Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01ALG}
\xxx{Moduly a lineární algebry}
\xxxx{Moduly}
\define
Mějme aditivní grupu $G=(M,+)$ a množinu \defined[skalár]{skalárů} $S\neq\emptyset$.
Pro každé $\alpha\in S$ definujeme endomorfismus značený stejně $\map\alpha GG$.
Pak systém $G_S:=(G,S)$ nazýváme \defined[grupa!s operátory]{grupa s~operátory}.
\define
\defined[podgrupa!přípustná]{Přípustnou podgrupou} grupy s~operátory nazveme takové $H\sg G$,
že $(\AA\alpha\in S)(\AA a\in H\supdot)(\alpha a\in H\supdot)$.
\example
\begin{enumerate}
\item
Mějme libovolnou grupu $G$ a množinu celých čísel $\Z$ jako skaláry.
Definujme pro $k\in\Z$ a $x\in G\supdot$ hodnotu $kx:=k\times x$.
Pak $G_\Z$ je grupa s~operátory.
\item
Nechť $G$ je Abelova grupa.
Označme $\EM G$ množinu všech endomofrismů a definujme pro $h,g\in\EM G$ operace $(h\oplus g)(x):=h(x)+g(x)$
a $(h\odot g)(x):=h(g(x))$.
Pak $(\EM G, \oplus, \odot)$ tvoří okruh nazývaný \defined[okruh!endomordismů]{okruh endomorfismů}.
Pak přípustnou podgrupou grupy s~operátory $G_{\EM G}$ je taková podgrupa,
která je uzavřená vůči všem endomorfismům.
Přípustné podgrupy $G_{\EM G}$ se nazývají \defined[podgrupa!přípustná!úplně charakteristická]{úplně charakteristické}.
\item
Přípustné podgrupy $G_{\AM G}$ se nazývají \defined[podgrupa!přípustná!charakteristická]{charakteristické}.
\item
Přípustné podgrupy $G_{\IM G}$ se nazývají normální.
(Narozdíl od $\EM G$ nejsou $\AM G$ ani $\IM G$ okruhy, přesto mohou jejich prvky být skaláry.)
\end{enumerate}
\define
\defined[modul]{Modulem} rozumíme grupu s~operátory $G_R$, kde $R$ je asociativní okruh s~jednotkou
a $(\AA \alpha,\beta\in R\supdot)(\AA a\in G\supdot)\bigl((\alpha+\beta)a=\alpha a+\beta a
\Land \alpha(\beta a)= (\alpha \beta) a\bigr)$.
Modul $G_R$ nazveme \defined[modul!unitární]{unitární}, pokud $1\cdot a=a$.
\define
Unitární modul $G_R$ nazveme \defined[prostor!vektorový]{vektorovým prostorem}, pokud $R$ je tělesem.
\example
Vezměme $G=R\subplus$ a $R=R$.
Pak $(R\subplus,R)$ je modulem.
\xxxx{Lineární algebry}
\define
Mějme okruh $R$ a množinu skalárů $S\neq\emptyset$.
Pak $(R,S)$ je \defined[okruh!s~operátory]{okruh s~operátory}, pokud $(R\subplus,S)$ je grupa s~operátory
a platí $(\AA\alpha\in S)(\AA a,b\in R\supdot)\bigl(\alpha(ab)=(\alpha a)b=a(\alpha b)\bigr)$.
\define
\defined[algebra!lineární]{Lineární algebra} je dvojice $(R,S)$, kde $R$ je okruh, $S$ je těleso a platí:
\begin{enumerate}
\item
$(R\subplus,S)$ je unitární modul;
\item
$(R,S)$ je okruh s~operátory.
\end{enumerate}
\remark
Pokud zapomeneme násobení skaláry, je lineární algebra okruhem.
Pokud zapomeneme okruhové násobení, je vektorovým prostorem.
\example
\begin{enumerate}
\item
$(\C^{n,n},+,\cdot)$ je lineární algebra nad $\C$.
\item
$(\C^{n,n},+,\cdot)$ je lineární algebra nad $\R$.
\item
$C_R$ je lineární algebra $C$ nad $\R$.
\item
$R_R$ je lineární algebra $R$ nad $\R$.
\end{enumerate}
\define
Algebry definované nad tělesem reálných čísel nazýváme \defined[algebra!lineární!reálná]{reálné}.
\remark
Mějme $U$ těleso a $T\sg U$ jeho podtěleso.
Pak $U$ je lineární algebra nad $T$
a $U\subplus$ je vektorový prostor nad $T$.
\xxxx{Algebra kvaternionů}
Vymyslel ji Hamilton v~Dublinu 16.~října 1843.
Vezměme algebru $\C^{2,2}$ nad $\R$ a uvažujme podmnožinu
$$K:=\set{\matrixtwo ab{-\bar b}{\bar a}}{a,b\in\C}.$$
Ukážeme, že $K$ je podalgebra $\C^{2,2}$.
Uzavřenost vůči sčítání matic je zjevná, stejně tak vůči násobení reálným číslem.
Zbývá nám uzavřenost vůči součinu:
$$\matrixtwo ab{-\bar b}{\bar a}\matrixtwo cd{-\bar d}{\bar c}=
\matrixtwo{ac-b\bar d}{ad+b\bar c}{-\bar bc-\bar a\bar d\;}{\;-\bar bd+\bar ac}.$$
Tedy $K$ nad $\R$ je algebrou, kterou nazýváme \defined[algebra!kvaternionová]{kvaternionová algebra}
a její prvky nazýváme \defined[kvaternion]{kvaterniony}.
Je asociativní, není komutativní, má jednotku $\matrixtwo1001$ a je algebrou s~dělením
(tedy $K$ jako okruh je tělesem) --- ukážeme.
Pro dané $a,b$ hledáme $c,d$, aby $ac-b\bar d=1$ a $\bar bc+\bar a\bar d=0$.
Zbylé dvě rovnice jsou lineárně závislé na těchto dvou.
Matice soustavy s~neznámými $c,\bar d$ je $\matrixtwo a{-b}{\bar b}{\bar a}$
a její determinant je $D=\abs a^2+\abs b^2$.
Tedy podle Cramerova pravidla je $c=\frac{\bar a}D$ a $\bar d=\frac{-\bar b}D$, tedy $d=\frac{-b}D$.
Zapišme $a=\alpha_1+\alpha_2i$ a $b=\beta_1+\beta_2i$, kde $\alpha_{1,2},\beta_{1,2}\in\R$.
Pak $$\matrixtwo ab{-\bar b}{\bar a}
=\matrixtwo{\alpha_1+\alpha_2i}{\beta_1+\beta_2i}{-\beta_1+\beta_2i}{\alpha_1-\alpha_2i}
=\alpha_1\,\,\underbrace{\!\!\matrixtwo1001\!\!}_e\,\,+\alpha_2\underbrace{\matrixtwo i00{-i}}_i+\beta_1\underbrace{\matrixtwo01{-1}0}_j+\beta_2\underbrace{\matrixtwo0ii0}_k.$$
Tedy $\mathfunction{dim} K=4$ a $(e,i,j,k)$ tvoří bázi $K$.
Prvky báze se násobí podle následující tabulky (první činitel vlevo, druhý nahoře):
$$\te{array}{{c||c|c|c|c|}
\cdot&1&i&j&k\\\hline\hline
1&1&i&j&k\\\hline
i&i&-1&k&-j\\\hline
j&j&-k&-1&i\\\hline
k&k&j&-i&-1\\\hline
}$$
Označme $Q_8:=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$.
Pak $Q_8$ s~násobením podle tabulky je grupa nazývaná \defined[grupa!kvaternionová]{kvaternionová grupa}.
V~úvahu přicházejí čtyř- a dvouprvkové podgrupy.
Jsou tři 4prvkové podgrupy, např. $\{1,-1,i,-i\}$, a jedna 2prvková $\{1,-1\}$.
První 3 mají index 2, a jsou tudíž normální, taktéž 2prvková je normální.
Tedy $Q_8$ je příklad neabelovské grupy, která má všechny podgrupy normální.
Takové grupy se nazývají \defined[grupa!hamiltonovská]{hamiltonovské}.
\theorem (Frobenius)
Buď $A$ reálná asociativní konečnědimenzionální lineární algebra bez dělitelů nuly.
Je-li $A$ komutativní, potom je izomorfní s~algebrou $C_R$ nebo $R_R$.
Není-li $A$ komutativní, pak je izomorfní s algebrou kvaternionů.