01DIFRcviceni:Kapitola4: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: \section{Zobecněné (kvazihomogenní) diferenciální rovnice } \subsection*{Příklad č.1} Dokázali by jste uhodnout jaká substituce vede k cíli při řešení tét…)
 
Řádka 117: Řádka 117:
 
2 \int \frac{u^4 -u^3}{u-u^5} du = \ln |x| + C
 
2 \int \frac{u^4 -u^3}{u-u^5} du = \ln |x| + C
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
 +
 +
% následující řádky upravují pouze zobrazení stránky na wiki a na obsah dokumentu nemají vliv - prosím neměnit !
 +
%\parentlatexfile{01DIFRcviceni} ........................................... odkaz na hlavní dokument
 +
%\usewikiobsah{01DIFRcviceni:Obsah} ............................................ vložení odkazu na Obsah, aby bylo možné se v dokumentu orientovat
 +
%\parentlatexpreamble{01DIFRcviceni:Preamble} .................................. odkaz na hlavičkovou stránku dokumentu, jehož vložení umožní překlad částečného pdf, tj. pdf, které vznikne pouze z této stránky

Verze z 10. 4. 2010, 11:07

\section{Zobecněné (kvazihomogenní) diferenciální rovnice }

\subsection*{Příklad č.1}

Dokázali by jste uhodnout jaká substituce vede k cíli při řešení této diferenciální rovnice?

\begin{displaymath} 9 y \cdot y` - 18 x y + 4x^3 = 0 \end{displaymath}

K cíli vede tato substituce: $y = u^2$, $y` = 2u \cdot u`$. Rovnice potom vypadá:

\begin{displaymath} 18 u^3 \cdot u` - 18 x u^2 + 4 x^3 = 0 \end{displaymath}

což je už pouze homogenní diferenciální rovnice. Zkuste si cvičně dopočítat. Jen upozorňuji, v řešení vychází téměř neřešitelný integrál, ponechejte řešení v tvaru s integrálem. I praxi se Vám nemusí vždy podařit vyřešit problém v \uv{jednoduchém tvaru}.

Nyní ale k řešení zobecněných diferenciálních rovnic. Homogenní diferenciální rovnice jsme řešili substitucí $y = x \cdot u$, zobecněné budou řešit substituce $y = x^k \cdot u$, kde k je obecné reálné číslo. Při řešení budeme z každého členu v podstatě sčítat exponenty s tím, že místo $y$ budeme počítat $k$ a místo $y`$ budeme počítat $k-1$.

Předvedeme si to na následujícím příkladě:

\subsection*{Příklad č.2}

Řešte:

\begin{displaymath} \underbrace{ \frac{2}{x^2} }_{-2} \underbrace{ - y^2 }_{2k} + \underbrace{ y` }_{k-1} = 0; \ldots y = x^k \cdot u \end{displaymath}

Dále musíme dát \uv{ součty z exponentů } do rovnosti: $ -2 = 2k = k-1 $, těmto podmínkám vyhovuje $k= -1$, substituce tedy bude následující: $ y = \frac{u}{x}$. Jen tak pro úplnost je to rovněž speciální Riccatiho rovnice, takže řešení by šlo nalézt i jinak.

\begin{center} \begin{math} y` = - \frac{u}{x^2} + \frac{u`}{x} \end{math}

\begin{math} \frac{2}{x^2} - \frac{u^2}{x^2} - \frac{u}{x^2} + \frac{1}{x} \cdot u` = 0 \end{math} \end{center}

\bigskip

\begin{center} \begin{math} 2 - u^2 - u + x \cdot y` = 0 \ldots \end{math} rovnice separovatelná

\begin{math} x \cdot u` = u^2 + u - 2 \end{math} \end{center}

\begin{displaymath} \frac{u`}{u^2 + u -2} = \frac{1}{x} \end{displaymath}


kde vidíme, že řešením jsou např. $u_1 = 1, u_2 = -2$, takže v zpětné substituci: $y_1 = \frac{1}{x}, y_2 = - \frac{-2}{x}$. Pro ty kdo neví, tak to plyne z podmínek pro separovatelné diferenciální rovnice.

Další řešení jsou už jen mechanickým dopočítáním snadno dosažitelná.

\bigskip

Nyní se můžeme podívat, jestli by náhodou touto metodou nešel spočíst i první příklad. Jaké bylo zadání?

\begin{displaymath} 9 y \cdot y` - 18 x y + 4x^3 = 0 \end{displaymath}

A ono ejhle co se objeví. Provedeme-li stejnou analýzu jako u předchozího případu, dostáváme dvě rovnosti: $2k - 1 = k+1 = 3$, takže $k=2$. Zvolená substituce tedy bude: $y=x^2 \cdot u$ a k ní: $y` = 2xu + x^2 \cdot u`$.

Dále tedy pokračuju:

\begin{center} \begin{math} 9x^2 \cdot u \cdot \big( 2x u + x^2 \cdot u` \big) - 18 x^3 \cdot u + 4 x^3 = 0 \end{math}

\begin{math} 18u^2 + 9 x u \cdot u` - 18 u + 4 = 0 \end{math}

\begin{math} 9xu \cdot u` = 18 u - 18 u^2 - 4 \end{math} \end{center}

a dostávám tedy tvar, se kterým si už každý poradí a sice:

\begin{displaymath} \frac{9 u \cdot u` }{18u - 18 u^2 - 4} = \frac{1}{x} \end{displaymath}

\subsection*{Příklad č.3}

Řešte:

\begin{displaymath} \big( y^4 - 3x^2 \big) \cdot y` + xy = 0 \end{displaymath}

Řešení bude naprosto obdobné jako v předchozích případech. Pouze v dalším počítání se objeví jedna rovnice, která nebude řešitelná. Řešení stačí ponechat ve tvaru:

\begin{displaymath} 2 \int \frac{u^4 -u^3}{u-u^5} du = \ln |x| + C \end{displaymath}

% následující řádky upravují pouze zobrazení stránky na wiki a na obsah dokumentu nemají vliv - prosím neměnit ! %\parentlatexfile{01DIFRcviceni} ........................................... odkaz na hlavní dokument %\usewikiobsah{01DIFRcviceni:Obsah} ............................................ vložení odkazu na Obsah, aby bylo možné se v dokumentu orientovat %\parentlatexpreamble{01DIFRcviceni:Preamble} .................................. odkaz na hlavičkovou stránku dokumentu, jehož vložení umožní překlad částečného pdf, tj. pdf, které vznikne pouze z této stránky