01ALG:Kapitola9: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Opravy drobných překlepů a přepisů)
 
Řádka 32: Řádka 32:
 
Tedy člen $\tilde P_1$ s~mocninou $x^m$ je $a_m-a_m=0$.
 
Tedy člen $\tilde P_1$ s~mocninou $x^m$ je $a_m-a_m=0$.
 
Pokud je $\tilde P_1=\Pz$, je $P_1=P_2(a_mb_n^\1x^{m-n})+\Pz$.
 
Pokud je $\tilde P_1=\Pz$, je $P_1=P_2(a_mb_n^\1x^{m-n})+\Pz$.
Pokud $\tilde P_1\neq\Pz$, je $\st\tilde P_1<\st P_1$ a podle indukčního předpokaldu existují
+
Pokud $\tilde P_1\neq\Pz$, je $\st\tilde P_1<\st P_1$ a podle indukčního předpokladu existují
 
  $\tilde Q, \tilde R$ takové, že $\tilde P_1=P_2\tilde Q+\tilde R$ a $\tilde R=\Pz$ nebo $\st\tilde R<\st P_2$.
 
  $\tilde Q, \tilde R$ takové, že $\tilde P_1=P_2\tilde Q+\tilde R$ a $\tilde R=\Pz$ nebo $\st\tilde R<\st P_2$.
 
A konečně $P_1=\tilde P_1+\qlb{a_mb_n^\1x^{m-n}}P_2=P_2\qlb{\tilde Q+(a_mb_n^\1x^{m-n})}+\tilde R$.
 
A konečně $P_1=\tilde P_1+\qlb{a_mb_n^\1x^{m-n}}P_2=P_2\qlb{\tilde Q+(a_mb_n^\1x^{m-n})}+\tilde R$.

Aktuální verze z 17. 2. 2012, 14:21

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01ALG

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01ALGKarel.brinda 24. 8. 201014:49
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 24. 10. 201019:54 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodní poznámkyKarel.brinda 26. 8. 201015:03 alg_note.tex
Kapitola1 editovatTeorie množínSnilard 6. 1. 201100:37 alg_set.tex
Kapitola2 editovatRelaceKarel.brinda 25. 1. 201122:52 alg_rel.tex
Kapitola3 editovatUspořádané množinySedlam18 24. 1. 201213:18 alg_set2.tex
Kapitola4 editovatAlgebraSnilard 6. 1. 201100:59 alg_alg.tex
Kapitola5 editovatTeorie grupPitrazby 17. 2. 201202:51 alg_group.tex
Kapitola6 editovatOkruhyPitrazby 17. 2. 201203:00 alg_ring.tex
Kapitola7 editovatModuly a lineární algebryKosarvac 11. 11. 201115:50 alg_module.tex
Kapitola8 editovatTeorie svazůPitrazby 17. 2. 201214:19 alg_lattice.tex
Kapitola9 editovatPolynomy nad komutativními tělesyPitrazby 17. 2. 201214:21 alg_polynoms.tex
Kapitola10 editovatKonečná tělesaPitrazby 17. 2. 201214:24 alg_finite.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01ALG}
 
\xxx{Polynomy nad komutativními tělesy}
 
\xxxx{Polynomy}
 
\remark
Budeme značit $T$ komutativní těleso a budeme vyšetřovat okruh polynomů nad tělesem $T$, který značíme $T[x]$.
Víme, že $T[x]$ je asociativní, komutativní, bez dělitelů nuly, tedy je oborem integrity s jednotkou $1\cdot x^0$.
 
\theorem(o dělení se zbytkem, algoritmus dělení)
Buďte $P_1,P_2\in T[x]$ polynomy, přičemž $P_2\neq\Pz$.
Pak existují polynomy $Q,R\in T[x]$ takové, že $P_1=P_2Q+R$, přičemž $R=\Pz$ nebo $\st R<\st P_2$.
 
\proof
Pro $P_1=\Pz$ platí $P_1=P_2\cdot\Pz+\Pz$.
Pro $\st P_1<\st P_2$ je $P_1=P_2\cdot\Pz+P_1$.
Tedy nechť $P_1\neq\Pz$ a $\st P_1\geq\st P_2$.
Nechť $P_1=\sum_{i=0}^m a_ix^i$ a $P_2=\sum_{i=0}^n b_ix^i$, kde $a_m\neq0$, $b_n\neq0$ a $m\geq n$.
 
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $m$.
 
\begin{enumerate}
\item
$m=0$, tedy i $n=0$, tedy $P_1=a_0x^0$ a $P_2=b_0x^0$.
Pak $P_1=a_0x^0=(b_0x^0)(a_0b_0^\1x^0)+\Pz$.
 
\item
Nechť $m>0$ a nechť tvrzení platí polynomy $P_1$ stupně menšího než $m$.
Definujme $\tilde P_1:=P_1-\qlb{a_mb_n^\1x^{m-n}}P_2$.
Stupeň $\qlb{a_mb_n^\1x^{m-n}}P_2$ je $m$ a jeho člen s~nejvyšší mocninu je $a_mx^m$.
Tedy člen $\tilde P_1$ s~mocninou $x^m$ je $a_m-a_m=0$.
Pokud je $\tilde P_1=\Pz$, je $P_1=P_2(a_mb_n^\1x^{m-n})+\Pz$.
Pokud $\tilde P_1\neq\Pz$, je $\st\tilde P_1<\st P_1$ a podle indukčního předpokladu existují
 $\tilde Q, \tilde R$ takové, že $\tilde P_1=P_2\tilde Q+\tilde R$ a $\tilde R=\Pz$ nebo $\st\tilde R<\st P_2$.
A konečně $P_1=\tilde P_1+\qlb{a_mb_n^\1x^{m-n}}P_2=P_2\qlb{\tilde Q+(a_mb_n^\1x^{m-n})}+\tilde R$.
\end{enumerate}
\QED
 
\remark
$T[x]$ je Eukleidův okruh, tj. každé 2 polynomy mají největšího společného dělitele a ten se dá najít
 Eukleidovým algoritmem.
 
\theorem
Okruh $T[x]$ je okruhem hlavních ideálů.
 
\proof
Mějme libovolný ideál $I\nsg T[x]$.
Pokud $I=E=\{\Pz\}$, je $I=I_\Pz$.
Tedy nechť $I\neq E$.
Mějme polynom $P\in I$, $P\neq\Pz$ takový, že má nejmenší stupeň ze všech nenulových polynomů v~$I$.
Ukážeme, že $I=I_P$.
\begin{description}
 
\ditem{$I\sse I_P$}
Zvolme libovolný $P_1\in I$, pak víme, že existují $Q,R$ takové, že $P_1=PQ+R$, kde $R=\Pz$ nebo $\st R<\st P$.
Dále $R=P_1-QP\in I$, tedy pokud by $R\neq\Pz$, nutně $\st R<\st P$, což je spor s minimalitou $\st P$.
Tedy $R=\Pz$ a $P_1=PQ\in I_P$.
 
\ditem{$I_P\sse I$}
Pokud $P\in I$, pak také $I_P\sse I$.
 
\end{description}
\QED
 
\define
Buďte $P,Q\in T[x]$.
Řekneme, že $Q$ \defined[dělitelnost (polynomy)]{dělí} $P$, existuje-li $S\in T[x]$ takový, že $P=QS$.
Značíme $Q\divides P$.
 
\define
Buďte $T,U$ komutativní tělesa, $T\sg U$ a buďte $P=\sum_{i=0}^na_ix^i\in T[x]$ a $\alpha\in U$.
Pak položíme hodnotu polynomu $P$ na prvku $\alpha$ jako $P(\alpha):=\sum_{i=0}^na_i\alpha^i\in U$.
 
\define
Buď $P\in T[x]$.
\defined[kořen!polynomu]{Kořenem} polynomu $P$ (\defined[rzeseni@řešení!algebraické rovnice]{řešení} algebraické rovnice $P(x)=0$) rozumíme libovolný prvek $\alpha$ z nějakého nadtělesa $U\Supset T$ takový, že $P(\alpha)=0$.
 
\theorem
Buďte $T\sg U$, $P\in T[x]$, $\alpha\in U\supdot$.
Potom
$$P(\alpha)=0 \iff (x-\alpha)\divides P.$$
 
\proof
\begin{description}
\ditem{$\Rightarrow$}
Nechť $P(\alpha)=0$ a $P=(x-\alpha)Q+R$.
Platí $R=\Pz$ nebo $\st R<1$, tedy $R=r_0x^0$ pro $r_0\in T$.
Pak $0=P(\alpha)=0+r_0$, tedy $r_0=0$ a $P=(x-\alpha)Q$.
 
\ditem{$\Leftarrow$}
Platí $P=(x-\alpha)S$ tedy $P(\alpha)=0\cdot S(\alpha)=0$.
\end{description}
\QED
 
\consequence
Má-li $P$ navzájem různé kořeny $\alpha_1\cldc\alpha_k$, pak $(x-\alpha_1)\cdots (x-\alpha_k)\divides P$.
 
\proof
$P(\alpha_1)=0 \Limpl (x-\alpha_1)\divides P \Limpl P=(x-\alpha_1)P_1$.
 
$P(\alpha_2)=0 \Limpl (\alpha_2-\alpha_1)P_1(\alpha_2)=0 \Limpl P_1=(x-\alpha_2)P_2
 \Limpl P=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)P_2$.
 
Po $k$ krocích dostaneme $P=(x-\alpha_1)\cdots (x-\alpha_k)P_k$.
\QED
 
\consequence
Polynom stupně $n$ má nejvýše $n$ různých kořenů.
 
\remark
Není-li $T$ komutativní těleso, nemusí poslední důsledek platit.
 
Vezměme např. okruh $Z_{16}$, který není tělesem, a $x^2\in Z_{16}[x]$.
Jeho kořeny jsou $0$, $4$, $8$ a $12$, tedy jsou čtyři pro polynom stupně 2.
 
Mějme $K$ těleso kvaternionů, které je nekomutativní, a polynom stupně dva, $P:=x^2+1\in K[x]$.
Pak pro $\alpha=\pm i, \pm j, \pm k$ platí $\alpha^2=-1$, tedy má 6 kořenů.
 
\define
\defined[derivace]{Derivací} polynomu $P=\sum_{i=0}^na_ix^i\in T[x]$ rozumíme polynom $P'\in T[x]$ daný vztahem
$$P':=\sum_{i=1}^n ia_ix^{i-1}.$$
 
\remark
Ve vztahu $\sum_{i=1}^mia_ix^{i-1}$ není součin $ia_i$ součinem v tělese, ale $i\times a_i$.
Pro jednoduchost zápis zkracujeme.
 
\remark
Derivace polynomu je formálně stejná jako v analýze, nebudeme tedy znovu dokazovat známá tvrzení,
 jako $(PQ)'=P'Q+PQ'$ apod.
 
\define
Buďte $T\sg U$, $P\in T[x]$, $\alpha\in U\supdot$, $m\in\Nz$.
Řekneme, že $\alpha$ je \defined[kořen!m-násobný@$m$-násobný]{$m$-násobný kořen} polynomu $P$,
 platí-li $(x-\alpha)^m\divides P$, ale $(x-\alpha)^{m+1}\nmid P$.
 
\theorem
Buď $\alpha$ $m$-násobný kořen polynomu $P$.
Potom $\alpha$ je alespoň $(m{-}1)$-násobným kořenem polynomu $P'$.
 
\proof
Máme $P=(x-\alpha)^{m}Q$, tedy $P'=m(x-\alpha)^{m-1}Q+(x-\alpha)^mQ'=(x-\alpha)^{m-1}(mQ+(x-\alpha)Q')$.
\QED
 
\remark
Pokud by $T$ mělo nenulovou charakteristiku $p$ a $m$ bylo násobkem $p$, pak 
 $mQ(\alpha)=0$ a platí $P'=(x-\alpha)^mQ'$.
 
\define
Řekneme, že $P\in T[x]$ stupně alespoň 1 je \defined[polynom!reducibilní]{reducibilní nad $T$},
 existují-li $P_1, P_2\in T[x]$ takové, že $1\leq\st P_i<\st P$ a $P=P_1P_2$.
 
V~opačném případě řekneme, že $P$ je \defined[polynom!ireducibilní]{ireducibilní nad $T$}.
 
\remark
Reducibilita závisí na tělese.
\begin{enumerate}
\item
Polynom $x^2-2\in Q[x]$ je ireducibilní nad $Q$, ale reducibilní nad $R$,
 neboť $x^2-2=\qlb{x+\sqrt2}\qlb{x-\sqrt2}$.
\item
Polynom $x^2+1\in Q[x]$ je ireducibilní nad $R$, ale reducibilní nad $C$,
 neboť $x^2+1=(x+i)(x-i)$.
\end{enumerate}
 
\lemma
Libovolný polynom stupně 1 je ireducibilní nad libovolným tělesem.
 
\theorem
\begin{enumerate}
\item Nad $C$ jsou ireducibilní právě jen polynomy 1. stupně.
\item Nad $R$ jsou ireducibilní právě jen polynomy 1. stupně a polynomy 2. stupně se záporným
 diskriminantem příslušné kvadratické rovnice.
\end{enumerate}
 
\lemma
Má-li polynom $P\in T[x]$ v~tělese $T$ kořen, je nad tělesem $T$ reducibilní.
 
\proof
Pokud $P(\alpha)=0$, platí $P=(x-\alpha)Q$, kde $Q\in T[x]$
\QED
 
\remark
Opačná implikace neplatí.
Například $P=P_1P_2$ nad $T$, kde $\st P_i\geq2$ a nemají kořen v $T$.
 
\lemma
Je-li $\st P\leq 3$ a $P$ je reducibilní nad $T$, pak má $P$ v tělese $T$ kořen.
 
\proof
Alespoň jeden z polynomů v rozkladu má stupeň $1$.
\QED
 
\remark
Každý ideál v~okruhu polynomů je hlavní, tj. $(\AA I\nsg T[x])(\EE P\in T[x])(I=I_P)$.
Dále $I_P=T[x]\cdot P$.
 
Mějme třídy ekvivalence $T[x]\factorset{I_P}$ pro $P\neq\Pz$.
Pak do jedné zbytkové třídy patří 2 polynomy právě tehdy, dávají-li stejný zbytek po dělení polynomem $P$
 
Pro $P=\Pz$ jsou polynomy ekvivalentní pouze, když jsou stejné.
 
Je-li $\st P=n$, pak zbytkové polynomy jsou všechny polynomy stupně nejvýše $n-1$.
 
Zbytkovou třídu obsahující polynom $R$ označujeme $\ol R$.
 
\lemma
Je-li $T$ konečné těleso řádu $q$, pak počet zbytkových tříd podle polynomu $P$ stupně $n$ je $q^n$.
 
\lemma
$T[x]\factorset{I_P}$ je asociativní a komutativní okruh s jednotkou.
Jednotkou je $\ol{1\cdot x^0}$.
 
\theorem
Je-li $P\in T[x]$ reducibilní nad $T$, potom faktorokruh $T[x]\factorset{I_P}$ obsahuje dělitele nuly.
 
\proof
Existuje netriviální rozklad $P=P_1P_2$.
Dále $\ol\Pz\neq \ol{P_i}$ a $\ol\Pz=\ol P=\ol{P_1}\ol{P_2}$.
\QED
 
\theorem
Je-li $P\in T[x]$ ireducibilní nad $T$, potom je faktorokruh $T[x]\factorset{I_P}$ komutativní těleso.
 
\proof
Víme, že je komutativní s~jednotkou, zbývá ukázat, že každá nenulová třída $\ol A$ má třídu inverzní.
Důkaz provedeme neúplnou matematickou indukcí podle $m=\st A$, přičemž $0\leq m<\st P$.
 
\begin{description}
\ditem{$m=0$} Platí $A=ax^0$ a $a\neq 0$.
Potom $ax^0 \cdot a^\1x^0=1x^0$, a tedy $\ol A\, \ol{a^\1x^0} = \ol{1x^0}$.
 
\ditem{$m\geq1$}
Nechť každý polynom stupně menšího než $m$ má inverzní.
$P=AQ+R$. Pak $R=\Pz$ nebo $\st R<\st A=m$. Neboť $P$ je ireducibilní, je $R\neq\Pz$,
 jinak by bylo $P=AQ$, kde $\st A<\st P$.
 
Tedy podle indukčního předpokladu existuje ${\ol R}^\1$ a dále platí:
 $\ol\Pz=\ol P=\ol A\,\ol Q+\ol R$ a po vynásobení $(\ol R)^\1$ dostáváme
 $\ol\Pz=\ol A\,\ol Q\qlb{\ol R}^\1+\ol{1x^0}$ a konečně $\qlb{\ol A}^\1=-\ol Q\qlb{\ol R}^\1$.
 
\end{description}
\QED
 
\example
Mějme reálný polynom $P:=x^2+1\in R[x]$.
Pak $R[x]\factorset{I_P}=\set{\ol{a+bx}}{a,b\in\R}$.
 
Platí $$\ol{a_1+b_1x}+\ol{a_2+b_2x}=\ol{(a_1+a_2)+(b_1+b_2)x}$$ a
$$\ol{a_1+b_1x}\cdot\ol{a_2+b_2x}=\ol{(a_1a_2)+(a_1b_2+a_2b_1)x+(b_1b_2)x^2}.$$
A neboť $x^2\EH{I_P}-1$, je $\ol{x^2}=\ol{-1}$, a tedy
$$\ol{a_1+b_1x}\cdot\ol{a_2+b_2x}=\ol{(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)x}.$$
Víme $R[x]\factorset{I_P}$ je komutativní těleso a operace jsou stejné jako v~$C$.
To nám umožňuje pomocí $R$ definovat komplexní čísla, stačí místo $x$ psát všude $i$.
 
\xxxx{Adjunkce}
 
\define
Mějme dvojici těles $T\sg U$ a $A\sse U\supdot$.
Pak definujeme těleso $T(A):=\bigcap\set{V\sg U}{T\supdot\cup A\supdot\sse V}$ a říkame,
 že vzniká \defined[adjunkce]{tělesovou adjunkcí} $A$ k $T$.
 
Je-li $A$ jednoprvková, $A=\{\alpha\}$, pak používáme označení \defined[adjunkce!jednoduchá]{jednoduchá adjunkce},
 a značíme $T(\alpha):=T(\{\alpha\})$.
 
\example
\begin{enumerate}
\item Je-li $A\sse T$, je $T(A)=T$.
\item $Q\qlb{\left\{\sqrt2\right\}}=\set{a+b\sqrt2}{a,b\in\Q}$.
\item $R(i)=C$.
\end{enumerate}
 
\define
Pro $T\sg U$ a $\alpha\in U$ definujeme $T[\alpha]:=\set{P(\alpha)}{P\in T[x]}$.
 
\lemma
$T[\alpha]$ je podokruh $T(\alpha)$.
 
\proof
Pro libovolný polynom $P\in T[x]$ je $P(\alpha)$ kombinací $\alpha$ a prvků z~$T$, tedy $T[\alpha]\sse T(\alpha)$.
Snadno se ukáže, že je okruhem.
\QED
 
\lemma
$T[\alpha]$ je obor integrity.
 
\proof
$T[\alpha]$ je podokruhem komutativního tělesa $T(\alpha)$, tedy je oborem integrity.
\QED
 
\lemma
Těleso $T(\alpha)$ je izomorfní s podílovým tělesem oboru integrity $T[\alpha]$.
 
\proof
Označme $H=T[\alpha]$.
Pak těleso zlomků $U_H$ je izomorfní s~podílovým tělesem $T_H$.
 
Definujeme $\map h{U_H}{T(\alpha)}$ jako $h\qlb{\frac ab}=ab^\1$ pro $a,b\in H$ a $b\neq 0$.
Tedy existují $P,Q\in T[x]$ takové, že $a=P(\alpha)$ a $b=Q(\alpha)$.
Korektnost definice a fakt, že $h$ je monomorfismus jsme ukázali dříve pro obdobný případ,
 tedy $U_H\cong h(U_H)\stackrel{\text{těl.}}\sg T(\alpha)$.
 
Ukážeme, že $T\cup\{\alpha\}\sse h(U_H)$, což už stačí pro to, aby $T(\alpha)\sg h(U_H)$.
Zvolíme $Q=1x^0$, tedy $b=Q(\alpha)=1$.
Volbou $P=x$ dostaneme $a=P(\alpha)=\alpha$ a tedy $h\qlb{\frac ab}=\alpha$.
Volbou $P=tx^0$ pro libovolné $t\in T$ dostaneme $a=P(\alpha)=t$ a tedy $h\qlb{\frac ab}=t$.
\QED
 
\lemma
Buďte $T\sg U$ tělesa, $\alpha\in U\supdot$ a nechť $\map h{T[x]}{T[\alpha]}$ je definované jako $h(P)=P(\alpha)$.
Potom $T[\alpha]\stackrel{\text{okr.}}\cong T[x]\factorset{\ker h}$, přičemž $\ker h=\set{P\in T[x]}{P(\alpha)=0}$.
 
\proof
Je $h(P+Q)=(P+Q)(\alpha)=P(\alpha)+Q(\alpha)=h(P)+h(Q)$ a podobně pro $h(PQ)$, tedy $h$ je homomorfismus.
Současně $h$ je z definice $T[\alpha]$ na, tedy $h$ je epimorfismus.
Tvrzení lemmatu již plyne z~věty o homomorfismu.
\QED
 
\define
Buďte $T\sg U$ tělesa, $\alpha\in U\supdot$.
Pomocí zobrazení $h$ z~předchozího lemmatu dělíme prvky $U$ do 2 skupin.
 
\begin{description}
\ditem{$\ker h=E=\{\Pz\}$} Pak $\alpha$ nazýváme \defined[prvek (těleso)!transcendentní]{transcendentní prvek}
 nad tělesem $T$.
 
Dále podle lemmatu je $T[\alpha]\cong T[x]\factorset E\cong T[x]$
 a izomorfní obory integrity mají izomofní podílová tělesa, tedy
$T(\alpha)\cong T(x)$, kde symbolem $T(x)$ značíme podílové těleso k $T[x]$, tj. těleso racionálních funkcí.
 
\ditem{$\ker h\neq E$} Pak $\alpha$ nazýváme \defined[prvek (těleso)!algebraický]{algebraický prvek}.
 
Dále $\ker h$ je ideálem a my jsme v~okruhu hlavních ideálů, tedy $\ker h=I_Q$ pro nějaké $Q\in T[x]$, $Q\neq\Pz$.
Ze všech takových $Q$ vybereme polynom s~nejmenším stupněm $n$, který je normovaný (koeficient u $x^n$ je $1$),
 a nazveme jej \defined[polynom!minimální]{minimální polynom} prvku $\alpha$ nad $T$ a budeme jej značit $M_\alpha^T$.
Číslo $n$ nazveme \defined[prvek (těleso)!stupeň]{stupněm} prvku $\alpha$ a budeme jej značnit $\st\alpha$.
 
Navíc $T[\alpha]\cong T[x]\factorset{I_{M_\alpha}}$, kde pravá strana je těleso, a tedy z~izomorfie i
 $T[\alpha]$ je těleso (pro algebraické $\alpha$).
A dále $T(\alpha)\cong T_{T[\alpha]}=T[\alpha]=T[x]\factorset{I_{M_\alpha^T}}$.
\end{description}
 
 
\lemma
Minimální polynom je ireducibilní nad $T$.
 
\theorem
Buď $\alpha$ algebraický prvek nad tělesem $T$.
Potom $T(\alpha)\cong T[x]\factorset{I_{M_\alpha^T}}$.
 
\example
\begin{enumerate}
\item
Všechny prvky $\alpha\in\C$ jsou algebraické nad $C$ a platí $M_\alpha^C=x-\alpha$.
\item
Všechny prvky $\alpha\in\C$ jsou algebraické nad $R$. Pro $\alpha\in\R$ platí $M_\alpha^R=x-\alpha$
 a pro $\alpha\notin R$ platí $M_\alpha^\R=(x-\alpha)(x-\bar\alpha)=x^2-2\RE\alpha x+\abs\alpha^2$.
\item
Algebraické číslo (bez udání tělesa) znamená algebraické nad $\Q$. Totéž pro transcendentní.
Příklady transcendentních jsou $\pi$ a $e$.
\end{enumerate}
 
\lemma
Buď $\alpha$ algebraický prvek nad $T$.
Potom $T[\alpha]=T(\alpha)$.
 
\proof
Pro $\beta\in T$ definujeme $P=\alpha^\1\beta x^1$, pak $P(\alpha)=\beta$;
 položme $P=1x^1$, pak $P(\alpha)=\alpha$.
Tedy $T(\alpha)\sse T[\alpha]$.
Opačnou inkluzi jsme ukázali dříve.
\QED
 
\theorem
Buď $\alpha$ algebraický prvek nad tělesem $T$ a nechť $\st\alpha=n$.
Potom $\dim_TT(\alpha)=n$
a jednou z bází $T(\alpha)$ je soubor $(1,\alpha,\alpha^2\cldc\alpha^{n-1})$,
a tedy libovolný prvek $\beta\in T(\alpha)$ lze psát ve tvaru $\beta=\sum_{i=0}^{n-1}b_i\alpha^i$, kde $b_i\in T\supdot$.
 
\proof
Mějme libovolné $\beta\in T(\alpha)=T[\alpha]$.
Tedy $(\EE P\in T[x])(\beta=P(\alpha))$.
Pak podle věty o dělení se zbytkem je $P=M_\alpha Q+R$, kde $R=\Pz$ nebo $\st R<\st M_\alpha=n$, a platí
$R(\alpha)=P(\alpha)=\beta$.
Je-li $R=\sum_{i=0}^{n-1}b_ix^i$, pak $\beta=\sum_{i=0}^{n-1}b_i\alpha^i$, a tedy definovaný soubor generuje.
 
Ukážeme, že je nezávislý.
Nechť existuje nenulová lineární kombinace souboru,
 pak je tato kombinace polynomem s~nižším stupněm než $n$, který má v~bodě $\alpha$ hodnotu $0$,
 což je spor s~minimalitou stupně $M_\alpha$.
Tedy daný soubor je bází a dimenze je $n$.
\QED
 
\theorem
Libovolný ireducibilní polynom má kořen (obecně v~nadtělese).
 
\proof
Máme ireducibilní $P\in T[x]$.
Je-li $\st P=1$, je $P=a_0+a_1x$ a má kořen v $T$.
Tedy nechť $\st P\geq 2$.
 
Označme $U:=T[x]\factorset{I_P}$ a neboť $P$ je ireducibilní, je $U$ komutativní těleso.
Definujeme zobrazení $\map hTU$ jako $h(a):=\ol{ax^0}$.
Snadno se ukáže, že $h$ je okruhový monomorfismus, tedy $T\cong h(T)\sg U$.
Známým postupem najdeme k~tělesu $T$ nadtěleso $V$ tak, že z~$U$ vyjmeme $h(T)$ a nahradíme jej $T$, tedy
 $V=(U\sm h(T))\cup T\cong U$.
Definujeme izomorfismus $\map gVU$ jako
$$\displaystyle g(\beta):=\left\{\te{array}{{l@{\;|\;}l}h(\beta)&\beta\in T\\\beta&\beta\in V\sm T.}\right.$$
 
Ukážeme, že kořenem $P$ je prvek $\alpha\in V$, $\alpha=g^\1\qlb{\ol x}$.
Platí $$\textstyle P(\alpha)
=\sum\limits_{i=0}^n a_i\alpha^i
=g^\1\!\qlb{\sum\limits_{i=0}^n g\!\qlb{a_i}g\!\qlb{\alpha^i}}\!
=g^\1\!\qlb{\sum\limits_{i=0}^n\ol{a_ix^0}\,\ol{x^i}}\!
=g^\1\!\qlb{\ol{\sum\limits_{i=0}^na_ix^i}}\!
=g^\1\!\qlb{\ol P}\!=g^\1\!\qlb{\ol\Pz}\!=0.$$
\QED
 
\consequence
Libovolný polynom stupně většího než nula má kořen.
 
\remark
V~předchozí větě je $\alpha$ algebraický nad $T$ a navíc $P$ je jeho minimálním polynomem.
 
\proof
Máme $P(\alpha)=0$, tedy $M_\alpha^T\divides P$ (z~věty o dělení).
Navíc $P$ je ireducibilní, tedy $P$ nemá netriviální dělitele,
 a je tedy minimálnímu polynomu roven až na normování koeficientu u nejvyšší mocniny na 1.
\QED
 
\define
Buďte $T$ těleso a $P\in T[x]$.
\defined[těleso!rozkladové]{Rozkladové těleso} polynomu $P$ je nejmenší nadtěleso $U\Supset T$ takové,
 že v~něm lze $P$ rozložit na součin lineárních polynomů, tj. že v něm leží všechny kořeny $P$.
 
\theorem
Libovolný polynom stupně alespoň $1$ má rozkladové těleso.
 
\proof
Mějme $P\in T[x]$ a nechť $P=P_1\cdots P_k$ pro $P_i\in T[x]$ je rozklad na ireducibilní polynomy.
Jsou-li všechny $P_i$ stupně jedna, je $T$ samo rozkladovým tělesem.
Tedy nechť např. $P_1$ má stupeň alespoň 2.
Pak existuje $V\Supset T$ takové, že $P_1$ má ve $V$ kořen $\alpha$, tedy lze rozložit na polynom a lineární polynom.
 
Tedy máme $P=Q_1\cdots Q_\ell$ rozklad v tělese $V$, kde jistě $\ell>k$, neboť jsme $P_1$ rozložili.
Je možné, že jsme rozložili víc, než jen $P_1$.
Pokud opět zbydou nějaké stupně alespoň 2, proces opakujeme.
\QED