01ALG:Kapitola9

\nothing{ \begin{document} }

\xxx{Polynomy nad komutativními tělesy}

\xxxx{Polynomy}

\remark Budeme značit $T$ komutativní těleso a budeme vyšetřovat okruh polynomů nad tělesem $T$, který značíme $T[x]$. Víme, že $T[x]$ je asociativní, komutativní, bez dělitelů nuly, tedy je oborem integrity s jednotkou $1\cdot x^0$.

\theorem(o dělení se zbytkem, algoritmus dělení) Buďte $P_1,P_2\in T[x]$ polynomy, přičemž $P_2\neq\Pz$. Pak existují polynomy $Q,R\in T[x]$ takové, že $P_1=P_2Q+R$, přičemž $R=\Pz$ nebo $\st R<\st P_2$.

\proof Pro $P_1=\Pz$ platí $P_1=P_2\cdot\Pz+\Pz$. Pro $\st P_1<\st P_2$ je $P_1=P_2\cdot\Pz+P_1$. Tedy nechť $P_1\neq\Pz$ a $\st P_1\geq\st P_2$. Nechť $P_1=\sum_{i=0}^m a_ix^i$ a $P_2=\sum_{i=0}^n b_ix^i$, kde $a_m\neq0$, $b_n\neq0$ a $m\geq n$.

Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $m$.

\begin{enumerate} \item $m=0$, tedy i $n=0$, tedy $P_1=a_0x^0$ a $P_2=b_0x^0$. Pak $P_1=a_0x^0=(b_0x^0)(a_0b_0^\1x^0)+\Pz$.

\item Nechť $m>0$ a nechť tvrzení platí polynomy $P_1$ stupně menšího než $m$. Definujme $\tilde P_1:=P_1-\qlb{a_mb_n^\1x^{m-n}}P_2$. Stupeň $\qlb{a_mb_n^\1x^{m-n}}P_2$ je $m$ a jeho člen s~nejvyšší mocninu je $a_mx^m$. Tedy člen $\tilde P_1$ s~mocninou $x^m$ je $a_m-a_m=0$. Pokud je $\tilde P_1=\Pz$, je $P_1=P_2(a_mb_n^\1x^{m-n})+\Pz$. Pokud $\tilde P_1\neq\Pz$, je $\st\tilde P_1<\st P_1$ a podle indukčního předpokaldu existují

$\tilde Q, \tilde R$ takové, že $\tilde P_1=P_2\tilde Q+\tilde R$ a $\tilde R=\Pz$ nebo $\st\tilde R<\st P_2$.

A konečně $P_1=\tilde P_1+\qlb{a_mb_n^\1x^{m-n}}P_2=P_2\qlb{\tilde Q+(a_mb_n^\1x^{m-n})}+\tilde R$. \end{enumerate} \QED

\remark $T[x]$ je Eukleidův okruh, tj. každé 2 polynomy mají největšího společného dělitele a ten se dá najít

Eukleidovým algoritmem.

\theorem Okruh $T[x]$ je okruhem hlavních ideálů.

\proof Mějme libovolný ideál $I\nsg T[x]$. Pokud $I=E=\{\Pz\}$ je $I=I_\Pz$. Tedy nechť $I\neq E$. Mějme polynom $P\in I$, $P\neq\Pz$ takový, že má nejmenší stupeň ze všech nenulových polynomů v~$I$. Ukážeme, že $I=I_P$. \begin{description}

\ditem{$I\sse I_P$} Zvolme libovolný $P_1\in I$, pak víme, že existují $Q,R$ takové, že $P_1=PQ+R$, kde $R=\Pz$ nebo $\st R<\st P$. Dále $R=P_1-QP\in I$, tedy pokud by $R\neq\Pz$, nutně $\st R<\st P$, což je spor s minimalitou $\st P$. Tedy $R=\Pz$ a $P_1=PQ\in I_P$.

\ditem{$I_P\sse I$} Pokud $P\in I$, pak také $I_P\sse I$.

\end{description} \QED

\define Buďte $P,Q\in T[x]$. Řekneme, že $Q$ \defined[dělitelnost (polynomy)]{dělí} $P$, existuje-li $S\in T[x]$ takový, že $P=QS$. Značíme $Q\divides P$.

\define Buďte $T,U$ komutativní tělesa, $T\sg U$ a buďte $P=\sum_{i=0}^na_ix^i\in T[x]$ a $\alpha\in U$. Pak položíme hodnotu polynomu $P$ na prvku $\alpha$ jako $P(\alpha):=\sum_{i=0}^na_i\alpha^i\in U$.

\define Buď $P\in T[x]$. \defined[kořen!polynomu]{Kořenem} polynomu $P$ (\defined[rzeseni@řešení!algebraické rovnice]{řešení} algebraické rovnice $P(x)=0$) rozumíme libovolný prvek $\alpha$ z nějakého nadtělesa $U\Supset T$ takový, že $P(\alpha)=0$.

\theorem Buďte $T\sg U$, $P\in T[x]$, $\alpha\in U\supdot$. Potom $$P(\alpha)=0 \iff (x-\alpha)\divides P.$$

\proof \begin{description} \ditem{$\Rightarrow$} Nechť $P(\alpha)=0$ a $P=(x-\alpha)Q+R$. Platí $R=\Pz$ nebo $\st R<1$, tedy $R=r_0x^0$ pro $r_0\in T$. Pak $0=P(\alpha)=0+r_0$, tedy $r_0=0$ a $P=(x-\alpha)Q$.

\ditem{$\Leftarrow$} Platí $P=(x-\alpha)S$ tedy $P(\alpha)=0\cdot S(\alpha)=0$. \end{description} \QED

\consequence Má-li $P$ po dvou různé kořeny $\alpha_1\cldc\alpha_k$, pak $(x-\alpha_1)\cdots (x-\alpha_k)\divides P$.

\proof $P(\alpha_1)=0 \Limpl (x-\alpha_1)\divides P \Limpl P=(x-\alpha_1)P_1$.

$P(\alpha_2)=0 \Limpl (\alpha_2-\alpha_1)P_1(\alpha_2)=0 \Limpl P_1=(x-\alpha_2)P_2

\Limpl P=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)P_2$.

Po $k$ krocích dostaneme $P=(x-\alpha_1)\cdots (x-\alpha_k)P_k$. \QED

\consequence Polynom stupně $n$ má nejvýše $n$ různých kořenů.

\remark Není-li $T$ komutativní těleso, nemusí poslední důsledek platit.

Vezměme např. okruh $Z_{16}$, který není tělesem, a $x^2\in Z_{16}[x]$. Jeho kořeny jsou $0$, $4$, $8$ a $12$, tedy jsou čtyři pro polynom stupně 2.

Mějme $K$ těleso kvaternionů, které je nekomutativní, a polynom stupně dva, $P:=x^2+1\in K[x]$. Pak pro $\alpha=\pm i, \pm j, \pm k$ platí $\alpha^2=-1$, tedy má 6 kořenů.

\define \defined[derivace]{Derivací} polynomu $P=\sum_{i=0}^na_ix^i\in T[x]$ rozumíme polynom $P'\in T[x]$ daný vztahem $$P':=\sum_{i=1}^n ia_ix^{i-1}.$$

\remark Ve vztahu $\sum_{i=1}^mia_ix^{i-1}$ není součin $ia_i$ součinem v tělese, ale $i\times a_i$. Pro jednoduchost zápis zkracujeme.

\remark Derivace polynomu je formálně stejná jako v analýze, nebudeme tedy znovu dokazovat známá tvrzení,

jako $(PQ)'=P'Q+PQ'$ apod.

\define Buďte $T\sg U$, $P\in T[x]$, $\alpha\in U\supdot$, $m\in\Nz$. Řekneme, že $\alpha$ je \defined[kořen!m-násobný@$m$-násobný]{$m$-násobný kořen} polynomu $P$,

platí-li $(x-\alpha)^m\divides P$, ale $(x-\alpha)^{m+1}\nmid P$.

\theorem Buď $\alpha$ $m$-násobný kořen polynomu $P$. Potom $\alpha$ je alespoň $(m{-}1)$-násobným kořenem polynomu $P'$.

\proof Máme $P=(x-\alpha)^{m}Q$, tedy $P'=m(x-\alpha)^{m-1}Q+(x-\alpha)^mQ'=(x-\alpha)^{m-1}(mQ+(x-\alpha)Q')$. \QED

\remark Pokud by $T$ mělo nenulovou charakteristiku $p$ a $m$ bylo násobkem $p$, pak

$mQ(\alpha)=0$ a platí $P'=(x-\alpha)^mQ'$.

\define Řekneme, že $P\in T[x]$ stupně alespoň 1 je \defined[polynom!reducibilní]{reducibilní nad $T$},

existují-li $P_1, P_2\in T[x]$ takové, že $1\leq\st P_i<\st P$ a $P=P_1P_2$.

V~opačném případě řekneme, že $P$ je \defined[polynom!ireducibilní]{ireducibilní nad $T$}.

\remark Reducibilita závisí na tělese. \begin{enumerate} \item Polynom $x^2-2\in Q[x]$ je ireducibilní nad $Q$, ale reducibilní nad $R$,

neboť $x^2-2=\qlb{x+\sqrt2}\qlb{x-\sqrt2}$.

\item Polynom $x^2+1\in Q[x]$ je ireducibilní nad $R$, ale reducibilní nad $C$,

neboť $x^2+1=(x+i)(x-i)$.

\end{enumerate}

\lemma Libovolný polynom stupně 1 je ireducibilní nad libovolným tělesem.

\theorem \begin{enumerate} \item Nad $C$ jsou ireducibilní právě jen polynomy 1. stupně. \item Nad $R$ jsou ireducibilní právě jen polynomy 1. stupně a polynomy 2. stupně se záporným

diskriminantem příslušné kvadratické rovnice.

\end{enumerate}

\lemma Má-li polynom $P\in T[x]$ v~tělese $T$ kořen, je nad tělesem $T$ reducibilní.

\proof Pokud $P(\alpha)=0$, platí $P=(x-\alpha)Q$, kde $Q\in T[x]$ \QED

\remark Opačná implikace neplatí. Například $P=P_1P_2$ nad $T$, kde $\st P_i\geq2$ a nemají kořen v $T$.

\lemma Je-li $\st P\leq 3$ a $P$ je reducibilní nad $T$, pak má $P$ v tělese $T$ kořen.

\proof Alespoň jeden z polynomů v rozkladu má stupeň $1$. \QED

\remark Každý ideál v~okruhu polynomů je hlavní, tj. $(\AA I\nsg T[x])(\EE P\in T[x])(I=I_P)$. Dále $I_P=T[x]\cdot P$.

Mějme třídy ekvivalence $T[x]\factorset{I_P}$ pro $P\neq\Pz$. Pak do jedné zbytkové třídy patří 2 polynomy právě tehdy, dávají-li stejný zbytek po dělení polynomem $P$

Pro $P=\Pz$ jsou polynomy ekvivalentní pouze, když jsou stejné.

Je-li $\st P=n$, pak zbytkové polynomy jsou všechny polynomy stupně nejvýše $n-1$.

Zbytkovou třídu obsahující polynom $R$ označujeme $\ol R$.

\lemma Je-li $T$ konečné těleso řádu $q$, pak počet zbytkových tříd podle polynomu $P$ stupně $n$ je $q^n$.

\lemma $T[x]\factorset{I_P}$ je asociativní a komutativní okruh s jednotkou. Jednotkou je $\ol{1\cdot x^0}$.

\theorem Je-li $P\in T[x]$ reducibilní nad $T$, potom faktorokruh $T[x]\factorset{I_P}$ obsahuje dělitele nuly.

\proof Existuje netriviální rozklad $P=P_1P_2$. Dále $\ol\Pz\neq \ol{P_i}$ a $\ol\Pz=\ol P=\ol{P_1}\ol{P_2}$. \QED

\theorem Je-li $P\in T[x]$ ireducibilní nad $T$, potom je faktorkokruh $T[x]\factorset{I_P}$ komutativní těleso.

\proof Víme, že je komutativní s~jednotkou, zbývá ukázat, že každá nenulová třída $\ol A$ má třídu inverzní. Důkaz provedeme neúplnou matematickou indukcí podle $m=\st A$, přičemž $0\leq m<\st P$.

\begin{description} \ditem{$m=0$} Platí $A=ax^0$ a $a\neq 0$. Potom $ax^0 \cdot a^\1x^0=1x^0$, a tedy $\ol A\, \ol{a^\1x^0} = \ol{1x^0}$.

\ditem{$m\geq1$} Nechť každý polynom stupně menšího než $m$ má inverzní. $P=AQ+R$. Pak $R=\Pz$ nebo $\st R<\st A=m$. Neboť $P$ je ireducibilní, je $R\neq\Pz$,

jinak by bylo $P=AQ$, kde $\st A<\st P$.

Tedy podle indukčního předpokladu existuje ${\ol R}^\1$ a dále platí:

$\ol\Pz=\ol P=\ol A\,\ol Q+\ol R$ a po vynásobení $(\ol R)^\1$ dostáváme
$\ol\Pz=\ol A\,\ol Q\qlb{\ol R}^\1+\ol{1x^0}$ a konečně $\qlb{\ol A}^\1=-\ol Q\qlb{\ol R}^\1$.

\end{description} \QED

\example Mějme reálný polynom $P:=x^2+1\in R[x]$. Pak $R[x]\factorset{I_P}=\set{\ol{a+bx}}{a,b\in\R}$.

Platí $$\ol{a_1+b_1x}+\ol{a_2+b_2x}=\ol{(a_1+a_2)+(b_1+b_2)x}$$ a $$\ol{a_1+b_1x}\cdot\ol{a_2+b_2x}=\ol{(a_1a_2)+(a_1b_2+a_2b_1)x+(b_1b_2)x^2}.$$ A neboť $x^2\EH{I_P}-1$, je $\ol{x^2}=\ol{-1}$, a tedy $$\ol{a_1+b_1x}\cdot\ol{a_2+b_2x}=\ol{(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)x}.$$ Víme $R[x]\factorset{I_P}$ je komutativní těleso a operace jsou stejné, jako v~$C$. To nám umožňuje pomocí $R$ definovat komplexní čísla, stačí místo $x$ psát všude $i$.

\xxxx{Adjunkce}

\define Mějme dvojici těles $T\sg U$ a $A\sse U\supdot$. Pak definujeme těleso $T(A):=\bigcap\set{V\sg U}{T\supdot\cup A\supdot\sse V}$ a říkame,

že vzniká \defined[adjunkce]{tělesovou adjunkcí} $A$ k $T$.

Je-li $A$ jednoprvková, $A=\{\alpha\}$, pak používáme označení \defined[adjunkce!jednoduchá]{jednoduchá adjunkce},

a značíme $T(\alpha):=T(\{\alpha\})$.

\example \begin{enumerate} \item Je-li $A\sse T$, je $T(A)=T$. \item $Q\qlb{\left\{\sqrt2\right\}}=\set{a+b\sqrt2}{a,b\in\Q}$. \item $R(i)=C$. \end{enumerate}

\define Pro $T\sg U$ a $\alpha\in U$ definujeme $T[\alpha]:=\set{P(\alpha)}{P\in T[x]}$.

\lemma $T[\alpha]$ je podokruh $T(\alpha)$.

\proof Pro libovolný polynom $P\in T[x]$ je $P(\alpha)$ kombinací $\alpha$ a prvků z~$T$, tedy $T[\alpha]\sse T(\alpha)$. Snadno se ukáže, že je okruhem. \QED

\lemma $T[\alpha]$ je obor integrity.

\proof $T[\alpha]$ je podokruhem komutativního tělesa $T(\alpha)$, tedy je oborem integrity. \QED

\lemma Těleso $T(\alpha)$ je izomorfní s podílovým tělesem oboru integrity $T[\alpha]$.

\proof Označme $H=T[\alpha]$. Pak těleso zlomků $U_H$ je izomorfní s~podílovým tělesem $T_H$.

Definujeme $\map h{U_H}{T(\alpha)}$ jako $h\qlb{\frac ab}=ab^\1$ pro $a,b\in H$ a $b\neq 0$. Tedy existují $P,Q\in T[x]$ takové, že $a=P(\alpha)$ a $b=Q(\alpha)$. Korektnost definice a fakt, že $h$ je monomorfismus jsme ukázali dříve pro obdobný případ,

tedy $U_H\cong h(U_H)\stackrel{\text{těl.}}\sg T(\alpha)$.

Ukážeme, že $T\cup\{\alpha\}\sse h(U_H)$, což už stačí pro to, aby $T(\alpha)\sg h(U_H)$. Zvolíme $Q=1x^0$, tedy $b=Q(\alpha)=1$. Volbou $P=x$ dostaneme $a=P(\alpha)=\alpha$ a tedy $h\qlb{\frac ab}=\alpha$. Volbou $P=tx^0$ pro libovolné $t\in T$ dostaneme $a=P(\alpha)=t$ a tedy $h\qlb{\frac ab}=t$. \QED

\lemma Buďte $T\sg U$ tělesa, $\alpha\in U\supdot$, a nechť $\map h{T[x]}{T[\alpha]}$ je definované jako $h(P)=P(\alpha)$. Potom $T[\alpha]\stackrel{\text{okr.}}\cong T[x]\factorset{\ker h}$, přičemž $\ker h=\set{P\in T[x]}{P(\alpha)=0}$.

\proof Je $h(P+Q)=(P+Q)(\alpha)=P(\alpha)+Q(\alpha)=h(P)+h(Q)$ a podobně pro $h(PQ)$, tedy $h$ je homomorfismus. Současně $h$ je z definice $T[\alpha]$ na, tedy $h$ je epimorfismus. Tvrzení lemmatu již plyne z~věty o homomorfismu. \QED

\define Buďte $T\sg U$ tělesa, $\alpha\in U\supdot$. Pomocí zobrazení $h$ z~předchozího lemmatu dělíme prvky $U$ do 2 skupin.

\begin{description} \ditem{$\ker h=E=\{\Pz\}$} Pak $\alpha$ nazýváme \defined[prvek (těleso)!transcendentní]{transcendentní prvek}

nad tělesem $T$.

Dále podle lemmatu je $T[\alpha]\cong T[x]\factorset E\cong T[x]$

a izomorfní obory integrity mají izomofní podílová tělesa, tedy

$T(\alpha)\cong T(x)$, kde symbolem $T(x)$ značíme podílové těleso k $T[x]$, tj. těleso racionálních funkcí.

\ditem{$\ker h\neq E$} Pak $\alpha$ nazýváme \defined[prvek (těleso)!algebraický]{algebraický prvek}.

Dále $\ker h$ je ideálem a my jsme v~okruhu hlavních ideálů, tedy $\ker h=I_Q$ pro nějaké $Q\in T[x]$, $Q\neq\Pz$. Ze všech takových $Q$ vybereme polynom s~nejmenším stupněm $n$, který je normovaný (koeficient u $x^n$ je $1$)

a nazveme jej \defined[polynom!minimální]{minimální polynom} prvku $\alpha$ nad $T$ a budeme jej značit $M_\alpha^T$.

Číslo $n$ nazveme \defined[prvek (těleso)!stupeň]{stupněm} prvku $\alpha$ a budeme jej značnit $\st\alpha$.

Navíc $T[\alpha]\cong T[x]\factorset{I_{M_\alpha}}$, kde pravá strana je těleso, a tedy z~izomorfie i

$T[\alpha]$ je těleso (pro algebraické $\alpha$).

A dále $T(\alpha)\cong T_{T[\alpha]}=T[\alpha]=T[x]\factorset{I_{M_\alpha^T}}$. \end{description}

\lemma Minimální polynom je ireducibilní nad $T$.

\theorem Buď $\alpha$ algebraický prvek nad tělesem $T$. Potom $T(\alpha)\cong T[x]\factorset{I_{M_\alpha^T}}$.

\example \begin{enumerate} \item Všechny prvky $\alpha\in\C$ jsou algebraické nad $C$ a platí $M_\alpha^C=x-\alpha$. \item Všechny prvky $\alpha\in\C$ jsou algebraické nad $R$. Pro $\alpha\in\R$ platí $M_\alpha^R=x-\alpha$

a pro $\alpha\notin R$ platí $M_\alpha^\R=(x-\alpha)(x-\bar\alpha)=x^2-2\RE\alpha x+\abs\alpha^2$.

\item Algebraické číslo (bez udání tělesa) znamená algebraické nad $\Q$. Totéž pro transcendentní. Příklady transcendentních jsou $\pi$ a $e$. \end{enumerate}

\lemma Buď $\alpha$ algebraický prvek nad $T$. Potom $T[\alpha]=T(\alpha)$.

\proof Pro $\beta\in T$ definujeme $P=\alpha^\1\beta x^1$, pak $P(\alpha)=\beta$;

položme $P=1x^1$, pak $P(\alpha)=\alpha$.

Tedy $T(\alpha)\sse T[\alpha]$. Opačnou inkluzi jsme ukázali dříve. \QED

\theorem Buď $\alpha$ algebraický prvek nad tělesem $T$ a nechť $\st\alpha=n$. Potom $\dim_TT(\alpha)=n$ a jednou z bází $T(\alpha)$ je soubor $(1,\alpha,\alpha^2\cldc\alpha^{n-1})$ a tedy libovolný prvek $\beta\in T(\alpha)$ lze psát ve tvaru $\beta=\sum_{i=0}^{n-1}b_i\alpha^i$, kde $b_i\in T\supdot$.

\proof Mějme libovolné $\beta\in T(\alpha)=T[\alpha]$. Tedy $(\EE P\in T[x])(\beta=P(\alpha))$. Pak podle věty o dělení se zbytkem je $P=M_\alpha Q+R$, kde $R=\Pz$ nebo $\st R<\st M_\alpha=n$, a platí $R(\alpha)=P(\alpha)=\beta$. Je-li $R=\sum_{i=0}^{n-1}b_ix^i$, pak $\beta=\sum_{i=0}^{n-1}b_i\alpha^i$ a tedy definovaný soubor generuje.

Ukážeme, že je nezávislý. Nechť existuje nenulová lineární kombinace souboru,

pak je tato kombinace polynomem s~nižším stupněm než $n$, který má v~bodě $\alpha$ hodnotu $0$,
což je spor s~minimalitou stupně $M_\alpha$.

Tedy daný soubor je bází a dimenze je $n$. \QED

\theorem Libovolný ireducibilní polynom má kořen (obecně v~nadtělese).

\proof Máme ireducibilní $P\in T[x]$. Je-li $\st P=1$, je $P=a_0+a_1x$ a má kořen v $T$. Tedy nechť $\st P\geq 2$.

Označme $U:=T[x]\factorset{I_P}$ a neboť $P$ je ireducibilní, je $U$ komutativní těleso. Definujeme zobrazení $\map hTU$ jako $h(a):=\ol{ax^0}$. Snadno se ukáže, že $h$ je okruhový monomorfismus, tedy $T\cong h(T)\sg U$. Známým postupem najdeme k~tělesu $T$ nadtěleso $V$ tak, že z~$U$ vyjmeme $h(T)$ a nahradíme jej $T$, tedy

$V=(U\sm h(T))\cup T\cong U$.

Definujeme izomorfismus $\map gVU$ jako $$\displaystyle g(\beta):=\left\{\te{array}{{l@{\;|\;}l}h(\beta)&\beta\in T\\\beta&\beta\in V\sm T.}\right.$$

Ukážeme, že kořenem $P$ je prvek $\alpha\in V$, $\alpha=g^\1\qlb{\ol x}$. Platí $$\textstyle P(\alpha) =\sum\limits_{i=0}^n a_i\alpha^i =g^\1\!\qlb{\sum\limits_{i=0}^n g\!\qlb{a_i}g\!\qlb{\alpha^i}}\! =g^\1\!\qlb{\sum\limits_{i=0}^n\ol{a_ix^0}\,\ol{x^i}}\! =g^\1\!\qlb{\ol{\sum\limits_{i=0}^na_ix^i}}\! =g^\1\!\qlb{\ol P}\!=g^\1\!\qlb{\ol\Pz}\!=0.$$ \QED

\consequence Libovolný polynom stupně většího než nula má kořen.

\remark V~předchozí větě je $\alpha$ algebraický nad $T$ a navíc $P$ je jeho minimálním polynomem.

\proof Máme $P(\alpha)=0$, tedy $M_\alpha^T\divides P$ (z~věty o dělení). Navíc $P$ je ireducibilní, tedy $P$ nemá netriviální dělitele

a je tedy minimálnímu polynomu roven až na normování koeficientu u nejvyšší mocniny na 1.

\QED

\define Buďte $T$ těleso a $P\in T[x]$. \defined[těleso!rozkladové]{Rozkladové těleso} polynomu $P$ je nejmenší nadtěleso $U\Supset T$ takové,

že v~něm lze $P$ rozložit na součin lineárních polynomů, tj. že v něm leží všechny kořeny $P$.

\theorem Libovolný polynom stupně alespoň $1$ má rozkladové těleso.

\proof Mějme $P\in T[x]$ a nechť $P=P_1\cdots P_k$ pro $P_i\in T[x]$ je rozklad na ireducibilní polynomy. Jsou-li všechny $P_i$ stupně jedna, je $T$ samo rozkladovým tělesem. Tedy nechť např. $P_1$ má stupeň alespoň 2. Pak existuje $V\Supset T$ takové, že $P_1$ má ve $V$ kořen $\alpha$, tedy lze rozložit na polynom a lineární polynom.

Tedy máme $P=Q_1\cdots Q_\ell$ rozklad v tělese $V$, kde jistě $\ell>k$, neboť jsme $P_1$ rozložili. Je možné, že jsme rozložili víc, než jen $P_1$. Pokud opět zbydou nějaké stupně alespoň 2, proces opakujeme. \QED