01DIFRcviceni:Kapitola2: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
 
Řádka 10: Řádka 10:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
tvar:  P_1 \left( x \right) \cdot Q_2 \left( y \right)  +  P_2 \left( x \right) \cdot Q_1 \left( y \right)  \cdot y` = 0
+
tvar:  P_1 \left( x \right) \cdot Q_2 \left( y \right)  +  P_2 \left( x \right) \cdot Q_1 \left( y \right)  \cdot y^\prime = 0
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 18: Řádka 18:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
x \cdot y` - k \cdot y = 0, \ldots k \in R
+
x \cdot y^\prime - k \cdot y = 0, \ldots k \in R
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 25: Řádka 25:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
\frac{ y` }{ y } - \frac{ k }{ x } = 0; / x,y \neq 0
+
\frac{ y^\prime }{ y } - \frac{ k }{ x } = 0; / x,y \neq 0
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 56: Řádka 56:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
y` = \frac{ \sin y }{ \sin x }
+
y^\prime = \frac{ \sin y }{ \sin x }
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
Řádka 63: Řádka 63:
 
\begin{center}
 
\begin{center}
 
\begin{math}
 
\begin{math}
\frac{ y` }{ \sin y } = \frac{1}{ \sin x } \ldots x,y \neq k \pi; k \in Z
+
\frac{ y^\prime }{ \sin y } = \frac{1}{ \sin x } \ldots x,y \neq k \pi; k \in Z
 
\end{math}
 
\end{math}
 
\end{center}
 
\end{center}
Řádka 107: Řádka 107:
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
y = \frac{1}{3} y + \frac{1}{3} x \cdot y`
+
y = \frac{1}{3} y + \frac{1}{3} x \cdot y^\prime
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
2y = x \cdot y`
+
2y = x \cdot y^\prime
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  
 
\begin{displaymath}
 
\begin{displaymath}
\frac{ y` }{2y} = \frac{1}{x}; \ldots x \neq 0, y \neq 0
+
\frac{ y^\prime }{2y} = \frac{1}{x}; \ldots x \neq 0, y \neq 0
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
  

Aktuální verze z 13. 2. 2011, 19:35

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01DIFRcviceni

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceniAdmin 13. 2. 201119:47
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:45
Header editovatHlavičkový souborAdmin 1. 8. 201001:34 header.tex
Kapitola1 editovatAdmin 13. 2. 201119:33 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatAdmin 13. 2. 201119:35 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKubuondr 16. 4. 201709:39 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKubuondr 16. 4. 201709:31 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatAdmin 13. 2. 201119:39 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKubuondr 16. 4. 201709:16 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAdmin 13. 2. 201119:45 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatAdmin 13. 2. 201119:43 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola12.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
 
\section{Rovnice separovatelné}
 
\subsection*{Zamyslete se:}
 
Jaký tvar má rovnice separovatelná a jak se řeší? \\
Za jakých podmínek můžeme řešit rovnici separovatelnou? \\
Jaké jsou okrajové řešení?
 
\begin{displaymath}
tvar:  P_1 \left( x \right) \cdot Q_2 \left( y \right)  +  P_2 \left( x \right) \cdot Q_1 \left( y \right)   \cdot y^\prime = 0
\end{displaymath}
 
\subsection*{Příklad č.1}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
x \cdot y^\prime - k \cdot y = 0, \ldots k \in R
\end{displaymath}
 
Provedeme tedy ze znalosti z přednášky dělení rovnice $x$ i $y$, přičemž oba krajní případy musíme 
později zvláště dořešit.
 
\begin{displaymath}
\frac{ y^\prime }{ y } - \frac{ k }{ x } = 0; / x,y \neq 0
\end{displaymath}
 
Jako jsme do dělali u rovnic separovatelných, převedeme na integrální rovnici:
 
\begin{displaymath}
\ln |y| - k \ln |x| = C 
\end{displaymath}
 
Přičemž je třeba dodat, že $y =0$ je řešením na celém R.
 
\begin{displaymath}
|y| \cdot x^{-k} = C
\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}
|y| = C \cdot |x|^k \ldots C > 0
\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}
y = A \cdot |x|^k \ldots A \in R
\end{displaymath}
 
Dále je třeba prodiskutovat jak vypadají integrální křivky pro případy $k=0$, $0<k<1$, $k=1$, $k>1$, $k<0$.
Nakreslete příslušné integrální křivky.
 
\subsection*{Příklad č.2}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
y^\prime = \frac{ \sin y }{ \sin x }
\end{displaymath}
 
Postupovat budu takto:
 
\begin{center}
\begin{math}
\frac{ y^\prime }{ \sin y } = \frac{1}{ \sin x } \ldots x,y \neq k \pi; k \in Z
\end{math}
\end{center}
 
Je třeba přidat, že $y = k \pi$ je řešením na celém R.
 
\begin{displaymath}
\int \frac{dy}{ \sin y } = \int \frac{dx}{ \sin x } + K
\end{displaymath}
 
Podle přednášky teď upravíme:
\begin{displaymath}
\int \frac{dy}{ \sin 2 \cdot \frac{y}{2} } = \int \frac{dy}{ 2 \sin \frac{y}{2} \cos \frac{y}{2} } =
\int \frac{1}{ \cos ^2 \frac{y}{2} } \cdot \frac{dy}{ \tan \frac{y}{2} } = \ln \tan \big( \frac{x}{2} + \frac{ \pi }{4} \big)
\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}
\ln | \tan \frac{y}{2} | = \ln | \tan \frac{x}{2} | + \ln C
\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}
| \tan \frac{y}{2} | = C \cdot | \tan \frac{x}{2} |
\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}
\tan \frac{y}{2} = C \cdot \tan \frac{x}{2}
\end{displaymath}
 
Řešením tedy je:
 
\begin{displaymath}
y = 2 \cdot \arctan \big( C \tan \frac{x}{2} \big)
\end{displaymath}
 
Pokuste se nakreslit integrální křivky.
 
\subsection*{Příklad č.3}
 
Hledejme rovnici pro $y$, které by splňovalo následující dvě podmínky: a) $y \geq 0$, b) $ \int_{0}^{x} y 
\big( t \big) dt = \frac{1}{3} x \cdot y $
 
Při řešení začneme nejdřív s podmínkou b), provedeme $\frac{d}{dx}$ s celou rovnicí -
 
\begin{displaymath}
y = \frac{1}{3} y + \frac{1}{3} x \cdot y^\prime
\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}
2y = x \cdot y^\prime
\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}
\frac{ y^\prime }{2y} = \frac{1}{x}; \ldots x \neq 0, y \neq 0
\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}
\frac{1}{2} \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} + C
\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}
\frac{1}{2} \cdot \ln |y| = \ln |x| + ln A
\end{displaymath}
 
Řešením tedy je:
 
\begin{displaymath}
y = A^2 \cdot x^2
\end{displaymath}
 
čímž je zaručena i kladnost výsledku.