01DIFRcviceni:Kapitola3: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 9: | Řádka 9: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | tvar: P(x,y) + Q(x,y) \cdot y | + | tvar: P(x,y) + Q(x,y) \cdot y^\prime = 0 |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 20: | Řádka 20: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | x^2 \cdot y | + | x^2 \cdot y^\prime = x \cdot y + y^2 \cdot e^{ - \frac{x}{y} } |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
− | Podle znalostí z přednášky použiji substituci: $y = x \cdot u$, tedy $ y | + | Podle znalostí z přednášky použiji substituci: $y = x \cdot u$, tedy $ y^\prime = u + x \cdot u^\prime$. Provedu dosazení do rovnice |
a dostávám: | a dostávám: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | x^2 \big( u + u | + | x^2 \big( u + u^\prime \cdot x \big) = x^2 \cdot u + x^2 \cdot u^2 \cdot e^{ - \frac{1}{u} } |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | u | + | u^\prime \cdot x^3 = x^2 u^2 \cdot e^{ - \frac{1}{u} } \ldots x \neq 0; |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | \frac{ e^{ \frac{1}{u} } \cdot u | + | \frac{ e^{ \frac{1}{u} } \cdot u^\prime }{ u^2 } = \frac{1}{x} |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 45: | Řádka 45: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | |y | + | |y^\prime \cdot x - y | = \sqrt{ x^2 + \big( y^\prime \cdot x \big) ^2 } |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 51: | Řádka 51: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | \big( y | + | \big( y^\prime \cdot x - y \big) ^2 = x^2 + \big( y^\prime \cdot x \big) ^2 |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
\begin{center} | \begin{center} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | \big( y | + | \big( y^\prime \cdot x \big) ^2 - 2 x^2 \cdot y^\prime + y^2 = x^2 + \big( y^\prime \cdot x \big) ^2 |
\end{math} | \end{math} | ||
\end{center} | \end{center} | ||
− | použiji substituci: $y = x \cdot u$, $ y | + | použiji substituci: $y = x \cdot u$, $ y^\prime = u + x \cdot u^\prime$ po které dostávám: |
\begin{center} | \begin{center} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | \big( x \cdot u \big) ^2 - 2 x^2 \cdot u \cdot \big( u + x \cdot u | + | \big( x \cdot u \big) ^2 - 2 x^2 \cdot u \cdot \big( u + x \cdot u^\prime \big) - x^2 = 0 |
\end{math} | \end{math} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | u^2 - 2 u^2 - 2x \cdot u \cdot u | + | u^2 - 2 u^2 - 2x \cdot u \cdot u^\prime - 1 = 0 |
\end{math} | \end{math} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | 2xu \cdot u | + | 2xu \cdot u^\prime + u^2 - 1 = 0 |
\end{math} | \end{math} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | 2xu \cdot u | + | 2xu \cdot u^\prime = 1 + u^2 |
\end{math} | \end{math} | ||
\end{center} | \end{center} | ||
Řádka 83: | Řádka 83: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | \frac{ 2u \cdot u | + | \frac{ 2u \cdot u^\prime }{ 1 + u^2 } = \frac{1}{x} |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 93: | Řádka 93: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | \sqrt{ x^2 + \big( y | + | \sqrt{ x^2 + \big( y^\prime \cdot x \big) ^2 } = \sqrt{ x^2 + y^2 } |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 100: | Řádka 100: | ||
\begin{center} | \begin{center} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | y | + | y^\prime \cdot x = y |
\end{math} | \end{math} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | y | + | y^\prime \cdot x = -y |
\end{math} | \end{math} | ||
\end{center} | \end{center} | ||
Řádka 114: | Řádka 114: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | | y - y | + | | y - y^\prime \cdot x | = \sqrt{ x^2 + y^2 } |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 124: | Řádka 124: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | y | + | y^\prime = \frac{ x - y }{ x - 2y } |
\end{displaymath} | \end{displaymath} |
Aktuální verze z 13. 2. 2011, 20:37
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01DIFRcviceni
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceni | Admin | 13. 2. 2011 | 20:47 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:45 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 1. 8. 2010 | 02:34 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:33 | kapitola1.tex | ||
Kapitola2 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:35 | kapitola2.tex | ||
Kapitola3 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:37 | kapitola3.tex | ||
Kapitola4 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:37 | kapitola4.tex | ||
Kapitola5 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:39 | kapitola5.tex | ||
Kapitola6 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:31 | kapitola6.tex | ||
Kapitola7 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:39 | kapitola7.tex | ||
Kapitola8 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:16 | kapitola8.tex | ||
Kapitola9 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:45 | kapitola9.tex | ||
Kapitola10 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:43 | kapitola10.tex | ||
Kapitola11 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:41 | kapitola11.tex | ||
Kapitola12 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:41 | kapitola12.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRcviceni} \section{Homogenní diferenciální rovnice} \subsection*{Zamyslete se:} Jaký je tvar homogenní diferenciální rovnice? \\ Jaká substituce vede k řešení? \\ Jak je to s otázkou jednoznačnosti? \begin{displaymath} tvar: P(x,y) + Q(x,y) \cdot y^\prime = 0 \end{displaymath} kde P,Q jsou homogenní funkce stejného stupně. \subsection*{Příklad č.1} Řešte: \begin{displaymath} x^2 \cdot y^\prime = x \cdot y + y^2 \cdot e^{ - \frac{x}{y} } \end{displaymath} Podle znalostí z přednášky použiji substituci: $y = x \cdot u$, tedy $ y^\prime = u + x \cdot u^\prime$. Provedu dosazení do rovnice a dostávám: \begin{displaymath} x^2 \big( u + u^\prime \cdot x \big) = x^2 \cdot u + x^2 \cdot u^2 \cdot e^{ - \frac{1}{u} } \end{displaymath} \begin{displaymath} u^\prime \cdot x^3 = x^2 u^2 \cdot e^{ - \frac{1}{u} } \ldots x \neq 0; \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{ e^{ \frac{1}{u} } \cdot u^\prime }{ u^2 } = \frac{1}{x} \end{displaymath} čímž jsme dostali tvar, který už ale známe. V rámci procvičení nechám dopočítání na Vás. Jedná se o rovnici separovanou. \subsection*{Příklad č.2} Řešte: \begin{displaymath} |y^\prime \cdot x - y | = \sqrt{ x^2 + \big( y^\prime \cdot x \big) ^2 } \end{displaymath} Budu tedy postupovat: \begin{displaymath} \big( y^\prime \cdot x - y \big) ^2 = x^2 + \big( y^\prime \cdot x \big) ^2 \end{displaymath} \begin{center} \begin{math} \big( y^\prime \cdot x \big) ^2 - 2 x^2 \cdot y^\prime + y^2 = x^2 + \big( y^\prime \cdot x \big) ^2 \end{math} \end{center} použiji substituci: $y = x \cdot u$, $ y^\prime = u + x \cdot u^\prime$ po které dostávám: \begin{center} \begin{math} \big( x \cdot u \big) ^2 - 2 x^2 \cdot u \cdot \big( u + x \cdot u^\prime \big) - x^2 = 0 \end{math} \begin{math} u^2 - 2 u^2 - 2x \cdot u \cdot u^\prime - 1 = 0 \end{math} \begin{math} 2xu \cdot u^\prime + u^2 - 1 = 0 \end{math} \begin{math} 2xu \cdot u^\prime = 1 + u^2 \end{math} \end{center} což můžu upravit na nám známý tvar: \begin{displaymath} \frac{ 2u \cdot u^\prime }{ 1 + u^2 } = \frac{1}{x} \end{displaymath} a dále to nechám na Vaší píli. \subsection*{Příklad č.3} Řešte: \begin{displaymath} \sqrt{ x^2 + \big( y^\prime \cdot x \big) ^2 } = \sqrt{ x^2 + y^2 } \end{displaymath} Jen naznačím jak by se postupovalo: \begin{center} \begin{math} y^\prime \cdot x = y \end{math} \begin{math} y^\prime \cdot x = -y \end{math} \end{center} je třeba vyřešit oba případy! \subsection*{Příklad č.4} Řešte: \begin{displaymath} | y - y^\prime \cdot x | = \sqrt{ x^2 + y^2 } \end{displaymath} Nechám na samostatné přípravě. \subsection*{Příklad č.5} Řešte (sami): \begin{displaymath} y^\prime = \frac{ x - y }{ x - 2y } \end{displaymath}