01DIFRcviceni:Kapitola5

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání

\section{Rovnice tvaru $ y` = f \Big( \frac{ ax +by +c }{ \alpha x + \beta y + \gamma } \Big) $ }

\subsection*{Zamyslete se:}

Jaké okrajové typy těchto rovnic známe? \\ Jaké jsou jejich typické řešení? \\ Jak je to s otázkou jednoznačnosti?

\subsection*{Příklad č.1}

Řešte:

\begin{displaymath} 2x - 4y +6 + \big( x+y-3 \big) \cdot y` =0 \end{displaymath}

Jedná se o nejobecnější případ, tedy i determinant $a \cdot \beta - b \cdot \alpha \neq 0$. Musíme tedy posunout souřadný systém. Sestavíme dvě rovnice:

\begin{center} \begin{math} 2x - 4y + 6 = 0 \end{math}

\begin{math} x + y -3 = 0 \end{math} \end{center}

a kdo se dostal až sem, určitě umí od Pytlíčka vyřešit tuto soustavu. :-) Jejím řešením je: $x = 1, y = 2$. Tedy musím zvolit substituci:

\begin{center} \begin{math} x = 1 + t \end{math}

\begin{math} y= 2 + u \end{math} \end{center}

Tímto dostávám zpátky dosazením do první rovnice následující:

\begin{center} \begin{math} 2 + 2t -8 - 4u + 6 + \big( 1 + t + 2 + u - 3 \big) \cdot u` = 0 \end{math}

\begin{math} 2t - 4u + \big( t + u \big) \cdot u` = 0 \end{math}

\begin{math} u` = \frac{ 4u -2t }{ t + u } \end{math} \end{center}

čímž jsme se dostali na úroveň homogenní diferenciální rovnice. Postupoval bych opět analogicky, proto nechám tento krok na samostatné práci. Jen upozorním, že řešení vyjde implicitně. Nějak takto:

\begin{displaymath} \big( y - 2x \big) ^3 = C \cdot \big( -x + y - 1 \big) ^2 \end{displaymath}

\subsection*{Příklad č.2}

Řešte:

\begin{displaymath} x + y + 1 + \big( 2x +2y -1 \big) \cdot y` = 0 \end{displaymath}

Při prvním pohledu na problém zjišťujeme, že determinant $a \cdot \beta - b \cdot \alpha = 0$. Použijeme tedy nám známou substituci ( z přednášky ): $ u = \big( x + y \big) $ a její derivaci: $u` = 1 + y`$. A opětovně dosadím:

\begin{center} \begin{math} u + 1 + \big( 2u - 1 \big) \big( u` - 1 \big) = 0 \end{math}

\begin{math} u + 1 + 2u \cdot u` - u` - 2u + 1 = 0 \end{math}

\begin{math} 2u \cdot u` - u` = u-2 \end{math} \end{center}

s čímž už víme co činit. Rovnice separovatelná. Přidám jen řešení:

\begin{displaymath} -x + 2u + \ln |x+y-2|^3 = C \end{displaymath}

takže opět implicitní.

\subsection*{Příklad č.3}

Uhodnete, která substituce vede k cíli?

\begin{displaymath} y` = \frac{y +2}{x+1} + \tan \frac{y -2x}{x+1} \end{displaymath}

Tento příklad sem ne zcela patří, ale dělal se na cvičení, takže \ldots K cíli vede substituce:

\begin{center} \begin{math} y+2 = u \end{math}

\begin{math} x+1 = t \end{math} \end{center}

neboť se tímto krokem převede daná rovnice na tvar:

\begin{displaymath} u` = \frac{u}{t} + \tan \frac{u-2t}{t} \end{displaymath}

což je rovnice homogenní. Řeší ji další substituce: $u = t \cdot v$, doporučuji Vám si ji dopočítat, řešení vyjde zase špatně \ldots

\begin{displaymath} \sin \frac{y-2x}{x+1} = k \cdot \big( x+1 \big) \end{displaymath}

% následující řádky upravují pouze zobrazení stránky na wiki a na obsah dokumentu nemají vliv - prosím neměnit ! %\parentlatexfile{01DIFRcviceni} ........................................... odkaz na hlavní dokument %\usewikiobsah{01DIFRcviceni:Obsah} ............................................ vložení odkazu na Obsah, aby bylo možné se v dokumentu orientovat %\parentlatexpreamble{01DIFRcviceni:Preamble} .................................. odkaz na hlavičkovou stránku dokumentu, jehož vložení umožní překlad částečného pdf, tj. pdf, které vznikne pouze z této stránky