Součásti dokumentu 01DIFRcviceni
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Homogenní diferenciální rovnice}
\subsection*{Zamyslete se:}
Jaký je tvar homogenní diferenciální rovnice? \\
Jaká substituce vede k řešení? \\
Jak je to s otázkou jednoznačnosti?
\begin{displaymath}
tvar: P(x,y) + Q(x,y) \cdot y^\prime = 0
\end{displaymath}
kde P,Q jsou homogenní funkce stejného stupně.
\subsection*{Příklad č.1}
Řešte:
\begin{displaymath}
x^2 \cdot y^\prime = x \cdot y + y^2 \cdot e^{ - \frac{x}{y} }
\end{displaymath}
Podle znalostí z přednášky použiji substituci: $y = x \cdot u$, tedy $ y^\prime = u + x \cdot u^\prime$. Provedu dosazení do rovnice
a dostávám:
\begin{displaymath}
x^2 \big( u + u^\prime \cdot x \big) = x^2 \cdot u + x^2 \cdot u^2 \cdot e^{ - \frac{1}{u} }
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
u^\prime \cdot x^3 = x^2 u^2 \cdot e^{ - \frac{1}{u} } \ldots x \neq 0;
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\frac{ e^{ \frac{1}{u} } \cdot u^\prime }{ u^2 } = \frac{1}{x}
\end{displaymath}
čímž jsme dostali tvar, který už ale známe. V rámci procvičení nechám dopočítání na Vás. Jedná se o rovnici separovanou.
\subsection*{Příklad č.2}
Řešte:
\begin{displaymath}
|y^\prime \cdot x - y | = \sqrt{ x^2 + \big( y^\prime \cdot x \big) ^2 }
\end{displaymath}
Budu tedy postupovat:
\begin{displaymath}
\big( y^\prime \cdot x - y \big) ^2 = x^2 + \big( y^\prime \cdot x \big) ^2
\end{displaymath}
\begin{center}
\begin{math}
\big( y^\prime \cdot x \big) ^2 - 2 x^2 \cdot y^\prime + y^2 = x^2 + \big( y^\prime \cdot x \big) ^2
\end{math}
\end{center}
použiji substituci: $y = x \cdot u$, $ y^\prime = u + x \cdot u^\prime$ po které dostávám:
\begin{center}
\begin{math}
\big( x \cdot u \big) ^2 - 2 x^2 \cdot u \cdot \big( u + x \cdot u^\prime \big) - x^2 = 0
\end{math}
\begin{math}
u^2 - 2 u^2 - 2x \cdot u \cdot u^\prime - 1 = 0
\end{math}
\begin{math}
2xu \cdot u^\prime + u^2 - 1 = 0
\end{math}
\begin{math}
2xu \cdot u^\prime = 1 + u^2
\end{math}
\end{center}
což můžu upravit na nám známý tvar:
\begin{displaymath}
\frac{ 2u \cdot u^\prime }{ 1 + u^2 } = \frac{1}{x}
\end{displaymath}
a dále to nechám na Vaší píli.
\subsection*{Příklad č.3}
Řešte:
\begin{displaymath}
\sqrt{ x^2 + \big( y^\prime \cdot x \big) ^2 } = \sqrt{ x^2 + y^2 }
\end{displaymath}
Jen naznačím jak by se postupovalo:
\begin{center}
\begin{math}
y^\prime \cdot x = y
\end{math}
\begin{math}
y^\prime \cdot x = -y
\end{math}
\end{center}
je třeba vyřešit oba případy!
\subsection*{Příklad č.4}
Řešte:
\begin{displaymath}
| y - y^\prime \cdot x | = \sqrt{ x^2 + y^2 }
\end{displaymath}
Nechám na samostatné přípravě.
\subsection*{Příklad č.5}
Řešte (sami):
\begin{displaymath}
y^\prime = \frac{ x - y }{ x - 2y }
\end{displaymath}
