01DIFRcviceni:Kapitola11

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 10. 4. 2010, 11:03, kterou vytvořil Karel.brinda (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: \section{Několik receptů jak hádat řešení LDR n-tého řádu} Jak z přednášky víme, řešení těchto rovnic je součtem jednoho konkrétního řešení (partiku…)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání

\section{Několik receptů jak hádat řešení LDR n-tého řádu}

Jak z přednášky víme, řešení těchto rovnic je součtem jednoho konkrétního řešení (partikulárního řešení) a dalšího libovolného řešení rce bez pravé strany. Za jistých okolností ( v závislosti na tvaru rovnice a pravé strany ) se dá ale toto řešení docela snadno uhodnout. Nyní si ukážeme tři nejzákladnější, z nichž poslední v sobě zahrnuje dva předešlé.

\subsection{Rovnice tvaru $L (y) = P (x)$}

Požadavek: 0 \ldots k-násobný kořen polynomu P(x).

Řešení budeme hledat ve tvaru: $z(x) = x^k \cdot Q(x)$ kde Q(x) je polynom nejvýše stupně polynomu P(x).

\subsubsection*{Příklad č.1}

Řešte:

\begin{displaymath} y`` - y = x^2 - x + 1 \end{displaymath}

Tedy charakteristický polynom je: $\lambda ^2 - 1 = 0$. Proto můžu rovnou psát obecné řešení bez pravé strany jako:

\begin{displaymath} y(x) = C_1 \cdot e^x + C_2 \cdot e^{-x} \end{displaymath}

Podle kuchařky teď budeme tedy hledat polynom druhého stupně. Nula je nulanásobný kořen ( :-) ) polynomu P(x), takže $x^0 = 1$ se v rovnici nevyskytuje. Hledaný polnynom má obecný předpis tento: $ z(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c \Longrightarrow z`` (x) = 2a$. Dosadíme do rovnice:

\begin{center} \begin{math} z`` - z = x^2 - x + 1 \end{math}

\begin{math} 2a - a \cdot x^2 - b \cdot x - c = x^2 - x + 1 \end{math} \end{center}

Prostým porovnáním koeficientů zjišťujeme, že $a =-1; b = 1; c = -3$. Partikulární řešení tedy je: $z (x) = -x^2 + x -3$. Celkovým výsledkem tedy je:

\begin{displaymath} y (x) = -x^2 + x - 3 + C_1 \cdot e^x + C_2 \cdot e^{-x} \end{displaymath}

\subsubsection*{Příklad č.2}

Řešte:

\begin{displaymath} y`` - 4y` = - 12 x^2 + 6x - 4 \end{displaymath}

Charakteristický polynom tedy je: $\lambda ^2 - 4 \lambda = 0$. Tedy nula je jednonásobný kořen. Obecné řešení rce bez pravé strany je: $ y (x) = C_1 + C_2 \cdot e^4x$. Budu hledat partikulární řešení ve tvaru:

\begin{center} \begin{math} z(x) = x \big( a \cdot x^2 + b \cdot x + c \big) \end{math}

\begin{math} z` (x) = 3a \cdot x^2 + 2b \cdot x + c \end{math}

\begin{math} z`` (x) = 6a \cdot x + 2b \end{math}

dosadím:

\begin{math} 6a \cdot x + 2b - 12 a \cdot x^2 - 8b -4c = -12x^2 + 6x -4 \end{math} \end{center}

a opět porovnáním členů před mocninami x dostávám řešení:

\begin{displaymath} y(x) = C_1 + C_2 \cdot e^{4x} + x^3 + x \end{displaymath}

\subsection{Rovnice tvaru $L (y) = e^{ax} \cdot P (x)$}

Nechť a \ldots k-násobný kořen charakteristického polynomu. Pak hledáme řešení ve tvaru: $z(x) = x^k \cdot e^{ax} \cdot Q(x)$

\subsubsection*{Příklad č.1}

Řešte:

\begin{displaymath} y`` - 2y` + y = 4 e^x \end{displaymath}

Stestavím char. polynom: $ \lambda ^2 - 2 \lambda + 1 = 0$, tedy $ \big( \lambda - 1 \big) ^2 = 0$. Kořenem je pouze $\lambda = 1$, jedná se o dvojnásobný kořen. Tedy řešení rce bez pravé strany je: $y(x) = C_1 \cdot e^x + C_2 x \cdot e^x $. Budu hledat řešení tvaru: $z(x) = x^2 A e^x$.

\begin{center} \begin{math} z`(x) = 2x A e^x + x^2 A e^x \end{math}

\begin{math} z``(x) = A \Big( e^x \big( 2 + 2x \big) + e^x \big( 2x + x^2 \big) \Big) = A e^x \big( 2 + 4x + x^2 \big) \end{math}

\begin{math} A e^x \big( x^2 + 4x +2 \big) - 2A e^x \big( x^2 + 2x \big) + x^2Ae^x = 4e^x \end{math}

\begin{math} b = 2 \end{math} \end{center}

Řešením tedy je:

\begin{displaymath} y(x) = C_1 e^x + C_2 x e^x + 2x^2 e^x \end{displaymath}

\subsubsection*{Příklad č.2}

Řešte:

\begin{displaymath} y`` - 3y` = e^{3x} - 18x \end{displaymath}

Tento příklad je trochu komplikovanější. Na pravé straně rovnice máme dva členy. Ale z přednášky víme, že bude stačit sečíst obě řešení jednotlivých případů. Začneme klasicky a prvně se mrkneme na exponencielu:

\begin{center} \begin{math} F( \lambda ) : \lambda ^2 - 3 \lambda = 0 \Longrightarrow \lambda _1 = 0; \lambda _2 = 3 \end{math}

\begin{math} y(x) = C_1 + C_2 e^{3x} \end{math}

\begin{math} z(x) = Ax e^{3x} \end{math}

\begin{math} z` (x) = A e^{3x} \big( 1 + 3x \big) \end{math}

\begin{math} z`` = 3A e^{3x} \big( 2 + 3x \big) \end{math}

dosadím:

\begin{math} 3Ae^{3x} \big( 2 + 3x \big) - 3 A e^{3x} \big( 1 + 3x \big) = e^3x \end{math}

\begin{math} A = \frac{1}{3} \end{math}

\begin{math} z(x) = C_1 + C_2 \cdot e^{3x} + \frac{1}{3} x e^{3x} \end{math} \end{center}

A nyní už jen zbývá dopočítat zbylé řešení. Protože je to ale už ten předešlý případ, nechám dopočítání na Vás samotných. Celkové řešení rovnice je:

\begin{displaymath} y(x) = 3x^2 + 2x + \frac{1}{3} x e^{3x} + C_1 + C_2 e^{3x} \end{displaymath}

\subsection{ Rovnice tvaru $L (y) = e^{ax} \big\{ P_1 (x) \cos bx + P_2 (x) \sin bx \big\} $}

Předpoklad: $a + ib \ldots$ k-násobný kořen $F( \lambda )$ Hledáme řešení ve tvaru: $z(x) = x^k e^{ax} \big\{ Q_1 (x) \cos bx + Q_2 (x) \sin bx \big\} $, kde $Q_1, Q_2$ jsou polynomy stejného stupně rovnému maximu stupňů polynomů $P_1, P_2$.

\subsubsection*{Příklad č.1}

Řešte:

\begin{displaymath} y`` - y = 2 \sin x - 4 \cos x \end{displaymath}

Tedy víme, že: $y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$. Dále víme: $a=0, b=1$. Budeme tedy hledat řešení:

\begin{center} \begin{math} z(x) = A \cos x + A \sin x \end{math}

\begin{math} z`` (x) = -A \cos x - B \sin x \end{math}

\begin{math} -2A \cos x - 2B \sin x = 2 \sin x - 4 \cos x \end{math} \end{center}

tedy víme: $A = 2, B = -1$. Můžu rovnou zapsat řešení jako:

\begin{displaymath} y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + 2 \cos x - \sin x \end{displaymath}

\subsubsection*{Příklad č.2}

Řešte:

\begin{displaymath} y`` + y = 4x \cos x \end{displaymath}

Dovolím si rovnou napsat fundamentální systém (ověřte): $ \big\{ e^{ix}, e^{-ix} \big\} $. Když víme, že: $e^{ix} = \cos x + i \sin x $, můžeme rovněž zapsat:

\begin{center} \begin{math} Re \big( e^{ix} \big) = \cos x \end{math}

\begin{math} Im \big( e^{ix} \big) = \sin x \end{math} \end{center}

Můžu tedy sestavit reálný fundamentální systém: $ \big\{ \cos x ; \sin x \big\} $. Dále víme, že $a = 0, b = 1$, takže budu hledat:

\begin{center} \begin{math} z(x) = x \Big\{ \big( A_1x + B_1 \big) \sin x + \big( A_2 x + B_2 \big) \cos x \Big\} \end{math} \end{center}

Dopočítání nechám na Vás samotných. Vyjde to: $ z(x) = x \big( x \sin x + \cos x \big) $. Tedy celkové řešení je:

\begin{displaymath} y(x) = x \big( x \sin x + \cos x \big) + C_1 \cos x + C_2 \sin x \end{displaymath}