Součásti dokumentu 01DIFRcviceni
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Rovnice se separovanými proměnnými}
\subsection*{Zamyslete se:}
Jaký je tvar rovnice se separovanými proměnnými? \\
Do jaké podoby se převádí řešení rovnice se separovanými proměnnými? \\
Co musí splňovat P(x), Q(y)?\\
Kdy jedním bodem prochází právě jedna integrální křivka?
\begin{displaymath}
tvar: P \left( x \right) + Q \left( y \right) \cdot y^\prime = 0
\end{displaymath}
\subsection*{Příklad č.1}
Řešte:
\begin{displaymath}
\underbrace{x}_{ P \big( x \big) } + \underbrace{ \big( y+1 \big) }_{ Q \big( y \big) } \cdot y^\prime = 0
\end{displaymath}
Řešení provedeme přímo podle návodu:
\begin{displaymath}
x + (y+1) \cdot y^\prime = 0 \Longleftrightarrow \int x dx + \int \left( y + 1 \right) dy = C
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\frac{x^2}{2} + \frac{ \left( y + 1 \right)^2 }{2} = C \ldots C \ge 0
\end{displaymath}
Řešením jsou tedy kružnice se středem v bodě $ [0;-1] $ bez bodů průniku kružnic s přímkou danou rovnicí
$y = -1$, protože v těchto bodech nemá Q(y) derivaci. Navíc ještě je třeba dodat, že aby mělo řešení smysl,
musí být $ C \ge 0 $ .
\subsection*{Příklad č.2}
Řešte:
\begin{displaymath}
y^\prime = \frac{ | x \cdot y | }{ x \cdot y }
\end{displaymath}
Řešení je potřeba provést pro všechny čtyři kvadranty jednotlivě, proto provedu řešení pouze pro
I. a II. kvadrant. Další můžete provést jako cvičení.
\subsubsection*{I.kvadrant}
Pokud si uvědomíme: $ x > 0; y > 0$, pak diferenciální rovnice pro první kvadrant vypadá:
\begin{displaymath}
y^\prime=1
\end{displaymath}
Takže rovnou mohu psát řešení: $ y = x + C $, kde $ C>0, x>0 \ldots x \in \left( 0, + \infty \right)$ a nebo
$ C<0 \ldots x \in \left( C, + \infty \right) $
\subsubsection*{II.kvadrant}
$ x < 0; y > 0$, diferenciální rovnice má tvar:
\begin{displaymath}
y^\prime= - 1
\end{displaymath}
Rovnou napíšu:
\begin{displaymath}
y= - x + C
\end{displaymath}
a řešení je: $ C >0 \ldots x \in \left( - \infty , 0 \right)$, $ C<0 \ldots x \in \left( - \infty , C \right) $.
Další příklady uvedu pouze v zadání, neboť by se u nich postupovalo naprosto analogicky.
\subsection*{Příklad č.3}
Řešte:
\begin{displaymath}
y^\prime = \frac{ x - y }{ | x - y | }
\end{displaymath}
Pozn: Řešení se rozpadá na dva případy, které od sebe dělí osa I. a III. kvadrantu.
\subsection*{Příklad č.4}
Řešte \uv{nad osou x}:
\begin{displaymath}
y^\prime = - \frac{ x + |x| }{ y + |y| }
\end{displaymath}
