https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola7&feed=atom&action=history 01ALG:Kapitola7 - Historie editací 2024-03-29T15:28:51Z Historie editací této stránky MediaWiki 1.25.2 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola7&diff=4464&oldid=prev Kosarvac: zavažná chyba v definici modulu 2011-11-11T14:50:33Z <p>zavažná chyba v definici modulu</p> <table class='diff diff-contentalign-left'> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr style='vertical-align: top;'> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 11. 11. 2011, 14:50</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L38" >Řádka 38:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 38:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\defined[modul]{Modulem} rozumíme grupu s~operátory $G_R$, kde $R$ je asociativní okruh s~jednotkou</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\defined[modul]{Modulem} rozumíme grupu s~operátory $G_R$, kde $R$ je asociativní okruh s~jednotkou</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; a $(\AA \alpha,\beta\in R\supdot)(\AA a\in G\supdot)\bigl((\alpha+\beta)a=\alpha a+\beta a</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; a $(\AA \alpha,\beta\in R\supdot)(\AA a\in G\supdot)\bigl((\alpha+\beta)a=\alpha a+\beta a</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; \Land \alpha(\beta a)=<del class="diffchange diffchange-inline">\beta</del>(\alpha <del class="diffchange diffchange-inline">a</del>)\bigr)$.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; \Land \alpha(\beta a)= (\alpha <ins class="diffchange diffchange-inline">\beta</ins>) <ins class="diffchange diffchange-inline">a</ins>\bigr)$.</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Modul $G_R$ nazveme \defined[modul!unitární]{unitární}, pokud $1\cdot a=a$.</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Modul $G_R$ nazveme \defined[modul!unitární]{unitární}, pokud $1\cdot a=a$.</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr> </table> Kosarvac https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola7&diff=4100&oldid=prev Karel.brinda v 25. 1. 2011, 22:19 2011-01-25T22:19:46Z <p></p> <table class='diff diff-contentalign-left'> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr style='vertical-align: top;'> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 25. 1. 2011, 22:19</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L100" >Řádka 100:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 100:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\matrixtwo{ac-b\bar d}{ad+b\bar c}{-\bar bc-\bar a\bar d\;}{\;-\bar bd+\bar ac}.$$</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\matrixtwo{ac-b\bar d}{ad+b\bar c}{-\bar bc-\bar a\bar d\;}{\;-\bar bd+\bar ac}.$$</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Tedy $K$ nad $\R$ je algebrou, kterou nazýváme \defined[algebra!kvaternionová]{kvaternionová algebra}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Tedy $K$ nad $\R$ je algebrou, kterou nazýváme \defined[algebra!kvaternionová]{kvaternionová algebra}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; a její prvky \defined[kvaternion]{kvaterniony}.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#160; a její prvky <ins class="diffchange diffchange-inline">nazýváme </ins>\defined[kvaternion]{kvaterniony}.</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Je asociativní, není komutativní, má jednotku $\matrixtwo1001$ a je algebrou s~dělením</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Je asociativní, není komutativní, má jednotku $\matrixtwo1001$ a je algebrou s~dělením</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L129" >Řádka 129:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 129:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>V~úvahu přicházejí čtyř- a dvouprvkové podgrupy.</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>V~úvahu přicházejí čtyř- a dvouprvkové podgrupy.</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Jsou tři 4prvkové podgrupy, např. $\{1,-1,i,-i\}$, a jedna 2prvková $\{1,-1\}$.</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Jsou tři 4prvkové podgrupy, např. $\{1,-1,i,-i\}$, a jedna 2prvková $\{1,-1\}$.</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>První 3 mají index 2 a jsou tudíž normální, taktéž 2prvková je normální.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>První 3 mají index 2<ins class="diffchange diffchange-inline">, </ins>a jsou tudíž normální, taktéž 2prvková je normální.</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Tedy $Q_8$ je příklad neabelovské grupy, která má všechny podgrupy normální.</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Tedy $Q_8$ je příklad neabelovské grupy, která má všechny podgrupy normální.</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Takové grupy se nazývají \defined[grupa!hamiltonovská]{hamiltonovské}.</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Takové grupy se nazývají \defined[grupa!hamiltonovská]{hamiltonovské}.</div></td></tr> </table> Karel.brinda https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola7&diff=3530&oldid=prev Karel.brinda v 24. 8. 2010, 13:12 2010-08-24T13:12:57Z <p></p> <table class='diff diff-contentalign-left'> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <col class='diff-marker' /> <col class='diff-content' /> <tr style='vertical-align: top;'> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td> <td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 24. 8. 2010, 13:12</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L1" >Řádka 1:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 1:</td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\<del class="diffchange diffchange-inline">nothing</del>{</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">%</ins>\<ins class="diffchange diffchange-inline">wikiskriptum</ins>{<ins class="diffchange diffchange-inline">01ALG</ins>}</div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">\begin{document}</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div></div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>}</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div></div></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr> <tr><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\xxx{Moduly a lineární algebry}</div></td><td class='diff-marker'>&#160;</td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\xxx{Moduly a lineární algebry}</div></td></tr> </table> Karel.brinda https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola7&diff=3506&oldid=prev Karel.brinda: Založena nová stránka: \nothing{ \begin{document} } \xxx{Moduly a lineární algebry} \xxxx{Moduly} \define Mějme aditivní grupu $G=(M,+)$ a množinu \defined[skalár]{skalárů} $S\neq\empt... 2010-08-24T12:51:42Z <p>Založena nová stránka: \nothing{ \begin{document} } \xxx{Moduly a lineární algebry} \xxxx{Moduly} \define Mějme aditivní grupu $G=(M,+)$ a množinu \defined[skalár]{skalárů} $S\neq\empt...</p> <p><b>Nová stránka</b></p><div>\nothing{<br /> \begin{document}<br /> }<br /> <br /> \xxx{Moduly a lineární algebry}<br /> <br /> \xxxx{Moduly}<br /> <br /> \define<br /> Mějme aditivní grupu $G=(M,+)$ a množinu \defined[skalár]{skalárů} $S\neq\emptyset$.<br /> Pro každé $\alpha\in S$ definujeme endomorfismus značený stejně $\map\alpha GG$.<br /> Pak systém $G_S:=(G,S)$ nazýváme \defined[grupa!s operátory]{grupa s~operátory}.<br /> <br /> \define<br /> \defined[podgrupa!přípustná]{Přípustnou podgrupou} grupy s~operátory nazveme takové $H\sg G$,<br /> že $(\AA\alpha\in S)(\AA a\in H\supdot)(\alpha a\in H\supdot)$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Mějme libovolnou grupu $G$ a množinu celých čísel $\Z$ jako skaláry.<br /> Definujme pro $k\in\Z$ a $x\in G\supdot$ hodnotu $kx:=k\times x$.<br /> Pak $G_\Z$ je grupa s~operátory.<br /> \item<br /> Nechť $G$ je Abelova grupa.<br /> Označme $\EM G$ množinu všech endomofrismů a definujme pro $h,g\in\EM G$ operace $(h\oplus g)(x):=h(x)+g(x)$<br /> a $(h\odot g)(x):=h(g(x))$.<br /> Pak $(\EM G, \oplus, \odot)$ tvoří okruh nazývaný \defined[okruh!endomordismů]{okruh endomorfismů}.<br /> Pak přípustnou podgrupou grupy s~operátory $G_{\EM G}$ je taková podgrupa,<br /> která je uzavřená vůči všem endomorfismům.<br /> Přípustné podgrupy $G_{\EM G}$ se nazývají \defined[podgrupa!přípustná!úplně charakteristická]{úplně charakteristické}.<br /> \item<br /> Přípustné podgrupy $G_{\AM G}$ se nazývají \defined[podgrupa!přípustná!charakteristická]{charakteristické}.<br /> \item<br /> Přípustné podgrupy $G_{\IM G}$ se nazývají normální.<br /> (Narozdíl od $\EM G$ nejsou $\AM G$ ani $\IM G$ okruhy, přesto mohou jejich prvky být skaláry.)<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[modul]{Modulem} rozumíme grupu s~operátory $G_R$, kde $R$ je asociativní okruh s~jednotkou<br /> a $(\AA \alpha,\beta\in R\supdot)(\AA a\in G\supdot)\bigl((\alpha+\beta)a=\alpha a+\beta a<br /> \Land \alpha(\beta a)=\beta(\alpha a)\bigr)$.<br /> Modul $G_R$ nazveme \defined[modul!unitární]{unitární}, pokud $1\cdot a=a$.<br /> <br /> \define<br /> Unitární modul $G_R$ nazveme \defined[prostor!vektorový]{vektorovým prostorem}, pokud $R$ je tělesem.<br /> <br /> \example<br /> Vezměme $G=R\subplus$ a $R=R$.<br /> Pak $(R\subplus,R)$ je modulem.<br /> <br /> \xxxx{Lineární algebry}<br /> <br /> \define<br /> Mějme okruh $R$ a množinu skalárů $S\neq\emptyset$.<br /> Pak $(R,S)$ je \defined[okruh!s~operátory]{okruh s~operátory}, pokud $(R\subplus,S)$ je grupa s~operátory<br /> a platí $(\AA\alpha\in S)(\AA a,b\in R\supdot)\bigl(\alpha(ab)=(\alpha a)b=a(\alpha b)\bigr)$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[algebra!lineární]{Lineární algebra} je dvojice $(R,S)$, kde $R$ je okruh, $S$ je těleso a platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $(R\subplus,S)$ je unitární modul;<br /> \item<br /> $(R,S)$ je okruh s~operátory.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Pokud zapomeneme násobení skaláry, je lineární algebra okruhem.<br /> Pokud zapomeneme okruhové násobení, je vektorovým prostorem.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $(\C^{n,n},+,\cdot)$ je lineární algebra nad $\C$.<br /> \item<br /> $(\C^{n,n},+,\cdot)$ je lineární algebra nad $\R$.<br /> \item<br /> $C_R$ je lineární algebra $C$ nad $\R$.<br /> \item<br /> $R_R$ je lineární algebra $R$ nad $\R$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Algebry definované nad tělesem reálných čísel nazýváme \defined[algebra!lineární!reálná]{reálné}.<br /> <br /> \remark<br /> Mějme $U$ těleso a $T\sg U$ jeho podtěleso.<br /> Pak $U$ je lineární algebra nad $T$<br /> a $U\subplus$ je vektorový prostor nad $T$. <br /> <br /> \xxxx{Algebra kvaternionů}<br /> <br /> Vymyslel ji Hamilton v~Dublinu 16.~října 1843.<br /> <br /> Vezměme algebru $\C^{2,2}$ nad $\R$ a uvažujme podmnožinu<br /> $$K:=\set{\matrixtwo ab{-\bar b}{\bar a}}{a,b\in\C}.$$<br /> Ukážeme, že $K$ je podalgebra $\C^{2,2}$.<br /> Uzavřenost vůči sčítání matic je zjevná, stejně tak vůči násobení reálným číslem.<br /> Zbývá nám uzavřenost vůči součinu:<br /> $$\matrixtwo ab{-\bar b}{\bar a}\matrixtwo cd{-\bar d}{\bar c}=<br /> \matrixtwo{ac-b\bar d}{ad+b\bar c}{-\bar bc-\bar a\bar d\;}{\;-\bar bd+\bar ac}.$$<br /> Tedy $K$ nad $\R$ je algebrou, kterou nazýváme \defined[algebra!kvaternionová]{kvaternionová algebra}<br /> a její prvky \defined[kvaternion]{kvaterniony}.<br /> <br /> Je asociativní, není komutativní, má jednotku $\matrixtwo1001$ a je algebrou s~dělením<br /> (tedy $K$ jako okruh je tělesem) --- ukážeme.<br /> Pro dané $a,b$ hledáme $c,d$, aby $ac-b\bar d=1$ a $\bar bc+\bar a\bar d=0$.<br /> Zbylé dvě rovnice jsou lineárně závislé na těchto dvou.<br /> Matice soustavy s~neznámými $c,\bar d$ je $\matrixtwo a{-b}{\bar b}{\bar a}$<br /> a její determinant je $D=\abs a^2+\abs b^2$.<br /> Tedy podle Cramerova pravidla je $c=\frac{\bar a}D$ a $\bar d=\frac{-\bar b}D$, tedy $d=\frac{-b}D$.<br /> <br /> Zapišme $a=\alpha_1+\alpha_2i$ a $b=\beta_1+\beta_2i$, kde $\alpha_{1,2},\beta_{1,2}\in\R$.<br /> Pak $$\matrixtwo ab{-\bar b}{\bar a}<br /> =\matrixtwo{\alpha_1+\alpha_2i}{\beta_1+\beta_2i}{-\beta_1+\beta_2i}{\alpha_1-\alpha_2i}<br /> =\alpha_1\,\,\underbrace{\!\!\matrixtwo1001\!\!}_e\,\,+\alpha_2\underbrace{\matrixtwo i00{-i}}_i+\beta_1\underbrace{\matrixtwo01{-1}0}_j+\beta_2\underbrace{\matrixtwo0ii0}_k.$$<br /> Tedy $\mathfunction{dim} K=4$ a $(e,i,j,k)$ tvoří bázi $K$.<br /> Prvky báze se násobí podle následující tabulky (první činitel vlevo, druhý nahoře):<br /> <br /> $$\te{array}{{c||c|c|c|c|}<br /> \cdot&amp;1&amp;i&amp;j&amp;k\\\hline\hline<br /> 1&amp;1&amp;i&amp;j&amp;k\\\hline<br /> i&amp;i&amp;-1&amp;k&amp;-j\\\hline<br /> j&amp;j&amp;-k&amp;-1&amp;i\\\hline<br /> k&amp;k&amp;j&amp;-i&amp;-1\\\hline<br /> }$$<br /> <br /> Označme $Q_8:=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$.<br /> Pak $Q_8$ s~násobením podle tabulky je grupa nazývaná \defined[grupa!kvaternionová]{kvaternionová grupa}.<br /> V~úvahu přicházejí čtyř- a dvouprvkové podgrupy.<br /> Jsou tři 4prvkové podgrupy, např. $\{1,-1,i,-i\}$, a jedna 2prvková $\{1,-1\}$.<br /> První 3 mají index 2 a jsou tudíž normální, taktéž 2prvková je normální.<br /> Tedy $Q_8$ je příklad neabelovské grupy, která má všechny podgrupy normální.<br /> Takové grupy se nazývají \defined[grupa!hamiltonovská]{hamiltonovské}.<br /> <br /> \theorem (Frobenius)<br /> Buď $A$ reálná asociativní konečnědimenzionální lineární algebra bez dělitelů nuly.<br /> Je-li $A$ komutativní, potom je izomorfní s~algebrou $C_R$ nebo $R_R$.<br /> Není-li $A$ komutativní, pak je izomorfní s algebrou kvaternionů.</div> Karel.brinda