01DIFRcviceni:Kapitola7

PDF	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Přeložení pouze této kaptioly.
ZIP			Kompletní zdrojový kód včetně obrázků.

---

Součásti dokumentu 01DIFRcviceni

součást	akce		popis	poslední editace			soubor
Hlavní dokument	editovat	Hlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceni		Admin	13. 2. 2011	19:47
Řídící stránka	editovat	Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků		Admin	7. 9. 2015	13:45
Header	editovat	Hlavičkový soubor		Admin	1. 8. 2010	01:34	header.tex
Kapitola1	editovat			Admin	13. 2. 2011	19:33	kapitola1.tex
Kapitola2	editovat			Admin	13. 2. 2011	19:35	kapitola2.tex
Kapitola3	editovat			Admin	13. 2. 2011	19:37	kapitola3.tex
Kapitola4	editovat			Admin	13. 2. 2011	19:37	kapitola4.tex
Kapitola5	editovat			Kubuondr	16. 4. 2017	09:39	kapitola5.tex
Kapitola6	editovat			Kubuondr	16. 4. 2017	09:31	kapitola6.tex
Kapitola7	editovat			Admin	13. 2. 2011	19:39	kapitola7.tex
Kapitola8	editovat			Kubuondr	16. 4. 2017	09:16	kapitola8.tex
Kapitola9	editovat			Admin	13. 2. 2011	19:45	kapitola9.tex
Kapitola10	editovat			Admin	13. 2. 2011	19:43	kapitola10.tex
Kapitola11	editovat			Admin	13. 2. 2011	19:41	kapitola11.tex
Kapitola12	editovat			Admin	13. 2. 2011	19:41	kapitola12.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Bernoulliho rovnice}
 
\subsection*{Zamyslete se:}
 
Jaký tvar má Bernoulliho rovnice a jakým způsobem se řeší? \\
co víme o otázce jednoznačnosti řešení?
 
\begin{displaymath}
tvar: y^\prime + p \big( x \big) \cdot y = q \big( x \big) \cdot y^{ \alpha }
\end{displaymath}
 
\subsection*{Příklad č.1}
 
Řešte:
 
\begin{displaymath}
y^\prime + 4xy = 2x \cdot e^{-x^2} \cdot \sqrt{y}
\end{displaymath}
 
Můžeme hned v podstatě říci, že $y=0$ je určitě řešením. K zjištění dalších řešení musíme provést operaci známou z přednášky:
 
\begin{displaymath}
\frac{y^\prime }{ \sqrt{y} } + 4x \cdot \sqrt{y} = 2x \cdot e^{-x^2}
\end{displaymath}
 
Takže nyní jen zvolíme známou substituci:
 
\begin{center}
\begin{math}
\sqrt{y} = z
\end{math}
 
\begin{math}
\frac{ y^\prime }{ 2 \sqrt{y} } = z^\prime
\end{math}
\end{center}
 
takže nám po dosazení vyjde rovnice:
 
\begin{displaymath}
z^\prime + 2x \cdot z = x e^{-x^2}
\end{displaymath}
 
což je ale naprosto stejná rovnice, jakou jsme počítali v kapitole LDR, můžu tedy rovnou zapsat řešení:
 
\begin{displaymath}
z = \big( C + \frac{1}{2} x^2 \big) \cdot e^{-x^2}
\end{displaymath}
 
tedy:
 
\begin{displaymath}
y = \big( C + \frac{1}{2} x^2 \big) ^2 \cdot e^{-2x^2}
\end{displaymath}