Součásti dokumentu MAN2priklady
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{MAN2priklady}
\section{Primitivní funkce}
\subsection*{Základní příklady}
Řešený příklad: $\int \left( 3-x^2\right)^3 \text{d}x$
$$
\int \left( 3-x^2\right)^3 \text{d}x=\int \left(27-27x^2+9x^4 -x^6\right) \text{d}x=27x-9x^3+\frac{9}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7
$$
Integrand je funkce spojitá na celém $\mathbb{R},$ primitivní funkci jsme tedy našli na tomto intervalu.
\medskip
\begin{enumerate}
\item $
\int (1-x)(1-2x)(1-3x) \text{d}x
$
\item $
\int \left( 1-x+x^2\right)^2 \text{d}x
$
\item $
\int x^2(5-x)^4 \text{d}x
$
\item $
\int \frac{x^3+1}{x+1} \text{d}x
$
\end{enumerate}
Řešený příklad: $
\int \left( \frac{1-x}{x} \right)^2 \text{d}x
$
$$
\int \left( \frac{1-x}{x} \right)^2 \text{d}x=\int \left( \frac{1-2x+x^2}{x^2} \right) \text{d}x=\int \frac{1}{x^2} \text{d}x - 2\int \frac{1}{x} \text{d}x + \int 1 \text{d}x=-\frac{1}{x}-2\ln|x|+x
$$
Integrand je funkce spojitá na $\mathbb{R} \smallsetminus \lbrace 0 \rbrace,$ primitivní funkci jsme tedy našli na intervalu $(-\infty,0)$ a na intervalu $(0,+\infty)$ - nikoliv na sjednocení těchto intervalů.
\begin{enumerate}[resume]
\item $
\int \frac{x^2+3}{x^2+1} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{(1-x)^3}{x\sqrt[3]{x}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{\left( \sqrt{2x}-\sqrt[3]{3x}\right)^2}{x} \text{d}x
$
\item $
\int \left(2^x+3^x\right)^2 \text{d}x
$
\item $
\int\text{sinh}x \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sqrt{4-x}} \text{d}x
$
\item $
\int \sqrt[3]{1+2x}\text{d}x
$
\item $
\int e^{-3x}+\frac{1}{2-x} \text{d}x
$
\item $
\int \text{sin}(3x) + \text{cos}(2x)+68 \text{d}x
$
\item $
\int\text{cotg}^2x \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\cos^2 \left( 2x+\frac{\pi}{4} \right)} \text{d}x
$
\end{enumerate}
\subsection{Příklady na zespojitění}
Řešený příklad: Vypočtěte $
\int \sqrt{x^2-2x+1} \text{d}x
$
$$
\int \sqrt{x^2-2x+1} \text{d}x=\int \sqrt{(x-1)^2} \text{d}x=\int |x-1| \text{d}x
$$
Primitivní funkci určíme zvlášť na intervalech $(-\infty, 1)$ a $(1,+\infty).$
$$
F(x) = \begin{cases} -\frac{x^2}{2}+x+c_1 & x \in (-\infty, 1) \\
\frac{x^2}{2} -x+c_2 & x \in (1,+\infty) %
\end{cases}
$$
\newline
Integrand je funkce spojitá na celém $\mathbb{R},$ primitivní funkci tedy hledáme na tomto intervalu. Primitivní funkce je z definice spojitá na celém definičním oboru, funkci $F(x)$ je tedy třeba zespojitit vhodnou volbou konstant $c_1$ a $c_2.$ Limitním přechodem $x$ jdoucí k $1$ zleva a zprava dostáváme rovnici,
$$
\frac{1}{2}+c_1=-\frac{1}{2}+c_2.
$$
\newline
Primitivní funkce má tedy na $\mathbb{R}$ tvar
$$
F(x) = \begin{cases} -\frac{x^2}{2}+x-\frac{1}{2} & x \in (-\infty, 1\rangle \\
\frac{x^2}{2} -x+\frac{1}{2} & x \in \langle 1,+\infty). %
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}[resume]
\item $
\int \sqrt{x^2+4x+4} \text{d}x
$
\item $
\int (x^2-|2x-1|)\text{d}x
$
\item $
\int f(x) \text{d}x; \ \ \
$ $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & x\geq 1 \\
\frac{1}{\sqrt{1+x}} & x \in \left\langle 0,1\right)\\
\frac{1}{1+x^2} & x < 0 %
\end{cases}$
\item $
\int \max\lbrace -x, \text{arctg}(x)\rbrace \text{d}x
$
\item $
\int \sqrt{1-\sin(2x)} \text{d}x
$ (na $\mathbb{R}$)
\end{enumerate}
\subsection{Metoda substituce}
Řešený příklad: $
\int \frac{x}{3-2x^2} \text{d}x
$
\newline
Nejprve určíme obor spojitosti integrandu, $3-2x^2 \neq 0,$ tedy $x \neq \pm \sqrt{\frac{3}{2}}.$ Primitivní funkci hledáme na intervalech $\left(-\infty, -\sqrt{\frac{3}{2}}\right),$ $\left( -\sqrt{\frac{3}{2}},\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$ a $\left( \sqrt{\frac{3}{2}}, +\infty \right).$
$$
\int \frac{x}{3-2x^2} \text{d}x= \vars{ 3-2x^2=y , -4x\text{d}x = \text{d}y }=-\frac{1}{4}\int \frac{1}{y} \text{d}y=-\frac{1}{4}\ln|y|=-\frac{1}{4}\ln|3-2x^2|
$$
\begin{enumerate}[resume]
\item $
\int \frac{x}{\left( x^2-1\right)^{\frac{3}{2}}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{x}{4+x^4} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{x^3}{x^8-1} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{\sin \left( \frac{1}{x} \right)}{x^2} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\left( x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{e^x}{2+e^x} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{x\ln(x) \ln(\ln(x))} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{e^x+e^{-x}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\text{sinh}x} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}+1}} \text{d}x
$
\end{enumerate}
Řešený příklad: $
\int \sin(x) \cos^3(x) \text{d}x
$
$$
\int \sin(x) \cos^3(x) \text{d}x=\vars{ \cos^2(x)=y , -2\cos(x)\sin(x)\text{d}x =\text{d}y }=-\frac{1}{2}\int y \text{d}y =-\frac{1}{4}y^2=-\frac{1}{4}\cos^4(x)
$$
Integrand je funkce spojitá na celém $\mathbb{R},$ primitivní funkci jsme tedy našli na tomto intervalu.
\begin{enumerate}[resume]
\item $
\int \cos(x)\sin^5(x) \text{d}x
$
\item $
\int \frac{\sin x}{\sqrt{\cos^3(x)}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{\sin x}{\sqrt{\cos(2x)}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{\sin(x)\cos^3(x)}{1+\cos^2(x)} \text{d}x
$
\end{enumerate}
\subsection{Metoda per partes}
Řešený příklad: $
\int x^2\cos(x)\text{d}x
$
\medskip
\newline
Primitivní funkci hledáme na celém $\mathbb{R}.$
\begin{align*}
\int x^2\cos(x)\text{d}x &=x^2\sin(x)-2\int x\sin(x)\text{d}x=x^2\sin(x)-2\left( -x\cos(x)+\int\cos(x)\text{d}x\right)\\&=(x^2-2)\sin(x)+2x\cos(x)
\end{align*}
\begin{enumerate}[resume]
\item $
\int x^3 \sin(x) \text{d}x
$
\item $
\int x\ln^2(x)\text{d}x
$
\item $
\int \text{arctg}(x) \text{d}x
$
\item $
\int x\text{sinh}(x) \text{d}x
$
\item $
\int x\text{arctg}(x) \text{d}x
$
\item $
\int x\ln \left( \frac{1+x}{1-x}\right)\text{d}x
$
\item $
\int \frac{\text{arcsin}(x)}{x^2} \text{d}x
$
\end{enumerate}
Řešený příklad: $
\int \frac{\cos (x)}{e^x} \text{d}x
$
\begin{align*}
\int \frac{\cos x}{e^x} \text{d}x&=\int e^{-x}\cos (x) \text{d}x=e^{-x}\sin(x)+\int e^{-x}\sin (x) \text{d}x\\&=e^{-x}\sin(x)-e^{-x}\cos(x)-\int e^{-x}\cos (x) \text{d}x\\&=e^{-x}\sin(x)-e^{-x}\cos(x)-\int \frac{\cos x}{e^x} \text{d}x
\end{align*}
\newline
Převedením posledního členu na levou stranu rovnice dostáváme rovnost
$$
2\int \frac{\cos x}{e^x} \text{d}x=e^{-x}\sin(x)-e^{-x}\cos(x),
$$
\newline
na celém $\mathbb{R}$ jsme tedy našli primitivní funkci
$$
\int \frac{\cos x}{e^x} \text{d}x=\frac{1}{2}\left(e^{-x}\sin(x)-e^{-x}\cos(x) \right) .
$$
\begin{enumerate}[resume]
\item $
\int \sin(x)\text{sinh}(x) \text{d}x
$
\item $
\int \sin(\ln(x)) \text{d}x
$
\item $
\int e^{2x}\sin^2(x) \text{d}x
$
\end{enumerate}
\subsection{Racionální funkce}
Řešený příklad: $\int \frac{x^4+2x^3+3x^2+x+1}{(x^2+1)(x+1)x^2} \text{d}x$
Integrand je funkce spojitá na $\mathbb{R} \smallsetminus \lbrace -1,0\rbrace,$ primitivní funkci budeme hledat na dílčích intervalech. V čitateli máme polynom stupně 4, ve jmenovateli polynom stupně 5, postupujeme tedy rozkladem na parciální zlomky ve tvaru
$$
\frac{x^4+2x^3+3x^2+x+1}{(x^2+1)(x+1)x^2}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{x}+\frac{E}{x^2}.
$$
\newline
Sečtením pravé strany a porovnání koeficientů u jednotlivých mocnin $x$ na levé a pravé straně rovnice dostaneme soustavu pěti rovnic o pěti neznámých s řešením $A=0, B=1, C=1, D=0, E=1.$
$$
\int \frac{x^4+2x^3+3x^2+x+1}{(x^2+1)(x+1)x^2} \text{d}x=\int \frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x^2} \text{d}x=\text{arctg}(x)+\ln(|x+1|)-\frac{1}{x}
$$
\newline
Výsledný tvar je primitivní funkcí k funkci původní na intervalech $(-\infty,-1),$ $(-1,0)$ a $(0,+\infty).$
\begin{enumerate}[resume]
\item $
\int \frac{2x+3}{(x-2)(x+5)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{x^3+1}{\left( x^3-5x^2+6x \right)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{x^4}{ x^2+x-2} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\left( x-1 \right)^2\left( x-2 \right)^2\left( x-3 \right)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{x}{x^8-1} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\left(x^2+2x+3\right)^2} \text{d}x
$
\item $
\int \left(\frac{x^2}{x^2+4x+5} \right)^2 \text{d}x
$
\item $
\int \frac{x^3}{x^8+3} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{x^3+7x^2+4x+10}{\left( x^4+5x^2+4 \right)} \text{d}x
$
\end{enumerate}
\medskip
Řešený příklad: $\int \frac{x+1}{x^2+x+1} \text{d}x$
$$
\int \frac{x+1}{x^2+x+1} \text{d}x=\frac{1}{2}\int \frac{2x+2}{x^2+x+1} \text{d}x=\frac{1}{2}\int \frac{2x+1}{x^2+x+1} \text{d}x+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+x+1} \text{d}x
$$
\newline
V prvním kroku potřebujeme do čitatele dostat derivaci jmenovatele, toho jsme dosáhli vynásobením chytrou jedničkou $\frac{2}{2}$ a rozdělením na dva integrály. Výpočet prvního integrálu je již snadný, zaměřme se tedy na výpočet druhého integrálu.
$$
\int \frac{1}{x^2+x+1} \text{d}x=\int \frac{1}{\left(x+\frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}} \text{d}x=\frac{4}{3}\int \frac{1}{\frac{4}{3}\left(x+\frac{1}{2} \right)^2 + 1} \text{d}x=\frac{4}{3}\int \frac{1}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)^2 + 1} \text{d}x
$$
\newline
Doplněním jmenovatele na čtverec a následným vytknutím konstanty jsme dostali integrál do povědomého tvaru vedoucího na arctg. Dále postupujeme substitucí $y=\frac{2x+1}{\sqrt{3}},$ $\text{d}y=\frac{2}{\sqrt{3}}\text{d}x.$
$$
\frac{4}{3}\int \frac{1}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)^2 + 1} \text{d}x=\frac{4}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{1}{y^2 + 1} \text{d}y=\frac{2}{\sqrt{3}}\text{arctg}(y)
$$
\newline
Řešení původního integrálu na celém $\mathbb{R}$ je tedy
\begin{align*}
\int \frac{x+1}{x^2+x+1} \text{d}x &=\frac{4}{3}\int \frac{1}{\frac{4}{3}\left(x+\frac{1}{2} \right)^2 + 1} \text{d}x=\frac{4}{3}\int \frac{1}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)^2 + 1} \text{d}x\\
&=\frac{1}{2}\ln|x^2+x+1|+\frac{\sqrt{3}}{3}\text{arctg}\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right).
\end{align*}
\begin{enumerate}[resume]
\item $
\int \frac{1}{x^2-x+1} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{2x+2}{x^2+x+4} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{4x+3}{x^2+x+3} \text{d}x
$
\end{enumerate}
Řešený příklad: $
\int \frac{1}{(1+x^2)^2} \text{d}x
$
\medskip
\newline
K výpočtu použijeme následující trik (který je vhodné si zapamatovat), vyjdeme se znalosti primitivní funkce k arctg$x$ a následně použijeme metodu per partes.
\begin{align*}
\text{arctg}(x)&=\int \frac{1}{1+x^2} \text{d}x=\int 1.\frac{1}{1+x^2}\text{d}x=\frac{x}{1+x^2}+2\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2}\text{d}x\\
&=\frac{x}{1+x^2}+2\int \frac{x^2+1}{(1+x^2)^2}\text{d}x-2\int \frac{1}{(1+x^2)^2}\text{d}x\\
&=\frac{x}{1+x^2}+2\int \frac{1}{1+x^2}\text{d}x-2\int \frac{1}{(1+x^2)^2}\text{d}x\\
&=\frac{x}{1+x^2}+2\text{arctg}(x)-2\int \frac{1}{(1+x^2)^2}\text{d}x
\end{align*}
\newline
Z rovnice vyjádříme požadovaný integrál
$$
\int \frac{1}{(1+x^2)^2}\text{d}x=\frac{1}{2}\left( \frac{x}{1+x^2}+\text{arctg}(x) \right).
$$
\begin{enumerate}[resume]
\item $
\int \frac{1}{(x^2-x+1)^2} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{(x^2+2x+3)^2} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{x^2}{(x^2+2x+2)^2} \text{d}x
$
\end{enumerate}
\subsection{Integrály typu $\int R\left( x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \right) dx$}
V integrálech tohoto typu pomůže substituce $y=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}.$
\medskip
\newline
Řešený příklad:$
\int \frac{1}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[2]{x}} \text{d}x
$
\begin{align*}
\int \frac{1}{\sqrt[4]{x}+\sqrt{x}} \text{d}x&= \vars{ \sqrt[4]{x}=y , x=y^4,\text{d}x = 4y^3\text{d}y }=4\int \frac{y^3}{y+y^2} \text{d}y=4\int \frac{y^2}{1+y} \text{d}y=\vars{ y+1=z ,\text{d}y = \text{d}z }\\
&=4\int \frac{(z-1)^2}{z} \text{d}z=4\int z-2+\frac{1}{z} \text{d}z=2z^2-8z+4\ln|z|\\&=2\sqrt{x}-4\sqrt[4]{x}+4\ln|\sqrt[4]{x}+1|+6
\end{align*}
\newline
Primitivní funkci jsme našli na intervalu $(0,+\infty).$
\newline
\begin{enumerate}[resume]
\item $
\int \frac{1}{1+\sqrt{x}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{\sqrt{x}+1}{x^2-\sqrt{x}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{(1+\sqrt[4]{x})^3\sqrt{x}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sqrt[6]{x+1}+\sqrt[3]{x+1}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{\sqrt{x}}{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^2} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[4]{x}\sqrt[4]{x^3}} \text{d}x
$
\item $
\int \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \text{d}x
$
\item $
\int x\sqrt{\frac{x+2}{x-3}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^4}} \text{d}x
$
\end{enumerate}
\subsection{Integrály typu $\int R\left( x, \sqrt{ax^2+bx+c} \right) dx$}
Pro tento typ úlohy pomohou Eulerovy substituce
\begin{itemize}
\item $a>0$: $\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm\sqrt{a}x+t$
\item $c>0$: $\sqrt{ax^2+bx+c}=xt\pm\sqrt{c}$
\item Má-li výraz pod odmocninou reálné kořeny, tj. existují $\alpha$ a $\beta \in \mathbb{R}$ tak, že $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$: $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-\alpha)(x-\beta)}=t(x-\alpha).$
\end{itemize}
\medskip
Výrazným zjednodušením však může být převod na "známé" integrály
\begin{align*}
\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x &=\text{arcsin}(x) \ \text{na} \ (-1,1), \\ \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\text{d}x &=\ln\left|x+\sqrt{x^2+1}\right|=\text{argsinh}(x) \ \text{na} \ \mathbb{R}, \\\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\text{d}x &=\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|=\text{sgn}(x)\text{argcosh}(|x|) \ \text{na} \ (-\infty, -1) \ \text{a} \ (1,+\infty).
\end{align*}
\medskip
\newline
Řešený příklad: $
\int \frac{1}{\sqrt{x^2-2x+3}}\text{d}x
$
\begin{align*}
\int \frac{1}{\sqrt{x^2-2x+3}}\text{d}x&=\int \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+2}}\text{d}x=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}(x-1)^2+1}}\text{d}x\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{x-1}{\sqrt{2}}\right)^2+1}}\text{d}x=\vars{ \frac{x-1}{\sqrt{2}}=y , \frac{1}{\sqrt{2}}\text{d}x = \text{d}y }=\int \frac{1}{\sqrt{y^2+1}}\text{d}y\\&=\text{argsinh}(y)=\text{argsinh}\left( \frac{x-1}{\sqrt{2}}\right)
\end{align*}
\newline
Integrand je funkce spojitá na celém $\mathbb{R},$ primitivní funkci jsme tedy našli na $\mathbb{R}.$
\begin{enumerate}[resume]
\item $
\int \frac{1}{\sqrt{1-2x-x^2}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sqrt{2x^2-x+2}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{x}{\sqrt{1-3x^2-2x^4}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}} \text{d}x
$
\item $
\int \sqrt{2+x-x^2} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{x^2}{\sqrt{1+x+x^2}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{x+x^3}{\sqrt{1+x^2-x^4}} \text{d}x
$
\end{enumerate}
Řešený příklad: $
\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} \text{d}x
$
\begin{align*}
\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} \text{d}x&=\vars{\sqrt{x^2+1}=x+t, x^2+1=x^2+2tx+t^2,x=\frac{1-t^2}{2t}, \text{d}x=\frac{-t^2-1}{2t^2}\text{d}t}=\int \frac{1}{t}\frac{(-t^2-1)}{2t^2} \text{d}t=-\frac{1}{2}\int \frac{1}{t} \text{d}t-\frac{1}{2}\int \frac{1}{t^3} \text{d}t\\&=-\frac{1}{2}\ln|t|+\frac{1}{4}t^{-2}=-\frac{1}{2}\ln|\sqrt{x^2+1}-x|+\frac{1}{4}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)^{-2}
\end{align*}
Primitivní funkci jsme našli na celém $\mathbb{R}.$
\begin{enumerate}[resume]
\item $
\int \frac{1}{x+\sqrt{x^2+x+1}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{1+\sqrt{1-2x-x^2}} \text{d}x
$
\item $
\int x\sqrt{x^2-2x+2} \text{d}x
$
\end{enumerate}
\subsection{Integrály typu $\int R(\sin x,\cos x ) dx$}
Připomeňme, že v tomto typu integrálů, tj. z racionální funkce dvou proměnných $\sin(x)$ a $\cos(x),$ vždy pomůže substituce $\text{tg}\left( \frac{x}{2}\right)=y,$ pro $x \in (-\pi+2k\pi, \pi+2k\pi) \ k \in \mathbb{Z}$.
\medskip
\newline
Omezíme se na základní interval $x \in (-\pi, \pi)$ a položíme $y=\text{tg}\left( \frac{x}{2} \right),$
\begin{align*}
y=\text{tg}\left( \frac{x}{2} \right) \Rightarrow y^2=\frac{\sin^2\left( \frac{x}{2} \right)}{\cos^2\left( \frac{x}{2} \right)}=\frac{1-\cos^2\left( \frac{x}{2} \right)}{\cos^2\left( \frac{x}{2} \right)}=\frac{\sin^2\left( \frac{x}{2} \right)}{1-\sin^2\left( \frac{x}{2} \right)},
\end{align*}
\newline
odtud
\begin{align*}
\sin^2\left( \frac{x}{2} \right)=\frac{y^2}{1+y^2}, \ \ \ \ \cos^2\left( \frac{x}{2} \right)=\frac{1}{1+y^2}.
\end{align*}
\newline
Jelikož $\cos\left( \frac{x}{2} \right)$ je na intervalu $(-\pi,\pi)$ kladný, platí vztah $$ \cos\left( \frac{x}{2} \right) =\frac{1}{\sqrt{1+y^2}},$$ $\sin\left( \frac{x}{2} \right)$ má na tomto intervalu stejné znaménko jako $\text{tg}\left( \frac{x}{2} \right),$ platí tedy $$ \sin\left( \frac{x}{2} \right) =\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}.$$
\medskip
Poznamenejme, že kdybychom se omezili například na interval $(\pi, 3\pi),$ dostali bychom pro $\cos\left( \frac{x}{2} \right)$ i $ \sin\left( \frac{x}{2} \right)$ obdobné vztahy, ale se znaménkem minus. Výrazy $\sin(x)$ a $\cos(x)$ jsou však už v jednotném tvaru pro všechna $x \in(-\pi+2k\pi, \pi+2k\pi),$ jak se pozorný čtenář sám jistě přesvědčí.
Pro vyjádření $\sin(x)$ a $\cos(x)$ použijeme vzorečky pro dvojnásobný úhel,
$$
\sin(x)=2\sin\left( \frac{x}{2} \right)\cos\left( \frac{x}{2} \right)=2\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}=\frac{2y}{1+y^2}
$$
$$
\cos(x)=\cos^2\left( \frac{x}{2} \right) - \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)=\frac{1}{1+y^2}-\frac{y^2}{1+y^2}=\frac{1-y^2}{1+y^2}.
$$
\newline
Zbývá dopočítat $\text{d}x,$
$$
\text{d}y=\frac{1}{\cos\left( \frac{x}{2} \right)}\frac{1}{2}\text{d}x=\frac{y^2+1}{2}\text{d}x,
$$
tedy
$$
\text{d}x=\frac{2}{y^2+1}\text{d}y.
$$
\newline
Řešený příklad:$
\int \frac{1+\sin(x)}{1+\cos(x)} \text{d}x
$
\medskip
\newline
Využijeme připravenou substituci,
\begin{align*}
1+\sin(x)&=1+\frac{2y}{1+y^2}=\frac{y^2+2y+1}{1+y^2}\\
1+\cos(x)&=1+\frac{1-y^2}{1+y^2}=\frac{2}{1+y^2}\\
\text{d}x&=\frac{2}{1+y^2}\text{d}y,
\end{align*}
odtud
\begin{align*}
\int \frac{1+\sin(x)}{1+\cos(x)} \text{d}x&=\int \frac{y^2+2y+1}{1+y^2} \text{d}y=\int 1\text{d}y + \int \frac{2y}{1+y^2} \text{d}y=y+\ln|1+y^2|\\&=\text{tg}\left( \frac{x}{2}\right)+\ln|1+\text{tg}^2\left( \frac{x}{2}\right)|.
\end{align*}
\newline
Integrand je funkce spojitá na každém intervalu $(-\pi+2k\pi, \pi+2k\pi) \ k \in \mathbb{Z},$ primitivní funkci jsme tedy našli na těchto intervalech.
\medskip
\newline
Substituci $\text{tg}\left( \frac{x}{2}\right)=y$ lze využít vždy, v závislosti na konkrétní podobě integrandu lze využít následující substituce, při jejichž použití přejde integrand na racionální funkci s nižšími mocninami $y,$ než v případě univerzální substituce $\text{tg}\left( \frac{x}{2}\right)=y.$
\begin{align*}
&R(-\sin(x), \cos(x))=-R(\sin(x), \cos(x)) \Rightarrow \cos(x)=y \\
&R(\sin(x), -\cos(x))=-R(\sin(x), \cos(x)) \Rightarrow \sin(x)=y \\
&R(-\sin(x), -\cos(x))=R(\sin(x), \cos(x)) \Rightarrow \text{tg}(x)=y
\end{align*}
\newline
V poslední substituci $\text{tg}(x)=y $ by se podobným způsobem jako v případě substituce $\text{tg}\left( \frac{x}{2}\right)=y $ odvodily následující vztahy (pro $x \in \left(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\right)$), $\sin^2(x)=\frac{y^2}{1+y^2},$ $\cos^2(x)=\frac{1}{1+y^2},$ $\text{d}x=\frac{1}{1+y^2}\text{d}y.$
\medskip
\newline
Řešený příklad:$
\int \cos^2(x)\sin^3(x) \text{d}x
$
\begin{align*}
\int \cos^2(x)\sin^3(x) \text{d}x=\vars{y=\cos(x), \text{d}y=-\sin(x)\text{d}x}=-\int y^2(1-y^2) \text{d}x=\frac{y^5}{5}-\frac{y^3}{3}=\frac{\cos^5(x)}{5}-\frac{\cos^3(x)}{3}
\end{align*}
\newline
Primitivní funkci jsme našli na $\mathbb{R}.$
\begin{enumerate}[resume]
\item $
\int \frac{1}{\sin(x)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\cos(x)} \text{d}x
$
\item $
\int \cos^5(x)\text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sin^3(x)} \text{d}x
$
\item $
\int \sin^2(x)\cos^3(x)\text{d}x
$
\item $
\int \frac{\sin^3(x)}{\cos^4(x)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sin(x)\cos^4(x)} \text{d}x
$
\item $
\int \sin^6(x)\text{d}x
$
\item $
\int \frac{\sin(x)}{3+\cos(x)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sin(x)+\cos^2(x)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{(2+\cos(x))\sin(x)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{\sin^2(x)}{1+\sin^2(x)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{1+\text{tg}(x)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1+\text{tg}(x)}{\sin(2x)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{2+3\cos^2(x)} \text{d}x
$
\end{enumerate}
\subsection{Další příklady k procvičení}
\begin{enumerate}[resume]
\item $
\int \frac{(x^2+1)^2}{x^2\sqrt{x}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{(1+x)\sqrt{x}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{x}{x^6-1} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{\sin(x)+\cos(x)}{\sqrt[3]{\sin(x)-\cos(x)}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sin^2(x)+\cos(x)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{e^x+1}{(e^x-1)(e^{2x}-e^2)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{x^2}{\left( x^2+1 \right)^2} \text{d}x
$
\item $
\int \cos^5(x)\text{d}x
$
\item $
\int \sqrt{x^2+1}\text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sqrt{x}\left(1+\sqrt[3]{x}\right)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1+\text{tg}(x)}{\sin(2x)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{\cos^3(x)}{\sqrt[3]{\sin(x)}}\text{d}x
$
\item $
\int \frac{x}{x^2+x+1} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sqrt{3-5x^2}}\text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{1+e^x} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{e^x}{(e^x+2)(e^{2x}-1)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{a^2+x^2} \text{d}x
$
\item $
\int \sin^2(x)\text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{(5x-2)^{\frac{5}{2}}}\text{d}x
$
\item $
\int \frac{(2-x)^2}{2-x^2} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{3x+1}{x^2+x-2} \text{d}x
$
\item $
\int x^3(1-5x^2)^{10}\text{d}x
$
\item $
\int x^3e^{-x^2}\text{d}x
$
\item $
\int \ln(x+\sqrt{x^2-1})\text{d}x
$
\item $
\int x^2\sin(2x)\text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \text{d}x
$
\item $
\int \text{tg}^2\left(\frac{x}{2}\right)\text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\cos^3(x)} \text{d}x
$
\item $
\int \sin^4(x)\text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} \text{d}x
$
\item $
\int \left(1-\frac{1}{x^2} \right)\sqrt{x\sqrt{x}}\text{d}x
$
\item $
\int \frac{\sqrt{x^4+x^{-4}+2}}{x^3} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^4-1}} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^x}\text{d}x
$
\item $
\int \frac{\sqrt[5]{1-2x+x^2}}{1-x}\text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\text{cosh}x} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{\sin(x)-\cos(x)}{\cos(x)+\sin(x)} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{x^2}{x^2+x+1} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x})} \text{d}x
$
\item $
\int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+1}} \text{d}x
$
\item $
\int \sqrt{x^2-x+\frac{1}{4}}\text{d}x
$
\item $
\int \cos^3(x)\text{d}x
$
\item $
\int \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} \text{d}x
$
\item $
\int \sqrt{x^4+x^3} \text{d}x
$
\item $
\int \left( \frac{\ln(x)}{x} \right)^2\text{d}x
$
\end{enumerate}
