01ALG:Kapitola6
\nothing{ \begin{document} }
\xxx{Okruhy}
\xxxx{Okruh}
\define Řekneme, že algebra $R=(M,+,\cdot)$ je \defined[okruh]{okruh} (angl. \defined{ring}), pokud platí: \begin{enumerate} \item
algebra $(M,+)$ je Abelova grupa; nazýváme ji \defined[grupa!aditivní okruhu]{aditivní grupa} okruhu $R$
a značíme $R\subplus$;
\item
algebra $(M,\cdot)$ je grupoid; nazýváme jej \defined[grupoid!multiplikativní okruhu]{multiplikativní grupoid}
okruhu $R$ a značíme $R\subdot$;
\item
\defined[zákon!distributivní]{distributivní zákon}, tj.
$$(\AA a,b,c\in M)(a(b+c)=(ab)+(ac)\;\Land\; (b+c)a=(ba)+(ca)).$$
\end{enumerate}
\example $Z=(\Z,+,\cdot)$ je \defined[okruh!celých čísel]{okruh celých čísel}.
\remark Jak jsme zvyklí, má operace násobení větší prioritu než operace sčítání, tj. $ab+c:=(ab)+c$.
\define $E=(\{0\},+,\cdot)$ je \defined[okruh!triviální]{triviální okruh}.
\define Řekneme, že okruh $R$ je \defined[okruh!asociativní]{asociativní}, resp. je \defined[okruh!komutativní]{komutativní},
resp. \defined[okruh!s jednotkou]{má jednotku}, má-li stejnou vlastnost i multiplikativní grupoid $R\subdot$.
\example \begin{enumerate} \item Okruh $Z=(\Z,+,\cdot)$ je asociativní, komutativní a má jednotku. \item Okruh $(\C^{n,n}, +, \cdot)$ je asociativní, má jednotku (jednotkovou matici),
ale není komutativní.
\item Vektorový prostor $(V,+)$ s~vektorovým součinem $\times$ tvoří orkuh $(V,+,\times)$,
který není ani asociativní, ani komutativní.
\end{enumerate}
\define \defined[okruh!zerový]{Zerový okruh} je okruh $R=(M,+,\cdot)$, kde $(\AA a,b\in M)(ab:=0)$.
\define Definujeme \defined[rozdíl!prvků]{rozdíl prvků}, $(\AA a,b\in M)(a-b:=a+(-b))$.
\theorem Buď $R=(M,+,\cdot)$ okruh, nechť $a,b\in M$. Potom platí: \begin{enumerate} \item $c(a-b)=ca-cb$; $(a-b)c=ac-bc$; \item $0\cdot a=a\cdot0=0$; \item $(-a)b=a(-b)=-(ab)$; \item $(-a)(-b)=ab$. \end{enumerate}
\proof Všechno je podobné, ukážeme první dvě. \begin{enumerate} \item $c(a-b)=c(a-b)+cb-cb=c(a-b+b)-cb=ca-cb$. \item $0\cdot a=(b-b)a=ba-ba=0$. \end{enumerate} \QED
\define \defined[okruh!číselný]{Číselný okruh} je libovolný okruh
s~přirozenými číselnými operacemi a s~nosičem, který je číselnou množinou.
\define \defined[dělitelé nuly]{Dělitelé nuly} jsou libovolné $a,b\in R\supdot$ takové, že $a,b\neq0$, ale $ab=0$. \defined[okruh!bez dělitelů nuly]{Okruhem bez dělitelů nuly} rozumíme okruh, ve kterém neexistují dělitelé nuly.
\example Např. $\matrixtwo1000\matrixtwo0010=\matrixtwo0000$.
\theorem Číselné okruhy jsou bez dělitelů nuly, tj. pro $a,b\in R\supdot$ platí, že
$$(ab=0 \Limpl (a=0\,\Lor\,b=0)).$$
\define \defined[obor integrity]{Oborem integrity} rozumíme asociativní a komutativní okruh bez dělitelů nuly.
\define Buď $R=(M,+,\cdot)$ okruh. \defined[polynom]{Polynomem nad okruhem $R$} rozumíme libovolnou nekonečnou posloupnost
$(a_n)_{n=0}^\infty$ prvků z $M$, v~níž je konečný počet prvků nenulových.
Takové $n\in\Nz$, že $a_n\neq 0$ a $(\AA i>n)(a_i=0)$ nazveme \defined[polynom!stupeň]{stupeň polynomu}. Pro \defined[polynom!nulový]{nulový polynom} $\theta=0\,0\,0\,0\,\ldots$ nedefinujeme stupeň.
Posloupnost $(a_n)_{n=0}^\infty$ označíme $\sum a_nx^n$ nebo $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_sx^s$,
kde $s$ je stupeň polynomu.
Jde o formální zápis, nikoli sumu. Množinu všech polynomů nad okruhem $R$ označíme $R[x]\supdot$.
\define Mějme okruh $R$ a polynomy $P=\sum a_ix^i$, $Q=\sum b_ix^i$. Potom definujeme \defined[polynom!součet]{součet polynomů} jako $P+Q:=\sum (a_i+b_i)x^i$
a \defined[polynom!součin]{součin polynomů} jako $PQ:=\sum c_kx^k$, kde $c_k:=\sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}$.
\remark Součet i součin polynomů jsou opět polynomy a operace jsou přirozené, jaké známe z analýzy.
\define $R[x]=(R[x]\supdot, +, \cdot)$ nazveme \defined[okruh!polynomů]{okruh polynomů} nad okruhem $R$.
\lemma Pokud okruh $R$ je asociativní, resp. je komutativní, resp. má jednotku,
má odpovídající vlastnost i $R[x]$.
Jednotkou v okruhu polynomů je $1x^0=1\,0\,0\,0\cdots$.
\lemma Nemá-li okruh $R$ dělitele nuly, nemá je ani okruh $R[x]$.
\proof Mějme $P,Q\in R[x]\sm\{\Pzero\}$, $P=\sum a_ix^i$, $Q=\sum b_ix^i$ a nechť stupeň $P$ je $p$ a $Q$ je $q$. Mějme součin $PQ=\sum c_kx^k$, pak je speciálně $c_{p+q}=\sum_0^{p+q}a_ib_{p+q-i}$. Pro $i>p$ je $a_i=0$ a pro $i<p$ je $p+q-i>q$ a $b_i=0$. Tedy $c_{p+q}=a_pb_q$, a neboť oba jsou nenulové a $R$ nemá dělitele nuly, je $c_{p+q}\neq 0$ a tedy $PQ\neq\Pzero$. \QED
\define Mějme $x_1\cldc x_n$ soubor neučitých. Pak definujeme $R[x_1\cldc x_n]$ indukcí jako $R[x_1\cldc x_n]:=(R[x_1\cldc x_{n-1}])[x_n]$.
\theorem Buď $R$ obor integrity, pak také $R[x_1\cldc x_n]$ je obor integrity.
\proof Důkaz provedeme snadno indukcí podle $n$ s~využitím předchozího lemmatu. %TODO \QED
\xxxx{Těleso}
\define Okruh $R=(M,+,\cdot)$ je \defined[těleso]{těleso}, pokud platí, že algebra $(M\sm\{0\},\cdot)$ je grupa. Grupu $(M\sm\{0\},\cdot)$ nazýváme \defined[těleso!multiplikativní grupa]{multiplikativní grupa} tělesa
a značíme $T\subast$.
Těleso značíme $T$ a je-li $T\subast$ Abelova, řekneme, že těleso $T$ je \defined[těleso!komutativní]{komutativní}.
\lemma Těleso vždy obsahuje alespoň 2 prvky, a to nulu a jednotku.
\define Definujeme \defined[těleso!triviální]{triviální těleso} $F=(\{0,1\},+,\cdot)$. Operace na triviálním tělese se definují pomocí \defined[tabulky!Cayleyovy]{Cayleyových tabulek}:
$$ \begin{array}{c||c|c|}+&0&1\\\hline\hline0&0&1\\\hline1&1&0\\\hline\end{array} \qquad \begin{array}{c||c|c|}\cdot&0&1\\\hline\hline0&0&0\\\hline1&0&1\\\hline\end{array} $$
\define Základní číselná tělesa: \begin{enumerate} \item $Q:=(\Q,+,\cdot)$; \item $R:=(\R,+,\cdot)$; \item $C:=(\C,+,\cdot)$. \end{enumerate}
\remark Okruh celých čísel $Z=(\Z,+,\cdot)$ není tělesem!
\example Položme $M=\set{a+\sqrt2b}{a,b\in\Q}$, pak $(M,+,\cdot)$ je těleso takové, že $\Q\ssn M\ssn\R$. Jediné zajímavé je ukázat přítomnost inverzního prvku: $(a+\sqrt2b)^\1=\frac{a-\sqrt2b}{a^2-2b^2}$.
Obecně lze definovat $\Q_{\sqrt n}=((\Q+\sqrt n\Q),+,\cdot)$ pro libovolné $n\in\N$.
\theorem \begin{enumerate} \item
Těleso nemá dělitele nuly.
\item
Komutativní těleso je obor integrity.
\end{enumerate}
\proof \begin{enumerate} \item
Nenulové prvky tělesa tvoří grupu, tedy jsou uzavřené vůči násobení a tedy nemůže $ab=0$.
\item
Těleso je vždy asociativní, tedy je-li i komutativní, je oborem integrity z~definice.
\end{enumerate} \QED
\define Buďte $R=(M,+,\cdot)$ okruh a $T=(N,+,\cdot)$ těleso. \begin{enumerate} \item
Řekneme, že $A\sse M$, $A\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v~okruhu]{uzavřená v~okruhu $R$}, platí-li
$$(\AA a,b\in A)(ab\in A\;\Land\;a-b\in A).$$
Algebru $Q=(A,+,\cdot)$ nazveme \defined[podokruh]{podokruh} okruhu $R$ a značíme $Q\sg R$.
\item
Řekneme, že $B\sse N$, $B\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v tělese]{uzavřená v~tělese $T$}, platí-li
$$\bigl(\AA a,b\in B\bigr)\bigl(b\neq0\Limpl(ab^\1\in B\;\Land\;a-b\in B)\bigr).$$
Algebru $U=(B,+,\cdot)$ nazveme \defined[podtěleso]{podtěleso} tělesa $T$ a značíme $U\sg T$.
Těleso $T$ nazýváme \defined[nadtěleso]{nadtěleso} tělesa $U$
a relaci $\sg$ \defined[těleso!rozšíření]{rozšířením těles}
\end{enumerate}
\example \begin{enumerate} \item Označme $S=\set{2k}{k\in\Z}$. Pak platí (pro okruhy) $(S,+,\cdot)\sg_O(\Z,+,\cdot)\sg_O(\Q,+,\cdot)$. \item Pro tělesa platí $(\Q,+,\cdot)\sg_T(\R,+,\cdot)\sg_T(\C,+,\cdot)$. \end{enumerate}
\theorem Buďte $R=(M,+,\cdot)$ okruh, resp. těleso a nechť $Q_i\sg R, i\in I$ je systém podokruhů, resp. podtěles. Pak $\bigcap_{i\in I}G_i$ je podokruh, resp. podtěleso $R$.
\define Buďte $R=(M,+,\cdot)$ okruh, $A\sse M$. Pak $\anglevector A:=\bigcap\set{Q\sg R}{A\sse Q}$ nazýváme
\defined[podokruh!generovaný množinou]{podokruh generovaný množinou $A$}.
\lemma $$\anglevector A\supdot=\set{k_1\times a_{11}\ldots a_{1m_1}+\cdots+k_n\times a_{n1}\ldots a_{nm_n}}% {n\in\Nz, m_i\in\N, k_i\in\Z, a_{ij}\in A}$$
\proof Množina obsahuje $A$, nelze nic vyjmout a je uzavřená v~$R$. \QED
\define Buďte $R=(M,+,\cdot)$ okruh a nechť $Q_i\sg R, i\in I$ je systém podokruhů. Pak definujeme \defined[součet!podokruhů]{součet podokruhů} jako
$\sum_{i\in I}Q_i:=\anglevector{\bigcup_{i\in I}Q_i\supdot}$
\xxxx{Kongruence}
\define Buď $R=(M,\cdot)$ okruh a $\equiv$ ekvivalence na $M$. Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (okruhy)]{kongruence} na okruhu $R$, platí-li: $$(\AA a,b,c,d\in M)\big((a\equiv b \;\Land\; c\equiv d)\Limpl (a+c\equiv b+d \;\Land\; ac\equiv bd)\big).$$
\define Buď $\equiv$ kongruence na okruhu $R$. Pak $R\factorset\equiv:=(M\factorset,+,\cdot)$ s~operacemi $T_a+T_b:=T_{a+b}$ a $T_{ab}:=T_aT_b$
nazýváme \defined[faktorokruh]{faktorokruh} okruhu $R$ podle kongruence $\equiv$.
\lemma Buď $\equiv$ kongruence na okruhu $R$. Pak faktorokruh $R\factorset\equiv$ je okruh.
\theorem Je-li okruh $R$ asociativní, resp. komutativní, resp. má jednotku, potom má tutéž vlastnost i faktorokruh $R\factorset\equiv$.
\remark Neplatí obecně, že faktorokruh tělesa je tělesem (nepřenáší se vlastnost nemíti dělitele nuly).
\define Nechť $Q\sg R$ je okruh a jeho podokruh. Pak definujeme ekvivalenci $\EH Q$ na $R$ tak, že $a\EH Qb\Lequiv a-b\in Q$.
\remark $R\subplus$ je Abelova, tedy $\EH Q$ je kongruence na grupě $R\subplus$, ne však kongruence na okruhu $R$.
\define Podokruh $I$ okruhu $R$ nazýváme \defined[ideál (okruhy)]{ideál} v~$R$ a značíme $I\nsg R$, platí-li, že $$(\AA a\in I\supdot)(\AA r\in R\supdot)(ra\in I\supdot \;\Land\; ar\in I\supdot).$$
\remark \begin{enumerate} \item Při ověřování, že $I$ je ideál, je nejprve nutno ověřit, že je podokruhem,
a pak teprve definující podmínku ideálu.
\item Definující vlastnost ideálu je silnější, než uzavřenost vůči násobení,
tedy stačí ověřit tuto podmínku a uzavřenost vůči sčítání.
\end{enumerate}
\theorem Ekvivalence $\equiv$ na $R$ je kongruencí právě tehdy, je-li ekvivalencí indukovanou ideálem, tj.
$(\EE I\nsg R)((\equiv)=(\EH I))$.
\proof \begin{description} \ditem{$\Leftarrow$}
Vezměme třídu $T_0$ kongruence $\equiv$ a ukážeme, že $I=(T_0,+,\cdot)$ je hledaný ideál.
Platí $a\equiv 0$ a $b\equiv 0$, tedy $a-b\equiv 0$ a tedy $a-b\in T_0$. Dále $a\equiv 0$ a $r\equiv r$, tedy $ar\equiv 0$ a $ra\equiv 0$ a tedy $ar,ra\in T_0$.
Z~grup víme, že $(\equiv)=(\EH{T_0})$, což jsme chtěli ukázat.
\ditem{$\Rightarrow$}
Mějme $I\nsg R$. Pak $a\EH Ib\Lequiv a-b\in I\supdot$. Ekvivalence $\EH I$ je kongruencí na $R\subplus$, tedy zbývá ukázat druhá podmínka, tj. že $ac\EH I bd$ pokud $a=b$ a $c=d$. Platí $ac-bd=ac-ad+ad-bd=a(c-d)+(a-b)d$, a neboť $(c-d),(a-b)\in I$ a ideál je uzavřený na násobení všemi prvky $R$ a na sčítání, je i $a(c-d)+(a-b)d\in I$.
\end{description} \QED
\example Mějme okruh celých čísel $Z=(\Z,+,\cdot)$. Pak pro libovolné $m\in\Nz$ definujeme $\EH m$ jako $a\EH mb\Lequiv (\EE s\in\Z)(a-b=sm)$. Pak $I_m:=\set{sm}{s\in\Z}$ je ideál a $I_m$ jsou všechny ideály na $Z$.
Zjevně splývá $Z\factorset{\EH m}$ a $Z\factorset{I_m}$. Budeme proto používat společnou značku $Z_m$ a název \defined[okruh!zbytkových tříd]{okruh zbytkových tříd} modulo $m$.
\theorem Nechť $m\in\N$ (tedy $m\neq 0$). Pak v~jedné třídě $Z_m$ leží 2 čísla $a,b$ právě tehdy, dávají-li stejný zbytek po dělení $m$. Okruh zbytkových tříd $Z_m$ má řád $m$.
\theorem Buďte $R$ okruh s jednotkou, $I\nsg R$ a nechť $1\in I\supdot$. Pak $I=R$.
\proof Mějme libovolné $r\in R\supdot$ a $1\in I\supdot$. Pak nutně $r\cdot1\in I$ a tedy $R\supdot\sse I\supdot$. Opačna inkluze plyne z~definice ideálu. \QED
\theorem Buť $R$ okruh. Pak: \begin{enumerate} \item $R\nsg R$; \item $E\nsg R$. \end{enumerate}
\define \begin{enumerate} \item Ideál $I\nsg R$ nazveme \defined[ideál (okruhy)!netriviální]{netriviální}, pokud $I\neq R$ a $I\neq E$. \item Okruh $R$ označujeme \defined[okruh!jednoduchý]{jednoduchý}, pokud nemá netriviální ideály. \end{enumerate}
\xxxx{Jednoduché okruhy}
\theorem Nechť $R$ je okruh a $I\nsg R$. Pak $I\subplus\nsg R\subplus$. (Tedy je-li $I$ ideál, pak je i normální podgrupou aditivní grupy $R\subplus$.)
\theorem \begin{enumerate} \item Okruh $R$ prvočíselného řádu $p$ je jednoduchý. \item Libovolné těleso $T$ je jednoduchý okruh. \end{enumerate}
\proof \begin{enumerate} \item Pokud by $R$ měl netrivální ideál, pak by $R\subplus$ měla netriviální normální podgrupu,
ale z~prvočíselnosti řádu víme, že taková normální podgrupa neexistuje.
\item Mějme libovolný ideál $I\nsg T$. Ukážeme, že $I\neq E\Limpl I=T$, tedy existují pouze triviální ideály. Ideál je nenulový, tedy $(\EE a\in I\supdot\sm\{0\})$. Pak $a^\1\in T$, tedy $aa^\1=1\in I\supdot$ a tedy $I=T$. \end{enumerate} \QED
\remark Lze definovat jednostranné ideály, ale z~důkazu je vidět, že těleso nemá ani jednostranné ideály.
\theorem Průnik i součet libovolného systému ideálů v~okruhu $R$ je ideál v~$R$.
\proof Mějme systém $I_\alpha\nsg R$ pro $\alpha\in J$. Označme $A=\bigcap I_\alpha$ a $B=\sum I_\alpha$ \begin{description} \ditem{průnik}
Průnik je podokruhem, tedy stačí ukázat definiční podmínku ideálu. Mějme libovolné $a\in A$ a $r\in R\supdot$. Pak $(\AA\alpha\in J)(a\in I_\alpha)$, tedy $(\AA\alpha\in J)(ar\in I_\alpha)$, tedy $ar\in A$.
\ditem{součet}
Součet je podokruhem, tedy opět stačí ukázat definiční podmínku ideálu.
Mějme libovolné $a\in B$ a $r\in R\supdot$.
Pak $a$ je tvaru $a=k_1\times a_{11}\ldots a_{1n_1}+\cdots+k_m\times a_{m1}\ldots a_{mn_m}$,
kde $k_i\in\Z$ a $a_{i\ell}\in\bigcup I_\alpha$.
Tedy zvláště $a_{i1}\in I_{\alpha_i}\supdot$ ($\alpha_i$ vybere příslušný ideál).
Pak součin $a_{i1}a_{i2}\ldots a_{in_i}$ je tvaru $a_{i1}r_i$ pro nějaké $r_i\in R\supdot$,
tedy neboť $I_\alpha$ je ideál, je $a_{i1}r_i\in I_\alpha$ a také $b_i=k_i\times a_{i1}r_i\in I_\alpha$.
Potom $a=b_1+\cdots+b_m$.
Pro libovolné $r\in R\supdot$ je $ra=rb_1+\cdots+rb_m$ a platí $(\AA i)(rb_i\in I_{\alpha_i})$.
Ale $I_{\alpha_i}\sse \bigcup I_\alpha\sse \anglevector{\bigcup I_\alpha}=B$.
Z~uzavřenosti $B$ na součty je $ra\in B$ a podobným způsobem ukážeme, že $ar\in B$.
\end{description} \QED
\define Buď $R=(M,+,\cdot)$ okruh. \defined[ideál (okruhy)!hlavní]{Hlavním ideálem} generovaným prvkem $a\in M$ (značíme $I_a$)
rozumíme nejmenší ideál v~$R$ obsahující prvek $a$.
\remark Definice je korektní, neboť každý prvek leží v~nějakém ideálu (přinejhorším $a\in R\nsg R$),
a existuje nejmenší, neboť průnik systémem ideálů obsahujících $a$ je ideál obsahující $a$ a je nutně nejmenší:
$$I_a=\bigcap_{J\nsg R\atop a\in J} J.$$
\lemma Nechť $R$ je asociativní a komutativní okruh a $a\in R$ a označme $J_a:=\set{ra}{r\in R\supdot}$. Pak $J_a$ je ideál a platí: \begin{enumerate} \item Má-li $R$ jednotku, je $I_a=J_a$ (tedy $J_a$ je hlavní ideál generovaný $a$). \item Nemá-li $R$ jednotku, je $I_a=\anglevector{J_a\cup\{a\}}=\set{ra+k\times a}{r\in R\supdot, k\in\Z}$. \end{enumerate}
\proof Mějme libovolné $b=ra\in J_a$, kde $r\in R$ a $a\in J_a$ a libovolné $q\in R$. Pak $bq=qb=qra\in R\supdot a=J_a\supdot$, tedy $J_a$ splňuje definiční vlastnost ideálu. V~hlavním ideálu gerenrovaném $a$ leží všechny součiny tvaru $ra$, tedy nutně $J_a\sse I_a$. Pokud navíc existuje jednotka, je $a=1a\in J_a$ a tedy $J_a=I_a$. Pokud jednotka neexistuje, je nutné $J_a$ rozšířit o násobky $a$. \QED
\define
Asociativní a komutativní okruh nazveme \defined[okruh!hlavních ideálů]{okruhem hlavních ideálů},
je-li v~něm každý ideál hlavní.
\example Ukážeme, že $Z=(\Z,+,\cdot)$ je okruh hlavních ideálů. Ideály $I_m=\set{sm}{s\in\Z}$ jsou hlavní. Vezměme si libovolný ideál $I\nsg Z$, pak víme, že $I\subplus$ je normální podgrupa $Z\subplus$. Ale $Z\subplus$ je cyklická, tedy i $I\subplus$ je cyklická
a tedy existuje generátor $m$ takový, že $I=I\subplus=\anglevector m=\set{k\times m}{k\in\Z}=\set{sm}{s\in\Z}$.
Tedy $I=I_m$ a je hlavní.
\xxxx{Homomorfismy}
\define Buďte $R_1$, $R_2$ okruhy, $R_i=(M_i,+,\cdot)$. Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (okruhy)]{homomorfismus okruhů}, pokud platí: $$(\AA x,y\in M_1)\big(h(x+y)=h(x)+h(y)\;\Land\;h(xy)=h(x)h(y)\big).$$ (Tedy $h$ je homomorfismus na okruhu, pokud je homomorfismem na aditivním i multiplikativním grupoidu.)
Značíme $\map h{R_1}{R_2}$.
\define Podobně, jako na grupách, definujeme na okruzích \defined[monomorfismus (okruhy)]{monomorfismus},
\defined[epimorfismus (okruhy)]{epimorfismus},
\defined[izomorfismus (okruhy)]{izomorfismus},
\defined[endomorfismus (okruhy)]{endomorfismus},
\defined[automorfismus (okruhy)]{automorfismus}.
\define Okruhy $R_1$ a $R_2$ jsou izomorfní (značíme $R_1\cong R_2$),
pokud existuje izomorfismus $\map h{R_1}{R_2}$.
\lemma $h(R_1)\sg R_2$.
\theorem Je-li $R_1$ asociativní, resp. komutativní, resp s~jednotkou,
pak tutéž vlastnost má i $h(R_1)$.
\remark Nepřenáší se vlastnost nemíti dělitele nuly a býti tělesem.
\define \defined[homomorfismus (okruhy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $\map h{R_1}{R_2}$ rozumíme množinu
$\ker h:=h^\1(\{0\})=\set{x\in R_1\supdot}{h(x)=0}$.
\lemma Nechť $h$ je homomorfismus. \begin{enumerate} \item $\ker h\nsg R_1$ \item $h$ je monomorfní (prostý) právě tehdy, když $\ker h=\{0\}$. \end{enumerate}
\theorem Podokruh okruhu $R$ je ideál právě tehdy, je-li jádrem nějakého homomorfismu definovaného na $R$.
\theorem (o homomorfismu okruhů) Buďte $R_1$, $R_2$ okruhy a nechť $\map h{R_1}{R_2}$ je homomorfismus. Potom $h(R_1)\cong {R_1}\factorset{\ker h}$.
\theorem Buďte $R_1$, $R_2$ okruhy, $\map h{R_1}{R_2}$ monomorfismus. Je-li $R_1$ bez dělitele nuly, resp. tělesem, pak má odpovídající vlastnost i podokruh $h(R_1)$ okruhu $R_2$.
\xxxx{Podílová tělesa}
\theorem Nechť $m\geq2$. Okruh $Z_m$ je okruhem s~děliteli nuly pro $m$ složené, a je komutativním tělesem pro $m$ prvočíselné.
\proof \begin{enumerate} \item Mějme $m=uv$ takové, že $u,v<m$. Pak $T_0=T_m=T_uT_v$ a $T_u, T_v$ jsou dělitelé nuly. \item Mějme $m\in\bbP$ a nechť $k$ je takové, že $0<k<m$. Pak neboť $\delta(k,m)=1$, existují $u,v\in\Z$ taková, že $uk+vm=1$, z čehož $T_uT_k=T_1-T_vT_m=T_1$
a tedy $T_u=T_k^\1$.
\end{enumerate} \QED
\lemma Buď $R$ okruh. Potom $R$ je bez dělitelů nuly právě tehdy, lze-li v~jeho multiplikativním grupoidu $R\subdot$
krátit nenulovým prvkem, tj.
$$(\AA a,b,c\in R\supdot, c\neq0)\bigr((ac=bc \Lor ca=cb) \Limpl a=b\bigr)$$
\proof \begin{description}
\ditem{$\Rightarrow$} Platí $0=ac-bc=(a-b)c$. Neboť $c\neq 0$ a $R$ je bez dělitelů nuly, je $a-b=0$ a tedy $a=b$. Krácení zleva se ukáže obdobně.
\ditem{$\Leftarrow$} Nechť $ab=0=0\cdot b$ nebo $ba=0=b\cdot0$. Tedy pro $b\neq 0$ je $a=0$, což znamená, že nejsou oba nenulové.
\end{description} \QED \remark Má-li se okruh $R$ vnořit do tělesa, nutně nesmí mít dělitele nuly.
\lemma Nechť okruh $R_1$ lze izomorfně vnořit do okruhu $R_2$ a nechť $R_1\supdot\cap R_2\supdot=\emptyset$. Pak existuje okruh $Q$ takový, že $R_1\sg Q$ a $Q\cong R_2$.
\proof Definujme $Q\supdot=(R_2\supdot\sm h(R_1))\cup R_1\supdot$ a definujme zobrazení $\map g{Q\supdot}{R_2\supdot}$
následovně:
$$g(x)=\left\{\begin{array}{l}h(x)\text{\ pro $x\in R_1\supdot$}\\x\text{\ jinak}\end{array}\right.$$
Zjevně $g$ je bijekce. To nám umožňuje definovat $Q=(Q\supdot,\oplus,\odot)$ s~operacemi
$a\oplus b:=g^\1(g(a)+g(b))$ a $a\odot b:=g^\1(g(a)\cdot g(b))$.
Pak $g(a\oplus b)=g(a)+g(b)$ a $g(a\odot b)=g(a)\cdot g(b)$, tedy $g$ je homomorfismus a tedy izomorfismus.
Celkově tedy máme, že $Q\cong R_2$ a $R_1\sg Q$. \QED
\theorem Libovolný obor integrity $R$ lze vnořit do komutativního tělesa.
\proof Je-li $R=E$, pak jej lze vnořit do triviálního tělesa $F$. Tedy předpokládejme $R\neq E$.
Definujme množinu $M:=\set{\anglecouple ab}{a,b\in R\supdot, b\neq0}$. Dále definujeme $\equiv$ jako $\anglecouple ab\equiv\anglecouple cd \Lequiv ad=bc$ a ukážeme, že je ekvivalencí. Reflexivita a symetrie je zřejmá, ukážeme transitivitu. Nechť $ad=bc$ a $cf=de$. Pak $adf=bcf=bed$ a z~předchozího lemmatu, z~nenulovosti $d$ a z~komutativity vidíme, že $af=be$.
Vezměme faktor-množinu $M\factorset\equiv$ a označujme $\frac ab$ třídu $M\factorset\equiv$
obsahující prvek $\anglecouple ab$, tedy $\anglecouple ab\in\frac ab\in M\factorset\equiv$.
\uv{Zlomky} se chovají přirozeně: $\frac ab=\frac cd \Lequiv \anglecouple ab\equiv\anglecouple cd \Lequiv ad=bc$. Lze také krátit nenulovým prvkem: $\frac{ae}{be}=\frac ab$.
Definujeme okruh $U_R:=(M\factorset\equiv,\oplus,\odot)$ jako $\frac ab\oplus\frac cd:=\frac{ad+bc}{bd}$
a $\frac ab\odot\frac cd:=\frac{ac}{bd}$.
Neboť $R$ neobsahuje dělitele nuly, nemáme ve jmenovateli nulu. Zbývá ukázat korektnost definice: Mějme $\frac{a'}{b'}=\frac ab$, tj. $a'b=ab'$, a $\frac{c'}{d'}=\frac cd$, tj. $c'd=cd'$.
Ukážeme, že $\frac{ad+bc}{bd}=\frac{a'd'+b'c'}{b'd'}$, tj.
$bd(a'd'+b'c')\stackrel?=b'd'(ad+bc)$, tj. $bda'd'+bdb'c'\stackrel?=b'd'ad+b'd'bc$,
tj. $(a'b)dd'+(c'd)bb'\stackrel?=(ab')dd'+(cd')bb'$, ale $a'b=ab'$ a $c'd=cd'$, tedy rovnost platí. Podobně lze rozepsat operaci $\odot$. \QED
Dále definujeme $\map hR{U_R}$ jako $h(x)=\frac{xa}a$ pro $a\neq 0$ (nezávislost na výběru $a$ je zřejmá). Ukážeme, že $h$ je monomorfismus. Platí $h(x+y)=\frac{(x+y)a}a=\frac{xa+ya}{a}=\frac{(xa)a+(ya)a}{aa}=\frac{xa}a\oplus\frac{ya}a$ a $h(x)\odot h(y)=\frac{xa}a\odot\frac{ya}a=\frac{xaya}{aa}=\frac{xya}{a}$. Nechť $h(x)=0$, tj. $ax=0$, ale $a\neq0$ a nejsou dělitelé nuly, tedy $x=0$ a $h$ je prosté.
Celkově tedy máme $R\cong h(R)\sg U_R$ a podle předchozího lemmatu existuje těleso $T_R$ takové,
že $R\sg T_R\cong U_R$.
\define Okruh $U_R$ z předchozí věty nazveme \defined[těleso!zlomků]{těleso zlomků}.
\remark \begin{enumerate} \item Každý zlomek tvaru $\frac 0b$ je nulou. \item Každý zlomek tvaru $\frac aa$ je jednotkou. \item Platí $-\frac ab=\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}$. \item Pro $a\neq 0$ je $\qlb{\frac ab}^\1=\frac ba$. \item $U_R$ je obor integrity s~jednotkou, tedy těleso. \end{enumerate}
\define Těleso $T_R$ z~předchozí věty nazveme \defined[těleso!podílové]{podílové těleso} oboru itegrity $R$.
\lemma Buďte $R_1$, $R_2$ obory integrity a $T_1$, $T_2$ jejich podílová tělesa. Pak $R_1\cong R_2 \;\Limpl\; T_1\cong T_2$.
\proof Existuje izomorfismus $\map h{R_1}{R_2}$ a definujme izomorfismus $\map{\bar h}{U_1}{U_2}$
jako $\bar h\qlb{\frac ab}=\frac{h(a)}{h(b)}$.
Je třeba triviálně ukázat, že obraz nezavisí na reprezentantu $\frac ab$, že $h(b)\neq 0$
a že $\bar h$ je izomorfismus.
Tedy máme $T_1\cong U_1\cong U_2\cong T_2$. \QED
\lemma Těleso $T_R$ je nejmenší těleso obsahující obor integrity $R$.
\proof Nechť $S$ je libovolné těleso a $R\sg S$. Definujeme $\map h{U_R}S$ jako $h\qlb{\frac ab}=ab^\1$, což můžeme, protože $a$, $b$ jsou prvky tělesa a $b\neq0$. Opět definice nezávisí na reprezentantu.
Ukážeme, že zobrazení $h$ je homomorfismus. $h\qlb{\frac ab\oplus\frac cd}=h\qlb{\frac{ad+bc}{bd}}=(ad+bc)(bd)^\1=add^\1b^\1+bcd^\1b^\1= ab^\1+cd^\1=h\qlb{\frac ab}+h\qlb{\frac cd}$. Zachování součinu se ověří podobně. Opomněli jsme ověřit, že prvky inverzní k~prvkům z~oboru integrity komutují. Tedy nechť $xy=yx$, pak $y=x^\1yx$ a tedy $yx^\1=x^\1y$. Opět $h\qlb{\frac ab}=0 \Lequiv ab^\1=0 \Lequiv a=0$, tedy $h$ je prosté.
Celkově dostáváme, že $T_R\cong U_R\cong h\qlb{U_R}\sg S$. \QED
\consequence Podílové těleso komutativního tělesa $T$ (jako oboru integrity) je izomorfní s~$T$.
\xxxx{Charakteristika tělesa}
\remark Řád jednotky $1$ jako prvku aditivní grupy $T\subplus$ tělesa $T$
je nejmenší přirozené číslo $n\in\N$ takové, že $n\times 1=\underbrace{1+\cdots+1}_{\text{$n$-krát}}=0$.
Pokud $(\AA n\in\N)(n\times 1\neq 0)$, má jednotka nekonečný řád.
\lemma Jednotka má v~$T\subplus$ řád nekonečný nebo prvočíselný.
\proof Lemma dokážeme sporem. Nechť $n=uv$ a $u,v<n$. Pak $(u\times 1)\cdot(v\times 1)=(1+\cdots+1)(1+\cdots+1)=(uv)\times 1=n\times 1=0$,
tedy $u\times 1$ a $v\times 1$ jsou dělitelé nuly, což je spor.
\QED
\define Řekneme, že těleso $T$ má \defined[těleso!charakteristika]{charakteristiku} $p\in\bbP$, resp. 0,
má-li jednotka v~$T\subplus$ řád $p$, resp. nekonečný.
\consequence \begin{enumerate} \item Všechna číselná tělesa (např. $Q$, $R$, $C$) mají charakteristiku 0. \item Každé konečné těleso má nenulovou charakteristiku. \item Těleso zbytkových tříd $Z_p$ má charakteristiku $p$. \end{enumerate}
\theorem Buď $T$ těleso charaktestiky $p$, resp. 0. Pak libovolný prvek $a\in T\supdot$, $a\neq 0$ má v~$T\subplus$ řád $p$, resp. nekonečný.
\proof Platí $n\times a=a+\cdots+a=1a+\cdots+1a=(1+\cdots+1)a=(n\times 1)a$. Tedy $n\times a=0\Lequiv n\times 1=0$, což jsme chtěli ukázat. \QED
\xxxx{Prvotěleso}
\define \defined[prvotěleso]{Prvotělesem} tělesa $T$ rozumíme jeho nejmenší podtěleso (průnik všech jeho podtěles). Prvotěleso značíme $P_T$.
\theorem Buď $T$ těleso charakteristiky $p$, resp. 0. Potom prvotěleso $T$ je izomorfní s~tělesem zbytkových tříd $Z_p$, resp. s~tělesem racionálních čísel $Q$.
\proof Označme $P_T$ prvotěleso tělesa $T$. Pak nutně $1\in P_T$. Definuji $S:=\set{k\times1}{k\in\Z}$ a nutně $S\in P_T$. Platí $(k\times1)-(\ell\times1)=(k-\ell)\times1\in S$ a $(\ell\times1)(k\times1)=\ell k\times1\in S$,
tedy $S$ je podokruh okruhu $T$.
Definujeme $\map hZS$ jako $h(k)=k\times 1$. Snadno ukážeme, že $h$ je epimorfismus. Podle věty o homomorfismu je $h(Z)=S\cong Z\factorset{\ker h}$.
Zkoumejme následující 2 možné případy: \begin{description} \ditem{$\ch T=p\in\bbP$} Pak $\ker h=\set{k\in\Z}{k\times 1=0}=I_p$. Tedy $S\cong Z\factorset{I_p}=Z_p$ a protože $p$ je prvočíslo, je $Z_p$ těleso. Z~izomorfie $S$ je také tělesem a platí $S\subset P_T$ a neboť $S$ je těleso a $P_T$ je nejmenší podtěleso,
platí $S=P_T$ a $P_T\cong Z_p$.
\ditem{$\ch T=0$} Pak $k\times1=0\Lequiv k=0$ a $\ker h=E=\{0\}$. A tedy $S\cong Z\factorset E\cong Z$, ale $Z$ není tělesem, je pouze oborem integrity,
tedy i $S$ je oborem integrity a existují podílová tělesa $T_S$ a $T_Z$, která jsou izomorfní.
Vezměme $U_S$ a definujme $\map g{U_S}T$ jako $g\qlb{\frac ab}=ab^\1$. O tomto zobrazení jsme již dříve ukázali, že je monomorfismus, tedy $U_S\cong g\qlb{U_S}\sg T$ (podtělesem). Ukážeme, že $g\qlb{U_S}=P_T$.
\begin{description}
\ditem{$\sse$}
$P_T$ je nejmenší podtěleso, tedy $P_T\sse g\qlb{U_S}$.
\ditem{$\supseteq$}
Mějme libovolné $y\in g\qlb{U_S}$, $y=ab^\1$, kde $a,b\in S\sse P_T$.
Ale $P_T$ je těleso, tedy $y\in P_T$.
\end{description}
Tedy celkově máme $P_T=g\qlb{U_S}\cong U_S\cong T_S\cong T_Z=Q$. \end{description} \QED
\remark
\begin{enumerate}
\item
Okruh $Z$ nemá dělitele nuly, ale $Z_m$ pro $m$ složené mají dělitele nuly. To dává protipříklad k~domněnce, že obecný homomorfismus zachová vlastnost nemíti dělitele nuly.
\item
Nechť $T$ je jednoduchý okruh, tj. jediné jeho ideály jsou $E$ a $T$.
Ale všechny ideály jsou jádra všech homomorfismů.
Tedy buď $\ker h=E$ a $h$ je monomorfismus, nebo $\ker h=T$ a $h(T)=\{0\}$, což zjevně není tělesem.
To dává protipříklad k~domněnce, že obecný homomorfismus zachovává tělesovost.
\end{enumerate}
