https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01DIFR:Kapitola2&feed=atom&action=history01DIFR:Kapitola2 - Historie editací2024-03-28T20:45:25ZHistorie editací této stránkyMediaWiki 1.25.2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01DIFR:Kapitola2&diff=3168&oldid=prevAdmin: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01DIFR} \section{Řešení některých speciálních rovnic 1. řádu} \subsection{Řešení rovnice $y'=f(x,y)$} Rovnici tvaru $y'=f(x,y)$ nazýváme rovn...2010-08-01T00:22:03Z<p>Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01DIFR} \section{Řešení některých speciálních rovnic 1. řádu} \subsection{Řešení rovnice $y'=f(x,y)$} Rovnici tvaru $y'=f(x,y)$ nazýváme rovn...</p>
<p><b>Nová stránka</b></p><div>%\wikiskriptum{01DIFR}<br />
\section{Řešení některých speciálních rovnic 1. řádu}<br />
<br />
\subsection{Řešení rovnice $y'=f(x,y)$}<br />
Rovnici tvaru $y'=f(x,y)$ nazýváme rovnicí ve tvaru vyřešeném vzhledem<br />
k~1.~derivaci. Křivku $f(x,y)=c$ nazýváme {\bf isoklina}.\index{křivka, isoklina}<br />
<br />
\subsection{Rovnice se separovanými proměnnými}<br />
\index{rovnice diferenciální, separovaná}<br />
Rovnicí se separovanými proměnnými rozumíme rovnici tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{ode_sep}<br />
P(x)+Q(y)y'=0,<br />
\end{equation}<br />
kde $P(x)$ a $Q(y)$ jsou spojité funkce jedné reálné proměnné.<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $P(x)$ je spojitá na intervalu $\I=(a,b)$ a $Q(y)$ spojitá na<br />
intervalu $\K=(c,d)$. Potom<br />
\begin{enumerate}<br />
\item každé řešení rovnice \eqref{ode_sep} na intervalu<br />
$\I_1\subset\I$ splňuje rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{ode_sep2}<br />
\int P(x)\d x+\int Q(y)\d y=C<br />
\end{equation}<br />
pro nějaké $C$.<br />
\item Každá funkce implicitně definovaná vztahem \eqref{ode_sep2} při<br />
libovolném $C$ na intervalu $\I_2\subset\I$, která má na intervalu<br />
$\I_2$ derivaci, je řešením \eqref{ode_sep}.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Rightarrow)$ Integrováním rovnice a substitucí $y=u(x)$<br />
okamžitě dostáváme<br />
\[C=\int (P(x)+Q(u(x))u'(x))\d x=\int P(x)\d x+\int Q(y)\d y.\]<br />
\item $(\Leftarrow)$ Buď $F'(x)=P(x)$, $G'(y)=Q(y)$, nechť platí<br />
$F(x)+G(y)=C$, $F(x)+G(z(x))=C$. Potom pro derivaci musí platit<br />
$$P(x)+Q(z(x))z'(x)=0$$.\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $P(x)$ je spojitá na $(a,b)$, $Q(y)$ spojitá na $(c,d)$, nechť<br />
$Q(y)\not=0$ pro $y\in(c,d)$. Potom každým bodem oblasti<br />
$(a,b)\times(c,d)$ prochází právě jedna integrální křivka rovnice<br />
\eqref{ode_sep} (tj. je-li $[x_0,y_0]\in(a,b)\times(c,d)$ existuje<br />
právě jedno řešení \eqref{ode_sep} splňující rovnici $y(x_0)=x_0$).<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Buďte $F'(x)=P(x)$, $G'(y)=Q(y)$, nechť funkce $y(x)$ vyhovuje<br />
rovnici $F(x)+G(y(x))=C$. Současně musí platit $F(x_0)+G(y_0)=C$,<br />
celkem tedy musí $y(x)$ splňovat rovnici<br />
$F(x)+G(y(x))=F(x_0)+G(y_0)$. Díky spojitosti parciálních derivací lze<br />
$y(x)$ z~této rovnice explicitně vyjádřit.<br />
\item Buďte $y_1(x),y_2(x)$, $y_1(x_0)=y_2(x_0)=y_0$ různá řešení<br />
\eqref{ode_sep} na $(\alpha,\beta)\ni x_0$. Potom musí platit<br />
\[P(x)+Q(y_1(x))y_1'(x)=P(x)+Q(y_2(x))y_2'(x),\]<br />
\[\frac{\d}{\d x}G(y_1(x))=\frac{\d}{\d x}G(y_2(x)),\]<br />
tedy $G(y_1(x))=G(y_2(x))+C$. Protože tato rovnice musí platit i~pro<br />
$x=x_0$, jedinou možnou hodnotou $C$ je $C=0$. Protože $Q$ je spojitá<br />
a $Q(x)\not=0$, je $G$ prostá, tudíž $y_1(x)=y_2(x)$, což je spor.\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsection{Separovatelné rovnice}<br />
\index{rovnice diferenciální, separovatelná}<br />
Separovatelnou rovnicí rozumíme rovnici tvaru<br />
\[P_1(x)P_2(y)+Q_1(x)Q_2(y)y'=0,\]<br />
kde $P_1,Q_1$ jsou spojité na $(a,b)$ a $P_2,Q_2$ jsou spojité na<br />
$(c,d)$. Za předpokladu $Q_1(x)P_2(y)\not=0$ lze tuto rovnici převést<br />
na rovnici tvaru<br />
\[\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\frac{Q_2(y)}{P_2(y)}y'=0.\]<br />
Označme $a_1,a_2,\dots,a_m\in(a,b)$ a $b_1,b_2,\dots,b_n\in(c,d)$<br />
nulové body $Q_1$ resp. $P_2$. Řešením původní rovnice jsou<br />
i~konstantní křivky $y=b_i$ na $(a,b)$.<br />
<br />
Při určování definičního oboru je nutné ověřit případné průsečíky s~konstantami.<br />
<br />
\subsection{Homogenní diferenciální rovnice 1. řádu}<br />
\index{rovnice diferenciální, homogenní 1. řádu }<br />
\begin{define}<br />
Funkce $n$ reálných proměnných $F(x_1,x_2,\dots,x_n)$ se nazývá {\bf<br />
homogenní stupně $k$}, platí-li, že<br />
\[F(tx_1,tx_2,\dots,tx_n)=t^k F(x_1,x_2,\dots,x_n).\]<br />
\end{define}<br />
\index{funkce, homogenní stupně $k$}<br />
Rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{homog1}<br />
P(x,y)+Q(x,y)y'=0,<br />
\end{equation}<br />
kde $P,Q$ jsou homogenní funkce stejného stupně $k$ nazýváme {\bf<br />
homogenní rovnicí stupně $k$}. K~řešení vede substituce $y=xu$, kde<br />
$u$ je nová neznámá funkce. Ta převede původní rovnici na rovnici<br />
\[P(x,xu)+Q(x,xu)(u+xu')=0,\]<br />
\[x^k[P(1,u)+Q(1,u)(u+xu')]=0,\]<br />
která je separovatelná.<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $0\not\in M\subset\R$. Je-li $u(x)$ řešení rovnice<br />
\begin{equation}<br />
\label{homog2}<br />
P(1,u)+Q(1,u)u+xQ(1,u)u'=0,<br />
\end{equation}<br />
je $y(x)=xu(x)$ řešením rovnice \eqref{homog1}. Je-li $y$ řešením<br />
rovnice \eqref{homog1} na $M$, existuje $u(x)$, které je řešením<br />
\eqref{homog2} na $M$ tak, že $y(x)=xu(x)$.<br />
\end{theorem}<br />
\begin{remark}<br />
\index{rovnice diferenciální, kvazihomogenní}<br />
Zavádí se také {\bf zobecněné homogenní (kvazihomogenní) rovnice}. <br />
Ty se řeší substitucí $y = x^\alpha\cdot u$ pro $\alpha\in \R$. Této substituce je možné využít, <br />
pokud lze po substituci vytknout $x$ z každého členu diferenciální rovnice ve stejné mocnině. <br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
<br />
% dodělat zobecněně homogenní rovnice<br />
<br />
\subsection{Rovnice tvaru $y'=f\left(\frac{ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma}\right)$}<br />
U~rovnice tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{rac1}<br />
y'=f\left(\frac{ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma}\right)<br />
\end{equation}<br />
rozlišíme následující případy:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\alpha=\beta=a=b=0$: Potom<br />
\[y'=f\left(\frac{c}{\gamma}\right),\]<br />
tedy<br />
\[y=f\left(\frac{c}{\gamma}\right)x+C.\]<br />
\item $b=\beta=0$: Potom<br />
\[y'=f\left(\frac{ax+c}{\alpha x+\gamma}\right),\]<br />
\[y(x)=\int f\left(\frac{ax+c}{\alpha x+\gamma}\right)+C.\]<br />
\item $c=\gamma=0$:<br />
\[y'=f\left(\frac{ax+by}{\alpha x+\beta y}\right),\]<br />
tato rovnice je homogenní.<br />
\item Neplatí $b=\beta=0$, ale je<br />
\[\begin{vmatrix}<br />
a & b\\<br />
\alpha & \beta<br />
\end{vmatrix}=0.\]<br />
Buď $b\not=0$, pak $a\beta-\alpha b=0$ a $\alpha=\frac{\beta}b a$ a<br />
rovnici upravíme na tvar<br />
\[y'=f\left(<br />
\frac{ax+by+c}{\frac{\beta}{b}(ax+by)+\gamma}<br />
\right)\]<br />
a dále na<br />
\begin{equation}<br />
\label{rac2}<br />
z'=a+bf\left(\frac{z+c}{\frac{\beta}{b}z+\gamma}\right).<br />
\end{equation}<br />
Funkce $y(x)$ je řešením \eqref{rac1} na množině $M$, právě když<br />
$z(x)=ax+by(x)$ je řešením \eqref{rac2}.<br />
\item Platí, že<br />
\[\begin{vmatrix}<br />
a & b\\<br />
\alpha & \beta<br />
\end{vmatrix}\not=0.\]<br />
Vyřešíme soustavu rovnic<br />
\begin{align*}<br />
ax_0+by_0+c&=0\\<br />
\alpha x_0+\beta y_0+\gamma&=0<br />
\end{align*}<br />
a zavedeme substituci<br />
\begin{align*}<br />
u&=x-x_0 & x&=x_0+u\\<br />
v&=y-y_0 & y&=y_0+v.<br />
\end{align*}<br />
Platí<br />
\[v(u)=y(x)-y_0=y(x_0+u)-y_0\implies y(x)=v(x-x_0)+y_0.\]<br />
Substitucí dostaneme<br />
\begin{equation}\label{rac3}<br />
\begin{split}<br />
v'&=y'=f\left(<br />
\frac{a(x_0+u)+b(y_0+v)+c}{\alpha(x_0+u)+\beta(y_0+v)+\gamma}<br />
\right)=\\<br />
&=f\left(<br />
\frac{au+bv+ax_0+by_0+c}{\alpha u+\beta v+<br />
\alpha x_0+\beta y_0+\gamma}<br />
\right)=<br />
f\left(<br />
\frac{au+bv}{\alpha u+\beta v}<br />
\right).<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Je-li $v(u)$ řešením rovnice \eqref{rac3}, pak $y(x)=y_0+v(x-x_0)$ je<br />
řešením rovnice \eqref{rac1} a naopak ke každému řešení $y(x)$ rovnice<br />
\eqref{rac1} lze nalézt řešení \eqref{rac3} tak, že daný vztah platí.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Lineární diferenciální rovnice 1. řádu}<br />
Rovnice tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{linrov1}<br />
y'+p(x)y=q(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $p(x)$ a $q(x)$ jsou spojité na $(a,b)$.<br />
\index{rovnice diferenciální, lineární 1. řádu}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Řešení rovnice bez pravé strany: Mějme rovnici<br />
$y'+p(x)y=0$. Tuto rovnici zřejmě řeší $y(x)=0$ pro každé $x$. Po<br />
vydělení $y$ (předpokládáme $y\not=0$) dostaneme<br />
\[\frac{y'}{y}+p(x)=0,\]<br />
což je ekvivalentní s~rovnicí<br />
\[\ln\abs{y}+\int p(x)\d x=\ln K.\]<br />
Po odlogaritmování dostaneme<br />
\[y=Ce^{-\int p(x)\d x},\quad C\in\R\]<br />
což je {\bf obecné řešení rovnice bez pravé strany} pro každé $C$.<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Je-li $p(x)$ spojitá na $(a,b)$, prochází každým bodem<br />
$[x_0,y_0]\in(a,b)\times(-\infty,+\infty)$ právě jedna integrální<br />
křivka rovnice $y'+p(x)y=0$, která je řešením rovnice na celém<br />
$(a,b)$.<br />
\begin{proof}<br />
Obecné řešení má tvar<br />
\[y=Ce^{-\int_{x_0}^xp(x)\d x},\]<br />
bodem $[x_0,y_0]$ prochází pouze<br />
\[y=y_0 e^{-\int_{x_0}^xp(x)\d x}.\]<br />
Osou $x$ prochází právě $y=0$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\index{metoda, variace konstant}<br />
\item Metoda variace konstanty: Předpokládejme, že $C$ závisí na $x$<br />
\[y=C(x)e^{-\int p(x)\d x},\]<br />
tedy<br />
\[C(x)=y(x)e^{\int p(x)\d x}.\]<br />
Dosazením za $y$ do \eqref{linrov1} obdržíme<br />
\[\underbrace{C'(x)e^{-\int p(x)\d x}-C(x)e^{-\int p(x)\d x}p(x)}<br />
_{y'}+<br />
p(x)\underbrace{C(x)e^{-\int p(x)\d x}}_{y}=q(x),\]<br />
po úpravě<br />
\[C'(x)e^{-\int p(x)\d x}=q(x),\]<br />
\[C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\d x}+C.\]<br />
Obecné řešení rovnice s~pravou stranou je<br />
\[y(x)=\left[\int q(x)e^{\int p(x)\d x}+C\right]e^{-\int p(x)\d x}.\]<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $p(x)$, $q(y)$ jsou funkce spojité na $(a,b)$. Potom pro<br />
libovolné $C$ je funkce<br />
\begin{equation}<br />
\label{varkonst}<br />
y(x)=\left[\int q(x)e^{\int p(x)\d x}+C\right]<br />
e^{-\int p(x)\d x}<br />
\end{equation}<br />
řešením rovnice $y'+p(x)y=q(x)$ na $(a,b)$. Každým bodem $[x_0,y_0]\in<br />
(a,b)\times(-\infty,+\infty)$ prochází právě jedna integrální křivka,<br />
která je řešením na $(a,b)$ a je popsána rovnicí tvaru<br />
\eqref{varkonst} pro vhodnou volbu $C$.<br />
\end{theorem}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Obecné řešení lineární diferenciální rovnice s~pravou stranou je<br />
součtem obecného (homogenního) \index{řešení, homogenní} řešení rovnice bez pravé strany a libovolného pevně<br />
zvoleného řešení rovnice s~pravou stranou (partikulárního řešení).\index{řešení, partikulární}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsection{Bernoulliho rovnice}<br />
Rovnice tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{bern1}<br />
y'+p(x)y=q(x)y^\alpha,<br />
\end{equation}<br />
\index{rovnice diferenciální, Bernoulliho}<br />
kde $p(x)$, $q(x)$ jsou spojité na $(a,b)$, $\alpha\in\R$.<br />
Pokud je $\alpha=0$ nebo $\alpha=1$, je to lineární rovnice prvního<br />
řádu. Jinak opět $y=0$ triviálně řeší, za předpokladu $y\not=0$ můžeme<br />
rovnici upravit na<br />
\[\frac{y'}{y^\alpha}+p(x)y^{1-\alpha}=q(x),\]<br />
dále substitucí $z=y^{1-\alpha}$, $z'=(1-\alpha)y^{-\alpha}y'$ na<br />
\[\frac{z'}{1-\alpha}+p(x)z=q(x)\]<br />
a<br />
\begin{equation}<br />
\label{bern2}<br />
z'+(1-\alpha)p(x)z=(1-\alpha)q(x).<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $\alpha\not=0,1$. Nechť $p(x)$, $q(x)$ jsou spojité na $(a,b)$,<br />
$q(x)$ není na $(a,b)$ identická $0$. nechť $z(x)$ je řešením<br />
\eqref{bern2} na $(a,b)$. Pak každá funkce $y(x)$ splňující na<br />
intervalu $\I\subset(a,b)$ rovnici $y^{1-\alpha}(x)=z(x)$ a taková, že<br />
na svém definičním oboru je $y(x)\not=0$ a existuje $y'(x)$ na $\I$ je<br />
řešením \eqref{bern1} na $\I$.<br />
<br />
Naopak nechť $y(x)$ je řešení \eqref{bern1} na $\I\subset(a,b)$ a<br />
$y(x)\not=0$ na $\I$. Pak existuje řešení $z(x)$ rovnice \eqref{bern2}<br />
na $\I$ takové, že $y^{1-\alpha}(x)=z(x)$.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsection{Riccatiho rovnice}<br />
\begin{equation}<br />
\label{ricc}<br />
y'=a_0(x)+a_1(x)y+a_2(x)y^2,<br />
\end{equation}<br />
\index{rovnice diferenciální, Riccatiho}<br />
kde $a_0,a_1,a_2$ jsou spojité funkce na $(a,b)$.<br />
Je-li $a_0\equiv 0$, je to Bernoulliho rovnice, je-li $a_2\equiv 0$,<br />
je to lineární rovnice.<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item Substituce $x=\phi(t)$, kde $\phi$ má spojité derivace na $(c,d)$,<br />
$\phi(c,c)\subset(a,b)$, {\bf nezabere},<br />
\[\frac{\d y}{\d t}=\frac{\d y}{\d x}\phi'(t)=a_0(\phi(t))\phi'(t)+<br />
a_1(\phi(t))\phi'(t)y+a_2(\phi(t))\phi'(t)y^2\]<br />
protože dostaneme jenom novou Riccatiho rovnici.<br />
<br />
\item Substituce<br />
\[y=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta},\]<br />
kde $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ mají spojité derivace na<br />
$(c,d)\subset(a,b)$ a je<br />
\[<br />
\begin{vmatrix}<br />
\alpha & \beta\\ \gamma & \delta<br />
\end{vmatrix}\not= 0<br />
\]<br />
také nezabere.<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{\d y}{\d x}&=\frac{1}{(\gamma z+\delta)^2}<br />
[(\alpha z'+\alpha' z+\beta')(\gamma z+\delta)-<br />
(z'\gamma+\gamma' z+\delta')(\alpha z+\beta)]=\\<br />
&=\frac{1}{(\gamma z+\delta)^2}<br />
[(\alpha\delta-\gamma\beta)z'+(\alpha'\gamma-\gamma'\alpha)z^2+\\<br />
&\quad+(\alpha'\delta+\beta'\gamma-\gamma'\beta-\delta'\alpha)z+<br />
(\beta'\delta-\delta'\beta)]<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
a_0(x)+a_1(x)y+a_2(x)y^2&=<br />
\frac{1}{(\gamma z+\delta)^2}<br />
[a_0(\gamma z+\delta)^2+a_1(\gamma z+\delta)(\alpha z+\beta)+\\<br />
&\quad+a_2(\alpha z+\beta)^2].<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Abychom se v~nové rovnici zbavili $z^2$, musí platit<br />
\[\alpha'\gamma-\gamma'\alpha-a_0\gamma^2-a_2\alpha^2<br />
-a_1\gamma\alpha=0,\]<br />
\[\frac{\alpha'\gamma-\gamma'\alpha}{\gamma^2}-a_0-<br />
a_2\left(\frac{\alpha}{\gamma}\right)^2-a_1\frac{\alpha}{\gamma}=0,\]<br />
\[\left(\frac{\alpha}{\gamma}\right)'-a_0-<br />
a_2\left(\frac{\alpha}{\gamma}\right)^2-a_1\frac{\alpha}{\gamma}=0.\]<br />
Dostali jsme opět pouze jinou Riccatiho rovnici.<br />
<br />
\item Kanonický tvar Riccatiho rovnice: U~$y^2$ je koeficient $\pm 1$<br />
a $y$ v~rovnici nevystupuje. Prvního lze dosáhnout substitucí<br />
\[y=\omega(x)z,\]<br />
\[\omega z'+z\omega'=a_0+a_1\omega z+a_2\omega^2z^2,\]<br />
\[z'=\frac{a_0}{\omega}+\left(a_1-\frac{\omega'}{\omega}\right)z+<br />
a_2\omega z^2,\]<br />
z~čehož dostáváme podmínku pro $\omega(x)$<br />
\[\omega=\pm\frac{1}{a_2(x)}.\]<br />
Nulového koeficientu u~$y$ dosáhneme substitucí $y=u+\alpha$, tím<br />
rovnice přejde na<br />
\[u'=[a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2-\alpha']+(a_1+2a_2\alpha)+a_2u^2,\]<br />
tedy $\alpha$ musí být<br />
\[\alpha(x)=-\frac{a_1(x)}{2a_2(x)}.\]<br />
<br />
\item Známe-li jedno řešení $y_1(x)$ na $(a,b)$, umíme najít<br />
zbývající. Buď $y_1(x)$ řešení Riccatiho rovnice<br />
\[y_1'(x)=a_0(x)+a_1(x)y_1(x)+a_2(x)y_1^2(x).\]<br />
Zavedeme substituci<br />
\[u(x)=\frac{1}{y(x)-y_1(x)},\]<br />
za předpokladu $u(x)\not=0$ je<br />
\[y(x)=y_1(x)+\frac{1}{u(x)}.\]<br />
Po dosazení dostaneme<br />
\[\begin{split}<br />
y'&=y_1'-\frac{u'}{u^2}=a_0+a_1\left(y_1+\frac{1}{u}\right)+<br />
a_2\left(y_1+\frac1u\right)^2=\\<br />
&=a_0+a_1y_1+a_2y_1^2+\frac{a_1}{u}+\frac{2a_2y_1}{u}+\frac{a_2}{u^2}<br />
\end{split},\]<br />
takže<br />
\[u'+(a_1+2a_2y_1)u+a_2=0.\]<br />
Tím jsme Riccatiho rovnici převedli na lineární diferenciální rovnici<br />
prvního řádu.<br />
<br />
\item Vztah Riccatiho rovnice a lineární diferenciální rovnice<br />
2.~řádu.<br />
Uvažujme lineární diferenciální rovnici 2.~řádu<br />
\[p_0(x)y''+p_1(x)y'+p_2(x)y=r(x),\quad p_0(x)\not=0.\]<br />
Buďte $a_0,a_1,a_2,a_2'$ spojité na $(a,b)$, $a_2(x)\not=0$,<br />
$y(x)$ řešení Riccatiho rovnice na<br />
$(\alpha,\beta)\subset(a,b)$. Zavedeme substituci<br />
\[u(x)=e^{-\int a_2(x)y(x)\d x},\]<br />
\[u'(x)=-a_2(x)y(x)u(x).\]<br />
Z~této rovnice vyjádříme $y$<br />
\[y(x)=\frac{-u'(x)}{a_2(x)u(x)}\]<br />
a derivováním výrazu<br />
\[\frac{u'}{u}=-a_2y\]<br />
dostaneme<br />
\[\frac{u'u-u'^2}{u^2}=-a_2'y-a_2y'.\]<br />
Vynásobíme to $u^2$<br />
\[u''u-u'^2=(-a_2'y-a_2y')u^2,\]<br />
dosadíme za $y'$<br />
\[u''u-u'^2=[-a_2'y-a_2(a_0+a_1y+a_2y^2)]u^2,\]<br />
dosadíme $u'(x)=-a_2(x)y(x)u(x)$, vynásobíme $a_2/u$<br />
\[u''u=-a_2'yu^2-a_2a_0u^2-a_2a_1yu^2,\]<br />
\[a_2u''=-a_2'a_2yu-a_2^2a_0u-a_2^2a_1yu,\]<br />
dosadíme za $y$<br />
\[a_2u''=a_2'u'-a_2^2a_0u+a_2a_1u'.\]<br />
Řešení Riccatiho rovnice vyhovuje lineární diferenciální rovnici<br />
2.~stupně<br />
\begin{equation}<br />
\label{ricc2}<br />
a_2u''-[a_2'+a_1a_2]u'+a_2^2a_0u=0.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $a_0(x),a_1(x),a_2(x),a_2'(x)$ jsou spojité na $(a,b)$. Nechť<br />
$y(x)$ řeší \eqref{ricc}. Potom funkce<br />
\[u(x)=e^{-\int a_2(x)y(x)\d x}\]<br />
je řešením \eqref{ricc2} na $(\alpha,\beta)$. Naopak, nechť $u(x)$ je<br />
řešením \eqref{ricc2} na $(\gamma,\delta)\subset(a,b)$ a $u(x)\not=0$,<br />
$a_2(x)\not=0$ pro $x\in(\gamma,\delta)$. Potom<br />
\[y(x)=-\frac{u'(x)}{a_2(x)u(x)}\]<br />
je řešením \eqref{ricc} na $(\gamma,\delta)$.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\item Speciální Riccatiho rovnice:<br />
\index{rovnice diferenciální, speciální Riccatiho}<br />
\[y'+ay^2=bx^\alpha,\]<br />
kde $a,b\not=0$ jsou konstanty, $\alpha\in\R$. Pro $\alpha=0$ je to<br />
separovatelná rovnice, pro $\alpha=-2$ dostaneme po substituci<br />
\[y(x)=\frac{1}{u(x)}\]<br />
\[-\frac{u'}{u^2}+\frac{a}{u^2}=\frac{b}{x^2}\]<br />
homogenní rovnici<br />
\[u'=a-b\left(\frac{u}{x}\right)^2.\]<br />
Jinak zavedeme substituci<br />
\[y=u(x)z+v(x)\]<br />
\[u'z+uz'+v'+a(u^2z^2+2uvz+v^2)=bx^\alpha\]<br />
\[uz'+(u'+2auv)z+(v'+av^2)+au^2z^2=bx^\alpha.\]<br />
Položme $v'+av^2=0$ a $u'+2auv=0$. Potom<br />
\[-\frac{v'}{v^2}=a\implies v(x)=\frac{1}{ax}\]<br />
\[u'+2auv=u'+\frac{2u}{x}=0\implies u(x)=\frac1{x^2}\]<br />
Zavedeme tedy substituci<br />
\[y=\frac{z}{x^2}+\frac1{ax}.\]<br />
Dostaneme<br />
\[\frac{z'}{x^2}+a\frac1{x^4}z^2=bx^\alpha,\]<br />
\[z'+\frac{a}{x^2}z^2=bx^{\alpha+2}.\]<br />
Za $z$ dosadíme<br />
\[z=\frac1{z_1},\]<br />
\[-\frac{z_1'}{z_1^2}+\frac{a}{x^2z_1^2}=bx^{\alpha+2},\]<br />
to vynásobíme $z_1^2$<br />
\[z_1'+bx^{\alpha+2}z_1^2=\frac{a}{x^2}.\]<br />
Rovnici přetransformujeme do nové proměnné $x_1=x^{\alpha+3}$,<br />
$x=x_1^\frac{1}{\alpha+3}$, za předpokladu $\alpha\not=-3$, $x>0$. Pro<br />
derivace platí<br />
\[\frac{\d}{\d x}=(\alpha+3)x^{\alpha+2}\frac{\d}{\d x_1},\quad<br />
\frac{\d}{\d x_1}=\frac1{(\alpha+3)x^{\alpha+2}}\frac{\d}{\d x},\]<br />
původní rovnici upravíme na<br />
\[\frac{z_1'}{x^{\alpha+2}}+bz_1^2=\frac{a}{x^{\alpha+4}}\]<br />
a po transformaci obdržíme<br />
\[(\alpha+3)\frac{\d z_1}{\d x_1}+bz_1^2=<br />
ax_1^{-\frac{\alpha+4}{\alpha+3}}.\]<br />
Po úpravě máme novou Riccatiho rovnici, ale s~jiným $\alpha$.<br />
\[\frac{\d z_1}{\d x_1}+\frac{b}{\alpha+3}z_1^2=<br />
\frac{a}{\alpha+3}x_1^{\alpha_1},\]<br />
kde<br />
\[\alpha_1=-\frac{\alpha+4}{\alpha+3}.\]<br />
<br />
%\[y'+ay^2=bx^\alpha\]<br />
Chceme dojít k~$\alpha_1=-2$ nebo $\alpha_1=0$. Pro $\alpha_1=-2$ je<br />
$\alpha=-2$, pro $\alpha_1=0$ je $\alpha=-4$. Napíšeme rekurentní vztah<br />
\[\alpha_k=-\frac{\alpha_{k-1}+4}{\alpha_{k-1}+3}\]<br />
\[\alpha_k+2=-\frac{\alpha_{k-1}+4}{\alpha_{k-1}+3}+<br />
2\frac{\alpha_{k-1}+3}{\alpha_{k-1}+3}=<br />
\frac{\alpha_{k-1}+2}{\alpha_{k-1}+3}\]<br />
\[\frac{1}{\alpha_k+2}=\frac{\alpha_{k-1}+3}{\alpha_{k-1}+2}=<br />
1+\frac{1}{\alpha_{k-1}+2}=k+\frac{1}{\alpha+2}.\] <br />
Pro $\alpha_k=0$<br />
($\alpha_k=-2$ nemá význam, protože se nikam nehnu) dostaneme<br />
\[\frac12=\frac{1}{\alpha+2}+k\implies<br />
\alpha=\frac{-4k}{2k-1},\]<br />
kde $k=0,1,2,\dots$. Pokud zvolíme opačný směr rekurze<br />
\[\frac{1}{\alpha+2}=k+\frac{1}{\alpha_{-k}+2},\]<br />
dostaneme<br />
\[\alpha=\frac{-4k}{2k+1},\]<br />
kde $k=1,2,\dots$. Celkem tedy můžeme nalézt řešení pro<br />
\[\alpha=\frac{-4k}{2k-1},\]<br />
kde $k\in\Z$. Lze dokázat, že pro jiná $\alpha$ to nejde. Kromě toho<br />
lze řešení této rovnice převést na tvar $y''+qx^\alpha y=0$, kde $q$<br />
je konstanta.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Diferenciální rovnice tvaru $x=f(y')$ resp. $y=g(y')$}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Rovnice typu $x=f(y')$. Rovnici parametrizujeme $y'=t$,<br />
$x=f(t)$. Potom po substituci $\d x=f'(t)\d t$ dostaneme<br />
\[y=\int y'\d x+C=\int t\d x+C=\int t f'(t)\d t=<br />
\int_{t_0}^t\tau f'(\tau)\d\tau+C.\]<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť funkce $f(t)$ má v~intervalu $(t_1,t_2)$ spojitou kladnou<br />
(resp. zápornou) derivaci, nechť<br />
\begin{align*}<br />
a&=\inf_{t\in(t_1,t_2)} f(t)&<br />
b&=\sup_{t\in(t_1,t_2)} f(t)<br />
\end{align*}<br />
(resp. $a=-\infty$ pro $f$ neomezenou zdola, $b=+\infty$ pro $f$<br />
neomezenou shora). Pak každým bodem<br />
$[x_0,y_0]\in(a,b)\times(-\infty,+\infty)$ prochází právě jedna<br />
integrální křivka rovnice $x=f(y')$, jejíž tečna má směrnici<br />
z~intervalu $(t_1,t_2)$ a je řešením rovnice na celém<br />
$(a,b)$. Parametrické rovnice této křivky jsou<br />
\begin{align*}<br />
x&=f(t)\\<br />
y&=\int_{t_0}^t\tau f'(\tau)\d\tau+y_0,<br />
\end{align*}<br />
kde $t\in(t_1,t_2)$. Platí, že $f(t_0)=x_0$.<br />
\begin{proof}<br />
Protože funkce $f$ je prostá, rovnici $x=f(y')$ lze převést na tvar<br />
$y'=f^{-1}(x)$, což je rovnice se separovatelnými proměnnými. Z~toho<br />
okamžitě plyne existence a jednoznačnost řešení.<br />
<br />
Integrováním a použitím počátečních podmínek dostaneme<br />
\[y(x)=\int f^{-1}(x)\d x+C=\int_{x_0}^x f^{-1}(\xi)\d\xi+y_0.\]<br />
Položením $x=f(t)$, $x_0=f(t_0)$ a po substituci $x=f(\tau)$, $\d<br />
x=f'(\tau)\d t$ máme<br />
\[y=\int_{f(t_0)}^{f(t)} f^{-1}(\xi)\d\xi+y_0=<br />
\int_{t_0}^t\tau f'(\tau)\d\tau+y_0.\qed\]<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\item Rovnice typu $y=g(y')$. Parametrizace $y'=t$, $y=g(t)$.<br />
\[x=\int\frac{\dx}{\dy}\d y+C=\int\frac{1}{t}g'(t)\d t+C=<br />
\int_{t_0}^t\frac{g'(\tau)}{\tau}\d\tau+x_0.\]<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť funkce $g(t)$ má na intervalu $(t_1,t_2)$ spojitou kladnou<br />
(resp. zápornou) derivaci. Nechť $0\not\in(t_1,t_2)$. Označme<br />
\begin{align*}<br />
\alpha&=\inf_{t\in(t_1,t_2)} g(t) &<br />
\beta&=\sup_{t\in(t_1,t_2)} g(t)<br />
\end{align*}<br />
(resp. $\alpha=-\infty$, resp. $\beta=+\infty$). Potom každým bodem<br />
$[x_0,y_0]\in(-\infty,+\infty)\times(\alpha,\beta)$ prochází právě<br />
jedna integrální křivka, která je řešením rovnice na intervalu<br />
$(a,b)$, kde<br />
\begin{align*}<br />
a&=x_0+\inf_{t\in(t_1,t_2)}\int_{t_0}^t\frac{g'(\tau)}{\tau}\d\tau,&<br />
b&=x_0+\sup_{t\in(t_1,t_2)}\int_{t_0}^t\frac{g'(\tau)}{\tau}\d\tau,<br />
\end{align*}<br />
přičemž $t_0$ je definováno vztahem $y_0=g(t_0)$. Parametrické rovnice<br />
křivky jsou:<br />
\begin{align*}<br />
x&=x_0+\int_{t_0}^t\frac{g'(\tau)}{\tau}\d\tau\\<br />
y&=g(t)+y_0,<br />
\end{align*}<br />
kde $t\in(t_1,t_2)$.<br />
\end{theorem}<br />
\begin{proof}<br />
Funkce $g$ je prostá, tudíž existuje inverzní funkce $g^{-1}$, tedy<br />
$y'=g^{-1}(y)$ a pokud $y'\neq 0$<br />
\[\frac{y'}{g^{-1}(y)}=1.\]<br />
To je rovnice se separovanými proměnnými, z~čehož plyne existence a<br />
jednoznačnost řešení.<br />
<br />
Integrací a z~počátečních podmínek dostaneme<br />
\[x=\int\frac{\d y}{g^{-1}(y)}+C=<br />
x_0+\int_{y_0}^y\frac{\d\eta}{g^{-1}(\eta)}.\]<br />
Dosadíme $y=g(t)$, $y_0=g(t_0)$ a zavedeme substituci $\eta=g(\tau)$,<br />
$\d\eta=g'(\tau)\d\tau$.<br />
\[x=x_0+\int_{g(t_0)}^{g(t)}\frac{\d\eta}{g^{-1}(\eta)}=x_0+\int_{t_0}^t\frac{g'(\tau)}{\tau}\d\tau.\qed\]<br />
\noqed<br />
Na závěr se musí vyšetřit případ, kdy $y' = 0$ a to je <br />
tehdy když $y_0 = g(0)$, takže je to konstantní řešení.<br />
\end{proof}<br />
\end{enumerate}</div>Admin