( u` - 1 \big) = 0
\end{math}
 
\begin{math}
u + 1 + 2u \cdot u` - u` - 2u + 1 = 0
\end{math}
 
\begin{math}
2u \cdot u` - u` = u-2
\end{math}
\end{center}
 
s čímž už víme co činit. Rovnice separovatelná. Přidám jen řešení:
 
\begin{displaymath}
-x + 2u + \ln |x+y-2|^3 = C
\end{displaymath}
 
takže opět implicitní.
 
\subsection*{Příklad č.3}
 
Uhodnete, která substituce vede k cíli?
 
\begin{displaymath}
y` = \frac{y +2}{x+1} + \tan \frac{y -2x}{x+1}
\end{displaymath}
 
Tento příklad sem ne zcela patří, ale dělal se na cvičení, takže \ldots K cíli vede substituce:
 
\begin{center}
\begin{math}
y+2 = u
\end{math}
 
\begin{math}
x+1 = t
\end{math}
\end{center}
 
neboť se tímto krokem převede daná rovnice na tvar:
 
\begin{displaymath}
u` = \frac{u}{t} + \tan \frac{u-2t}{t}
\end{displaymath}
 
což je rovnice homogenní. Řeší ji další substituce: $u = t \cdot v$, doporučuji Vám si ji dopočítat, řešení vyjde
zase špatně \ldots
 
\begin{displaymath}
\sin \frac{y-2x}{x+1} = k \cdot \big( x+1 \big) 
\end{displaymath}
ásledující:
 
\begin{center}
\begin{math}
2 + 2t -8 - 4u + 6 + \big( 1 + t + 2 + u - 3 \big) \cdot u^\prime = 0
\end{math}
 
\begin{math}
2t - 4u + \big( t + u \big) \cdot  u^\prime = 0
\end{math}
 
\begin{math}
u^\prime = \frac{ 4u -2t }{ t + u }
\end{math}
\end{center}
 
čímž jsme se dostali na úroveň homogenní diferenciální rovnice. Postupoval bych opět analogicky, proto nechám tento 
krok na samostatné práci. Jen upozorním, že řešení vyjde implicitně. Nějak takto:
 
\begin{displaymath}
\big( y - 2x \big) ^3 = C \cdot \big( -x + y - 1 \big) ^2
\end{displaymath}
 
\subsection*{Příklad č.2}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
x + y + 1 + \big( 2x +2y -1 \big) \cdot y^\prime = 0
\end{displaymath}
 
Při prvním pohledu na problém zjišťujeme, že determinant $a \cdot \beta - b \cdot \alpha = 0$. Použijeme tedy nám
známou substituci ( z přednášky ): $ u = \big( x + y \big) $ a její derivaci: $u^\prime = 1 + y^\prime$. A opětovně dosadím:
 
\begin{center}
\begin{math}
u + 1 + \big( 2u - 1 \big) \big( u^\prime - 1 \big) = 0
\end{math}
 
\begin{math}
u + 1 + 2u \cdot u^\prime - u^\prime - 2u + 1 = 0
\end{math}
 
\begin{math}
2u \cdot u^\prime - u^\prime = u-2
\end{math}
\end{center}
 
s čímž už víme co činit. Rovnice separovatelná. Přidám jen řešení:
 
\begin{displaymath}
-x + 2u + \ln |x+y-2|^3 = C
\end{displaymath}
 
takže opět implicitní.
 
\subsection*{Příklad č.3}
 
Uhodnete, která substituce vede k cíli?
 
\begin{displaymath}
y^\prime = \frac{y +2}{x+1} + \tan \frac{y -2x}{x+1}
\end{displaymath}
 
Tento příklad sem ne zcela patří, ale dělal se na cvičení, takže \ldots K cíli vede substituce:
 
\begin{center}
\begin{math}
y+2 = u
\end{math}
 
\begin{math}
x+1 = t
\end{math}
\end{center}
 
neboť se tímto krokem převede daná rovnice na tvar:
 
\begin{displaymath}
u^\prime = \frac{u}{t} + \tan \frac{u-2t}{t}
\end{displaymath}
 
což je rovnice homogenní. Řeší ji další substituce: $u = t \cdot v$, doporučuji Vám si ji dopočítat, řešení vyjde
zase špatně \ldots
 
\begin{displaymath}
\sin \frac{y-2x}{x+1} = k \cdot \big( x+1 \big) 
\end{displaymath}