Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; GeSHi has a deprecated constructor in /var/www/wiki/extensions/geshi/geshi.php on line 253

Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; LatexDoc has a deprecated constructor in /var/www/wiki/extensions/LaTeXDoc/LaTeXDoc.php on line 19
01DIFR:Kapitola1 – WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze

01DIFR:Kapitola1

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01DIFR

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01DIFRAdmin 1. 8. 201002:21
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 1. 8. 201002:28
Header editovatHlavičkový souborAdmin 1. 8. 201013:51 header.tex
Kapitola1 editovatÚvodAdmin 1. 8. 201002:21 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatŘešení některých speciálních rovnic 1. řáduAdmin 1. 8. 201002:22 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatVěty o existenci, jednoznačnosti a vlastnostech řešení rovnice tvaru y'=f(x,y)Admin 1. 8. 201002:22 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatSystémy diferenciálních rovnicAdmin 1. 8. 201002:22 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatSystémy lineárních diferenciálních rovnic. Lineární rovnice n-tého řáduAdmin 1. 8. 201002:23 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatNumerické řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice Admin 1. 8. 201002:23 kapitola6.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
01DIFR:fig_arzela arzela
01DIFR:fig_euler euler
01DIFR:fig_peano1 peano1
01DIFR:fig_peano2 peano2
01DIFR:fig_peano3 peano3
01DIFR:fig_osgood osgood
01DIFR:fig_spoj1 spoj1
Image:Arzela.pdf arzela.pdf
Image:Euler.pdf euler.pdf
Image:Peano1.pdf peano1.pdf
Image:Peano2.pdf peano2.pdf
Image:Peano3.pdf peano3.pdf
Image:Osgood.pdf osgood.pdf
Image:Spoj1.pdf spoj1.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFR}
\section{Úvod}
 
Obyčejná diferenciální rovnice $n$-tého řádu je každá rovnice tvaru
\begin{equation}
\label{ode}
F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)})=0,
\end{equation}
\index{rovnice, diferenciální}
kde $F$ je funkce $n+2$ proměnných taková, že $y^{(n)}$ ve funkčním
předpisu skutečně vystupuje.
 
\begin{define}
{\bf Řešením (integrálem)} \index{řešení diferenciální rovnice} diferenciální rovnice na neprázdné množině
$M\subset\R$ se nazývá každá funkce $f(x)$, která má na $M$ $n$
derivací a platí: $F(x,f(x),f'(x),\dots,f^{(n)}(x))=0$ pro každé $x\in
M$.
\end{define}
 
\begin{define}
{\bf Integrální křivkou} \index{křivka, integrální}  se nazývá graf řešení.
\end{define}
 
\begin{uloha}
Hledejte řešení rovnice \eqref{ode}, které v~bodě $x_0$ splňuje zadané
podmínky:
\begin{enumerate}
\item $y(x_0)=y_0$, $y'(x_0)=y_0',\dots,y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$
--- tzv. Cauchyova (počáteční) úloha.\index{počáteční úloha, Cauchyova}
\item Okrajová úloha: Řešení se hledá na intervalu $\la a,b\ra$;\index{počáteční úloha, okrajová}
hodnoty řešení a derivací splňují v~okrajových bodech zadané podmínky.
\end{enumerate}
\end{uloha}
 
\begin{define}
Říkáme, že bodem $[x_0,y_0]$ prochází právě jedna integrální křivka
dané rovnice 1. řádu, právě když existuje interval $\I$, obsahující
$x_0$ uvnitř tak, že všechna řešení rovnice na množinách $M$
obsahujících interval $\I$ a procházejících bodem $[x_0,y_0]$ na
intervalu $\I$ splývají.
\end{define}
 
\begin{define}
Řekneme, že daným bodem $[x_0,y_0]$ prochází právě jedna integrální
křivka rovnice \eqref{ode} $n$-tého řádu, splňující podmínky
$y'(x_0)=y_0'$, $y''(x_0)=y_0''$,\dots,$y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$,
existuje-li interval $\I$ obsahující $x_0$ uvnitř tak, že všechna
řešení rovnice na množině $M$ obsahující $\I$ a procházející bodem
$[x_0,y_0]$ na intervalu $\I$ splývají.
\end{define}