01DIFRcviceni:Kapitola3

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 10. 4. 2010, 11:01, kterou vytvořil Karel.brinda (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: \section{Homogenní diferenciální rovnice} \subsection*{Zamyslete se:} Jaký je tvar homogenní diferenciální rovnice? \\ Jaká substituce vede k řešení? \\ Jak je…)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání

\section{Homogenní diferenciální rovnice}

\subsection*{Zamyslete se:}

Jaký je tvar homogenní diferenciální rovnice? \\ Jaká substituce vede k řešení? \\ Jak je to s otázkou jednoznačnosti?

\begin{displaymath} tvar: P(x,y) + Q(x,y) \cdot y` = 0 \end{displaymath}

kde P,Q jsou homogenní funkce stejného stupně.


\subsection*{Příklad č.1}

Řešte:

\begin{displaymath} x^2 \cdot y` = x \cdot y + y^2 \cdot e^{ - \frac{x}{y} } \end{displaymath}

Podle znalostí z přednášky použiji substituci: $y = x \cdot u$, tedy $ y` = u + x \cdot u`$. Provedu dosazení do rovnice a dostávám:

\begin{displaymath} x^2 \big( u + u` \cdot x \big) = x^2 \cdot u + x^2 \cdot u^2 \cdot e^{ - \frac{1}{u} } \end{displaymath}

\begin{displaymath} u` \cdot x^3 = x^2 u^2 \cdot e^{ - \frac{1}{u} } \ldots x \neq 0; \end{displaymath}

\begin{displaymath} \frac{ e^{ \frac{1}{u} } \cdot u` }{ u^2 } = \frac{1}{x} \end{displaymath}

čímž jsme dostali tvar, který už ale známe. V rámci procvičení nechám dopočítání na Vás. Jedná se o rovnici separovanou.

\subsection*{Příklad č.2}

Řešte:

\begin{displaymath} |y` \cdot x - y | = \sqrt{ x^2 + \big( y` \cdot x \big) ^2 } \end{displaymath}

Budu tedy postupovat:

\begin{displaymath} \big( y` \cdot x - y \big) ^2 = x^2 + \big( y` \cdot x \big) ^2 \end{displaymath}

\begin{center} \begin{math} \big( y` \cdot x \big) ^2 - 2 x^2 \cdot y` + y^2 = x^2 + \big( y` \cdot x \big) ^2 \end{math} \end{center}

použiji substituci: $y = x \cdot u$, $ y` = u + x \cdot u`$ po které dostávám:

\begin{center} \begin{math} \big( x \cdot u \big) ^2 - 2 x^2 \cdot u \cdot \big( u + x \cdot u` \big) - x^2 = 0 \end{math}

\begin{math} u^2 - 2 u^2 - 2x \cdot u \cdot u` - 1 = 0 \end{math}

\begin{math} 2xu \cdot u` + u^2 - 1 = 0 \end{math}

\begin{math} 2xu \cdot u` = 1 + u^2 \end{math} \end{center}

což můžu upravit na nám známý tvar:

\begin{displaymath} \frac{ 2u \cdot u` }{ 1 + u^2 } = \frac{1}{x} \end{displaymath}

a dále to nechám na Vaší píli.

\subsection*{Příklad č.3}

Řešte:

\begin{displaymath} \sqrt{ x^2 + \big( y` \cdot x \big) ^2 } = \sqrt{ x^2 + y^2 } \end{displaymath}

Jen naznačím jak by se postupovalo:

\begin{center} \begin{math} y` \cdot x = y \end{math}

\begin{math} y` \cdot x = -y \end{math} \end{center} je třeba vyřešit oba případy!

\subsection*{Příklad č.4}

Řešte:

\begin{displaymath} | y - y` \cdot x | = \sqrt{ x^2 + y^2 } \end{displaymath}

Nechám na samostatné přípravě.

\subsection*{Příklad č.5}

Řešte (sami):

\begin{displaymath} y` = \frac{ x - y }{ x - 2y } \end{displaymath}