Součásti dokumentu 01DIFRcviceni
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Několik receptů jak hádat řešení LDR n-tého řádu}
Jak z přednášky víme, řešení těchto rovnic je součtem jednoho konkrétního řešení (partikulárního řešení) a dalšího libovolného řešení rce bez
pravé strany. Za jistých okolností ( v závislosti na tvaru rovnice a pravé strany ) se dá ale toto řešení docela snadno uhodnout.
Nyní si ukážeme tři nejzákladnější, z nichž poslední v sobě zahrnuje dva předešlé.
\subsection{Rovnice tvaru $L (y) = P (x)$}
Požadavek: 0 \ldots k-násobný kořen polynomu P(x).
Řešení budeme hledat ve tvaru: $z(x) = x^k \cdot Q(x)$ kde Q(x) je polynom nejvýše stupně polynomu P(x).
\subsubsection*{Příklad č.1}
Řešte:
\begin{displaymath}
y^{\prime\prime} - y = x^2 - x + 1
\end{displaymath}
Tedy charakteristický polynom je: $\lambda ^2 - 1 = 0$. Proto můžu rovnou psát obecné řešení bez pravé strany jako:
\begin{displaymath}
y(x) = C_1 \cdot e^x + C_2 \cdot e^{-x}
\end{displaymath}
Podle kuchařky teď budeme tedy hledat polynom druhého stupně. Nula je nulanásobný kořen ( :-) ) polynomu P(x), takže
$x^0 = 1$ se v rovnici nevyskytuje. Hledaný polnynom má obecný předpis tento: $ z(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c \Longrightarrow
z^{\prime\prime} (x) = 2a$. Dosadíme do rovnice:
\begin{center}
\begin{math}
z^{\prime\prime} - z = x^2 - x + 1
\end{math}
\begin{math}
2a - a \cdot x^2 - b \cdot x - c = x^2 - x + 1
\end{math}
\end{center}
Prostým porovnáním koeficientů zjišťujeme, že $a =-1; b = 1; c = -3$. Partikulární řešení tedy je: $z (x) = -x^2 + x -3$.
Celkovým výsledkem tedy je:
\begin{displaymath}
y (x) = -x^2 + x - 3 + C_1 \cdot e^x + C_2 \cdot e^{-x}
\end{displaymath}
\subsubsection*{Příklad č.2}
Řešte:
\begin{displaymath}
y^{\prime\prime} - 4y^\prime = - 12 x^2 + 6x - 4
\end{displaymath}
Charakteristický polynom tedy je: $\lambda ^2 - 4 \lambda = 0$. Tedy nula je jednonásobný kořen. Obecné řešení
rce bez pravé strany je: $ y (x) = C_1 + C_2 \cdot e^4x$. Budu hledat partikulární řešení ve tvaru:
\begin{center}
\begin{math}
z(x) = x \big( a \cdot x^2 + b \cdot x + c \big)
\end{math}
\begin{math}
z^\prime (x) = 3a \cdot x^2 + 2b \cdot x + c
\end{math}
\begin{math}
z^{\prime\prime} (x) = 6a \cdot x + 2b
\end{math}
dosadím:
\begin{math}
6a \cdot x + 2b - 12 a \cdot x^2 - 8b -4c = -12x^2 + 6x -4
\end{math}
\end{center}
a opět porovnáním členů před mocninami x dostávám řešení:
\begin{displaymath}
y(x) = C_1 + C_2 \cdot e^{4x} + x^3 + x
\end{displaymath}
\subsection{Rovnice tvaru $L (y) = e^{ax} \cdot P (x)$}
Nechť a \ldots k-násobný kořen charakteristického polynomu. Pak hledáme řešení ve tvaru: $z(x) = x^k \cdot e^{ax} \cdot Q(x)$
\subsubsection*{Příklad č.1}
Řešte:
\begin{displaymath}
y^{\prime\prime} - 2y^\prime + y = 4 e^x
\end{displaymath}
Stestavím char. polynom: $ \lambda ^2 - 2 \lambda + 1 = 0$, tedy $ \big( \lambda - 1 \big) ^2 = 0$. Kořenem je pouze
$\lambda = 1$, jedná se o dvojnásobný kořen. Tedy řešení rce bez pravé strany je: $y(x) = C_1 \cdot e^x + C_2 x \cdot e^x $.
Budu hledat řešení tvaru: $z(x) = x^2 A e^x$.
\begin{center}
\begin{math}
z^\prime(x) = 2x A e^x + x^2 A e^x
\end{math}
\begin{math}
z^{\prime\prime}(x) = A \Big( e^x \big( 2 + 2x \big) + e^x \big( 2x + x^2 \big) \Big) = A e^x \big( 2 + 4x + x^2 \big)
\end{math}
\begin{math}
A e^x \big( x^2 + 4x +2 \big) - 2A e^x \big( x^2 + 2x \big) + x^2Ae^x = 4e^x
\end{math}
\begin{math}
b = 2
\end{math}
\end{center}
Řešením tedy je:
\begin{displaymath}
y(x) = C_1 e^x + C_2 x e^x + 2x^2 e^x
\end{displaymath}
\subsubsection*{Příklad č.2}
Řešte:
\begin{displaymath}
y^{\prime\prime} - 3y^\prime = e^{3x} - 18x
\end{displaymath}
Tento příklad je trochu komplikovanější. Na pravé straně rovnice máme dva členy. Ale z přednášky víme, že bude stačit
sečíst obě řešení jednotlivých případů. Začneme klasicky a prvně se mrkneme na exponencielu:
\begin{center}
\begin{math}
F( \lambda ) : \lambda ^2 - 3 \lambda = 0 \Longrightarrow \lambda _1 = 0; \lambda _2 = 3
\end{math}
\begin{math}
y(x) = C_1 + C_2 e^{3x}
\end{math}
\begin{math}
z(x) = Ax e^{3x}
\end{math}
\begin{math}
z^\prime (x) = A e^{3x} \big( 1 + 3x \big)
\end{math}
\begin{math}
z^{\prime\prime} = 3A e^{3x} \big( 2 + 3x \big)
\end{math}
dosadím:
\begin{math}
3Ae^{3x} \big( 2 + 3x \big) - 3 A e^{3x} \big( 1 + 3x \big) = e^3x
\end{math}
\begin{math}
A = \frac{1}{3}
\end{math}
\begin{math}
z(x) = C_1 + C_2 \cdot e^{3x} + \frac{1}{3} x e^{3x}
\end{math}
\end{center}
A nyní už jen zbývá dopočítat zbylé řešení. Protože je to ale už ten předešlý případ, nechám dopočítání na Vás samotných.
Celkové řešení rovnice je:
\begin{displaymath}
y(x) = 3x^2 + 2x + \frac{1}{3} x e^{3x} + C_1 + C_2 e^{3x}
\end{displaymath}
\subsection{ Rovnice tvaru $L (y) = e^{ax} \big\{ P_1 (x) \cos bx + P_2 (x) \sin bx \big\} $}
Předpoklad: $a + ib \ldots$ k-násobný kořen $F( \lambda )$ Hledáme řešení ve tvaru: $z(x) = x^k e^{ax}
\big\{ Q_1 (x) \cos bx + Q_2 (x) \sin bx \big\} $, kde $Q_1, Q_2$ jsou polynomy stejného stupně rovnému maximu
stupňů polynomů $P_1, P_2$.
\subsubsection*{Příklad č.1}
Řešte:
\begin{displaymath}
y^{\prime\prime} - y = 2 \sin x - 4 \cos x
\end{displaymath}
Tedy víme, že: $y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$. Dále víme: $a=0, b=1$. Budeme tedy hledat řešení:
\begin{center}
\begin{math}
z(x) = A \cos x + A \sin x
\end{math}
\begin{math}
z^{\prime\prime} (x) = -A \cos x - B \sin x
\end{math}
\begin{math}
-2A \cos x - 2B \sin x = 2 \sin x - 4 \cos x
\end{math}
\end{center}
tedy víme: $A = 2, B = -1$. Můžu rovnou zapsat řešení jako:
\begin{displaymath}
y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + 2 \cos x - \sin x
\end{displaymath}
\subsubsection*{Příklad č.2}
Řešte:
\begin{displaymath}
y^{\prime\prime} + y = 4x \cos x
\end{displaymath}
Dovolím si rovnou napsat fundamentální systém (ověřte): $ \big\{ e^{ix}, e^{-ix} \big\} $. Když víme, že: $e^{ix} =
\cos x + i \sin x $, můžeme rovněž zapsat:
\begin{center}
\begin{math}
Re \big( e^{ix} \big) = \cos x
\end{math}
\begin{math}
Im \big( e^{ix} \big) = \sin x
\end{math}
\end{center}
Můžu tedy sestavit reálný fundamentální systém: $ \big\{ \cos x ; \sin x \big\} $. Dále víme, že $a = 0, b = 1$, takže
budu hledat:
\begin{center}
\begin{math}
z(x) = x \Big\{ \big( A_1x + B_1 \big) \sin x + \big( A_2 x + B_2 \big) \cos x \Big\}
\end{math}
\end{center}
Dopočítání nechám na Vás samotných. Vyjde to: $ z(x) = x \big( x \sin x + \cos x \big) $. Tedy celkové řešení je:
\begin{displaymath}
y(x) = x \big( x \sin x + \cos x \big) + C_1 \cos x + C_2 \sin x
\end{displaymath}
