01DIFRcviceni:Kapitola4: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: \section{Zobecněné (kvazihomogenní) diferenciální rovnice } \subsection*{Příklad č.1} Dokázali by jste uhodnout jaká substituce vede k cíli při řešení tét…)
 
 
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze od 2 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 +
%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
 
\section{Zobecněné (kvazihomogenní) diferenciální rovnice }
 
\section{Zobecněné (kvazihomogenní) diferenciální rovnice }
  
Řádka 6: Řádka 7:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
9 y \cdot y` - 18 x y + 4x^3 = 0
+
9 y \cdot y^\prime - 18 x y + 4x^3 = 0
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
K cíli vede tato substituce: $y = u^2$, $y` = 2u \cdot u`$. Rovnice potom vypadá:
+
K cíli vede tato substituce: $y = u^2$, $y^\prime = 2u \cdot u^\prime$. Rovnice potom vypadá:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
18 u^3 \cdot u` - 18 x u^2 + 4 x^3 = 0
+
18 u^3 \cdot u^\prime - 18 x u^2 + 4 x^3 = 0
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 21: Řádka 22:
 
Nyní ale k řešení zobecněných diferenciálních rovnic. Homogenní diferenciální rovnice jsme řešili substitucí  
 
Nyní ale k řešení zobecněných diferenciálních rovnic. Homogenní diferenciální rovnice jsme řešili substitucí  
 
$y = x \cdot u$, zobecněné budou řešit substituce $y = x^k \cdot u$, kde k je obecné reálné číslo. Při řešení budeme
 
$y = x \cdot u$, zobecněné budou řešit substituce $y = x^k \cdot u$, kde k je obecné reálné číslo. Při řešení budeme
z každého členu v podstatě sčítat exponenty s tím, že místo $y$ budeme počítat $k$ a místo $y`$ budeme počítat $k-1$.
+
z každého členu v podstatě sčítat exponenty s tím, že místo $y$ budeme počítat $k$ a místo $y^\prime$ budeme počítat $k-1$.
  
 
Předvedeme si to na následujícím příkladě:
 
Předvedeme si to na následujícím příkladě:
Řádka 30: Řádka 31:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
\underbrace{ \frac{2}{x^2} }_{-2} \underbrace{ - y^2 }_{2k} + \underbrace{ y` }_{k-1} = 0; \ldots y = x^k \cdot u
+
\underbrace{ \frac{2}{x^2} }_{-2} \underbrace{ - y^2 }_{2k} + \underbrace{ y^\prime }_{k-1} = 0; \ldots y = x^k \cdot u
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 39: Řádka 40:
 
\begin{center}
 
\begin{center}
 
\begin{math}
 
\begin{math}
y` = - \frac{u}{x^2} + \frac{u`}{x}
+
y^\prime = - \frac{u}{x^2} + \frac{u^\prime}{x}
 
\end{math}
 
\end{math}
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
\frac{2}{x^2} - \frac{u^2}{x^2} - \frac{u}{x^2} + \frac{1}{x} \cdot u` = 0
+
\frac{2}{x^2} - \frac{u^2}{x^2} - \frac{u}{x^2} + \frac{1}{x} \cdot u^\prime = 0
 
\end{math}
 
\end{math}
 
\end{center}
 
\end{center}
Řádka 51: Řádka 52:
 
\begin{center}
 
\begin{center}
 
\begin{math}
 
\begin{math}
2 - u^2 - u + x \cdot y` = 0 \ldots
+
2 - u^2 - u + x \cdot y^\prime = 0 \ldots
 
\end{math}
 
\end{math}
 
rovnice separovatelná
 
rovnice separovatelná
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
x \cdot u` = u^2 + u - 2
+
x \cdot u^\prime = u^2 + u - 2
 
\end{math}
 
\end{math}
 
\end{center}
 
\end{center}
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
\frac{u`}{u^2 + u -2} = \frac{1}{x}
+
\frac{u^\prime}{u^2 + u -2} = \frac{1}{x}
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 75: Řádka 76:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
9 y \cdot y` - 18 x y + 4x^3 = 0
+
9 y \cdot y^\prime - 18 x y + 4x^3 = 0
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
 
A ono ejhle co se objeví. Provedeme-li stejnou analýzu jako u předchozího případu, dostáváme dvě rovnosti:  
 
A ono ejhle co se objeví. Provedeme-li stejnou analýzu jako u předchozího případu, dostáváme dvě rovnosti:  
$2k - 1 = k+1 = 3$, takže $k=2$. Zvolená substituce tedy bude: $y=x^2 \cdot u$ a k ní: $y` = 2xu + x^2 \cdot u`$.
+
$2k - 1 = k+1 = 3$, takže $k=2$. Zvolená substituce tedy bude: $y=x^2 \cdot u$ a k ní: $y^\prime = 2xu + x^2 \cdot u^\prime$.
  
 
Dále tedy pokračuju:
 
Dále tedy pokračuju:
Řádka 85: Řádka 86:
 
\begin{center}
 
\begin{center}
 
\begin{math}
 
\begin{math}
9x^2 \cdot u \cdot  \big( 2x u + x^2 \cdot u` \big) - 18 x^3 \cdot u + 4 x^3 = 0
+
9x^2 \cdot u \cdot  \big( 2x u + x^2 \cdot u^\prime \big) - 18 x^3 \cdot u + 4 x^3 = 0
 
\end{math}
 
\end{math}
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
18u^2 + 9 x u \cdot u` - 18 u + 4 = 0
+
18u^2 + 9 x u \cdot u^\prime - 18 u + 4 = 0
 
\end{math}
 
\end{math}
  
 
\begin{math}
 
\begin{math}
9xu \cdot u` = 18 u - 18 u^2 - 4
+
9xu \cdot u^\prime = 18 u - 18 u^2 - 4
 
\end{math}
 
\end{math}
 
\end{center}
 
\end{center}
Řádka 100: Řádka 101:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
\frac{9 u \cdot u` }{18u - 18 u^2 - 4} = \frac{1}{x}
+
\frac{9 u \cdot u^\prime }{18u - 18 u^2 - 4} = \frac{1}{x}
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 108: Řádka 109:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
\big( y^4 - 3x^2 \big) \cdot y` + xy = 0
+
\big( y^4 - 3x^2 \big) \cdot y^\prime + xy = 0
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  

Aktuální verze z 13. 2. 2011, 19:37

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01DIFRcviceni

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceniAdmin 13. 2. 201119:47
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:45
Header editovatHlavičkový souborAdmin 1. 8. 201001:34 header.tex
Kapitola1 editovatAdmin 13. 2. 201119:33 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatAdmin 13. 2. 201119:35 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKubuondr 16. 4. 201709:39 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKubuondr 16. 4. 201709:31 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatAdmin 13. 2. 201119:39 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKubuondr 16. 4. 201709:16 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAdmin 13. 2. 201119:45 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatAdmin 13. 2. 201119:43 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola12.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Zobecněné (kvazihomogenní) diferenciální rovnice }
 
\subsection*{Příklad č.1}
 
Dokázali by jste uhodnout jaká substituce vede k cíli při řešení této diferenciální rovnice?
 
\begin{displaymath}
9 y \cdot y^\prime - 18 x y + 4x^3 = 0
\end{displaymath}
 
K cíli vede tato substituce: $y = u^2$, $y^\prime = 2u \cdot u^\prime$. Rovnice potom vypadá:
 
\begin{displaymath}
18 u^3 \cdot u^\prime - 18 x u^2 + 4 x^3 = 0
\end{displaymath}
 
což je už pouze homogenní diferenciální rovnice. Zkuste si cvičně dopočítat. Jen upozorňuji, v řešení vychází téměř
neřešitelný integrál, ponechejte řešení v tvaru s integrálem. I praxi se Vám nemusí vždy podařit vyřešit problém 
v \uv{jednoduchém tvaru}.
 
Nyní ale k řešení zobecněných diferenciálních rovnic. Homogenní diferenciální rovnice jsme řešili substitucí 
$y = x \cdot u$, zobecněné budou řešit substituce $y = x^k \cdot u$, kde k je obecné reálné číslo. Při řešení budeme
z každého členu v podstatě sčítat exponenty s tím, že místo $y$ budeme počítat $k$ a místo $y^\prime$ budeme počítat $k-1$.
 
Předvedeme si to na následujícím příkladě:
 
\subsection*{Příklad č.2}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
\underbrace{ \frac{2}{x^2} }_{-2} \underbrace{ - y^2 }_{2k} + \underbrace{ y^\prime }_{k-1} = 0; \ldots y = x^k \cdot u
\end{displaymath}
 
Dále musíme dát \uv{ součty z exponentů } do rovnosti: $ -2 = 2k = k-1 $, těmto podmínkám vyhovuje $k= -1$, substituce
tedy bude následující: $ y = \frac{u}{x}$. Jen tak pro úplnost je to rovněž speciální Riccatiho rovnice, takže řešení by šlo 
nalézt i jinak.
 
\begin{center}
\begin{math}
y^\prime = - \frac{u}{x^2} + \frac{u^\prime}{x}
\end{math}
 
\begin{math}
\frac{2}{x^2} - \frac{u^2}{x^2} - \frac{u}{x^2} + \frac{1}{x} \cdot u^\prime = 0
\end{math}
\end{center}
 
\bigskip
 
\begin{center}
\begin{math}
2 - u^2 - u + x \cdot y^\prime = 0 \ldots
\end{math}
rovnice separovatelná
 
\begin{math}
x \cdot u^\prime = u^2 + u - 2
\end{math}
\end{center}
 
\begin{displaymath}
\frac{u^\prime}{u^2 + u -2} = \frac{1}{x}
\end{displaymath}
 
 
kde vidíme, že řešením jsou např. $u_1 = 1, u_2 = -2$, takže v zpětné substituci: $y_1 = \frac{1}{x}, y_2 = - \frac{-2}{x}$.
Pro ty kdo neví, tak to plyne z podmínek pro separovatelné diferenciální rovnice.
 
Další řešení jsou už jen mechanickým dopočítáním snadno dosažitelná.
 
\bigskip
 
Nyní se můžeme podívat, jestli by náhodou touto metodou nešel spočíst i první příklad. Jaké bylo zadání?
 
\begin{displaymath}
9 y \cdot y^\prime - 18 x y + 4x^3 = 0
\end{displaymath}
 
A ono ejhle co se objeví. Provedeme-li stejnou analýzu jako u předchozího případu, dostáváme dvě rovnosti: 
$2k - 1 = k+1 = 3$, takže $k=2$. Zvolená substituce tedy bude: $y=x^2 \cdot u$ a k ní: $y^\prime = 2xu + x^2 \cdot u^\prime$.
 
Dále tedy pokračuju:
 
\begin{center}
\begin{math}
9x^2 \cdot u \cdot  \big( 2x u + x^2 \cdot u^\prime \big) - 18 x^3 \cdot u + 4 x^3 = 0
\end{math}
 
\begin{math}
18u^2 + 9 x u \cdot u^\prime - 18 u + 4 = 0
\end{math}
 
\begin{math}
9xu \cdot u^\prime = 18 u - 18 u^2 - 4
\end{math}
\end{center}
 
a dostávám tedy tvar, se kterým si už každý poradí a sice:
 
\begin{displaymath}
\frac{9 u \cdot u^\prime }{18u - 18 u^2 - 4} = \frac{1}{x}
\end{displaymath}
 
\subsection*{Příklad č.3}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
\big( y^4 - 3x^2 \big) \cdot y^\prime + xy = 0
\end{displaymath}
 
Řešení bude naprosto obdobné jako v předchozích případech. Pouze v dalším počítání se objeví jedna rovnice, která nebude
řešitelná. Řešení stačí ponechat ve tvaru:
 
\begin{displaymath}
2 \int \frac{u^4 -u^3}{u-u^5} du = \ln |x| + C
\end{displaymath}