https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola7&feed=atom&action=history
01ALG:Kapitola7 - Historie editací
2024-03-29T15:28:51Z
Historie editací této stránky
MediaWiki 1.25.2
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola7&diff=4464&oldid=prev
Kosarvac: zavažná chyba v definici modulu
2011-11-11T14:50:33Z
<p>zavažná chyba v definici modulu</p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 11. 11. 2011, 14:50</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L38" >Řádka 38:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 38:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\defined[modul]{Modulem} rozumíme grupu s~operátory $G_R$, kde $R$ je asociativní okruh s~jednotkou</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\defined[modul]{Modulem} rozumíme grupu s~operátory $G_R$, kde $R$ je asociativní okruh s~jednotkou</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  a $(\AA \alpha,\beta\in R\supdot)(\AA a\in G\supdot)\bigl((\alpha+\beta)a=\alpha a+\beta a</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  a $(\AA \alpha,\beta\in R\supdot)(\AA a\in G\supdot)\bigl((\alpha+\beta)a=\alpha a+\beta a</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  \Land \alpha(\beta a)=<del class="diffchange diffchange-inline">\beta</del>(\alpha <del class="diffchange diffchange-inline">a</del>)\bigr)$.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  \Land \alpha(\beta a)= (\alpha <ins class="diffchange diffchange-inline">\beta</ins>) <ins class="diffchange diffchange-inline">a</ins>\bigr)$.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Modul $G_R$ nazveme \defined[modul!unitární]{unitární}, pokud $1\cdot a=a$.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Modul $G_R$ nazveme \defined[modul!unitární]{unitární}, pokud $1\cdot a=a$.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
</table>
Kosarvac
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola7&diff=4100&oldid=prev
Karel.brinda v 25. 1. 2011, 22:19
2011-01-25T22:19:46Z
<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 25. 1. 2011, 22:19</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L100" >Řádka 100:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 100:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\matrixtwo{ac-b\bar d}{ad+b\bar c}{-\bar bc-\bar a\bar d\;}{\;-\bar bd+\bar ac}.$$</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\matrixtwo{ac-b\bar d}{ad+b\bar c}{-\bar bc-\bar a\bar d\;}{\;-\bar bd+\bar ac}.$$</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Tedy $K$ nad $\R$ je algebrou, kterou nazýváme \defined[algebra!kvaternionová]{kvaternionová algebra}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Tedy $K$ nad $\R$ je algebrou, kterou nazýváme \defined[algebra!kvaternionová]{kvaternionová algebra}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  a její prvky \defined[kvaternion]{kvaterniony}.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  a její prvky <ins class="diffchange diffchange-inline">nazýváme </ins>\defined[kvaternion]{kvaterniony}.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Je asociativní, není komutativní, má jednotku $\matrixtwo1001$ a je algebrou s~dělením</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Je asociativní, není komutativní, má jednotku $\matrixtwo1001$ a je algebrou s~dělením</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L129" >Řádka 129:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 129:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>V~úvahu přicházejí čtyř- a dvouprvkové podgrupy.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>V~úvahu přicházejí čtyř- a dvouprvkové podgrupy.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Jsou tři 4prvkové podgrupy, např. $\{1,-1,i,-i\}$, a jedna 2prvková $\{1,-1\}$.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Jsou tři 4prvkové podgrupy, např. $\{1,-1,i,-i\}$, a jedna 2prvková $\{1,-1\}$.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>První 3 mají index 2 a jsou tudíž normální, taktéž 2prvková je normální.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>První 3 mají index 2<ins class="diffchange diffchange-inline">, </ins>a jsou tudíž normální, taktéž 2prvková je normální.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Tedy $Q_8$ je příklad neabelovské grupy, která má všechny podgrupy normální.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Tedy $Q_8$ je příklad neabelovské grupy, která má všechny podgrupy normální.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Takové grupy se nazývají \defined[grupa!hamiltonovská]{hamiltonovské}.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Takové grupy se nazývají \defined[grupa!hamiltonovská]{hamiltonovské}.</div></td></tr>
</table>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola7&diff=3530&oldid=prev
Karel.brinda v 24. 8. 2010, 13:12
2010-08-24T13:12:57Z
<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">← Starší verze</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">Verze z 24. 8. 2010, 13:12</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="L1" >Řádka 1:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Řádka 1:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\<del class="diffchange diffchange-inline">nothing</del>{</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">%</ins>\<ins class="diffchange diffchange-inline">wikiskriptum</ins>{<ins class="diffchange diffchange-inline">01ALG</ins>}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">\begin{document}</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>}</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\xxx{Moduly a lineární algebry}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\xxx{Moduly a lineární algebry}</div></td></tr>
</table>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola7&diff=3506&oldid=prev
Karel.brinda: Založena nová stránka: \nothing{ \begin{document} } \xxx{Moduly a lineární algebry} \xxxx{Moduly} \define Mějme aditivní grupu $G=(M,+)$ a množinu \defined[skalár]{skalárů} $S\neq\empt...
2010-08-24T12:51:42Z
<p>Založena nová stránka: \nothing{ \begin{document} } \xxx{Moduly a lineární algebry} \xxxx{Moduly} \define Mějme aditivní grupu $G=(M,+)$ a množinu \defined[skalár]{skalárů} $S\neq\empt...</p>
<p><b>Nová stránka</b></p><div>\nothing{<br />
\begin{document}<br />
}<br />
<br />
\xxx{Moduly a lineární algebry}<br />
<br />
\xxxx{Moduly}<br />
<br />
\define<br />
Mějme aditivní grupu $G=(M,+)$ a množinu \defined[skalár]{skalárů} $S\neq\emptyset$.<br />
Pro každé $\alpha\in S$ definujeme endomorfismus značený stejně $\map\alpha GG$.<br />
Pak systém $G_S:=(G,S)$ nazýváme \defined[grupa!s operátory]{grupa s~operátory}.<br />
<br />
\define<br />
\defined[podgrupa!přípustná]{Přípustnou podgrupou} grupy s~operátory nazveme takové $H\sg G$,<br />
že $(\AA\alpha\in S)(\AA a\in H\supdot)(\alpha a\in H\supdot)$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Mějme libovolnou grupu $G$ a množinu celých čísel $\Z$ jako skaláry.<br />
Definujme pro $k\in\Z$ a $x\in G\supdot$ hodnotu $kx:=k\times x$.<br />
Pak $G_\Z$ je grupa s~operátory.<br />
\item<br />
Nechť $G$ je Abelova grupa.<br />
Označme $\EM G$ množinu všech endomofrismů a definujme pro $h,g\in\EM G$ operace $(h\oplus g)(x):=h(x)+g(x)$<br />
a $(h\odot g)(x):=h(g(x))$.<br />
Pak $(\EM G, \oplus, \odot)$ tvoří okruh nazývaný \defined[okruh!endomordismů]{okruh endomorfismů}.<br />
Pak přípustnou podgrupou grupy s~operátory $G_{\EM G}$ je taková podgrupa,<br />
která je uzavřená vůči všem endomorfismům.<br />
Přípustné podgrupy $G_{\EM G}$ se nazývají \defined[podgrupa!přípustná!úplně charakteristická]{úplně charakteristické}.<br />
\item<br />
Přípustné podgrupy $G_{\AM G}$ se nazývají \defined[podgrupa!přípustná!charakteristická]{charakteristické}.<br />
\item<br />
Přípustné podgrupy $G_{\IM G}$ se nazývají normální.<br />
(Narozdíl od $\EM G$ nejsou $\AM G$ ani $\IM G$ okruhy, přesto mohou jejich prvky být skaláry.)<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[modul]{Modulem} rozumíme grupu s~operátory $G_R$, kde $R$ je asociativní okruh s~jednotkou<br />
a $(\AA \alpha,\beta\in R\supdot)(\AA a\in G\supdot)\bigl((\alpha+\beta)a=\alpha a+\beta a<br />
\Land \alpha(\beta a)=\beta(\alpha a)\bigr)$.<br />
Modul $G_R$ nazveme \defined[modul!unitární]{unitární}, pokud $1\cdot a=a$.<br />
<br />
\define<br />
Unitární modul $G_R$ nazveme \defined[prostor!vektorový]{vektorovým prostorem}, pokud $R$ je tělesem.<br />
<br />
\example<br />
Vezměme $G=R\subplus$ a $R=R$.<br />
Pak $(R\subplus,R)$ je modulem.<br />
<br />
\xxxx{Lineární algebry}<br />
<br />
\define<br />
Mějme okruh $R$ a množinu skalárů $S\neq\emptyset$.<br />
Pak $(R,S)$ je \defined[okruh!s~operátory]{okruh s~operátory}, pokud $(R\subplus,S)$ je grupa s~operátory<br />
a platí $(\AA\alpha\in S)(\AA a,b\in R\supdot)\bigl(\alpha(ab)=(\alpha a)b=a(\alpha b)\bigr)$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[algebra!lineární]{Lineární algebra} je dvojice $(R,S)$, kde $R$ je okruh, $S$ je těleso a platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$(R\subplus,S)$ je unitární modul;<br />
\item<br />
$(R,S)$ je okruh s~operátory.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Pokud zapomeneme násobení skaláry, je lineární algebra okruhem.<br />
Pokud zapomeneme okruhové násobení, je vektorovým prostorem.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$(\C^{n,n},+,\cdot)$ je lineární algebra nad $\C$.<br />
\item<br />
$(\C^{n,n},+,\cdot)$ je lineární algebra nad $\R$.<br />
\item<br />
$C_R$ je lineární algebra $C$ nad $\R$.<br />
\item<br />
$R_R$ je lineární algebra $R$ nad $\R$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Algebry definované nad tělesem reálných čísel nazýváme \defined[algebra!lineární!reálná]{reálné}.<br />
<br />
\remark<br />
Mějme $U$ těleso a $T\sg U$ jeho podtěleso.<br />
Pak $U$ je lineární algebra nad $T$<br />
a $U\subplus$ je vektorový prostor nad $T$. <br />
<br />
\xxxx{Algebra kvaternionů}<br />
<br />
Vymyslel ji Hamilton v~Dublinu 16.~října 1843.<br />
<br />
Vezměme algebru $\C^{2,2}$ nad $\R$ a uvažujme podmnožinu<br />
$$K:=\set{\matrixtwo ab{-\bar b}{\bar a}}{a,b\in\C}.$$<br />
Ukážeme, že $K$ je podalgebra $\C^{2,2}$.<br />
Uzavřenost vůči sčítání matic je zjevná, stejně tak vůči násobení reálným číslem.<br />
Zbývá nám uzavřenost vůči součinu:<br />
$$\matrixtwo ab{-\bar b}{\bar a}\matrixtwo cd{-\bar d}{\bar c}=<br />
\matrixtwo{ac-b\bar d}{ad+b\bar c}{-\bar bc-\bar a\bar d\;}{\;-\bar bd+\bar ac}.$$<br />
Tedy $K$ nad $\R$ je algebrou, kterou nazýváme \defined[algebra!kvaternionová]{kvaternionová algebra}<br />
a její prvky \defined[kvaternion]{kvaterniony}.<br />
<br />
Je asociativní, není komutativní, má jednotku $\matrixtwo1001$ a je algebrou s~dělením<br />
(tedy $K$ jako okruh je tělesem) --- ukážeme.<br />
Pro dané $a,b$ hledáme $c,d$, aby $ac-b\bar d=1$ a $\bar bc+\bar a\bar d=0$.<br />
Zbylé dvě rovnice jsou lineárně závislé na těchto dvou.<br />
Matice soustavy s~neznámými $c,\bar d$ je $\matrixtwo a{-b}{\bar b}{\bar a}$<br />
a její determinant je $D=\abs a^2+\abs b^2$.<br />
Tedy podle Cramerova pravidla je $c=\frac{\bar a}D$ a $\bar d=\frac{-\bar b}D$, tedy $d=\frac{-b}D$.<br />
<br />
Zapišme $a=\alpha_1+\alpha_2i$ a $b=\beta_1+\beta_2i$, kde $\alpha_{1,2},\beta_{1,2}\in\R$.<br />
Pak $$\matrixtwo ab{-\bar b}{\bar a}<br />
=\matrixtwo{\alpha_1+\alpha_2i}{\beta_1+\beta_2i}{-\beta_1+\beta_2i}{\alpha_1-\alpha_2i}<br />
=\alpha_1\,\,\underbrace{\!\!\matrixtwo1001\!\!}_e\,\,+\alpha_2\underbrace{\matrixtwo i00{-i}}_i+\beta_1\underbrace{\matrixtwo01{-1}0}_j+\beta_2\underbrace{\matrixtwo0ii0}_k.$$<br />
Tedy $\mathfunction{dim} K=4$ a $(e,i,j,k)$ tvoří bázi $K$.<br />
Prvky báze se násobí podle následující tabulky (první činitel vlevo, druhý nahoře):<br />
<br />
$$\te{array}{{c||c|c|c|c|}<br />
\cdot&1&i&j&k\\\hline\hline<br />
1&1&i&j&k\\\hline<br />
i&i&-1&k&-j\\\hline<br />
j&j&-k&-1&i\\\hline<br />
k&k&j&-i&-1\\\hline<br />
}$$<br />
<br />
Označme $Q_8:=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$.<br />
Pak $Q_8$ s~násobením podle tabulky je grupa nazývaná \defined[grupa!kvaternionová]{kvaternionová grupa}.<br />
V~úvahu přicházejí čtyř- a dvouprvkové podgrupy.<br />
Jsou tři 4prvkové podgrupy, např. $\{1,-1,i,-i\}$, a jedna 2prvková $\{1,-1\}$.<br />
První 3 mají index 2 a jsou tudíž normální, taktéž 2prvková je normální.<br />
Tedy $Q_8$ je příklad neabelovské grupy, která má všechny podgrupy normální.<br />
Takové grupy se nazývají \defined[grupa!hamiltonovská]{hamiltonovské}.<br />
<br />
\theorem (Frobenius)<br />
Buď $A$ reálná asociativní konečnědimenzionální lineární algebra bez dělitelů nuly.<br />
Je-li $A$ komutativní, potom je izomorfní s~algebrou $C_R$ nebo $R_R$.<br />
Není-li $A$ komutativní, pak je izomorfní s algebrou kvaternionů.</div>
Karel.brinda