01DIFRcviceni:Kapitola12

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 10. 4. 2010, 11:03, kterou vytvořil Karel.brinda (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: \section{Systémy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty} \subsection*{Zamyslete se:} Jaký tvar mají systémy lineárních diferenciálních …)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání

\section{Systémy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty}

\subsection*{Zamyslete se:}

Jaký tvar mají systémy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty? \\ Jak se řeší tyto úlohy?\\ Co je to metoda neurčitých koeficientů? \\ Co víme o jednoznačnosti?

\begin{displaymath} \acute{ \vec{y} } = \mathbf{A} \vec{y} + \vec{b} \end{displaymath}

\subsection*{Příklad č.1}

Řešte:

\begin{center} \begin{math} y` = -5y + 2z + 40 e^x \end{math}

\begin{math} z` = y - 6z + 9 e^{-x} \end{math} \end{center}

Z přednášky víme, že tato úloha je ekvivalentní s úlohou následující:

\begin{displaymath} \underbrace{ \acute{ \left( \begin{array}{c} y \\ z \end{array} \right) } }_{ \acute{ \vec{a} } } = \underbrace{ \left( \begin{array}{cc} -5 & 2 \\ 1 & -6 \end{array} \right) }_{ \mathbf{A} } \cdot \underbrace{ \left( \begin{array}{c} y \\ z \end{array} \right) }_{ \vec{a} } + \underbrace{ \left( \begin{array}{c} 40 e^x \\ 9 e^{-x} \end{array} \right) }_{ \vec{b} } \end{displaymath}

Charakteristický polynom matice A vypadá: $ \big( -5 - \lambda \big) \cdot \big( -6 - \lambda \big) - 2 = \big( \lambda + 4 \big) \cdot \big( \lambda + 7 \big) $. Tedy kořeny jsou: $ \lambda _1 = -4; \lambda _2 = -7 $ Zjistím teď vlastní vektory matice:

\begin{center} \begin{math} \left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{array} \right) \Longrightarrow \big( 2, 1 \big) = \vec{v_1} \end{math}

\begin{math} \left( \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \Longrightarrow \big( 1, -1 \big) = \vec{v_2} \end{math} \end{center}

Tedy můžu napsat řešení bez pravé strany jako:

\begin{displaymath} \acute{ \left( \begin{array}{c} y \\ z \end{array} \right) } = c_1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) \cdot e^{-4x} + C_2 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \cdot e^{-7x} \end{displaymath}

a nyní očekávaným krokem známým z přednášky provedeme:

\begin{center} \begin{math} \acute{ \left( \begin{array}{c} y \\ z \end{array} \right) } = \big( C_1` - 4 C_1 \big) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) \cdot e^{-4x}

+ \big( C_2` -7 C_2 \big) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \cdot e^{-7x} = L\big( \vec{a} \big)

\end{math}

\begin{math} L \big( \vec{a} \big) = C_1 \cdot \left( \begin{array}{cc} -5 & 2 \\ 1 & -6 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) \cdot e^{-4x} + C_2 \cdot \left( \begin{array}{cc} -5 & 2 \\ 1 & -6 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \cdot e^{-7x} + \left( \begin{array}{c} 40 e^x \\ 9 e^{-x} \end{array} \right) \end{math} \end{center}

Po upravení, rozložení a vynásobení matic zůstává rovnost:

\begin{displaymath} C_1` \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) \cdot e^{-4x} + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \cdot e^{-7x} = \left( \begin{array}{c} 40 e^x \\ 9 e^{-x} \end{array} \right) \end{displaymath}

Můžeme tedy zpátky zapsat do rovnic soustavu:

\begin{center} \begin{math} 2C_1` e^{-4x} + C_2` e^{-7x} = 40e^x \end{math}

\begin{math} C_1` e^{-4x} - C_2` e^{-7x} = 9 e^{-x} \end{math} \end{center}

Z této soustavy mohu dále vyjádřit:

\begin{center} \begin{math} 3C_1` \cdot e^{-4x} = 40 e^x + 9 e^{-x} \end{math}

\begin{math} C_1` = \frac{ 40 e^{5x} + 9 e^{3x} }{3} \end{math}

\begin{math} -3C_2` e^{-7x} = 40 e^x - 18 e^{-x} \end{math}

\begin{math} C_2` = - \frac{ 40 e^{8x} - 18 e^{6x} }{3} \end{math} \end{center}

Dále:

\begin{center} \begin{math} C_1 = \frac{8}{3} e^{5x} + e^{3x} + K_1 \end{math}

\begin{math} C_2 = - \frac{5}{3} e^{8x} + e^{6x} + K_2 \end{math} \end{center}

Mohu tedy zapsat $ \vec{a} $ jako:

\begin{displaymath} \left( \begin{array}{c} y \\ z \end{array} \right) = \big( \frac{8}{3} e^{5x} + e^{3x} + K_1 \big) \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) e^{-4x} + \big( - \frac{5}{3} e^{8x} + e^{6x} + K_2 \big) \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) e^{-7x} \end{displaymath}

Konečný výsledek je třeba zapsat ve tvaru:

\begin{center} \begin{math} y = \big( \frac{16}{3} e^{5x} + 2e^{3x} + 2K_1 \big) e^{-4x} + \big( - \frac{5}{3} e^{8x} + e^{6x} + K_2 \big) e^{-7} \end{math}

\begin{math} z = \big( \frac{8}{3} e^{5x} + e^{3x} + K_1 \big) e^{-4x} - \big( - \frac{5}{3} e^{8x} + e^{6x} + K_2 \big) e^{-7} \end{math} \end{center}

A komu se tento výsledek nelíbí, může si jako procvičení klidně upravit do nějaké příjemnější podoby. Já už to přepisovat nebudu! Jen je opravdu třeba u zkoušky důležité, aby jste to přepsali tak, jak jsem to napsal na závěr já.

\subsection*{ Příklad č.2 }

Řešte:

\begin{center} \begin{math} \dot{x} = 5x - y - 4z \end{math}

\begin{math} \dot{y} = -12x + 5y + 12 z \end{math}

\begin{math} \dot{z} = 10x-3y-9z \end{math} \end{center}

Situaci máme ulehčenou o to, že hledáme pouze fundamentální systém. Na tomto příkladu si však ukážeme něco zajímavějšího. Nejprve budeme postupovat naprosto analogicky:

\begin{displaymath} \dot{ \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) } = \left( \begin{array}{ccc} 5 & -1 & -4 \\ -12 & 5 & 12 \\ 10 & -3 & -9 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \end{displaymath}

Zjistím vlastní čísla matice A:

\begin{displaymath} \begin{array}{|ccc|} 5- \lambda & -1 & -4 \\ -12 & 5- \lambda & 12 \\ 10 & -3 & -9 - \lambda \end{array} = \big( \lambda - 1 \big) \big( 1 - \lambda \big) \big( 1 + \lambda \big) \end{displaymath}

Pro ty, kdo by se s tímto determinantem trápili, první krok je přičtení prvního sloupce k poslednímu sloupci, dále pak stačí už jen vytknout z posledního sloupce $ \big( 1 - \lambda \big) $ a dál už je to jen dopočítání. Problémem ale zůstává, že máme vlastní čísla $ \lambda _1 = -1; \lambda _{2,3} = 1 $. Co dál? Nejdříve pokud máme jedno vlastní číslo, můžeme spočíst k němu jeho vlastní vektor. Nechám na Vás. Je to $ \vec{ v_1} = \big( -1,2, -2 \big)$.

Chceme-li úspěšně pokračovat v řešení tohoto příkladu, musíme si vzpomět na větu z přednášky, která \uv{ v podstatě } tvrdila, že pokud máme nějaké vlastní číslo o násobnosti $k > 1$, pak vektory řešení k tomuto číslu mají ve složkách polynomy stupně nejvýše $k-1$. Budeme tedy hledat řešení v tomto tvaru:

\begin{displaymath} \left( \begin{array}{c} a_1 + b_1 \cdot t \\ a_2 + b_2 \cdot t \\ a_3 + b_3 \cdot t \end{array} \right) e^t = \vec{u} \end{displaymath}

a nyní dosadíme do rovnosti do zadání:

\begin{displaymath} \left( \begin{array}{c} a_1 + b_1 \cdot t + b_1 \\ a_2 + b_2 \cdot t + b_2 \\ a_3 + b_3 \cdot t + b_3 \end{array} \right) \cdot e^t = \left( \begin{array}{c} 5a_1 + 5 b_1 t - a_2 - b_2t - 4a_3 - 4b_3t \\ -12 a_1 -12 b_1t + 5a_2 + 5b_2t + 12 a_3 + 12b_3t \\ 10a_1 + 10b_1t -3a_2 -3b_2t - 9a_3 -9b_3t \end{array} \right) \cdot e^t \end{displaymath}

a nyní metodou neurčitých koeficientů stačí už jen sestavit šest následujících rovností:

\begin{center} \begin{math} a_1 + b_1 = 5a_1 - a_2 -4a_3 \end{math}

\begin{math} b_1 = 5b_1 -b_2 -4b_3 \end{math}

\begin{math} a_2 + b_2 = -12a_1 + 5a_2 + 12a_3 \end{math}

\begin{math} b_2 = -12b_1 + 5b_2 +12 b_3 \end{math}

\begin{math} a_3 + b_3 = 10 a_1 -3a_2 -9a_3 \end{math}

\begin{math} b_3 = 10 b_1 - 3b_2 -9b_3 \end{math} \end{center}

A protože jste už velcí kucí, nechám dopočítání na Vás. Musím se přiznat, že počítal jsem to asi třikrát, nikdy mi to nevyšlo. :-) Měly by Vám vyjít dvě řešení, vypadjí asi takhle:

\begin{displaymath} \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) ; \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{displaymath}

tedy aby to bylo vidět:

\begin{center} \begin{math} \vec{ u^{(2)} } = \left( \begin{array}{c} 2+t \\ 3 \\ 1+t \end{array} \right) \cdot e^t \end{math}

\begin{math} \vec{ u^{ (3) } } = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot e^t \end{math} \end{center}

A ještě závěrem přepíšu do finální podoby:

\begin{math} x = -C_1 e^{-t} + C_2 \big( 2 + t \big) e^t + c_3 e^t \end{math}

\begin{math} y = 2C_1 e^{-t} + 3c_2 e^t \end{math}

\begin{math} z = -2C_1e^{-t} + C_2 \big( 1 +t \big) e^t + C_3 e^t \end{math}

\subsection*{Příklad č.3}

Řešte:

\begin{math} \dot{x} = -y + z \end{math}

\begin{math} \dot{y} = z \end{math}

\begin{math} \dot{z} = -x + z \end{math}

Postup je pro začátek jednoznačný. Zjistíme, že charakteristický polynom je: $ \big( \lambda ^2 + 1 \big) \big( 1 - \lambda \big) = 0$. To ale znamená, že máme komplexní dva kořeny. A ještě navíc oba komplexně sdružené. Kořeny jsou: $\lambda _1 = 1, \lambda _2 = i; \lambda _3 = -i$. Když ale máme jeden reálný kořen, resp.vlastní číslo, můžeme pro něj zjistit vlastní vektor. Přesvědčete se, že má složky

$ v_1 = \big( 0 , 1, 1 \big) $. Můžu spočíst i další vlastní vektory, např.prvně pro i:

\begin{displaymath} \left( \begin{array}{ccc} -i & -1 & 1 \\ 0 & -i & 1 \\ -1 & 0 & 1-i \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & i-1 \\ 0 & i & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{displaymath}

Můžu tedy určit vlastní vektor této matice jako: $ \vec{v_2} = \big( 1+i, 1, i \big) $. Podle přednášky ale taky vím, že další vlastní vektor bude komplexně sdružený, tedy: $ \vec{v_3} = \big( 1-i,1,-i \big) $. To bych měl ale komplexní fundamentální systém a to se mi nelíbí. Podle přednášky totiž vím, že \uv{ když mám reálné zadání, existuje reálné řešení} . Tak proč se stresovat s komplexním? Podle známé formule rozepsat

$ e^{it} = \cos t + i \cdot \sin t $  a tedy jedno z řešení je:

\begin{displaymath} \vec{u_2} \big( t \big) = \left( \begin{array}{c} 1+i \\ 1 \\ i \end{array} \right) \cdot \big( \cos t + i \cdot \sin t \big) \end{displaymath}

Z přednášky dále vím, že pouze reálná část jednoho komplexního řešení z fundamentálního systému je taky řešením a to platí taky o imaginární části. Proto teď vezmu $\vec{v_2}$ a \uv{vyrobím} z něj další dvě řešení. Reálná.

\begin{displaymath} Re \big( \vec{u_2} (t) \big) = \left( \begin{array}{c} \cos t - \sin t \\ \cos t \\ - \sin t \end{array} \right) ; Im \big( \vec{u_2} (t) \big) = \left( \begin{array}{c} \cos t + \sin t \\ \sin t \\ \cos t \end{array} \right) \end{displaymath}

tedy mohu konečně zapsat reálné řešení ve finálním tvaru:

\begin{math} x = C_2 \big( \cos t - \sin t \big) + C_3 \big( \cos t + \sin t \big) \end{math}

\begin{math} y = C_1 e^t + C_2 \cos t + C_3 \sin t \end{math}

\begin{math} z = C_1 e^t - C_2 \sin t + C_3 \cos t \end{math}

\subsection*{Příklad č.4}

Řešte:

\begin{math} \dot{x} = 2x + y -2z -t + 2 \end{math}

\begin{math} \dot{y} = -x + 1 \end{math}

\begin{math} \dot{z} = x + y - z - t + 1 \end{math}

Poslední příklad nechám na Vás. Řešení nicméně je:

\begin{math} x = -K_1 e^t + K_2 \cos t + K_3 \sin t \end{math}

\begin{math} y = K_1 e^t - K_2 \sin t + K_3 \cos t + t \end{math}

\begin{math} z = K_2 \cos t + K_3 \sin t + 1 \end{math}