01ALG:Kapitola8: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Opravy drobných překlepů a přepisů)
 
(Není zobrazeno 11 mezilehlých verzí od 3 dalších uživatelů.)
Řádka 70: Řádka 70:
 
\item
 
\item
 
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.
 
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.
Definujme-li na $M$ binární relaci $\leq$ jako $a\leq b\Lequiv a\SA b=a$,
+
Definujeme-li na $M$ binární relaci $\leq$ jako $a\leq b\Lequiv a\SA b=a$,
 
  pak $(M,\leq)$ je svazově uspořádaná.
 
  pak $(M,\leq)$ je svazově uspořádaná.
 
\item
 
\item
Řádka 117: Řádka 117:
 
Je $i\leq c$ a $i\leq\inf\{a,b\}$, tedy $i\leq a,b$.
 
Je $i\leq c$ a $i\leq\inf\{a,b\}$, tedy $i\leq a,b$.
 
\ditem{$d\leq a,b,c\Limpl d\leq i$}
 
\ditem{$d\leq a,b,c\Limpl d\leq i$}
Neboť $d\leq a$ a $d\leq b$, je $d\leq\inf\{a,b\}$, a současně je $d\leq c$,
+
Neboť $d\leq a$ a $d\leq b$, je $d\leq\inf\{a,b\}$ a současně je $d\leq c$,
 
  tedy \hbox{$d\leq\inf\{c,\inf\{a,b\}\}=i$}.
 
  tedy \hbox{$d\leq\inf\{c,\inf\{a,b\}\}=i$}.
 
\end{description}
 
\end{description}
Řádka 141: Řádka 141:
 
Mějme svaz $S=(M,\SA,\SV)$.
 
Mějme svaz $S=(M,\SA,\SV)$.
 
Pak pro $N\sse M$ je $T=(N,\SA,\SV)$ \defined[podsvaz]{podsvazem} svazu $S$,
 
Pak pro $N\sse M$ je $T=(N,\SA,\SV)$ \defined[podsvaz]{podsvazem} svazu $S$,
  pokud je $N$ svazem, tj. pokud je neprázdná a uzavřená vůči oběma operacím.
+
  pokud je $T$ svazem, tj. pokud je $N$ neprázdná a uzavřená vůči oběma operacím.
  
 
\example
 
\example
Řádka 153: Řádka 153:
 
Pak $(\PP B,\cap,\cup)$ je podsvazem svazu $(\PP A,\cap,\cup)$.
 
Pak $(\PP B,\cap,\cup)$ je podsvazem svazu $(\PP A,\cap,\cup)$.
  
Dále např. $\varsigma$-algebry tvoří monžinové svazy.
+
Dále např. $\varsigma$-algebry tvoří množinové svazy.
 
\item
 
\item
 
Pro libovolné $a\in S\supdot$ je $(\{a\},\SA,\SV)$ podsvazem $S$.
 
Pro libovolné $a\in S\supdot$ je $(\{a\},\SA,\SV)$ podsvazem $S$.
Řádka 220: Řádka 220:
 
\ditem{$3\Limpl1$}
 
\ditem{$3\Limpl1$}
 
  Mějme $a\in I$ a $s\in M$.
 
  Mějme $a\in I$ a $s\in M$.
  Pak $a=a\SV(a\SA s)\in I$ a tedy $a\SA s\in I$.
+
  Pak $a=a\SV(a\SA s)\in I$, a tedy $a\SA s\in I$.
 
\end{description}
 
\end{description}
 
\QED
 
\QED
Řádka 272: Řádka 272:
 
  Zbývá tedy opačná implikace.
 
  Zbývá tedy opačná implikace.
 
  Předpokládejme $h(x)\SA h(y)=h(x)$.
 
  Předpokládejme $h(x)\SA h(y)=h(x)$.
  Potom díky bijekci je $x\SA y=x$ a tedy $x\leq y$.
+
  Potom díky bijekci je $x\SA y=x$, a tedy $x\leq y$.
  
 
\ditem{$\Leftarrow$}
 
\ditem{$\Leftarrow$}
  Platí $x\SA y\leq x$, tedy $h(x\SA y)\leq h(x)$ a $h(x\SA y)$ je dolní závora $h(x)$,
+
  Platí $x\SA y\leq x$, tedy $h(x\SA y)\leq h(x)$ a $h(x\SA y)$ je dolní závora $h(x)$
 
   a podobně je dolní závorou $h(y)$.
 
   a podobně je dolní závorou $h(y)$.
 
  Mějme libovolné $d\in S_2\supdot$ takové, že $d\leq h(x)$ a $d\leq h(y)$.
 
  Mějme libovolné $d\in S_2\supdot$ takové, že $d\leq h(x)$ a $d\leq h(y)$.
Řádka 293: Řádka 293:
 
\example
 
\example
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item Mějme množinu $A$ a množinový svaz $(\PP A,\cap,\cup)$ s~upořádáním $\sse$.
+
\item Mějme množinu $A$ a množinový svaz $(\PP A,\cap,\cup)$ s~uspořádáním $\sse$.
 
  Pak jednotkou je $A$ a nulou je $\emptyset$.
 
  Pak jednotkou je $A$ a nulou je $\emptyset$.
 
\item Mějme svaz $(\Nz,\gcd,\lcm)$ s uspořádáním $({\divides})$.
 
\item Mějme svaz $(\Nz,\gcd,\lcm)$ s uspořádáním $({\divides})$.
Řádka 306: Řádka 306:
 
Ukážeme pouze první tvrzení, druhé lze ukázat obdobně.
 
Ukážeme pouze první tvrzení, druhé lze ukázat obdobně.
 
Mějme $m$ minimální a libovolné $x\in S\supdot$.
 
Mějme $m$ minimální a libovolné $x\in S\supdot$.
Pak $x\SA m\leq m$, ale to je možné jen tehdy, když $x\SA m=m$ a tedy $m\leq x$.
+
Pak $x\SA m\leq m$, ale to je možné jen tehdy, když $x\SA m=m$, a tedy $m\leq x$.
 
Tedy $m$ je první a je nulou.
 
Tedy $m$ je první a je nulou.
 
\QED
 
\QED
Řádka 343: Řádka 343:
 
Označme $u:=\sup U$.
 
Označme $u:=\sup U$.
 
Mějme libovolné $a\in U$, pak $u\geq a$ a z izotonie je $f(u)\geq f(a)\geq a$,
 
Mějme libovolné $a\in U$, pak $u\geq a$ a z izotonie je $f(u)\geq f(a)\geq a$,
  tedy $f(u)$ je horní závora $U$ a tedy $u\leq f(u)$.
+
  tedy $f(u)$ je horní závora $U$, a tedy $u\leq f(u)$.
Z~izotonie dále dostáváme, že $f(u)\leq f(f(u))$ a tedy $f(u)\in U$, tedy $f(u)\leq u$.
+
Z~izotonie dále dostáváme, že $f(u)\leq f(f(u))$, a tedy $f(u)\in U$, tedy $f(u)\leq u$.
 
Celkově máme $f(u)=u$.
 
Celkově máme $f(u)=u$.
 
\QED
 
\QED
Řádka 374: Řádka 374:
 
\lemma
 
\lemma
 
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ úplný svaz.
 
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ úplný svaz.
Potom průnik libovolného systému ideálů v~$S$ je ideál.
+
Potom průnik libovolného systému ideálů v~$S$ je ideál v~$S$.
  
 
\proof
 
\proof
Řádka 446: Řádka 446:
 
\item
 
\item
 
  Platí $b\leq b\SV c \Limpl a\SA b\leq a\SA(b\SV c)$ a podobně $a\SA c\leq a\SA(b\SV c)$.
 
  Platí $b\leq b\SV c \Limpl a\SA b\leq a\SA(b\SV c)$ a podobně $a\SA c\leq a\SA(b\SV c)$.
  Tedy $a\SA(b\SV c)$ je horní závora $\{a\SA c, a\SA b\}$ a tedy je větší nebo rovno než
+
  Tedy $a\SA(b\SV c)$ je horní závora $\{a\SA c, a\SA b\}$, a tedy je větší nebo rovno než
 
  $\sup \{a\SA c, a\SA b\}=(a\SA c)\SV(a\SA b)$.
 
  $\sup \{a\SA c, a\SA b\}=(a\SA c)\SV(a\SA b)$.
 
\item
 
\item
Řádka 493: Řádka 493:
  
 
\proof
 
\proof
Distributivita je obecná podmínka, tedy se po zmenšení nosiče nemůže porušit.
+
Distributivita je obecná podmínka, tedy se nemůže po zmenšení nosiče porušit.
 
Homomorfismus zachovává průsek i spojení, tedy zachovává distributivitu.
 
Homomorfismus zachovává průsek i spojení, tedy zachovává distributivitu.
 
\QED
 
\QED
Řádka 535: Řádka 535:
 
\begin{description}
 
\begin{description}
 
\ditem{$\supseteq$}
 
\ditem{$\supseteq$}
  Pokud $d\in F$, je $d\SA a_0\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$ a tedy
+
  Pokud $d\in F$, je $d\SA a_0\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$, a tedy
 
  $x=x\SV(d\SA a_0)\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$.
 
  $x=x\SV(d\SA a_0)\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$.
 
\ditem{$\sse$}
 
\ditem{$\sse$}
Řádka 558: Řádka 558:
  
 
\item $a,b\in\bigcup\calR$. Pak $a\in F_1$, $b\in F_2$, bez újmy na obecnosti nechť $F_1\sse F_2$.
 
\item $a,b\in\bigcup\calR$. Pak $a\in F_1$, $b\in F_2$, bez újmy na obecnosti nechť $F_1\sse F_2$.
Potom $a,b\in F_2$ a tedy $a\SA b\in F_2\sse\bigcup\calR$.
+
Potom $a,b\in F_2$, a tedy $a\SA b\in F_2\sse\bigcup\calR$.
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\QED
 
\QED
Řádka 577: Řádka 577:
 
Nechť $F_0$ není ultrafiltr.
 
Nechť $F_0$ není ultrafiltr.
 
Tedy existují $a_1,a_2\in S$ takové, že $a_1\SV a_2\in F_0$, ale $a_1\notin F_0$ ani $a_2\notin F_0$.
 
Tedy existují $a_1,a_2\in S$ takové, že $a_1\SV a_2\in F_0$, ale $a_1\notin F_0$ ani $a_2\notin F_0$.
Definujme $F_1:=\anglevector{F_0\cup\{a_1\}}$ a $F_2:=\anglevector{F_0\cup\{a_1\}}$, přičemž $F_i\varsupsetneq F_0$
+
Definujme $F_1:=\anglevector{F_0\cup\{a_1\}}$ a $F_2:=\anglevector{F_0\cup\{a_2\}}$, přičemž $F_i\varsupsetneq F_0$
 
Ukážeme sporem, že $F_1\in\calF\Tor F_2\in\calF$ a tím vytvoříme spor s~maximalitou $F_0$.
 
Ukážeme sporem, že $F_1\in\calF\Tor F_2\in\calF$ a tím vytvoříme spor s~maximalitou $F_0$.
 
Tedy musíme ukázat, že $b\notin F_1\Tor b\notin F_2$.
 
Tedy musíme ukázat, že $b\notin F_1\Tor b\notin F_2$.
Řádka 621: Řádka 621:
  
 
\define
 
\define
Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!modulární]{modulární}, platí-li pro libovolné $a,b,c\in M$, $a\leq c$,
+
Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!modulární]{modulární}, platí-li pro libovolné $a,b,c\in M$, $a\leq c$
 
  vztah $a\SV(b\SA c)=(a\SV b)\SA c$.
 
  vztah $a\SV(b\SA c)=(a\SV b)\SA c$.
  
Řádka 664: Řádka 664:
 
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz s~nulou a jednotkou.
 
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz s~nulou a jednotkou.
 
\defined[rzada@řada!normální]{Normální řada} ve svazu $S$ je libovolná posloupnost $(a_i)_{i=0}^m$ prvků z $M$
 
\defined[rzada@řada!normální]{Normální řada} ve svazu $S$ je libovolná posloupnost $(a_i)_{i=0}^m$ prvků z $M$
  taková, že $1=a_0>a_1>\cdots>a_m=0$.
+
  taková, že $1=a_0>a_1>\cdots>a_m=0$. Číslo $m$ nazveme \defined[délka normální řady]{délkou normální řady}.
  
 
\define
 
\define
Řádka 675: Řádka 675:
  
 
\theorem(Schreier)
 
\theorem(Schreier)
Libovolné 2 normální řady v modulárním svazu mají zjemnění stených délek.
+
Libovolné 2 normální řady v modulárním svazu mají zjemnění stejných délek.
  
 
\theorem(Jordan, H\H older)
 
\theorem(Jordan, H\H older)
Řádka 687: Řádka 687:
 
\item
 
\item
 
  Nechť je $(a_i)$ kratší hlavní řada.
 
  Nechť je $(a_i)$ kratší hlavní řada.
  Pak ji podle Shreierovy věty lze zjemnit (vlastním zjemněním), což je spor s~tím, že je hlavní.
+
  Pak ji podle Schreierovy věty lze zjemnit (vlastním zjemněním), což je spor s~tím, že je hlavní.
 
\item
 
\item
  Buď $(a_i)$ hlavní řada a $(b_j)$ libovolná řada.
+
  Buď $(a_i)$ hlavní řada a $(b_j)$ libovolná normální řada.
 
  Nechť $(b_j)$ nelze zjemnit na hlavní řadu.
 
  Nechť $(b_j)$ nelze zjemnit na hlavní řadu.
 
  Pak existuje zjemnění $(c_k)$ delší, než $(a_i)$ a podle Schreierovy věty lze najít jejich zjemnění stejných délek.
 
  Pak existuje zjemnění $(c_k)$ delší, než $(a_i)$ a podle Schreierovy věty lze najít jejich zjemnění stejných délek.
Řádka 714: Řádka 714:
 
  $g(f(x))=g(x\SA b)=(x\SA b)\SV a$, a neboť $x\geq a$, je $g(f(x))=x\SA(b\SV a)$, a neboť $x\leq a\SV b$,
 
  $g(f(x))=g(x\SA b)=(x\SA b)\SV a$, a neboť $x\geq a$, je $g(f(x))=x\SA(b\SV a)$, a neboť $x\leq a\SV b$,
 
  je $g(f(x))=x$.
 
  je $g(f(x))=x$.
Podobně ukážeme, že $f\circ g=\id$ a tedy $f$ i $g$ jsou bijekce.
+
Podobně ukážeme, že $f\circ g=\id$, a tedy $f$ i $g$ jsou bijekce.
 
Ukážeme, že $f$ a $g$ jsou izomorfismy uspořádaných množin, tedy $x\leq y\Lequiv f(x)\leq f(y)\Lequiv g(x)\leq g(y)$.
 
Ukážeme, že $f$ a $g$ jsou izomorfismy uspořádaných množin, tedy $x\leq y\Lequiv f(x)\leq f(y)\Lequiv g(x)\leq g(y)$.
Směr vpravo je snadný, pokud $x\leq y$, je $f(x)=x\SA b\leq y\SA b=f(y)$, a podobně pro $g$.
+
Směr vpravo je snadný, pokud $x\leq y$, je $f(x)=x\SA b\leq y\SA b=f(y)$ a podobně pro $g$.
 
Pro směr vlevo předpokládejme, že $f(x)\leq f(y)$, pak dostáváme $x=g(f(x))\leq g(f(y))=y$, a podobně pro $g$.
 
Pro směr vlevo předpokládejme, že $f(x)\leq f(y)$, pak dostáváme $x=g(f(x))\leq g(f(y))=y$, a podobně pro $g$.
 
Tedy jsme našli množinový, a tím i svazový izomorfismus obou intervalů.
 
Tedy jsme našli množinový, a tím i svazový izomorfismus obou intervalů.
Řádka 777: Řádka 777:
 
\end{picture}
 
\end{picture}
 
\end{center}
 
\end{center}
  K~prvku $a$ existují 2 různé srovnatelné komplementy $a_1$ a $a_2$.
+
  Prvek $c$ představuje nulu, prvek $d$ jednotku. K~prvku $a$ existují 2 různé srovnatelné komplementy $a_1$ a $a_2$.
  Dále svaz $\Nf$ má 2 hlavní řady různé délky, tedy není modulární, a není ani distributivní.
+
  Dále svaz $\Nf$ má 2 hlavní řady různé délky ($d, a, c$ a $d, a_1, a_2, c$), tedy není modulární, a není ani distributivní.
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
  
Řádka 807: Řádka 807:
 
\QED
 
\QED
  
\remark (algebraický vtip, který nezazněl na přednášce):
+
\remark (algebraický vtip, který nezazněl na přednášce)
Víte, proč byl Sovětský svaz narozdíl od USA modulární? Protože neměl Pentagon.
+
Víte, proč je Sovětský svaz modulární? Protože nemá Pentagon.
  
 
\example
 
\example
Definujeme svaz $\Mf$ nazývaný \defined[diamant]{Diamant}:
+
Definujeme svaz $\Mf$ nazývaný \defined[diamant]{diamant}:
 
\begin{center}\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}
 
\begin{center}\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}
 
\begin{picture}(40,24)(-20,0)
 
\begin{picture}(40,24)(-20,0)
Řádka 847: Řádka 847:
  
 
\define
 
\define
Řekneme, že svaz s nulou a jednotkou je \defined[svaz!Booleův]{Booleův}, je-li distibutivní a komplementární.
+
Řekneme, že svaz s nulou a jednotkou je \defined[svaz!Booleův]{Booleův}, je-li distributivní a komplementární.
  
 
\example
 
\example
Řádka 854: Řádka 854:
 
\example
 
\example
 
Vraťme se k~12prvkové alternující grupě $\AM 4$, která není jednoduchá a nemá žádnou 6prvkovou podgrupu
 
Vraťme se k~12prvkové alternující grupě $\AM 4$, která není jednoduchá a nemá žádnou 6prvkovou podgrupu
  (přestože $6\divides12$), a nakresleme schema svazu jejích podgrup.
+
  (přestože $6\divides12$), a nakresleme schéma svazu jejích podgrup.
 
\begin{center}
 
\begin{center}
 
\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}
 
\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}
Řádka 898: Řádka 898:
 
Vidíme, že svaz všech podgrup $\AM 4$ není modulární, neboť má hlavní řady různé délky.
 
Vidíme, že svaz všech podgrup $\AM 4$ není modulární, neboť má hlavní řady různé délky.
 
Je to protipříklad, kdyby si někdo myslel, že svaz všech (nejen normálních) podgrup je modulární.
 
Je to protipříklad, kdyby si někdo myslel, že svaz všech (nejen normálních) podgrup je modulární.
Dále svaz podgrup $\AM 4$ ani svaz podgrup $\KM 4$ není distibutivní.
+
Dále svaz podgrup $\AM 4$ ani svaz podgrup $\KM 4$ není distributivní.
 
Navíc všechny podgrupy $\KM 4$ jsou normální, tedy neplatí, že by libovolný svaz normálních podgrup byl distributivní.
 
Navíc všechny podgrupy $\KM 4$ jsou normální, tedy neplatí, že by libovolný svaz normálních podgrup byl distributivní.
  
Řádka 905: Řádka 905:
 
\define
 
\define
 
Mějme Booleův svaz $S=(M,\SA,\SV)$.
 
Mějme Booleův svaz $S=(M,\SA,\SV)$.
Pak algebru $Q=(M,\SA,\SV,{'},0,1)$, kde operace $({'})$ je komplement a je unární,
+
Pak algebru $Q=(M,\SA,\SV,{'},0,1)$, kde operace $({'})$ je komplement a je unární
 
  a operace $0$ a $1$ jsou nulární, tedy konstanty, nazveme \defined[algebra!Booleova]{Booleova algebra}.
 
  a operace $0$ a $1$ jsou nulární, tedy konstanty, nazveme \defined[algebra!Booleova]{Booleova algebra}.
  
Řádka 925: Řádka 925:
 
$b=b\SA 1=b\SA(a\SV a')=(b\SA a)\SV(b\SA a')=0\SV(b\SA a')=b\SA a' \Lequiv b\leq a'$
 
$b=b\SA 1=b\SA(a\SV a')=(b\SA a)\SV(b\SA a')=0\SV(b\SA a')=b\SA a' \Lequiv b\leq a'$
 
\item
 
\item
$(a\SA b)'\SA(a'\SV b')=(a\SA b\SA a')\SV(a\SA b\SA b')=0\SV0=0$,\\
+
$(a\SA b)\SA(a'\SV b')=(a\SA b\SA a')\SV(a\SA b\SA b')=0\SV0=0$,\\
$(a\SA b)'\SV(a'\SV b')=(a\SV a\SV b')\SA(b\SV a'\SV a')=1\SA1=1$;
+
$(a\SA b)\SV(a'\SV b')=(a\SV a'\SV b')\SA(b\SV a'\SV b')=1\SA1=1$;
 
%\item
 
%\item
 
%$a\leq b$; $b'\SA a'=(b\SV a)'=b'$; $b'\leq a'$.
 
%$a\leq b$; $b'\SA a'=(b\SV a)'=b'$; $b'\leq a'$.
Řádka 971: Řádka 971:
 
Libovolná konečná Booleova algebra má počet prvků roven číslu $2^n$, $n\in\N$.
 
Libovolná konečná Booleova algebra má počet prvků roven číslu $2^n$, $n\in\N$.
 
\item
 
\item
K libovolnému $n\in\N$ existuje až na izometrii právě jedna Booleova algebra s~$2^n$ prvky.
+
K libovolnému $n\in\N$ existuje až na izomorfii právě jedna Booleova algebra s~$2^n$ prvky.
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
  

Aktuální verze z 17. 2. 2012, 14:19

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01ALG

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01ALGKarel.brinda 24. 8. 201014:49
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 24. 10. 201019:54 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodní poznámkyKarel.brinda 26. 8. 201015:03 alg_note.tex
Kapitola1 editovatTeorie množínSnilard 6. 1. 201100:37 alg_set.tex
Kapitola2 editovatRelaceKarel.brinda 25. 1. 201122:52 alg_rel.tex
Kapitola3 editovatUspořádané množinySedlam18 24. 1. 201213:18 alg_set2.tex
Kapitola4 editovatAlgebraSnilard 6. 1. 201100:59 alg_alg.tex
Kapitola5 editovatTeorie grupPitrazby 17. 2. 201202:51 alg_group.tex
Kapitola6 editovatOkruhyPitrazby 17. 2. 201203:00 alg_ring.tex
Kapitola7 editovatModuly a lineární algebryKosarvac 11. 11. 201115:50 alg_module.tex
Kapitola8 editovatTeorie svazůPitrazby 17. 2. 201214:19 alg_lattice.tex
Kapitola9 editovatPolynomy nad komutativními tělesyPitrazby 17. 2. 201214:21 alg_polynoms.tex
Kapitola10 editovatKonečná tělesaPitrazby 17. 2. 201214:24 alg_finite.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01ALG}
 
\xxx{Teorie svazů}
 
\xxxx{Svazy}
 
\define
\defined[svaz]{Svazem} (angl. \defined{lattice}) rozumíme algebru $S=(M,\SA,\SV)$
 se dvěma binárními operacemi takovou, že pro libovolné $a,b,c\in M$ platí:
\begin{enumerate}
\item
 $a\SA b=b\SA a$, \; $a\SV b=b\SV a$ (komutativní zákon);
\item
 $(a\SA b)\SA c=a\SA (b\SA c)$, \; $(a\SV b)\SV c=a\SV (b\SV c)$ (asociativní zákon);
\item
 $a\SA (b\SV a)=a$, \; $a\SV(b\SA a)=a$ (\defined[zákon!absorpce]{zákon absorpce}).
\end{enumerate}
 
Operaci $\SA$ nazýváme \defined[průsek]{průsek} a operaci $\SV$ \defined[spojení]{spojení}.
 
\lemma
Ve svazu $S=(M,\SA,\SV)$ platí pro libovolný prvek $a\in M$, že $a\SA a=a$ a $a\SV a=a$
 (tzv. \defined[idempotentnost]{idempotentnost})
 
\proof
$a\SA a=a\SA(a\SV(b\SA a))=a$, druhá rovnost symetricky.
\QED
 
\theorem(princip duality v teorii svazů)
Máme-li formuli v~teorii svazů, která platí ve všech svazech,
 pak duální formule vzniklá prohozením operací průseku a spojení opět platí ve všech svazech.
 
\xxxx{Svazově uspořádaná množina}
 
\remark
Připomeneme důležité pojmy pro uspořádané množiny $(M,\leq)$.
\begin{enumerate}
\item
 Horní závora množiny $A\sse M$ je každé takové $a\in M$, že $(\AA x\in A)(x\leq a)$.
\item
 Má-li množina horních závor první prvek, nazveme jej supremum $A$.
 Pro $s=\sup A$ platí:
 \begin{enumerate}
 \item $(\AA a\in A)(a\leq s)$;
 \item $\bigl(\AA t\in M\bigr)\bigl((\AA a\in A)(a\leq t)\Limpl s\leq t\bigr)$.
 \end{enumerate}
\item
 $\sup \emptyset$ je první prvek množiny $M$ (pokud existuje).
\item
 $\sup M$ je poslední prvek množiny $M$ (pokud existuje).
\end{enumerate}
 
\define
Řekneme, že uspořádaná množina $(M,\leq)$ je \defined[uspořádání!svazové]{svazově uspořádaná},
 má-li v~ní libovolná 2prvková množina infimum a supremum.
 
\lemma
Pro libovolné prvky svazu platí, že
 $$a\SA b=a \iff a\SV b=b.$$
 
\proof
\begin{description}
\ditem{$\Rightarrow$} $a\SV b=(a\SA b)\SV b=b$.
\ditem{$\Leftarrow$} $a\SA b=a\SA(a\SV b)=a$.
\end{description}
\QED
 
\theorem
\begin{enumerate}
\item
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.
Definujeme-li na $M$ binární relaci $\leq$ jako $a\leq b\Lequiv a\SA b=a$,
 pak $(M,\leq)$ je svazově uspořádaná.
\item
Buď $(M,\leq)$ svazově uspořádaná množina.
Definujeme-li na $M$ binární operace $\SA, \SV$ jako $a\SA b:=\inf\{a,b\}$ a $a\SV b:=\sup\{a,b\}$,
 pak $(M,\SA,\SV)$ je svazem.
\end{enumerate}
 
\proof
\begin{enumerate}
\item
 \begin{description}
 \ditem{reflexivita}
  $a\leq a\Lequiv a\SA a=a$.
 \ditem{antisymetrie}
  $a\SA b=a$ a $b\SA a=b$, a z~komutativity plyne $a=b$.
 \ditem{transitivita}
  Nechť $a\leq b$ a $b\leq c$, pak $a\SA c=a\SA b\SA c=a\SA b=a$.
 \ditem{je svazové}
  Ukážeme, že $\inf\{a,b\}=a\SA b$.
  %TODO
  Obdobně $\sup\{a,b\}=a\SV b$.
 \end{description}
\item
 \begin{description}
 \ditem{komutativita}
  $a\SA b=\inf\{a,b\}=\inf\{b,a\}=b\SA a$.
 \ditem{asociativita}
  $(a\SA b)\SA c=\inf\{\inf\{a,b\},c\}=\inf\{a,b,c\}=\inf\{a,\inf\{b,c\}\}=a\SA(b\SA c)$
   s~využitím následujícího lemmatu a faktu, že každá 2prvková má infimum.
 \ditem{pohlcení}
  $\inf\{a,\sup\{b,a\}\}=a$ z~definice. %TODO 1.,2.
 \end{description}
 Druhý z~každé dvojice axiomů dokážeme podobně.
\end{enumerate}
\QED
 
\lemma
Mějme uspořádanou množinu $(M,\leq)$ a $a,b,c\in M$.
Potom pokud existuje $\inf\{\inf\{a,b\},c\}=:i$, je $i=\inf\{a,b,c\}$.
Pokud je navíc $(M,\leq)$ svazově uspořádaná, platí $i=\inf\{a,\inf\{b,c\}\}$.
 
\proof
\begin{description}
\ditem{$i\leq a,b,c$}
Je $i\leq c$ a $i\leq\inf\{a,b\}$, tedy $i\leq a,b$.
\ditem{$d\leq a,b,c\Limpl d\leq i$}
Neboť $d\leq a$ a $d\leq b$, je $d\leq\inf\{a,b\}$ a současně je $d\leq c$,
 tedy \hbox{$d\leq\inf\{c,\inf\{a,b\}\}=i$}.
\end{description}
 
Pokud je navíc uspořádaní svazové, pak existuje infimum 2prvkové množiny $\{b,c\}$ a také infimum 2prvkové množiny
 $\{a,\inf\{b,c\}\}$.
A tedy je podle prvního tvzení $\inf\{a,\inf\{b,c\}\}=\inf\{a,b,c\}=i$.
\QED
 
\remark
Operace jsou jednoznačně svázané, neboť např. pomocí $\SA$ definujeme $\leq$ a to nám definuje $\SV$.
 
\lemma
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a nechť $a,b,c\in M$.
Potom platí
$$(a\leq b)\Limpl(a\SA c\leq b\SA c \;\Tand\; a\SV c \leq b\lor c).$$
 
\proof
Z definice: $a\SA c\SA b\SA c=a\SA c$, $a\SV c\SV b\SV c=b\SV c$.
\QED
 
\define
Mějme svaz $S=(M,\SA,\SV)$.
Pak pro $N\sse M$ je $T=(N,\SA,\SV)$ \defined[podsvaz]{podsvazem} svazu $S$,
 pokud je $T$ svazem, tj. pokud je $N$ neprázdná a uzavřená vůči oběma operacím.
 
\example
\begin{enumerate}
\item
\defined[svaz!množinový]{Množinový svaz} $S=(M,\cap,\cup)$, kde $M$ je systém množin uzavřený na operace.
Speciálním případem je $M=\PP A$, kde snadno ověříme platnost axiomů svazu.
Svazové uspořadání množinového svazu je inkluze $\sse$.
 
Mějme $A$ množinu a $B\sse A$ její podmnožinu.
Pak $(\PP B,\cap,\cup)$ je podsvazem svazu $(\PP A,\cap,\cup)$.
 
Dále např. $\varsigma$-algebry tvoří množinové svazy.
\item
Pro libovolné $a\in S\supdot$ je $(\{a\},\SA,\SV)$ podsvazem $S$.
 
Pro libovolné $a,b\in S\supdot$ je $(\{a,b\},\SA,\SV)$ podvazem $S$, pokud jsou srovnatelné.
\item
Úplně uspořádaná množina je uspořádaná svazově a supremum a infimum přecházi v~maximum a minimum
 (vždy to bude jeden z obou prvků).
Příkladem jsou číselné množiny $(\Nz,\leq)$ či $(\R,\leq)$.
\item
Mějme uspořádání $(\Nz,\divides)$ s~uspořádáním \uv{dělí}.
Pak $k\SA l$ je největší (podle $\divides$) takové $d$, že $d\divides k$ a $d\divides l$, tj. $k\SA l=\gcd(k,l)$.
Obdobně $k\SV l=\lcm(k,l)$.
\item
Mějme $G=(M,\cdot)$ grupu a označme $M_G$ systém všech jejích podgrup.
Označme $(\SA)=(\cap)$.
Pak umíme definovat $(\leq)$ jako $a\leq b\Lequiv a\cap b=a \Lequiv a\sse b$.
Tedy průsek i relace jsou stejné jako v množinovém svazu, ale víme, že sjednocení nemůže být spojením.
Definujeme ji $a\SV b:=\sup\{a,b\}$, to je nejmenší podgrupa $G$ obsahující $a$ i $b$, což je $ab$.
Tedy platí $(\SV)=(\cdot)$.
\item
$N_G=(N_G\supdot,\cap,\cdot)$ je svaz všech normálních podgrup grupy $G$.
Pak $N_G$ je podsvazem svazu $S_G$.
\item
Podobně tvoří svazy systémy podokruhů, ideálů, podtěles, podprostorů vektorového prostoru, doplněné o průnik a součet.
\end{enumerate}
 
\define
Mějme $a,b\in S\supdot$, $a<b$.
Pak \defined[interval]{intervalem} nazveme množinu $\anglecouple ab=\set x{a\leq x\leq b}$.
 
\lemma
Interval $\anglecouple ab$ je podsvazem $S$.
 
\proof
Mějme $x,y\in\anglecouple ab$.
Ukážeme, že $x\SA y\in\anglecouple ab$.
Platí $x\geq a$ a $y\geq a$, tedy $x\SA y\geq a\SA y\geq a\SA a=a$.
Obdobně pro $b$ a pro druhou operaci.
\QED
 
\xxxx{Ideály}
 
\define
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.
\defined[ideál (svazy)]{Ideálem} rozumíme libovolný jeho podsvaz $I$ takový, že platí
$$(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I).$$
 
\lemma[lattice123]
Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a $I$ jeho podsvaz.
Následující tvrzení jsou ekvivalentní:
\begin{enumerate}
\item $(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$ \quad (tj. $I$ je ideál);
\item $(\AA a\in I)(\AA b\in S)(b\leq a \Limpl b\in I)$;
\item $(\AA a,b\in S)(a\SV b\in I \Limpl a,b\in I)$.
\end{enumerate}
 
\proof
\begin{description}
\ditem{$1\Limpl2$}
 Mějme $a\in I$ a $b\leq a$.
 Pak podle předpokladu $a\SA b\in I$, ale současně $a\SA b=b$, tedy $b\in I$.
\ditem{$2\Limpl3$}
 Buď $a\SV b\in I$.
 Platí $a\leq a\SV b$ a $b\leq a\SV b$ a podle (2) je $a\SV b\in I$.
\ditem{$3\Limpl1$}
 Mějme $a\in I$ a $s\in M$.
 Pak $a=a\SV(a\SA s)\in I$, a tedy $a\SA s\in I$.
\end{description}
\QED
 
\consequence
Ideály ve svazu $S$ jsou takové $I\sse M$, $I\neq\emptyset$, že platí $(\AA a,b\in M)(a,b\in I\Lequiv a\SV b\in I)$.
 
\lemma
Buďte $S$ svaz a $a\in M$.
Pak množina $I_a:=\set{x\in M}{x\leq a}$ je ideálem.
 
\proof
$I_a$ je uzavřená vůči $\SV$ a platí (2) v~\ref{lattice123}.
\QED
 
\define
Ideál $I_a:=\set{x\in M}{x\leq a}$ nazýváme \defined[ideál (svazy)!hlavní]{hlavní ideál} generovaný prvkem $a$.
 
Je-li ve svazu každý ideál hlavní, nazveme jej \defined[svaz!hlavních ideálů]{svaz hlavních ideálů}.
 
\define
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.
\defined[filtr]{Filtrem} rozumíme libovolný jeho podsvaz $F$ takový, že platí
$$(\AA a\in F)(\AA s\in M)(a\SV s\in F).$$
 
\xxxx{Izomorfismus svazů}
 
\define
Buďte $S_1=(M_1,\SA,\SV)$ a $S_2=(M_2,\SA,\SV)$ svazy.
Zobrazení $\map h{M_1}{M_2}$ nazveme \defined[homomorfismus (svazy)]{homomorfismus}, platí-li
 $$(\AA x,y\in M_1)(h(x\SA y)=h(x)\SA h(y)\Tand h(x\SV y)=h(x)\SV h(y)).$$
\defined[izomorfismus (svazy)]{Izomorfismus} je takový homomorfismus, který je bijektivní.
 
\lemma
Homomorfismus svazů je izotonní zobrazení.
 
\proof
Mějme $\map h{S_1}{S_2}$ a $x,y\in S_1\supdot$, $x\leq y$.
Potom $h(x)\SA h(y)=h(x\SA y)=h(x)$, tedy $h(x)\leq h(y)$.
\QED
 
\theorem
Buďte $S_1=(M_1,\SA,\SV)$ a $S_2=(M_2,\SA,\SV)$ svazy.
Zobrazení $\map h{M_1}{M_2}$ je izomorfismem svazů právě tehdy, je-li izomorfismem svazově uspořádaných množin.
 
\proof
Pro obě implikace je předpokladem bijekce, a tedy existence $h^\1$.
\begin{description}
\ditem{$\Rightarrow$}
 Podle předchozího lemmatu je $x\leq y\Limpl h(x)\leq h(y)$.
 Zbývá tedy opačná implikace.
 Předpokládejme $h(x)\SA h(y)=h(x)$.
 Potom díky bijekci je $x\SA y=x$, a tedy $x\leq y$.
 
\ditem{$\Leftarrow$}
 Platí $x\SA y\leq x$, tedy $h(x\SA y)\leq h(x)$ a $h(x\SA y)$ je dolní závora $h(x)$
  a podobně je dolní závorou $h(y)$.
 Mějme libovolné $d\in S_2\supdot$ takové, že $d\leq h(x)$ a $d\leq h(y)$.
 Neboť $h$ je bijekce, existuje $c\in S_1$ takové, že $h(c)=d$.
 Platí $h(c)\leq h(x)$ a $h(c)\leq h(y)$, čili $c\leq x$ a $c\leq y$,
  a tedy $c\leq\inf\{x,y\}$ a konečně $d=h(c)\leq h(x\SA y)$.
 Tedy každá dolní závora $h(x),h(y)$ je nejvýše rovna $h(x\SA y)$.
 Tedy $h(x)\SA h(y)=h(x\SA y)$.
 Obdobně ukážeme, že $h(x)\SV h(y)=h(x\SV y)$.
\end{description}
\QED
 
\define
Má-li svaz nejmenší (první), resp. největší (poslední) prvek, nazveme jej \defined[nula (svazy)]{nulou}, resp.
 \defined[jednotka (svazy)]{jednotkou} a značíme $0$, resp. $1$.
 
\example
\begin{enumerate}
\item Mějme množinu $A$ a množinový svaz $(\PP A,\cap,\cup)$ s~uspořádáním $\sse$.
 Pak jednotkou je $A$ a nulou je $\emptyset$.
\item Mějme svaz $(\Nz,\gcd,\lcm)$ s uspořádáním $({\divides})$.
 Pak jednotkou je číslo $0$ (platí $n\divides0$) a nulou je číslo $1$ (platí $1\divides n$).
\end{enumerate}
 
\lemma
Libovolný minimální prvek svazu je nulou.
Libovolný maximální prvek svazu je jednotkou.
 
\proof
Ukážeme pouze první tvrzení, druhé lze ukázat obdobně.
Mějme $m$ minimální a libovolné $x\in S\supdot$.
Pak $x\SA m\leq m$, ale to je možné jen tehdy, když $x\SA m=m$, a tedy $m\leq x$.
Tedy $m$ je první a je nulou.
\QED
 
\xxxx{Úplné svazy}
 
\define
Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!úplný]{úplným svazem},
 má-li v~něm libovolná podmnožina $N\sse M$ infimum i supremum.
 
\remark
V každém svazu existuje infimum a supremum konečné podmnožiny.
V úplném svazu vyžadujeme existenci infima a suprema pro každou (prázdnou, konečnou, spočetnou, nespočetnou) podmnožinu.
 
\lemma
Úplný svaz má nulu a jednotku.
 
\proof
\begin{enumerate}
\item $1=\sup M=\inf\emptyset$.
\item $0=\inf M=\sup\emptyset$.
\end{enumerate}
\QED
 
\example
V~množinovém svazu $S=(\PP M,\cap,\cup)$ je infimem $\calA\sse\PP M$ množina $\bigcap\calA\sse M$
 a supremem $\bigcup\calA\sse M$, tedy $S$ je úplný svaz.
 
\theorem(o pevném bodě)
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ úplný svaz a buď $\map fMM$ izotonie.
Pak existuje pevný bod izotonie $f$, tj. $$(\EE u\in M)(f(u)=u).$$
 
\proof
Definujeme $U=\set{a\in M}{f(a)\geq a}$.
Jistě $0\in U$, tedy $U$ je neprázdná.
Označme $u:=\sup U$.
Mějme libovolné $a\in U$, pak $u\geq a$ a z izotonie je $f(u)\geq f(a)\geq a$,
 tedy $f(u)$ je horní závora $U$, a tedy $u\leq f(u)$.
Z~izotonie dále dostáváme, že $f(u)\leq f(f(u))$, a tedy $f(u)\in U$, tedy $f(u)\leq u$.
Celkově máme $f(u)=u$.
\QED
 
\theorem
Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.
Má-li každá podmnožina $M$ infimum, pak má každá podmnožina $M$ supremum.
 
\proof
Mějme $N\sse M$.
Nechť $Z$ je množina horních závor $N$.
Dále $Z\neq\emptyset$, neboť v~ní je největší prvek $M$, což je $\inf\emptyset$.
Pokud $N=\emptyset$, pak $\sup N$ je $\inf M$.
 
Nyní máme $(\AA n\in N)(\AA z\in Z)(n\leq z)$.
Tedy každý prvek $N$ je dolní závorou $Z$ a platí $n\leq\inf Z$, jehož existenci předpokládáme.
A neboť $(\AA n\in N)(n\leq\inf Z)$, tedy $\inf Z$ je horní závora a je nemenší z~nich.
Tedy $\sup N=\inf Z$.
\QED
 
\consequence
Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.
Má-li každá podmnožina $M$ supremum, pak má každá podmnožina $M$ infimum.
 
\consequence
Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.
Má-li každá podmnožina $M$ infimum, nebo má-li každá podmnožina $M$ supremum, pak $(M,\SA,\SV)$ je úplný svaz.
 
\lemma
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ úplný svaz.
Potom průnik libovolného systému ideálů v~$S$ je ideál v~$S$.
 
\proof
Označme $J_\alpha$ jednotlivé ideály a $I:=\bigcap J_\alpha$.
Neboť $0\in M$ a $0\in J_\alpha$, je $0\in I$ a $I\neq\emptyset$.
Dále platí $a\in I\Lequiv(\AA\alpha)(a\in J_\alpha)$
 a pro všechna $\alpha$ je $(\AA a\in J_\alpha)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$,
 tedy máme $(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$, což je definiční podmínka ideálu.
\QED
 
\define
Řekneme, že svaz $S_1$ lze \defined[vnoření!izomorfní (svazy)]{izomorfně vnořit} do svazu $S_2$,
 existuje-li monomorfismus $\map h{S_1}{S_2}$.
Potom platí $S_1\cong h(S_1)\sg S_2$.
 
\theorem
Libovolný svaz lze izomorfně vnořit do úplného svazu.
 
\proof
Předpokládejme, že svaz $S_0=(M_0,\SA,\SV)$ nemá nulu.
Pak definujeme množinu $M:=M_0\cup\{0\}$ a pokládáme $(\AA x\in M_0)(0<x)$.
Tedy $S_0\sg S:=(M,\SA,\SV)$.
 
\def\NN{{\mathscr N}}
\def\II#1{{\mathscr I}_{#1}}
\def\ZZ#1{{\mathscr Z}_{#1}}
\def\UU#1{{\mathscr U}_{#1}}
\def\HH#1{{\mathscr H}_{#1}}
Označme $\II S$ množinu všech ideálů svazu $S$.
Je neprázdná, neboť např. $\{0\},S\in\II S$.
Pak $(\II S, \sse)$ je uspořádaná množina.
Pro libovolné $\NN\sse \II S$ je $\inf\NN=\bigcap\NN\in\II S$,
 a pokud označíme $\ZZ\NN$ množinu všech horních závor $\NN$, platí
 $\sup\NN=\inf\ZZ\NN=\bigcap\set{I\in\II S}{(\AA J\in\NN)(J\sse I)}$.
Tedy pokud položíme $I\SA J:=I\cap J$ a $I\SV J:=\bigcap\set{K\in\II S}{I,J\sse K}$,
 je $\UU S:=(\II S,\SA,\SV)$ úplný svaz.
 
Definujeme zobrazení $\map hM{\II S}$ jako $h(a)=I_a$.
Ukážeme, že $h$ je monomorfismus svazů, tj. pokud označíme $\HH S$ množinu všech hlavních ideálů $S$,
 máme $\maptype hM{na}{\HH S}$.
\begin{description}
\ditem{$h$ je prosté}
 Nechť $h(a)=h(b)$.
 Pak $I_a=I_b$, tedy $a\leq b$ a $b\leq a$, tedy $a=b$.
\ditem{$h$ je množinový izomorfismus $(M,\leq)$ a $(\HH S,\sse)$}
 Mějme $a, b\in M$.
 Pak $a\leq b \Lequiv I_a\sse I_b \Lequiv h(a)\sse h(b)$.
\ditem{$h$ je svazový izomorfismus}
 Vyplývá z~předchozího bodu a předchozího výkladu.
\end{description}
\QED
 
\example
Věta nám umožňuje přechod od $\Q$ k $\R$.
Hlavními ideály v~$(\Q,\leq)$ jsou $I_a=\set{x\in\Q}{x\leq a}$.
A všemi ideály jsou $\set{x\in\Q}{x\leq r}$ a $\set{x\in\Q}{x<r}$ pro všechna $r\in\R$.
 
\xxxx{Distributivní svazy}
 
\theorem
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ libovolný svaz.
Pak pro libovolné prvky $a,b,c\in M$ platí:
\begin{enumerate}
\item $a\SA(b\SV c)\geq (a\SA b)\SV(a\SA c)$;
\item $a\SV(b\SA c)\leq (a\SV b)\SA(a\SV c)$;
\item je-li $a\leq c$, platí $a\SV(b\SA c)\leq(a\SV b)\SA c$.
\end{enumerate}
 
\proof
\begin{enumerate}
\item
 Platí $b\leq b\SV c \Limpl a\SA b\leq a\SA(b\SV c)$ a podobně $a\SA c\leq a\SA(b\SV c)$.
 Tedy $a\SA(b\SV c)$ je horní závora $\{a\SA c, a\SA b\}$, a tedy je větší nebo rovno než
 $\sup \{a\SA c, a\SA b\}=(a\SA c)\SV(a\SA b)$.
\item
 Symetricky z~duality.
\item
 Platí $a\SV c=c$, tedy podle (2) je $a\SV(b\SA c)\leq (a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.
\end{enumerate}
\QED
 
\define
Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!distibutivní]{distributivní}, pokud pro libovolné $a,b,c\in M$ platí:
\begin{enumerate}
\ditem{D1} $a\SA(b\SV c)=(a\SA b)\SV(a\SA c)$;
\ditem{D2} $a\SV(b\SA c)=(a\SV b)\SA(a\SV c)$.
\end{enumerate}
 
\remark
Pro rovnosti máme ve všech svazech zaručeno platnost jedné nerovnosti.
Stačí tedy dokázat nerovnosti opačné než v~předchozí větě.
 
\lemma
$\text{(D1)} \Limpl \text{(D2)}$.
 
\proof
Vyjdu z pravé strany (D2) a použiji (D1):
$(a\SV b)\SA(a\SV c)=((a\SV b)\SA a)\SV((a\SV b)\SA c)=a\SV((a\SV b)\SA c)
 =a\SV((a\SA c)\SV(b\SA c))=(a\SV(a\SA c))\SV(b\SA c)=a\SV(b\SA c)$.
\QED
 
\example
Příklady distributivních svazů:
\begin{enumerate}
\item
 množinové svazy;
\item
 úplně uspořádané množiny;
\item
 $(\Nz,\divides)=(\Nz,\gcd,\lcm)$.
\end{enumerate}
 
\example
Svazy podgrup, normálních podgrup, \ldots nejsou obecně distributivní.
 
\theorem
Libovolný podsvaz i libovolný homomorfní obraz distributivního svazu je distributivní.
 
\proof
Distributivita je obecná podmínka, tedy se nemůže po zmenšení nosiče porušit.
Homomorfismus zachovává průsek i spojení, tedy zachovává distributivitu.
\QED
 
\define
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.
Filtr $F$ se nazývá \defined[ultrafiltr]{ultrafiltr}, je-li $F\neq M$ a platí
$$(\AA a,b\in M)(a\SV b\in F \Limpl (a\in F \Tor b\in F)).$$
Množinu všech ultrafiltrů na $S$ označujeme $\UM S$.
 
\remark
V definiční podmínce ultrafiltru platí z~definice filtru i zpětná implikace.
 
\remark
V matematické logice hrají filtry důležitou roli, pokud položíme spojení jako \uv{nebo} a průsek jako \uv{a zároveň},
 pak podmínka ultrafiltru vyjadřuje, kdy je konjunkce pravdivá.
Podmínka filtru pak bude $a\SA b\in F \Lequiv (a\in F \Tand b\in F)$.
 
\example
Mějme $S=(\PP A,\cap,\cup)$ a $a\in A$, tedy $\{a\}\in\PP A$.
Pak definujeme hlavní filtr $F_{\{a\}}:=\set{B\in\PP A}{\{a\}\sse B}=\set{B\sse A}{a\in B}$.
Pak $F_{\{a\}}\not\ni\emptyset$, tedy $F_{\{a\}}\neq\PP A$.
 
Mějme $B_1,B_2\in\PP A$ a nechť $a\in B_1\cup B_2$, pak $a\in B_1$ nebo $a\in B_2$,
 tedy $B_1\in F_{\{a\}}$ nebo $B_2\in F_{\{a\}}$.
Tedy $F_{\{a\}}$ je ultrafiltr.
 
Ale $F_{\{a,b\}}$ pro $a\neq b$ není ultrafiltr.
 
\define
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ a nechť $\emptyset\neq N\sse M$.
Pak definujeme $\anglevector N$ jako nejmenší filtr ve svazu $S$ obsahující $N$:
$$\anglevector N=\bigcap\set{F\in\FM S}{N\sse F}.$$
 
\lemma
Buďte $S$ svaz, $F$ filtr ve svazu $S$ a buď $a_0\in S\supdot$,
 dále označme $H:=\set{x\in S\supdot}{(\EE d\in F)(x\geq d\SA a_0)}$
Potom $\anglevector{F\cup\{a_0\}}=H$.
 
\proof
\begin{description}
\ditem{$\supseteq$}
 Pokud $d\in F$, je $d\SA a_0\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$, a tedy
 $x=x\SV(d\SA a_0)\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$.
\ditem{$\sse$}
 Ukážeme, že $F\cup\{a_0\}\sse H$.
 Pro $d\in F$ platí, že $d\geq d\SA a_0$.
 Dále mějme libovolné $d\in F$, pak $a_0\geq d\SA a_0$.
 Pokud ukážeme, že $H$ je filtr, bude nutně nejmenší filtr nad $F\cup\{a_0\}$ jeho podmnožinou.
 
 Mějme $x_1\geq d_1\SA a_0$ a $x_2\geq d_2\SA a_0$ pro nějaká $d_{1,2}\in F$, pak
 $x_1\SA x_2\geq d_1\SA a_0\SA x_2\geq d_1\SA a_0\SA d_2\SA a_0$.
 Položme $d:=d_1\SA d_2\in F$, pak $x_1\SA x_2\geq d\SA a_0$, tedy $x_1\SA x_2\in H$.
\end{description}
\QED
 
\lemma
Sjednocení řetězce filtrů $\calR$ je filtr.
 
\proof
\begin{enumerate}
\item $a\in\bigcup\calR, b\in S\supdot, b\geq a$.
 $(\EE F)(a\in F\in\calR)$, tedy $b\in F$, tedy $b\in\bigcup\calR$.
 
\item $a,b\in\bigcup\calR$. Pak $a\in F_1$, $b\in F_2$, bez újmy na obecnosti nechť $F_1\sse F_2$.
Potom $a,b\in F_2$, a tedy $a\SA b\in F_2\sse\bigcup\calR$.
\end{enumerate}
\QED
 
\lemma
Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ distributivní svaz, $a,b\in M$ a nechť neplatí $a\leq b$ (tedy $a>b$ nebo nejsou srovnatelné).
Potom existuje ultrafiltr $F$ svazu $S$ tak, že $a\in F$ a současně $b\notin F$.
 
\proof
Nechť $\calF$ je množina všech filtrů, které obsahují $a$, ale neobsahují $b$,
 tedy platí $\calF=\set{F\in\FM S}{a\in F\Tand b\notin F}$.
Nutně $F_a=\set{x\in S}{x\geq a}\not\owns b$, tedy $F_a\in\calF$.
V~$\calF$ uspořádané inkluzí má libovolný řetězec $\calR$ horní závoru $F=\bigcup\calF$,
 která podle předcházejícího lemmatu je opět filtrem, a tedy triviálně $F\in\calF$, neboť $a\in F\Tand b\notin F$.
Dle Zornova lemmatu existuje v~$\calF$ maximální prvek $F_0$.
Ukážeme sporem, že $F_0$ je ultrafiltr.
 
Nechť $F_0$ není ultrafiltr.
Tedy existují $a_1,a_2\in S$ takové, že $a_1\SV a_2\in F_0$, ale $a_1\notin F_0$ ani $a_2\notin F_0$.
Definujme $F_1:=\anglevector{F_0\cup\{a_1\}}$ a $F_2:=\anglevector{F_0\cup\{a_2\}}$, přičemž $F_i\varsupsetneq F_0$
Ukážeme sporem, že $F_1\in\calF\Tor F_2\in\calF$ a tím vytvoříme spor s~maximalitou $F_0$.
Tedy musíme ukázat, že $b\notin F_1\Tor b\notin F_2$.
 
Nechť $b\in F_1\Tand b\in F_2$.
Platí $F_i=\set{x}{(\EE c_i\in F_0)(x\geq c_i\SA a_i)}$, tedy i pro $b$ existují $c_i$ tak, že
 $b\geq c_1\SA a_1$ a $b\geq c_2\SA a_2$.
Položme $c:=c_1\SA c_2\in F_0$, tedy $b\geq c\SA a_1$ a $b\geq c\SA a_2$,
 tedy $b\geq(c\SA a_1)\SV(c\SA a_2)$ a díky distributivitě je
 $b\geq c\SA(a_1\SV a_2)\in F_0$, neboť $c\in F_0$, $a_1\SV a_2\in F_0$.
Ale filtr je uzavřený vůči větším prvkům, tedy $b\in F_0$, což je spor.
 
Tedy máme $F_1\in\calF\Tor F_2\in\calF$, což je spor s~maximalitou $F_0$ v $\calF$.
\QED
 
\theorem(Stone)
Libovolný distributivní svaz je izomorfní s nějakým množinovým svazem.
Jinými slovy: libovolný distributivní svaz lze izomorfně vnořit do svazu všech podmnožin nějaké množiny.
 
\proof
Mějme $S=(M,\SA,\SV)$ distributivní svaz.
Označme $\calU=(\PP{\UM S},\cap,\cup)$.
Definujeme $\map hM{\PP{\UM S}}$ jako $h(x):=\set{F\in\UM S}{x\in F}$.
Ukážeme, že $h$ je monomorfismus.
 
\begin{description}
\ditem{injekce}
 Mějme $a,b\in M$, $a\neq b$, tj. $(\Tnot a\leq b)\Tor(\Tnot b\leq a)$.
 Pak $(\EE F_1\in\UM S)(a\in F_1 \Tand b\notin F_1) \Tor (\EE F_2\in\UM S)(b\in F_1 \Tand a\notin F_2)$,
 tedy $(\EE F_1\in h(a)\sm h(b)) \Tor (\EE F_2\in h(b)\sm h(a))$, tedy $h(a)\neq h(b)$.
\ditem{$h(a\SA b)=h(a)\cap h(b)$}
 Mějme libovolné $F\in\UM S$. Pak $F\in h(a\SA b)\Lequiv a\SA b\in F
 \stackrel{\text{filtr}}\Lequiv (a\in F\Tand b\in F) \Lequiv (F\in h(a) \Tand F\in h(b)) \Lequiv F\in h(a)\cap h(b)$.
\ditem{$h(a\SV b)=h(a)\cup h(b)$}
 Mějme libovolné $F\in\UM S$. Pak $F\in h(a\SV b)\Lequiv a\SV b\in F
 \stackrel{\text{ultrafiltr}}\Lequiv (a\in F\Tor b\in F) \Lequiv (F\in h(a)\Tor F\in h(b)) \Lequiv F\in h(a)\cup h(b)$.
\end{description}
 
Celkově tedy máme $S\cong h(S)\stackrel{\text{svaz}}\sg U$.
\QED
 
\xxxx{Modulární svazy}
 
\define
Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!modulární]{modulární}, platí-li pro libovolné $a,b,c\in M$, $a\leq c$
 vztah $a\SV(b\SA c)=(a\SV b)\SA c$.
 
\theorem
Libovolný distributivní svaz je modulární.
 
\proof
Nechť $a\leq c$, tedy $c=a\SV c$
Pak $a\SV(b\SA c)\stackrel{\text{(D2)}}=(a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.
\QED
 
\lemma
Svaz $S$ je modulární právě tehdy, když pro libovolné $a,b,c\in S\supdot$ platí
 $$a\SV(b\SA(a\SV c))=(a\SV b)\SA(a\SV c).$$
 
\proof
\begin{description}
\ditem{$\Rightarrow$}
V definičním vztahu položíme místo $c$ spojení $a\SV c\geq a$.
Dostaneme přímo dokazovanou rovnost.
\ditem{$\Leftarrow$} 
Pro libovolné $c\geq a$ je $a\SV c=c$, a tedy $a\SV(b\SA c)=a\SV(b\SA(a\SV c))=(a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.
\end{description}
\QED
 
\theorem
Svaz všech normálních podgrup libovolné grupy $G$ je modulární.
 
\proof
Nerovnost $\geq$ v definiční podmínce platí vždy, tedy ukážeme, že 
$$(\AA A,B,C\nsg G, A\supdot\sse C\supdot)(AB\cap C\sse A(B\cap C)).$$
 
Mějme libovolné $x\in (AB\cap C)\supdot$, tedy $x\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$ a existují $x=ab$, kde $a\in A\supdot\sse C\supdot$ a $b\in B\supdot$, tedy $b=a^\1 x$, ale $a^\1$ i $x$ leží v~$C\supdot$, tedy $b\in C\supdot$.
Tedy $x=ab$, kde $a\in A\supdot$ a $b\in B\supdot\cap C\supdot=(B\cap C)\supdot$.
\QED
 
\theorem
Svaz všech ideálů libovolného okruhu je modulární.
Svaz všech podprostorů libovolného vektorového prostoru je modulární.
 
\define
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz s~nulou a jednotkou.
\defined[rzada@řada!normální]{Normální řada} ve svazu $S$ je libovolná posloupnost $(a_i)_{i=0}^m$ prvků z $M$
 taková, že $1=a_0>a_1>\cdots>a_m=0$. Číslo $m$ nazveme \defined[délka normální řady]{délkou normální řady}.
 
\define
Řekneme, že normální řada $(b_j)_{i=0}^n$ je \defined[zjemnění]{zjemněním} normální řady $(a_i)_{i=0}^m$, pokud
 $\{a_i\}_{i=0}^m\sse\{b_j\}_{i=0}^n.$
Zjemnění nazveme \defined[zjemnění!vlastní]{vlastní}, pokud $n>m$.
 
\define
Normální řada, která nemá žádné vlastní zjemnění, se nazývá \defined[rzada@řada!hlavní]{hlavní řada}.
 
\theorem(Schreier)
Libovolné 2 normální řady v modulárním svazu mají zjemnění stejných délek.
 
\theorem(Jordan, H\H older)
\begin{enumerate}
\item Libovolné 2 hlavní řady v modulárním svazu mají stejnou délku.
\item Existuje-li v modulárním svazu hlavní řada, pak libovolnou normální řadu lze zjemnit na hlavní řadu.
\end{enumerate}
 
\proof
\begin{enumerate}
\item
 Nechť je $(a_i)$ kratší hlavní řada.
 Pak ji podle Schreierovy věty lze zjemnit (vlastním zjemněním), což je spor s~tím, že je hlavní.
\item
 Buď $(a_i)$ hlavní řada a $(b_j)$ libovolná normální řada.
 Nechť $(b_j)$ nelze zjemnit na hlavní řadu.
 Pak existuje zjemnění $(c_k)$ delší, než $(a_i)$ a podle Schreierovy věty lze najít jejich zjemnění stejných délek.
 Protože $(c_k)$ je delší než $(a_i)$, museli bychom $(a_i)$ zjemnit, což je spor s~tím, že je hlavní.
\end{enumerate}
\QED
 
\define
Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a $a,b\in M$.
Pro interval $\anglecouple ab$ použijeme označení $b/a$,
 tedy $b/a:=\anglecouple ab=\set{x\in M}{x\geq a \Tand x\leq b}$.
 
\theorem
Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ modulární svaz s nulou a jednotkou a $a,b\in M$, $a<b$.
Pak $(a\SV b)/a\cong b/(a\SA b)$.
 
\proof
Definujme 2 zobrazení, $\map f{\anglecouple a{a\SV b}}{\anglecouple{a\SA b}b}$ jako $f(x)=x\SA b$
 a $\map g{\anglecouple{a\SA b}b}{\anglecouple a{a\SV b}}$ jako $g(y)=y\SV a$.
Ukážeme korektnost definice, tedy mějme $a\leq x\leq a\SV b$, pak $x\SA b\geq a\SA b$ a $x\SA b\leq(a\SV b)\SA b=b$;
korektnost druhé definice ukážeme obdobně.
 
Zkoumejme zobrazení $g\circ f$, tedy mějme $x\in\anglecouple a{a\SV b}$, pak
 $g(f(x))=g(x\SA b)=(x\SA b)\SV a$, a neboť $x\geq a$, je $g(f(x))=x\SA(b\SV a)$, a neboť $x\leq a\SV b$,
 je $g(f(x))=x$.
Podobně ukážeme, že $f\circ g=\id$, a tedy $f$ i $g$ jsou bijekce.
Ukážeme, že $f$ a $g$ jsou izomorfismy uspořádaných množin, tedy $x\leq y\Lequiv f(x)\leq f(y)\Lequiv g(x)\leq g(y)$.
Směr vpravo je snadný, pokud $x\leq y$, je $f(x)=x\SA b\leq y\SA b=f(y)$ a podobně pro $g$.
Pro směr vlevo předpokládejme, že $f(x)\leq f(y)$, pak dostáváme $x=g(f(x))\leq g(f(y))=y$, a podobně pro $g$.
Tedy jsme našli množinový, a tím i svazový izomorfismus obou intervalů.
\QED
 
\theorem
Mějme modulární svaz, ve kterém existují hlavní řady (tedy svaz musí mít nulu a jednotku).
Definujeme-li $\abs a$ jako délku libovolné hlavní řady hlavního ideálu prvku $a$, pak platí
$\abs{a\SV b}+\abs{a\SA b}=\abs a+\abs b$.
 
\proof
Dle předchozí věty je $\abs{a\SV b}-\abs a=\abs b-\abs{a\SA b}$.
\QED
 
\consequence
1. věta o dimenzi.
 
\remark
Pokud ve svazu najdeme 2 hlavní řady různé délky, tak víme, že svaz není modulární.
 
\xxxx{Komplement}
 
\define
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz s~nulou a jednotkou.
Řekneme, že prvek $a'\in M$ je \defined[komplement]{komplementem} prvku $a\in M$, platí-li:
\begin{enumerate}
\item $a\SA a'=0$;
\item $a\SV a'=1$.
\end{enumerate}
 
\remark
Zvláště v množinových svazech používáme často pro komplement prvku $A$ značku $\CO A$.
 
\example
Ve svazu $S=(\PP A,\cap,\cup)$ platí pro $B\sse A$, že $B'=A\sm B$ a komplement existuje právě jeden.
 
\example
$0'=1$; $1'=0$.
 
\example
Komplement nemusí existovat, ale může jich i existovat více.
\begin{enumerate}
\item Mějme svaz s prvky $\{0,a,1\}$, pak prvek $a$ nemá komplement.
\item Mějme svaz $\Nf$ nazývaný \defined[pentagon]{pentagon}:
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}
\begin{picture}(24,35)(-12,0)
\put(2,3){\line(2,3){8}}
\put(-2,3){\line(-2,1){8}}
\put(2,31){\line(2,-3){8}}
\put(-2,3){\line(-2,1){8}}
\put(-10,13){\line(0,1){8}}
\put(-2,31){\line(-2,-1){8}}
\put(0,1){\makebox(0,0){$c$}}
\put(0,33){\makebox(0,0){$d$}}
\put(10,17){\makebox(0,0){$a$}}
\put(-10,10){\makebox(0,0){$a_2$}}
\put(-10,24){\makebox(0,0){$a_1$}}
\put(10,12){\makebox(0,0){$\relax$}}
\end{picture}
\end{center}
 Prvek $c$ představuje nulu, prvek $d$ jednotku. K~prvku $a$ existují 2 různé srovnatelné komplementy $a_1$ a $a_2$.
 Dále svaz $\Nf$ má 2 hlavní řady různé délky ($d, a, c$ a $d, a_1, a_2, c$), tedy není modulární, a není ani distributivní.
\end{enumerate}
 
\theorem
V~modulárním svazu nemá žádný prvek 2 různé srovnatelné komplementy.
 
\proof
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou komplementy $a$ a nechť $a_1\leq a_2$.
Pak platí $a_1=a_1\SA 1=a_1\SA(a\SV a_2)=(a_1\SA a)\SV a_2=0\SV a_2=a_2$.
\QED
 
\theorem
Svaz je modulární právě tehdy, když neobsahuje jako podsvaz $\Nf$.
 
\proof
\begin{description}
\ditem{$\Rightarrow$} Sporem, tedy nechť obsahuje pentagon.
 Pak platí $(a_2\SV a)\SA a_1=d\SA a_1=a_1\neq a_2=a_2\SV c=a_2\SV(a\SA a_1)$,
 což je protipříklad proti podmínce modularity.
\ditem{$\Leftarrow$} Sporem, tedy nechť není modulární.
 Tedy existují $a,b,c$ takové, že $a\leq c$ ale $a\SA(b\SV c)<(a\SA b)\SV c$.
 Ukážeme, že $a\neq c$ a $b$ je s~nimi nesrovnatelný.
 
 Nechť $a=c$, pak $a\SA(b\SV a)=a=(a\SA b)\SV a$, což je spor, tedy $a<c$.
 
 Nechť $b<a\Tor b<c$, pak jistě $b<c$ a $a\SA(b\SV c)\leq a<c\leq(a\SA b)\SV c$.
\end{description}
\QED
 
\remark (algebraický vtip, který nezazněl na přednášce)
Víte, proč je Sovětský svaz modulární? Protože nemá Pentagon.
 
\example
Definujeme svaz $\Mf$ nazývaný \defined[diamant]{diamant}:
\begin{center}\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}
\begin{picture}(40,24)(-20,0)
\put(3,3){\line(2,1){14}}
\put(-3,3){\line(-2,1){14}}
\put(0,3){\line(0,1){7}}
\put(-3,21){\line(-2,-1){14}}
\put(3,21){\line(2,-1){14}}
\put(0,21){\line(0,-1){7}}
\put(0,1){\makebox(0,0){$c$}}
\put(0,23){\makebox(0,0){$d$}}
\put(0,12){\makebox(0,0){$a$}}
\put(-17,12){\makebox(0,0){$a_1$}}
\put(17,12){\makebox(0,0){$a_2$}}
\end{picture}
\end{center}
Pak $\Mf$ je modulární, ale není distributivní, prvek $a$ má 2 komplementy, které nejsou srovnatelné.
 
\theorem
V libovolném distributivním svazu s nulou a jednotkou má každý prvek nejvýše jeden komplement.
 
\proof
Mějme $a$ a $a_1$, $a_2$ jeho komplementy.
Pak $a_1=a_1\SA 1=a_1\SA(a\SV a_2)=(a_1\SA a)\SV(a_2\SA a_1)=0\SV(a_2\SA a_1)=a_1\SA a_2$, tedy
 $a_1\leq a_2$.
Ale distributivní svaz je modulární a $a_1$, $a_2$ jsou komplementy stejného prvku, tedy $a_1=a_2$.
\QED
 
\theorem
Svaz je distributivní právě tehdy, když neobsahuje jako podsvaz ani $\Nf$, ani $\Mf$.
 
\define
Řekneme, že svaz s nulou a jednotkou je \defined[svaz!komplementární]{komplementární},
 má-li v~něm libovolný prvek alespoň jeden komplement.
 
\define
Řekneme, že svaz s nulou a jednotkou je \defined[svaz!Booleův]{Booleův}, je-li distributivní a komplementární.
 
\example
Příkladem Booleových svazů jsou svazy množinové.
 
\example
Vraťme se k~12prvkové alternující grupě $\AM 4$, která není jednoduchá a nemá žádnou 6prvkovou podgrupu
 (přestože $6\divides12$), a nakresleme schéma svazu jejích podgrup.
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}
\begin{picture}(80,63)(-30,-3)
 
 \put(0,-1){\makebox(0,0){$E_{\vphantom1\;}$}}
  \put(15,-1){\makebox(0,0){1 prvek}}
 
\put(1,2){\line(1,4){6}}
\put(1,2){\line(2,3){16}}
\put(1,2){\line(1,1){24}}
\put(1,2){\line(3,2){36}}
 \put(4,28){\makebox{$\AM 3^{(1)}$}}
 \put(14,28){\makebox{$\AM 3^{(2)}$}}
 \put(24,28){\makebox{$\AM 3^{(3)}$}}
 \put(34,28){\makebox{$\AM 3^{(4)}$}}
  \put(47,28){\makebox{3 prvky}}
\put(1,56){\line(1,-4){6}}
\put(1,56){\line(2,-3){16}}
\put(1,56){\line(1,-1){24}}
\put(1,56){\line(3,-2){36}}
 
\put(-1,2){\line(-1,4){3}}
\put(-1,2){\line(-3,4){9}}
\put(-1,2){\line(-4,3){16}}
 \put(-22,16){\makebox{$\LM 2^{(1)}$}}
 \put(-13,16){\makebox{$\LM 2^{(2)}$}}
 \put(-5,16){\makebox{$\LM 2^{(3)}$}}
  \put(-42,16){\makebox{2 prvky}}
\put(-18,21){\line(6,5){12}}
\put(-10,21){\line(1,2){5}}
\put(-4,21){\line(0,1){10}}
 \put(-7,32){\makebox{$\KM 4$}}
  \put(-30,32){\makebox{4 prvky}}
\put(0,56){\line(-1,-5){4}}
 
 \put(0,59){\makebox(0,0){$\AM 4$}}
  \put(17,59){\makebox(0,0){12 prvků}}
 
\end{picture}
\end{center}
 
Vidíme, že svaz všech podgrup $\AM 4$ není modulární, neboť má hlavní řady různé délky.
Je to protipříklad, kdyby si někdo myslel, že svaz všech (nejen normálních) podgrup je modulární.
Dále svaz podgrup $\AM 4$ ani svaz podgrup $\KM 4$ není distributivní.
Navíc všechny podgrupy $\KM 4$ jsou normální, tedy neplatí, že by libovolný svaz normálních podgrup byl distributivní.
 
\xxxx{Booleova algebra}
 
\define
Mějme Booleův svaz $S=(M,\SA,\SV)$.
Pak algebru $Q=(M,\SA,\SV,{'},0,1)$, kde operace $({'})$ je komplement a je unární
 a operace $0$ a $1$ jsou nulární, tedy konstanty, nazveme \defined[algebra!Booleova]{Booleova algebra}.
 
\theorem
Buď $A$ Booleova algebra a nechť $a,b\in A\supdot$.
Pak:
\begin{enumerate}
\item $0'=1$,\quad $1'=0$;
\item $\qlb{a'}'=a$;
\item $a\SA b=0\Lequiv b\leq a'$,\quad $a\SV b=1\Lequiv b\geq a'$;
\item $(a\SA b)'=a'\SV b'$,\quad $(a\SV b)'=a'\SA b'$ (\defined[zákon!De Morganův]{De Morganovy zákony}).
\end{enumerate}
 
\proof
Ukážeme pouze tvrzení 3 a 4.
\begin{enumerate}
\addtocounter{enumi}{2}
\item
$b=b\SA 1=b\SA(a\SV a')=(b\SA a)\SV(b\SA a')=0\SV(b\SA a')=b\SA a' \Lequiv b\leq a'$
\item
$(a\SA b)\SA(a'\SV b')=(a\SA b\SA a')\SV(a\SA b\SA b')=0\SV0=0$,\\
$(a\SA b)\SV(a'\SV b')=(a\SV a'\SV b')\SA(b\SV a'\SV b')=1\SA1=1$;
%\item
%$a\leq b$; $b'\SA a'=(b\SV a)'=b'$; $b'\leq a'$.
\end{enumerate}
\QED
 
\lemma
Filtr $F$ ve Booleově svazu je ultrafiltr právě tehdy, platí-li 
 $$(\AA x\in S\supdot)(x\in F \Lequiv x'\notin F).$$
 
\proof
\begin{description}
\ditem{$\Rightarrow$}
Mějme libovolné $x$.
Pak $x\SV x'=1\in F$, tedy $x\in F\Tor x'\in F$.
Kdyby $x,x'\in F$, pak $0=x\SA x'\in F$, což je spor s tím, že $F\neq S\supdot$.
 
\ditem{$\Leftarrow$}
Mějme libovolné prvky $a,b$.
Nechť $a\SV b\in F$, ale $a,b\notin F$.
Pak $a',b'\in F$, tedy $a'\SA b'=(a\SV b)'\in F$, což je spor.
\end{description}
\QED
 
\theorem
Libovolná Booleova algebra je izomorfní s~nějakou množinovou Booleovou algebrou.
 
\proof
Definujeme zobrazení $f(x)=\set{F\in\UM S}{x\in F}$.
Víme, že $f$ zachovává průsek a spojení.
\begin{description}
\ditem{${'}$} $f(x')=\set{F\in\UM S}{x\in F}=\set{F\in\UM S}{x\notin F}=\CO f(x)$
\ditem{$0$} $f(0)=\set{F\in\UM S}{0\in F}$, ale $0\in F\Limpl F=S\supdot$, což není filtr. Tedy $f(0)=\emptyset$.
\ditem{$1$} $f(1)=\set{F\in\UM S}{1\in F}=\UM S$.
\end{description}
\QED
 
\theorem
Libovolná konečná Booleova algebra je izomorfní množinové Booleově algebře tvořené všemi podmnožinami vhodné množiny.
 
\theorem
\begin{enumerate}
\item
Libovolná konečná Booleova algebra má počet prvků roven číslu $2^n$, $n\in\N$.
\item
K libovolnému $n\in\N$ existuje až na izomorfii právě jedna Booleova algebra s~$2^n$ prvky.
\end{enumerate}
 
\example
2-, 4- a 8prvková Booleova algebra.
 
\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}
\begin{center}
\def\POINT(#1,#2){\put(#1,#2){\circle{1}}}
~
\hfill
\begin{picture}(4,18)(-9,-1)
\POINT(0,0)
\POINT(0,16)
\put(0,0){\line(0,1){16}}
\end{picture}
\hfill
\begin{picture}(20,18)(-10,-1)
\POINT(0,0)
\POINT(0,16)
\POINT(8,8)
\POINT(-8,8)
\put(0,0){\line(1,1){8}}
\put(0,0){\line(-1,1){8}}
\put(0,16){\line(1,-1){8}}
\put(0,16){\line(-1,-1){8}}
\end{picture}
\hfill
\begin{picture}(22,18)(-11,-1)
\def\LINEA(#1,#2){\put(#1,#2){\line(-3,2){9}}} %(-9,6)
\def\LINEB(#1,#2){\put(#1,#2){\line( 0,1){4}}} %( 0,4)
\def\LINEC(#1,#2){\put(#1,#2){\line( 3,2){9}}} %( 9,6)
%0 (0,0)
\POINT(0,0)
\LINEA(0,0)
\LINEB(0,0)
\LINEC(0,0)
%A (-9,6)
\POINT(-9,6)
\LINEB(-9,6)
\LINEC(-9,6)
%B (0,4)
\POINT(0,4)
\LINEA(0,4)
\LINEC(0,4)
%C (9,6)
\POINT(9,6)
\LINEA(9,6)
\LINEB(9,6)
%AB (-9,10)
\POINT(-9,10)
\LINEC(-9,10)
%AC (0,12)
\POINT(0,12)
\LINEB(0,12)
%BC (9,10)
\POINT(9,10)
\LINEA(9,10)
%ABC (0,16)
\POINT(0,16)
\end{picture}
\hfill
~
\end{center}