01DIFRcviceni:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 10: | Řádka 10: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | tvar: P_1 \left( x \right) \cdot Q_2 \left( y \right) + P_2 \left( x \right) \cdot Q_1 \left( y \right) \cdot y | + | tvar: P_1 \left( x \right) \cdot Q_2 \left( y \right) + P_2 \left( x \right) \cdot Q_1 \left( y \right) \cdot y^\prime = 0 |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 18: | Řádka 18: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | x \cdot y | + | x \cdot y^\prime - k \cdot y = 0, \ldots k \in R |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 25: | Řádka 25: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | \frac{ y | + | \frac{ y^\prime }{ y } - \frac{ k }{ x } = 0; / x,y \neq 0 |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 56: | Řádka 56: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | y | + | y^\prime = \frac{ \sin y }{ \sin x } |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 63: | Řádka 63: | ||
\begin{center} | \begin{center} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | \frac{ y | + | \frac{ y^\prime }{ \sin y } = \frac{1}{ \sin x } \ldots x,y \neq k \pi; k \in Z |
\end{math} | \end{math} | ||
\end{center} | \end{center} | ||
Řádka 107: | Řádka 107: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | y = \frac{1}{3} y + \frac{1}{3} x \cdot y | + | y = \frac{1}{3} y + \frac{1}{3} x \cdot y^\prime |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | 2y = x \cdot y | + | 2y = x \cdot y^\prime |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | \frac{ y | + | \frac{ y^\prime }{2y} = \frac{1}{x}; \ldots x \neq 0, y \neq 0 |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Aktuální verze z 13. 2. 2011, 20:35
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01DIFRcviceni
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceni | Admin | 13. 2. 2011 | 20:47 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:45 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 1. 8. 2010 | 02:34 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:33 | kapitola1.tex | ||
Kapitola2 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:35 | kapitola2.tex | ||
Kapitola3 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:37 | kapitola3.tex | ||
Kapitola4 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:37 | kapitola4.tex | ||
Kapitola5 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:39 | kapitola5.tex | ||
Kapitola6 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:31 | kapitola6.tex | ||
Kapitola7 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:39 | kapitola7.tex | ||
Kapitola8 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:16 | kapitola8.tex | ||
Kapitola9 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:45 | kapitola9.tex | ||
Kapitola10 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:43 | kapitola10.tex | ||
Kapitola11 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:41 | kapitola11.tex | ||
Kapitola12 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:41 | kapitola12.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRcviceni} \section{Rovnice separovatelné} \subsection*{Zamyslete se:} Jaký tvar má rovnice separovatelná a jak se řeší? \\ Za jakých podmínek můžeme řešit rovnici separovatelnou? \\ Jaké jsou okrajové řešení? \begin{displaymath} tvar: P_1 \left( x \right) \cdot Q_2 \left( y \right) + P_2 \left( x \right) \cdot Q_1 \left( y \right) \cdot y^\prime = 0 \end{displaymath} \subsection*{Příklad č.1} Řešte: \begin{displaymath} x \cdot y^\prime - k \cdot y = 0, \ldots k \in R \end{displaymath} Provedeme tedy ze znalosti z přednášky dělení rovnice $x$ i $y$, přičemž oba krajní případy musíme později zvláště dořešit. \begin{displaymath} \frac{ y^\prime }{ y } - \frac{ k }{ x } = 0; / x,y \neq 0 \end{displaymath} Jako jsme do dělali u rovnic separovatelných, převedeme na integrální rovnici: \begin{displaymath} \ln |y| - k \ln |x| = C \end{displaymath} Přičemž je třeba dodat, že $y =0$ je řešením na celém R. \begin{displaymath} |y| \cdot x^{-k} = C \end{displaymath} \begin{displaymath} |y| = C \cdot |x|^k \ldots C > 0 \end{displaymath} \begin{displaymath} y = A \cdot |x|^k \ldots A \in R \end{displaymath} Dále je třeba prodiskutovat jak vypadají integrální křivky pro případy $k=0$, $0<k<1$, $k=1$, $k>1$, $k<0$. Nakreslete příslušné integrální křivky. \subsection*{Příklad č.2} Řešte: \begin{displaymath} y^\prime = \frac{ \sin y }{ \sin x } \end{displaymath} Postupovat budu takto: \begin{center} \begin{math} \frac{ y^\prime }{ \sin y } = \frac{1}{ \sin x } \ldots x,y \neq k \pi; k \in Z \end{math} \end{center} Je třeba přidat, že $y = k \pi$ je řešením na celém R. \begin{displaymath} \int \frac{dy}{ \sin y } = \int \frac{dx}{ \sin x } + K \end{displaymath} Podle přednášky teď upravíme: \begin{displaymath} \int \frac{dy}{ \sin 2 \cdot \frac{y}{2} } = \int \frac{dy}{ 2 \sin \frac{y}{2} \cos \frac{y}{2} } = \int \frac{1}{ \cos ^2 \frac{y}{2} } \cdot \frac{dy}{ \tan \frac{y}{2} } = \ln \tan \big( \frac{x}{2} + \frac{ \pi }{4} \big) \end{displaymath} \begin{displaymath} \ln | \tan \frac{y}{2} | = \ln | \tan \frac{x}{2} | + \ln C \end{displaymath} \begin{displaymath} | \tan \frac{y}{2} | = C \cdot | \tan \frac{x}{2} | \end{displaymath} \begin{displaymath} \tan \frac{y}{2} = C \cdot \tan \frac{x}{2} \end{displaymath} Řešením tedy je: \begin{displaymath} y = 2 \cdot \arctan \big( C \tan \frac{x}{2} \big) \end{displaymath} Pokuste se nakreslit integrální křivky. \subsection*{Příklad č.3} Hledejme rovnici pro $y$, které by splňovalo následující dvě podmínky: a) $y \geq 0$, b) $ \int_{0}^{x} y \big( t \big) dt = \frac{1}{3} x \cdot y $ Při řešení začneme nejdřív s podmínkou b), provedeme $\frac{d}{dx}$ s celou rovnicí - \begin{displaymath} y = \frac{1}{3} y + \frac{1}{3} x \cdot y^\prime \end{displaymath} \begin{displaymath} 2y = x \cdot y^\prime \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{ y^\prime }{2y} = \frac{1}{x}; \ldots x \neq 0, y \neq 0 \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{1}{2} \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} + C \end{displaymath} \begin{displaymath} \frac{1}{2} \cdot \ln |y| = \ln |x| + ln A \end{displaymath} Řešením tedy je: \begin{displaymath} y = A^2 \cdot x^2 \end{displaymath} čímž je zaručena i kladnost výsledku.