01DIFRcviceni:Kapitola10: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: \section{Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty} \subsection*{Zamyslete se:} Jaký tvar mají LDR n-tého řádu s konstantními ko…)
 
Řádka 185: Řádka 185:
 
1 + \frac{ K_1 \sin x}{x} + \frac{ K_2 \cos x }{x}
 
1 + \frac{ K_1 \sin x}{x} + \frac{ K_2 \cos x }{x}
 
\end{displaymath}
 
\end{displaymath}
 +
 +
% následující řádky upravují pouze zobrazení stránky na wiki a na obsah dokumentu nemají vliv - prosím neměnit !
 +
%\parentlatexfile{01DIFRcviceni} ........................................... odkaz na hlavní dokument
 +
%\usewikiobsah{01DIFRcviceni:Obsah} ............................................ vložení odkazu na Obsah, aby bylo možné se v dokumentu orientovat
 +
%\parentlatexpreamble{01DIFRcviceni:Preamble} .................................. odkaz na hlavičkovou stránku dokumentu, jehož vložení umožní překlad částečného pdf, tj. pdf, které vznikne pouze z této stránky

Verze z 10. 4. 2010, 11:08

\section{Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty}

\subsection*{Zamyslete se:}

Jaký tvar mají LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty? \\ Jak se řeší? \\ Co je to fundamentální systém? \\ Jak je to s linearitou řešení? \\ Jak se dá převést LDR n-tého řádu na systém LDR I.řádu? \\ Jak se sestavuje a jaký je význam a smysl charakteristického polynomu? \\ Co víme o jednoznačnosti řešení?

\begin{displaymath} tvar: L \big( y \big) = a_0 y^{( n ) } + a_1 y^{ ( n-1 ) } + \ldots + a_n y = q \big( x \big) \end{displaymath}

\subsection*{Příklad č.1}

Řešte:

\begin{displaymath} y`` - 2y` + y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x^3} \end{displaymath}

Tohle je LDR druhého řádu s konstantními koeficienty. Ze znalosti z přednášky můžeme sestavit charakteristický polynom.

\begin{center} \begin{math} \lambda ^2 - 2 \lambda + 1 = 0 \end{math}

\begin{math} \big( \lambda - 1 \big) ^2 = 0 \end{math} \end{center}

Tedy můžeme rovnou sestavit fundamentální systém řešení. Je to: $ \big\{ e^x; x \cdot e^x \big\}$.

Libovolné řešení LDR bez pravé strany je tedy možno zapsat:

\begin{displaymath} y = C_1 \cdot e^x + C_2 x \cdot e^x \end{displaymath}

Teď je třeba zjistit řešení s pravou stranou. Jak z přednášky víme, budeme sestavovat z derivací řešení další dvě rovnice.

\begin{displaymath} y` \big( x \big) = C_1` \cdot e^x + C_1 e^x + C_2` \cdot x e^x + C_2 e^x + C2_x \cdot e^x \end{displaymath}

První rovnici sestavíme z toho, že požadujeme: $C_1` e^x + C_2` \cdot xe^x = 0$. Teď ještě zjistíme druhou derivaci $y``$.

\begin{displaymath} y`` \big( x \big) = \Big( C_1 + \big( 2 + x \big) \cdot C_2 + C_2` \Big) \cdot e^x \end{displaymath}

To dosadíme do původní LDR a máme:

\begin{displaymath} \Big( C_1 + C_2` + \big( 2 + x \big) \cdot C_2 \Big) e^x - 2 \Big( C_1 + \big( 1 + x \big) \cdot C_2 \Big) e^x + \big( C_1 + C_2 x \big) e^x = \frac{ x^2 + 2x + 2 }{x^3} \end{displaymath}

což se zjednoduší a tím dostáváme rovnou druhou rovnost: $ C_2` = e^{-x} \big( \frac{x^2 + 2x + 2}{x^3} \big)$. Z toho rovnou plyne, že: $C_1` = - \frac{ x^2 + 2x + 2}{x^2} \cdot e^{-x} $. Pokud máme řešení v tomto tvaru, stačí už jen zintegrovat, což doporučuji za samostatný úkol:

\begin{displaymath} C_1 = - \int \big( 1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2} \big) e^{-x} dx + K_1 = \ldots per{ }partes \ldots = e^{-x} + \frac{2}{x} e^{-x} + K_1 \end{displaymath}

Jen trochu snad pomůžu s tím integrálem, je třeba si napsat asi ty zlomky oba dva pod sebe, ono se tam objeví něco, co se potom odečte. :-)

Stejným způsobem musíme dopočítat další konstantu $C_2$.

\begin{displaymath} C_2 = \int \frac{1}{x} e^{-x} dx + 2 \int \frac{1}{x^2} e^{-x} dx + 2 \int \frac{1}{x^3} e^{-x} dx + K_2 = \ldots = - \frac{1}{x} e^{-x} - \frac{1}{x^2} e^{-x} + K_2 \end{displaymath}

Už stačí jen doplnit do celkového řešení:

\begin{displaymath} y = C_1 \cdot e^x + C_2 x \cdot e^x = \ldots = \frac{1}{x} + \big( K_1 + K_2 x \big) e^x \end{displaymath}

\subsection*{Příklad č.2}

Řešte:

\begin{displaymath} x \cdot y`` + 2 y` + x.y = x \end{displaymath}

víte-li, že fundamentální systém je tvořen: $ \big\{ \frac{ \sin x}{x} , \frac{ \cos x}{x} \big\} = \big\{ \varphi _1 (x), \varphi _2 (x) \big\} $. Při této znalosti už můžeme v podstatě přímo vyjádřit a zapsat do rovnice:

\begin{center} \begin{math} y (x) = C_1 \cdot \varphi _1 (x) + C_2 \cdot \varphi _2 (x) \end{math}

\begin{math} y` (x) = C_1` \varphi _1 (x) + C_1 \varphi _1` (x) + C_2` \varphi _2 (x) + C_2 \varphi `_2 (x) \end{math} \end{center}

A tedy můžu rovnou zapsat první rovnost: $C_1` \varphi _1 (x) + C_2` \varphi _2 (x) = 0$. A dále:

\begin{center} \begin{math} y`` (x) = C_1` \varphi _1` (x) + C_1 \varphi _1`` (x) + C_2` \varphi _2` (x) + C_2 \varphi _2`` (x) \end{math}

\begin{math} x \cdot \big( C_1` \varphi _1` (x) + C_1 \varphi _1`` (x) + C_2` \varphi _2` (x) + C_2 \varphi _2`` (x) \big) + 2 \big( C_1 \varphi _1` + C_2 \varphi _2` \big) + x \cdot \big( C_1 \varphi _1 + C_2 \varphi _2 \big) = x \end{math}

\begin{math} C_1 \underbrace{ \big( x \varphi _1`` (x) + 2 \varphi _1` (x) + x \varphi _1 (x) \big) }_{=0} + \underbrace{ C_2 \big( x \varphi _2`` (x) + 2 \varphi _2` (x) + x \varphi _2 (x) \big) }_{=0} + x C_1` \varphi _1` (x) + x \cdot C_2` \varphi _2` (x) = x \end{math} \end{center}

Proč jsou závorky za konstantami $C_1, C_2$ rovny nule? Stačí se podívat na zadání rovnice, je to přece řešení rovnice bez pravé strany. Výrazy v závorkách mají přesně ten stejný tvar.

Nyní si můžeme konečně vyjádřit čemu se rovnají různé derivace $\varphi _1` ; \varphi _2`$.

\begin{center} \begin{math} \varphi _1` = \frac{ x \cdot \cos x - \sin x }{ x^2} \end{math}

\begin{math} \varphi _2` = \frac{ -x \sin x - \cos x }{x^2} \end{math} \end{center}

Mohu tedy poslední rovnost vyjádřit přesně a rovnou utvořit soustavu:

\begin{center} \begin{math} C_1` \frac{ \sin x }{x} + C_2` \frac{ \cos x }{x} = 0 \end{math}

\begin{math} C_1` \big( x \cos x - \sin x \big) - C_2` \big( x \sin x + \cos x \big) = x^2 \end{math} \end{center}


čímž dospějeme k tomuto:

\begin{center} \begin{math} C_1` = x \cdot \cos x \end{math}

\begin{math} C_2` = -x \cdot \sin x \end{math} \end{center}

Zkuste si dosadit,že funguje. Prostým zintegrováním získáme:

\begin{center} \begin{math} C_1 = x \cdot \sin x + \cos x + K_1 \end{math}

\begin{math} C_2 = x \cdot \cos x - \sin x + K_2 \end{math} \end{center}

a nyní stačí už jen do výsledku dosadit:

\begin{displaymath} y(x) = \big( x \sin x + \cos x + K_1 \big) \frac{ \sin x }{x} + \big( x \cos x - \sin x + K_2 \big) \frac{ \cos x }{x} = 1 + \frac{ K_1 \sin x}{x} + \frac{ K_2 \cos x }{x} \end{displaymath}

% následující řádky upravují pouze zobrazení stránky na wiki a na obsah dokumentu nemají vliv - prosím neměnit ! %\parentlatexfile{01DIFRcviceni} ........................................... odkaz na hlavní dokument %\usewikiobsah{01DIFRcviceni:Obsah} ............................................ vložení odkazu na Obsah, aby bylo možné se v dokumentu orientovat %\parentlatexpreamble{01DIFRcviceni:Preamble} .................................. odkaz na hlavičkovou stránku dokumentu, jehož vložení umožní překlad částečného pdf, tj. pdf, které vznikne pouze z této stránky