Součásti dokumentu 01DIFR
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFR}
\section{Věty o~existenci, jednoznačnosti a vlastnostech řešení rovnice tvaru $y'=f(x,y)$}
\begin{define}
Nechť $M$ je množina nekonečně mnoha funkcí definovaných na omezeném
intervalu $\I\subset\R$. Pak
\begin{enumerate}
\item řekneme, že funkce z~$M$ jsou stejně omezené na intervalu $\I$,
právě když existuje reálné číslo $K$ tak, že $\abs{f(x)}\le K$ pro
libovolnou funkci $f\in M$ a libovolné $x\in\I$.
\index{stejná omezenost}
\item Řekneme, že funkce z~$M$ jsou stejně spojité na $\I$, právě když
ke každému $\epsilon\,>\,0$ existuje $\delta>0$ tak, že pro všechny
dvojice $x_1,x_2\in\I$ splňující nerovnost $\abs{x_1-x_2}<\delta$ a
pro všechny $f\in M$ platí, že $\abs{f(x_1)-f(x_2)}<\epsilon$.
\index{stejná spojitost}
\end{enumerate}
\end{define}
% důkaz není korektní!!
\begin{figure}[h]
\input{arzela}
\caption{K~důkazu Arzelovy věty}\label{o_arzela}
\end{figure}
\index{věta, Arzelova}
\begin{theorem}[Arzela]
\label{arzela}
Nechť $M$ je množina nekonečně mnoha funkcí definovaných na omezeném
intervalu $\I\subset\R$, které jsou na $\I$ stejně omezené a stejně
spojité. Pak z~každé (obecně nekonvergetní) posloupnosti $g_n$ funkcí z~$M$ lze vybrat
posloupnost, která je na $\I$ stejnoměrně konvergentní.
\begin{proof}
%TODO
\noqed
\end{proof}
\vspace*{8cm}
\qed
\end{theorem}
\subsection{Eulerova lomená čára}
\index{Eulerova lomená čára}
\begin{define}
Nechť je dána diferenciální rovnice $y'=f(x,y)$, kde definičním oborem
funkce $f$ je oblast $G$. Zvolme $[x_0,y_0]\in G$. Eulerova lomená
čára příslušná k~$[x_0,y_0]$ je každá křivka zkonstruovaná takto:
\end{define}
\begin{figure}
\input{euler}
\caption{Konstrukce Eulerovy lomené čáry}
\label{o_euler}
\end{figure}
\index{věta, Peanova}
\begin{theorem}[Peano]
\label{peano}
Nechť funkce $f(x,y)$ je spojitá na oblasti $G\subset\R^2$, pak každým
bodem $[x_0,y_0]\in G$ prochází %právě jedna - to se tam nedokázalo
integrální křivka rovnice
$y'=f(x,y)$ (tj. existuje alespoň jedno řešení rovnice $y'=f(x,y)$
splňující podmínku $y(x_0)=y_0$).
\begin{proof}
\begin{figure}
\input{peano1}
\caption{K~důkazu Peanovy věty}
\label{o_peano1}
\end{figure}
\begin{figure}
\input{peano2}
\caption{K~důkazu Peanovy věty}
\label{o_peano2}
\end{figure}
\begin{figure}
\input{peano3}
\caption{K~důkazu Peanovy věty}
\label{o_peano3}
\end{figure}
Kolem bodu $[x_0,y_0]$ zkonstruujeme obdélník $G_1$. Protože $f$ je
spojitá, existuje takové $K$, že pro každý bod $[x,y]\in G$ je
$\abs{f(x,y)}<K$. Buď $M$ množina všech Eulerových lomených čar $\phi_\alpha$
příslušných k~$[x_0,y_0]$. Grafy všech těchto čar pak leží
v~trojúhelnících $ABC$ a $ADE$ (viz obr. \ref{o_peano1}). Na intervalu
$(a,b)$ jsou funkce $\phi_\alpha\in M$ stejně omezené a stejně spojité,
neboť $\abs{\phi(x'')-\phi(x')}<K\abs{x''-x'}$. Lze z~nich podle Arzelovy věty proto
vybrat posloupnost $\phi_n$, která na $(a,b)$ stejnoměrně konverguje.
Chceme dokázat, že ta limitní funkce $\phi$ vyhovuje původní dif. rovnici, platí
\[\lim_{x''\to x'}\frac{\phi(x'')-\phi(x')}{x''-x'}=f(x',\phi(x')),\]
tedy pro každé $\epsilon>0$ existuje $\delta>0$ takové, že pro $\abs{x''-x'}<\delta$
\[
\abs{\frac{\phi(x'')-\phi(x')}{x''-x'}-f(x',\phi(x'))}<\frac12\epsilon \quad\text{a} \quad\phi(x_0) = y_0
\]
Pro dostatečně vysoké $n$ musí platit
\[
\abs{\frac{\phi_n(x'')-\phi_n(x')}{x''-x'}-f(x',\phi(x'))}<\epsilon,
\]
\[
f(x',\phi(x'))-\epsilon < \frac{\phi_n(x'')-\phi_n(x')}{x''-x'}
< f(x',\phi(x'))+\epsilon,
\]
\[
(f(x',\hat y)-\epsilon)(x''-x')<\phi_n(x'')-\phi_n(x')<
(f(x',\hat y)+\epsilon)(x''-x').
\]
Kde $x'$ a $\hat y:= \phi(x')$ jsou pevně dané. Dokážeme pravou stranu.
Protože $f(x,y)$ je na $G$ spojitá a omezená konstantou $K$, pro každé $\epsilon>0$ existuje
$\delta>0$ takové, že pro $|x-x'|<2\delta$, $|y-\hat y|<3K\delta$ platí
\begin{enumerate}
\item $f(x,y)<f(x',\hat y)+\epsilon$,
\item $\la x'-2\delta,x'+2\delta\ra\times
\la \hat y-3K\delta,\hat y+3K\delta\ra\in\mathrm{BCDE}$.
\end{enumerate}
Pro každé $\delta>0$ dále existuje $n_0$ takové, že pro $n>n_0$ je
\begin{enumerate}
\item délka \uv{hran} $\phi_n$ menší než $\delta$ (to vyplývá z
konstrukce posloupnosti $\phi_n$),
\item $\abs{\phi_n(x')-\phi(x')}<K\delta$ (protože podle věty \ref{arzela} $\phi_n\rightrightarrows\phi$).
\end{enumerate}
\[\abs{\phi_n(x)-\hat y}=\abs{\phi_n(x)-\phi(x')}\le
\underbrace{\abs{\phi_n(x)-\phi_n(x')}}_{K|x-x'|\leq 2K\delta}
+\underbrace{\abs{\phi_n(x')-\phi(x')}}_{K\delta}<3K\delta\]
takže můžu $\phi'_n$ odhadnot pomocí $f(x',\hat y)+\epsilon$
\[\phi_n(x'')-\phi_n(x')=\int_{x'}^{x''}\frac{\d\phi_n(x)}{\d x}\d x
<(f(x',\hat y)+\epsilon)(x''-x').\]
Analogicky se dokáže druhá nerovnost.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Nechť $\phi(x)$ je řešením rovnice $y'=f(x,y)$ na intervalu
$\la\alpha,\beta\ra$. Toto řešení se nazývá {\bf prodloužitelné
vpravo (resp. vlevo)}, existuje-li řešení $\phi_1(x)$ na
$\la\alpha,\beta_1\ra$ (resp. $\la\alpha_1,\beta\ra$), kde
$\beta<\beta_1$ (resp. $\alpha>\alpha_1$) takové, že
$\phi_1(x)=\phi(x)$ pro $x\in\la\alpha,\beta\ra$.
\index{prodloužitelnost řešení}
Funkce $\phi_1(x)$ se nazývá {\bf prodloužení řešení $\phi$ vpravo
(vlevo)}. Řešení, které není prodloužitelné vpravo ani vlevo, se
nazývá {\bf neprodloužitelné} (úplné) a jeho graf se nazývá {\bf
charakteristika}.
\index{charakteristika}
Analogicky pro otevřený interval, ale za prodloužení se považuje i
$(a,b)\to(a,b\ra$.
\end{define}
\begin{theorem}
Nechť $f(x,y)$ je spojitá na oblasti $G$. Nutnou a postačující
podmínkou, aby řešení $\phi(x)$ na intervalu $(\alpha,\beta)$ bylo
neprodloužitelné vpravo (resp. vlevo) je splnění alespoň jedné
z~následujících podmínek:
\begin{enumerate}
\item $\beta=+\infty$, resp. $\alpha=-\infty$,
\item $\abs{\phi(x)}\to\infty$ pro $x\to\beta-$ (resp. $x\to\alpha_+$),
\item $\rho([x,\phi(x)],\pd G)\to 0$ pro $x\to\beta_-$
(resp. $x\to\alpha_+$), kde $\pd G$ je hranice $G$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[A)]
\item $(\Leftarrow)$
\begin{enumerate}[1.]
\item Zřejmé.
\item Protože $y$ je spojitá, musela by v $b$ existovat konečná
limita, což je spor.
\item Pokud by řešení bylo prodloužitelné, $\beta$ by byl částí
definičního oboru $f$ a $[\beta,\phi(\beta)]\in G$, což je spor s~tím,
že $G$ je otevřená.
\end{enumerate}
\item $(\Rightarrow)$ Nechť \emph{žádná z~podmínek neplatí}. Dokážeme, že pak
existuje konečná limita
\[\lim_{x\to\beta-}\phi(x).\]
Buďte
$p=\liminf_{x\to\beta-}\phi(x)$,
$q=\limsup_{x\to\beta-}\phi(x)$
a předpokládejme, že $p<q$. Z~toho dojdeme ke sporu. Buď
$M=\{[\beta,y]|p<y<q\}$. $M$ je množina hromadných bodů grafu, neboť
$[\beta,p]$ a $[\beta,q]$ jsou hromadnými body podle definice
$\limsup$ a $\liminf$ a pro ostatní to platí díky spojitosti
$\phi$. Každý bod z~$M$ leží buď v~$G$ nebo na $\pd G$. Všechny ale
nemohou ležet na $\pd G$, jinak by platila podmínka 3, což by byl
spor. Nechť $[\beta,r]$ neleží na $\pd G$. Zvolme $\epsilon$ tak, že
$\la r-\epsilon,r+\epsilon\ra\subset M$ a uvažujme \uv{obdélníček}
$\la\beta-\epsilon,\beta\ra\times\la r-\epsilon,r+\epsilon\ra$. Potom
graf funkce $\phi(x)$ musí projít obdélníčkem \uv{odshora dolů}
nekonečně krát, neboť jinak by $\{ r-\epsilon,r+\epsilon\}$ nebyly
hromadné body grafu. Současně ale pro každý průchod grafu $\phi$ mezi
body $x_1$ a $x_2$ ($\phi'$ je spojitá a proto na kompaktu omezená)
\[2\epsilon=\abs{\phi(x_2)-\phi(x_1)}=\abs{\phi'(\xi)}(x_2-x_1)
\le K(x_2-x_1),\]
tedy
\[x_2-x_1\ge\frac{2\epsilon}{K}.\]
Graf $\phi$ může odshora dolů a naopak projít pouze konečně krát, což
je spor. Musí tedy platit, že $p=q$, tedy existuje konečná limita
$\lim_{x\to\beta-}\phi(x)$ a platí
\[\lim_{x\to\beta-}\frac{\phi(x)-\phi(\beta)}{x-\beta}=
\lim_{xi\to\beta-}\phi'(\xi)=
\lim_{xi\to\beta-}f(\xi,\phi(\xi))=f(\beta,\phi(\beta)).\qed\]
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Je-li $f(x,y)$ omezená a oblast $G$ je omezená, existuje limita
\[\lim_{x\to\beta-}\phi(x).\]
\end{remark}
\begin{theorem}
Nechť $f(x,y)$ je spojitá na oblasti $G$. Pak každým bodem $[x_0,y_0]$
oblasti $G$ prochází graf alespoň jednoho neprodloužitelného řešení,
tj. alespoň jedna charakteristika.
\begin{proof}
Označme $r_0=\frac12\rho([x_0,y_0],\pd G)$. Pokud je $G=\R^2$,
položíme $r_0=1$. Uvažujme interval $\I_0=\la
x_0-r_0,x_0+r_0\ra\times\la y_0-r_0,y_0+r_0\ra$ Zkonstruujeme řešení
$\phi_0$ na intervalu $\la x_0-h_0,x_0+h_0\ra$, kde
\[h_0=\min\left\{r_0,\frac{r_0}{K_0}\right\}\] $h_0$ se volí tak, aby
řešení protínalo levou a pravou stranu \uv{obdélníka}, intervalu a
\[K_0=\max_{\I_0}|f(x,y)|.\]
Řešení $\phi_0$ budeme prodlužovat doprava. V~bodě $[x_1,y_1]$, kde
$x_1=x_0+h_0$, $y_1=\phi_0(x_1)$ provedeme stejnou úvahu a sestrojíme
řešení $\phi_1$ na $\la x_1-h_1,x_1+h_1\ra$. Postupně dostaneme
řešení
\[
\phi(x)=
\begin{cases}
\phi_0(x) & x\in\la x_0-h_0,x_1\ra\\
\phi_1(x) & x\in\la x_1,x_1+h_1\ra\\
\quad\vdots\\
\phi_k(x) & x\in\la x_k,x_k+h_k\ra
\end{cases}
\]
na intervalu $\la x_0-h_0,\beta)$, kde $\beta=\lim_{k\to\infty}x_k$.
Je-li $\beta=+\infty$, řešení je neprodloužitelné. Jinak rozlišíme
tyto případy:
\begin{enumerate}
\item Platí, že $\lim_{x\to\beta-}\phi(x)=\pm\infty$. V~tom případě je
řešení neprodloužitelné.
\item Limita $\lim_{x\to\beta-}\phi(x)$ neexistuje. Podle důkazu
předchozí věty ale takový případ nemůže nastat.
\item Je $\lim_{x\to\beta-}\phi(x)=y_\omega$ a $[\beta,y_\omega]\in\pd
G$. To odpovídá podmínce 3 z~předchozí věty, tedy řešení je
neprodloužitelné.
\item $\lim_{x\to\beta-}\phi(x)=y_\omega$ a $[\beta,y_\omega]\in
G$. Označme $r_\omega=\frac12\rho([b,y_\omega],\pd G)$,
$K_\omega=\max_{\I_\omega}f(x,y)$,
$h_\omega=\min\{r_\omega,\frac{r_\omega}{K_\omega}\}$. Potom
\[r_\omega=\lim_{n\to\infty}r_n, K_\omega=\lim_{n\to\infty}K_n,
h_\omega=\lim_{n\to\infty}h_n.\]
Protože $r_\omega>0$ a funkce $f(x,y)$ je omezená ($K_\omega<\infty$), musí být
$h_\omega>0$ a řešení by mělo jít dál prodloužit, což je spor.
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Definiční obor neprodloužitelného řešení závisí na počátečních podmínkách.
\end{remark}
\begin{figure}
\input{osgood}
\caption{K~důkazu věty o~jednoznačnosti}
\end{figure}
\index{věta, Osgoodova}
\begin{theorem}[o~jednoznačnosti --- Osgood]
Nechť funkce $f(x,y)$ je definována na oblasti $G$ a splňuje
následující podmínku: Pro libovolné dva body $[x,y_1]\in G$ a
$[x,y_2]\in G$ platí
\[\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)}\le\Phi(\abs{y_2-y_1}),\]
kde $\Phi$ je funkce jedné reálné proměnné $u$, spojitá a kladná na
intervalu $(0,c\ra$, kde $c>0$, přičemž
\[\lim_{\epsilon\to 0}\int_\epsilon^c\frac{\d u}{\Phi(u)}=+\infty.\]
Potom každým bodem $[x_0,y_0]$ oblasti $G$ prochází nejvýše jedna
integrální křivka rovnice $y'=f(x,y)$.
\begin{proof}
\emph{Větu dokážeme sporem}. Předpokládejme, že existuje bod $[x_0,y_0]$,
kterým procházejí dvě různé integrální křivky $y_1(x)$ a $y_2(x)$,
$y_1(x_0)=y_2(x_0)=y_0$ a existuje $x_1$ takové, že
$y_1(x_1)\not=y_2(x_1)$.
Buď $z(x)=y_2(x)-y_1(x)$. Bez újmy na obecnosti budeme předpokládat,
že $x_0=0$, $x_1>0$, $z(x_1)>0$, $z(x_1)<c$. Pokud to neplatí, zřejmě
toho můžeme dosáhnout odpovídající substitucí.
Platí, že
\[\begin{split}
z'(x)&=(y_2-y_1)'(x)=y_2'(x)-y_1'(x)=f(x,y_2(x))-f(x,y_1(x))\le\\
&\le\abs{f(x,y_2(x))-f(x,y_1(x))}\le
\Phi(\abs{y_1(x)-y_2(x)})<\\
&<2\Phi(\abs{y_1(x)-y_2(x)})=2\Phi(\abs{z(x)}).
\end{split}\]
buď $y(x)$ řešení rovnice $y'=2\Phi(y)$ s~počáteční podmínkou
$y(x_1)=z(x_1) =: z_1$. Pro $y\in(0,c\ra$ je tato rovnice ekvivalentní
rovnici
\[\frac{y'}{2\Phi(y)}=1,\quad
\frac12\int\frac{\d y}{\Phi(y)}=x+C,\quad
\frac12\int_{z_1}^y\frac{\d\eta}{\Phi(\eta)}=x-x_1.\]
Pro $x$ platí
\[x=x_1+\frac12\int_{z_1}^y\frac{\d\eta}{\Phi(\eta)}=
x_1-\frac12\int_y^{z_1}\frac{\d\eta}{\Phi(\eta)}=:\Psi(y).\]
Každá funkce inverzní k~$\Psi$ je řešením rovnice
$y'=2\Phi(y)$. Funkce $\Psi$ je monotonní (integrand je kladný) a
zobrazuje $(0,c\ra\mapsto(-\infty,\Psi(c)\ra$, neboť
\[\lim_{y\to 0}-\frac12\int_y^{z_1}\frac{\d\eta}{\Phi(\eta)}=-\infty.\]
Dále platí,$y(x_1)=z(x_1) >0$ a tedy
\[z'(x_1)<2\Phi(|z_1|)=2\Phi(y(x_1))=y'(x_1),\]
tedy $z(x)$ probíhá nalevo od $x_1$ \uv{nad} funkcí $y(x)$. Protože
současně $z(0)=0$ a $z(x)$ i $y(x)$ jsou spojité, musí se $y$ a $z$
znovu protnout v~nějakém $x_2\in(0,x_1)$ a musí platit
\[z'(x_2)\ge y'(x_2)=2\Phi(y(x_2))=2\Phi(z(x_2)).\]
Současně ale $z'(x_2)<2\Phi(\abs{z(x_2)})$, což je spor.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Volba $\Phi$: $\Phi(u)=Lu$, kde $L$ je konstanta, potom dostáváme
podmínku tvaru \[\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)}\le L\abs{y_2-y_1}.\] Případně
\[\Phi(u)=Lu\abs{\ln u}\] nebo \[\Phi(u)=Lu\abs{\ln u}\abs{\ln\abs{\ln
u}}.\]
\end{remark}
\begin{define}
Buď funkce $f(x,y)$ definovaná ve všech bodech množiny $A$. Říkáme, že
$F$ splňuje v~$A$ Lipschitzovu podmínku vzhledem k~$y$ (s~konstantou
$L$), jestliže pro libovolné $[x,y_1]\in A$ a $[x,y_2]\in A$ platí
\[\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)}\le L\abs{y_2-y_1}.\]
\end{define}
\begin{define}
Nechť $f(x,y)$ je definovaná na množině $A$. Říkáme, že $f(x,y)$
splňuje lokálně Lipschitzovu podmínku, existuje-li ke každému bodu
$[x_0,y_0]\in A$ okolí $V$ tak, že $f(x,y)$ splňuje Lipschitzovu
podmínku na $V$.
\end{define}
\begin{theorem}
Je-li $G$ otevřená množina v~$\R^2$ a $\frac{\pd f}{\pd y}(x,y)$
spojitá v~$G$, pak $f(x,y)$ splňuje na $G$ lokálně Lipschitzovu
podmínku.
\begin{proof}
Protože $\frac{\pd f}{\pd y}(x,y)$ je spojitá, existuje takové okolí
$\H$, že pro každé $x\in\H$ je
\[\abs{\frac{\pd f}{\pd y}(x,y)}<L.\]
Potom
\[\abs{f(x,y_2)-f(x,y_1)}=
\abs{\frac{\pd f}{\pd y}(x,y)}\abs{y_2-y_1}\le
L\abs{y_2-y_1}.\qed\]
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť funkce $f(x,y)$ je definována a spojitá na oblasti
$G\subset\R^2$ a splňuje lokálně Lipschitzovu podmínku vzhledem k~$y$. Potom
\begin{enumerate}
\item Každým bodem $[x_0,y_0]\in G$ prochází právě jedna
charakteristika (tj. graf neprodloužitelného řešení).
\item Každá integrální křivka je částí některé charakteristiky.
\item Dvě charakteristiky, které mají společný bod, jsou totožné.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\subsection{Vztah hladkosti řešení a pravé strany diferenciální
rovnice}
\begin{theorem}
Nechť $f(x,y)$ má v~oblasti $G\subset\R^2$ spojité parciální derivace
podle $x$ a $y$ do $p$-tého řádu, kde $p\in\No$. Pak každé řešení
rovnice $y'=f(x,y)$ má na svém definičním oboru spojité derivace podle
$x$ až do řádu $p+1$.
\begin{proof}
Derivováním rovnice za použití řetězového pravidla $y'=f(x,y)$
dostaneme
\[y''=\frac{\pd f}{\pd x}(x,y(x))+\frac{\pd f}{\pd x}(x,y(x))y'(x).\]
Pokud toto provedeme $p$-krát, na levé straně dostaneme $y^{(p+1)}$,
na pravé straně bude kombinace nejvýše $p$-tých derivací funkcí $y$ a
$f$, které jsou spojité.
\end{proof}
\end{theorem}
%\subsection{Závislost řešení na počátečních podmínkách a na pravé
%straně diferenciální rovnice}
\subsection{Závislost řešení na počátečních podmínkách a na pravé
straně}
\begin{theorem}
\label{spoj}
Nechť funkce $f(x,y)$ je definována, spojitá a omezená na oblasti $G$
a nechť každým bodem $[x_0,y_0]\in G$ prochází právě jedna integrální
křivka rovnice $y'=f(x,y)$. Nechť $y(x)$ je řešení diferenciální
rovnice na intervalu $\la \alpha,\beta\ra$, $x\in\la\alpha,\beta\ra$,
$y_0=y(x_0)$. Pak toto řešení závisí spojitě na bodě $[x_0,y_0]$ a
pravé straně $f(x,y)$.
Přesněji: Nechť $y(x)$ je (jediné) řešení rovnice $y'=f(x,y)$ na
$\la\alpha,\beta\ra$, $(\alpha<x_0<\beta)$, $y(x_0)=y_0$. Pak pro
libovolné $\epsilon>0$ existuje $\delta>0$ tak, že pro každý bod
$[\overline{x_0},\overline{y_0}]\in G$ a každou funkci
$\overline{f}(x,y)$ takové, že $\abs{\overline{x_0}-x_0}<\delta$,
$\abs{\overline{y_0}-y_0}<\delta$ a $\abs{\overline
f(x,y)-f(x,y)}<\delta$ pro každé $[x,y]\in G$ (přičemž $\overline
f(x,y)$ je definována a spojitá na $G$) lze každé řešení $\overline
y(x)$ rovnice $y'=f(x,y)$ splňující podmínku
$y(\overline{x_0})=\overline{y_0}$ prodloužit na $\la\alpha,\beta\ra$
a platí $\abs{y(x)-\overline y(x)}<\epsilon$ pro každé
$x\in\la\alpha,\beta\ra$.
\begin{proof}
Větu dokážeme sporem. Předpokládejme, že existuje posloupnost
počátečních podmínek $[x_k,y_k]$, posloupnost pravých stran $f_k(x,y)$
a posloupnost řešení $y_k(x)$ takové, že $x_k\to x_0$, $y_k(x_k)\to
y_0$, $\sup_{[x,y]\in G}\abs{f_k(x,y)-f(x,y)}\to 0$ a nerovnost
$\abs{y_k(x)-y(x)}<\epsilon_0$ na $\la\alpha,\beta\ra$ není splněna
pro žádné $k$.
Buď $\abs{f(x,y)}<K$ pro $x\in G$. Protože
$\abs{f_k}\le\abs{f}+\abs{f-f_k}$, lze $f_k$ také omezit konstantou
$\abs{f_k(x,y)}<K$. Buď
\[O=\la x_0-a,x_0+a\ra\times\la x_0-Ka,x_0+Ka\ra\subset G,\]
$\la x_0-a,x_0+a\ra\subset\la\alpha,\beta\ra$. Buďte
$K_0=\max_O\abs{f(x,y)}$, $K_k=\max_O\abs{f_k(x,y)}$.
Podle věty o~přírůstku funkce je
\[\abs{y_k(x')-y_k(x'')}=\abs{y_k'(\xi)}\abs{x'-x''}\le
K\abs{x'-x''}.\]
Funkce $y_k$ jsou stejně spojité, existuje tedy
vybraná posloupnost $y_i^*(x)$ stejnoměrně konvergující k~nějaké
funkci $y^*(x)$.
Dokážeme, že $y^*(x_0)=y_0$ a
${y^*}'(x)=f(x,y^*(x))$ a tím dojdeme ke sporu. Platí, že
\[\begin{split}
\abs{y_i^*(x_0)-y_0}&\le\abs{y_i^*(x_0)-y_i^*(x_i^*)}+
\abs{y_i^*(x_i^*)-y_0}=\\&=\abs{{y_i^*}'(\xi)}\abs{x_i^*-x_0}+
\abs{y_i^*(x_i^*)-y_0}.
\end{split}\]
Protože $x_i^*\to x_0$ a $y_i^*(x_i^*)\to y_0$, je $y^*=y_0$.
Dále chceme dokázat, že pro $\abs{x'-x''}$ dost malá je
\[
\abs{\frac{y^*(x')-y^*(x'')}{x'-x''}-f(x',y^*(x'))}\le\epsilon,
\]
a pro dostatečně vysoká $n$ je
\[
\abs{\frac{y_i^*(x')-y_i^*(x'')}{x'-x''}-f(x',y^*(x'))}\le\epsilon.
\]
Platí, že
\[\begin{split}
&\abs{\frac{y_i^*(x')-y_i^*(x'')}{x'-x''}-f(x',y^*(x'))}\le
\abs{\frac{{y_i^*}'(x'-x'')}{x'-x''}-f(x',y^*(x'))}\le\\
&\quad\le\abs{f_i^*(\xi_i,y_i^*(\xi_i))-f(x',y^*(x'))}\le\\
&\quad\le\underbrace{\abs{f_i^*(\xi_i,y_i^*(\xi_i))-
f(\xi_i,y_i^*(\xi_i))}}_{\to 0}+
\abs{f(\xi_i,y_i^*(\xi_i))-f(x',y^*(x'))}
\end{split}.\]
Protože $\abs{x'-\xi_i}<\abs{x'-x''}$ a
\[\abs{y_i^*(\xi_i)-y^*(x')}\le
\underbrace{\abs{y_i^*(\xi_i)-y^*(\xi_i)}}_{\to 0}+
\abs{y^*(\xi_i)-y^*(x')},\]
přičemž $\abs{y^*(\xi_i)-y^*(x')}\le K\abs{\xi_i-x'}\le
K\abs{x''-x'}$, pro dostatečně malé $\abs{x''-x'}$ nerovnost platí.
Existuje $a>0$ takové, že $\abs{y_k(x)-y(x)}<\epsilon$ pro $x\in\la
x_0-a,x_0+a\ra$. Zkonstruujeme obdélník $\la x_0-a,x_0+a\ra\times\la
y_0-Ka,y_0+Ka\ra\subset G$ (obdélník ještě omezíme tak, aby
jeho úhlopříčka byla maximálně např. $1,8\rho([x_0,y_0],\pd G)$). Na
místě průsečíku křivky s~tímto obdélníkem zkonstruujeme další obdélník
$\la x_0'-a',x_0'+a'\ra\times\la y_0'-Ka',y_0'+Ka'\ra\subset G$, kde
$x_0'=x_0+a$, $y_0'=y(x_0')$ tak, aby opět platilo
$\abs{y_k-y(x)}<\epsilon$ pro $x\in\la x_0'-a',x_0'+a'\ra$. Takto
postupně pokryjeme celý interval $\la x_0-a,\beta\ra$.
Protože interval $\la x_0-a,\beta\ra$ je kompaktní, existuje konečné
podpokrytí. Můžeme proto vybrat maximální maximální $k$ takové, že
nerovnost pro $y_k$ platí po celém $\la
x_0-\alpha,\beta\ra$. Analogicky pro prodloužení \uv{doleva}.
\begin{figure}
\input{spoj1}
\caption{K~důkazu věty \ref{spoj}}
\label{o_spoj}
\end{figure}
\end{proof}
\end{theorem}
