Součásti dokumentu 01DIFRcviceni
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Rovnice separovatelné}
\subsection*{Zamyslete se:}
Jaký tvar má rovnice separovatelná a jak se řeší? \\
Za jakých podmínek můžeme řešit rovnici separovatelnou? \\
Jaké jsou okrajové řešení?
\begin{displaymath}
tvar: P_1 \left( x \right) \cdot Q_2 \left( y \right) + P_2 \left( x \right) \cdot Q_1 \left( y \right) \cdot y^\prime = 0
\end{displaymath}
\subsection*{Příklad č.1}
Řešte:
\begin{displaymath}
x \cdot y^\prime - k \cdot y = 0, \ldots k \in R
\end{displaymath}
Provedeme tedy ze znalosti z přednášky dělení rovnice $x$ i $y$, přičemž oba krajní případy musíme
později zvláště dořešit.
\begin{displaymath}
\frac{ y^\prime }{ y } - \frac{ k }{ x } = 0; / x,y \neq 0
\end{displaymath}
Jako jsme do dělali u rovnic separovatelných, převedeme na integrální rovnici:
\begin{displaymath}
\ln |y| - k \ln |x| = C
\end{displaymath}
Přičemž je třeba dodat, že $y =0$ je řešením na celém R.
\begin{displaymath}
|y| \cdot x^{-k} = C
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
|y| = C \cdot |x|^k \ldots C > 0
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
y = A \cdot |x|^k \ldots A \in R
\end{displaymath}
Dále je třeba prodiskutovat jak vypadají integrální křivky pro případy $k=0$, $0<k<1$, $k=1$, $k>1$, $k<0$.
Nakreslete příslušné integrální křivky.
\subsection*{Příklad č.2}
Řešte:
\begin{displaymath}
y^\prime = \frac{ \sin y }{ \sin x }
\end{displaymath}
Postupovat budu takto:
\begin{center}
\begin{math}
\frac{ y^\prime }{ \sin y } = \frac{1}{ \sin x } \ldots x,y \neq k \pi; k \in Z
\end{math}
\end{center}
Je třeba přidat, že $y = k \pi$ je řešením na celém R.
\begin{displaymath}
\int \frac{dy}{ \sin y } = \int \frac{dx}{ \sin x } + K
\end{displaymath}
Podle přednášky teď upravíme:
\begin{displaymath}
\int \frac{dy}{ \sin 2 \cdot \frac{y}{2} } = \int \frac{dy}{ 2 \sin \frac{y}{2} \cos \frac{y}{2} } =
\int \frac{1}{ \cos ^2 \frac{y}{2} } \cdot \frac{dy}{ \tan \frac{y}{2} } = \ln \tan \big( \frac{x}{2} + \frac{ \pi }{4} \big)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\ln | \tan \frac{y}{2} | = \ln | \tan \frac{x}{2} | + \ln C
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
| \tan \frac{y}{2} | = C \cdot | \tan \frac{x}{2} |
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\tan \frac{y}{2} = C \cdot \tan \frac{x}{2}
\end{displaymath}
Řešením tedy je:
\begin{displaymath}
y = 2 \cdot \arctan \big( C \tan \frac{x}{2} \big)
\end{displaymath}
Pokuste se nakreslit integrální křivky.
\subsection*{Příklad č.3}
Hledejme rovnici pro $y$, které by splňovalo následující dvě podmínky: a) $y \geq 0$, b) $ \int_{0}^{x} y
\big( t \big) dt = \frac{1}{3} x \cdot y $
Při řešení začneme nejdřív s podmínkou b), provedeme $\frac{d}{dx}$ s celou rovnicí -
\begin{displaymath}
y = \frac{1}{3} y + \frac{1}{3} x \cdot y^\prime
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
2y = x \cdot y^\prime
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\frac{ y^\prime }{2y} = \frac{1}{x}; \ldots x \neq 0, y \neq 0
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\frac{1}{2} \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} + C
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\frac{1}{2} \cdot \ln |y| = \ln |x| + ln A
\end{displaymath}
Řešením tedy je:
\begin{displaymath}
y = A^2 \cdot x^2
\end{displaymath}
čímž je zaručena i kladnost výsledku.
