01DIFRcviceni:Kapitola2: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
Řádka 131: Řádka 131:
  
 
čímž je zaručena i kladnost výsledku.
 
čímž je zaručena i kladnost výsledku.
 +
 +
% následující řádky upravují pouze zobrazení stránky na wiki a na obsah dokumentu nemají vliv - prosím neměnit !
 +
%\parentlatexfile{01DIFRcviceni} ........................................... odkaz na hlavní dokument
 +
%\usewikiobsah{01DIFRcviceni:Obsah} ............................................ vložení odkazu na Obsah, aby bylo možné se v dokumentu orientovat
 +
%\parentlatexpreamble{01DIFRcviceni:Preamble} .................................. odkaz na hlavičkovou stránku dokumentu, jehož vložení umožní překlad částečného pdf, tj. pdf, které vznikne pouze z této stránky

Verze z 10. 4. 2010, 11:07

\section{Rovnice separovatelné}

\subsection*{Zamyslete se:}

Jaký tvar má rovnice separovatelná a jak se řeší? \\ Za jakých podmínek můžeme řešit rovnici separovatelnou? \\ Jaké jsou okrajové řešení?

\begin{displaymath} tvar: P_1 \left( x \right) \cdot Q_2 \left( y \right) + P_2 \left( x \right) \cdot Q_1 \left( y \right) \cdot y` = 0 \end{displaymath}

\subsection*{Příklad č.1}

Řešte:

\begin{displaymath} x \cdot y` - k \cdot y = 0, \ldots k \in R \end{displaymath}

Provedeme tedy ze znalosti z přednášky dělení rovnice $x$ i $y$, přičemž oba krajní případy musíme později zvláště dořešit.

\begin{displaymath} \frac{ y` }{ y } - \frac{ k }{ x } = 0; / x,y \neq 0 \end{displaymath}

Jako jsme do dělali u rovnic separovatelných, převedeme na integrální rovnici:

\begin{displaymath} \ln |y| - k \ln |x| = C \end{displaymath}

Přičemž je třeba dodat, že $y =0$ je řešením na celém R.

\begin{displaymath} |y| \cdot x^{-k} = C \end{displaymath}

\begin{displaymath} |y| = C \cdot |x|^k \ldots C > 0 \end{displaymath}

\begin{displaymath} y = A \cdot |x|^k \ldots A \in R \end{displaymath}

Dále je třeba prodiskutovat jak vypadají integrální křivky pro případy $k=0$, $0<k<1$, $k=1$, $k>1$, $k<0$. Nakreslete příslušné integrální křivky.

\subsection*{Příklad č.2}

Řešte:

\begin{displaymath} y` = \frac{ \sin y }{ \sin x } \end{displaymath}

Postupovat budu takto:

\begin{center} \begin{math} \frac{ y` }{ \sin y } = \frac{1}{ \sin x } \ldots x,y \neq k \pi; k \in Z \end{math} \end{center}

Je třeba přidat, že $y = k \pi$ je řešením na celém R.

\begin{displaymath} \int \frac{dy}{ \sin y } = \int \frac{dx}{ \sin x } + K \end{displaymath}

Podle přednášky teď upravíme: \begin{displaymath} \int \frac{dy}{ \sin 2 \cdot \frac{y}{2} } = \int \frac{dy}{ 2 \sin \frac{y}{2} \cos \frac{y}{2} } = \int \frac{1}{ \cos ^2 \frac{y}{2} } \cdot \frac{dy}{ \tan \frac{y}{2} } = \ln \tan \big( \frac{x}{2} + \frac{ \pi }{4} \big) \end{displaymath}

\begin{displaymath} \ln | \tan \frac{y}{2} | = \ln | \tan \frac{x}{2} | + \ln C \end{displaymath}

\begin{displaymath} | \tan \frac{y}{2} | = C \cdot | \tan \frac{x}{2} | \end{displaymath}

\begin{displaymath} \tan \frac{y}{2} = C \cdot \tan \frac{x}{2} \end{displaymath}

Řešením tedy je:

\begin{displaymath} y = 2 \cdot \arctan \big( C \tan \frac{x}{2} \big) \end{displaymath}

Pokuste se nakreslit integrální křivky.

\subsection*{Příklad č.3}

Hledejme rovnici pro $y$, které by splňovalo následující dvě podmínky: a) $y \geq 0$, b) $ \int_{0}^{x} y \big( t \big) dt = \frac{1}{3} x \cdot y $

Při řešení začneme nejdřív s podmínkou b), provedeme $\frac{d}{dx}$ s celou rovnicí -

\begin{displaymath} y = \frac{1}{3} y + \frac{1}{3} x \cdot y` \end{displaymath}

\begin{displaymath} 2y = x \cdot y` \end{displaymath}

\begin{displaymath} \frac{ y` }{2y} = \frac{1}{x}; \ldots x \neq 0, y \neq 0 \end{displaymath}

\begin{displaymath} \frac{1}{2} \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} + C \end{displaymath}

\begin{displaymath} \frac{1}{2} \cdot \ln |y| = \ln |x| + ln A \end{displaymath}

Řešením tedy je:

\begin{displaymath} y = A^2 \cdot x^2 \end{displaymath}

čímž je zaručena i kladnost výsledku.

% následující řádky upravují pouze zobrazení stránky na wiki a na obsah dokumentu nemají vliv - prosím neměnit ! %\parentlatexfile{01DIFRcviceni} ........................................... odkaz na hlavní dokument %\usewikiobsah{01DIFRcviceni:Obsah} ............................................ vložení odkazu na Obsah, aby bylo možné se v dokumentu orientovat %\parentlatexpreamble{01DIFRcviceni:Preamble} .................................. odkaz na hlavičkovou stránku dokumentu, jehož vložení umožní překlad částečného pdf, tj. pdf, které vznikne pouze z této stránky