01DIFRcviceni:Kapitola3

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 13. 2. 2011, 19:37, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01DIFRcviceni

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceniAdmin 13. 2. 201119:47
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:45
Header editovatHlavičkový souborAdmin 1. 8. 201001:34 header.tex
Kapitola1 editovatAdmin 13. 2. 201119:33 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatAdmin 13. 2. 201119:35 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKubuondr 16. 4. 201709:39 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKubuondr 16. 4. 201709:31 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatAdmin 13. 2. 201119:39 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKubuondr 16. 4. 201709:16 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAdmin 13. 2. 201119:45 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatAdmin 13. 2. 201119:43 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola12.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Homogenní diferenciální rovnice}
 
\subsection*{Zamyslete se:}
 
Jaký je tvar homogenní diferenciální rovnice? \\
Jaká substituce vede k řešení? \\
Jak je to s otázkou jednoznačnosti?
 
\begin{displaymath}
tvar: P(x,y) + Q(x,y) \cdot y^\prime = 0
\end{displaymath}
 
kde P,Q jsou homogenní funkce stejného stupně.
 
 
\subsection*{Příklad č.1}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
x^2 \cdot y^\prime = x \cdot y + y^2 \cdot e^{ - \frac{x}{y} }
\end{displaymath}
 
Podle znalostí z přednášky použiji substituci: $y = x \cdot u$, tedy $ y^\prime = u + x \cdot u^\prime$. Provedu dosazení do rovnice
a dostávám:
 
\begin{displaymath}
x^2 \big( u + u^\prime \cdot x \big) = x^2 \cdot u + x^2 \cdot u^2 \cdot e^{ - \frac{1}{u} }
\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}
u^\prime \cdot x^3 = x^2 u^2 \cdot e^{ - \frac{1}{u} } \ldots x \neq 0;
\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}
\frac{ e^{ \frac{1}{u} } \cdot u^\prime }{ u^2 } = \frac{1}{x}
\end{displaymath}
 
čímž jsme dostali tvar, který už ale známe. V rámci procvičení nechám dopočítání na Vás. Jedná se o rovnici separovanou.
 
\subsection*{Příklad č.2}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
|y^\prime \cdot x - y | = \sqrt{ x^2 + \big( y^\prime \cdot x \big) ^2 }
\end{displaymath}
 
Budu tedy postupovat:
 
\begin{displaymath}
\big( y^\prime \cdot x - y \big) ^2 = x^2 + \big( y^\prime \cdot x \big) ^2
\end{displaymath}
 
\begin{center}
\begin{math}
\big( y^\prime \cdot x \big) ^2 - 2 x^2 \cdot y^\prime + y^2 = x^2 + \big( y^\prime \cdot x \big) ^2 
\end{math}
\end{center}
 
použiji substituci: $y = x \cdot u$, $ y^\prime = u + x \cdot u^\prime$ po které dostávám:
 
\begin{center}
\begin{math}
\big( x \cdot u \big) ^2 - 2 x^2 \cdot u \cdot \big( u + x \cdot u^\prime \big) - x^2 = 0
\end{math}
 
\begin{math}
u^2 - 2 u^2 - 2x \cdot u \cdot u^\prime - 1 = 0
\end{math}
 
\begin{math}
2xu \cdot u^\prime + u^2 - 1 = 0
\end{math}
 
\begin{math}
2xu \cdot u^\prime = 1 + u^2
\end{math}
\end{center}
 
což můžu upravit na nám známý tvar:
 
\begin{displaymath}
\frac{ 2u \cdot u^\prime }{ 1 + u^2 } = \frac{1}{x}
\end{displaymath}
 
a dále to nechám na Vaší píli.
 
\subsection*{Příklad č.3}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
\sqrt{ x^2 + \big( y^\prime \cdot x \big) ^2 } = \sqrt{ x^2 + y^2 }
\end{displaymath}
 
Jen naznačím jak by se postupovalo:
 
\begin{center}
\begin{math}
y^\prime \cdot x = y
\end{math}
 
\begin{math}
y^\prime \cdot x = -y
\end{math}
\end{center}
je třeba vyřešit oba případy!
 
\subsection*{Příklad č.4}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
| y - y^\prime \cdot x | = \sqrt{ x^2 + y^2 }
\end{displaymath}
 
Nechám na samostatné přípravě.
 
\subsection*{Příklad č.5}
 
Řešte (sami):
 
\begin{displaymath}
y^\prime = \frac{ x - y }{ x - 2y }
\end{displaymath}