Součásti dokumentu 02VOAFskriptum
Zdrojový kód
% \wikiskriptum{02VOAFskriptum}
\chapter{Kmity soustav hmotných bodů} \label{1}
\section{Netlumené malé kmity kolem stabilní rovnovážné
polohy}\label{1.1}
\markright{1.1\q NETLUMENÉ MALÉ KMITY}
\begin{quote}
{\it Soustavy s jedním stupněm volnosti;
linearita a princip superpozice.
Mechanické soustavy s $n$ stupni volnosti;
pojem rovnovážné konfigurace; módy; normální souřadnice.}
\end{quote}
{\bf Soustavy s jedním stupněm volnosti}
Základem vlnových jevů jsou netlumené kmity především
lineárních soustav. S kmity se setkáváme ve všech
fyzikálních oborech. Namátkou uveďme molekulární spektra,
elektrické kmitavé obvody, akustiku, vlny na vodě,
seismické vlny. Zopakujme si nejprve několik příkladů
netlumených kmitavých soustav s jedním stupněm volnosti.
{\bf Příklad 1.} {\it Těleso na pružině}.
Těleso o hmotnosti $m$, které se pohybuje pod vlivem
pružiny o tuhosti $k$ bez tření po vodorovné podložce,
má pohybovou rovnici
\begin{equation} \label{eq:1.1}
m\ddot{x} = -kx,
\end{equation}
kde $x$ je výchylka tělesa z rovnovážné polohy.
%\begin{center}
%\parbox{7cm}{\epsfxsize=30mm \epsfysize=55mm \epsffile{ob1c1.eps}
%Obr. 1.1 \/ Těleso na pružině} \hspace{5mm}
%\parbox{7cm}{\epsfxsize=30mm \epsfysize=55mm \epsffile{ob1c2.eps}
%Obr. 1.2 \/ Torzní kmity}\\
%\end{center}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.2\textheight]{ob1c1}\\
\caption{Těleso na pružině}
\label{obr1.1}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.2\textheight]{ob1c2}\\
\caption{Torzní kmity}
\label{obr1.2}
\end{center}
\end{figure}
%\begin{figure}[hb]
%\epsffile{ob1c1.ps}
%\vspace{6cm}
% \addtocounter{figure}{2}
%\qq\parbox[t]{6cm}{Obr. 1.1:Těleso na pružině}
%\qq\parbox[t]{6cm}{Obr. 1.2:Torzní kmity}
%\end{figure}
{\bf Příklad 2.} {\it Torzní kmity}.
Těleso zavěšené na vlákně vykonává netlumené otáčivé torzní
kmity podle pohybové rovnice
\begin{equation} \label{eq:1.2}
I \ \ddot{\varphi} = - \alpha \varphi,
\end{equation}
kde $\varphi $ je úhel otočení tělesa z rovnovážné polohy
$\varphi = 0$, $I$ je moment setrvačnosti tělesa vzhledem
k ose otáčení a $\alpha $ je konstanta.
{\bf Příklad 3.} {\it $LC$-obvod}.
Podle II. Kirchhoffova zákona platí pro napětí na
kondenzátoru a cívce rovnost
\begin{equation} \label{eq:1.3}
L\frac{{\rm d}i}{{\rm d}t}=-\frac{Q}{C},
\end{equation}
kde náboj na kondenzátoru $Q = CU = \int{i{\rm d}t}$. Zderivováním
rovnice (\ref{eq:1.3}) podle času tedy dostaneme
\begin{equation} \label{eq:1.4}
L\frac{\d^{2}i}{\d t^2} = - \frac{i}{C}.
\end{equation}
%\begin{center}
%\epsfxsize=40mm \epsfysize=3cm
%\mbox{\epsffile{ob1c3.eps}}\\
%Obr. 1.3 \/ LC-obvod
%\end{center}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[width=0.3\textwidth]{ob1c3}\\
\caption{LC-obvod}
\label{obr1.3}
\end{center}
\end{figure}
%\begin{figure}[h]
%%%\vspace{2.5cm}
% \caption{$LC$-obvod.}
%\end{figure}
Uvedené příklady vykazují matematickou zákonitost stejného
typu, tzv. {\it mate\-ma\-ti\-ckou analogii} úloh různé
fyzikální podstaty. Všechny pohybové rovnice jsou typu
obyčejné diferenciální rovnice, {\it lineární,} 2. řádu,
s~konstantními koeficienty:
\begin{equation} \label{eq:1.5}
\ddot{\psi} + 2\delta \dot{\psi} + \omega^2 \psi = 0.
\end{equation}
Nulová hodnota konstanty tlumení $\delta = 0$ vyjadřuje zanedbání
odporu prostředí.
Význačnou vlastností řešení $\psi(t)$
lineární rovnice (\ref{eq:1.5}) je
{\bf princip superpozice:}
\begin{quote}
{\it Jsou-li $\psi_1$, $\psi_2$ dvě řešení (\ref{eq:1.5}),
je řešením i každá jejich lineární kombinace
$c_{1}\psi_{1} + c_{2}\psi_{2}$, kde $c_1$, $c_2$ jsou
libovolné konstanty.}
\end{quote}
Obecné řešení diferenciální rovnice
\begin{equation}
\fbox{$\displaystyle
\ddot{\psi} + \omega^2 \psi = 0,$}
\label{eq:1.6}
\end{equation}
tj. řešení závislé na 2 libovolných reálných konstantách,
se obvykle zapisuje v jedné ze tří ekvivalentních forem
\begin{eqnarray}
\psi (t) & = & A \cos (\omega t + \varphi) \\
& = & a \cos \omega t + b \sin \omega t \\
& = & C_{1} e^{i \omega t} +
C_{2} e^{-i \omega t}.
\end{eqnarray}
Mezi konstantami se snadno odvodí vztahy (odvoďte!):
\begin{equation}
A = \sqrt{a^{2} + b^{2}}, \;
\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}, \;
\sin \varphi = -\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}},
\end{equation}
\begin{equation}
C_1 = \frac{a-ib}{2} = \bar{C_2}.
\end{equation}
Konkrétní hodnoty dvojice libovolných integračních
konstant se určují ze dvou počátečních podmínek,
obvykle v čase $t=0$:
\begin{eqnarray}
\psi (0) & = & x_0 \\
\dot{\psi} (0) & = & v_0.
\end{eqnarray}
{\bf Cvičení.}
Vypočtěte $A$, $\varphi$ pomocí $x_0$, $v_0$ !
Zopakujte si názvosloví:
$$\begin{array}{lllll}
A & = & & & \mbox{amplituda kmitů}\\
\omega & =& & & \mbox{úhlová frekvence}\, [s^{-1}] \\
\nu & = &\omega / 2\pi & = &\mbox{frekvence}\, [Hz] \\
T & = & 1 / \nu& = & \mbox{perioda}\, [s] \\
\varphi & = &&& \mbox{fázová konstanta [bezrozměrná].}
\end{array}
$$
Všimněte si, že velikost $\omega^{2} = k/m$ v Př. 1
může být slovy vyjádřena jako
{\it vratná síla vztažená na jednotkové
posunutí a jednotkovou hmotnost}.
{\bf Příklad 4.} {\it Matematické kyvadlo.}
Pohybová rovnice pro úhel $\psi$
\begin{equation} \label{eq:1.9}
M l \ddot{\psi} = - M g \sin \psi
\end{equation}
je nelineární, ale pro malé výchylky $\psi << 1$
kolem rovnovážné polohy $\psi = 0$ může být rovnice
linearizována, tj. přibližně nahrazena
lineární rovnicí
\begin{equation} \label{eq:1.10}
\ddot{\psi} + \frac{g}{l} \psi = 0.
\end{equation}
%\begin{center}
%\epsfxsize=35mm \epsfysize=4cm
%\mbox{\epsffile{ob1c4.eps}}\\
%Obr. 1.4 \\ Matematické kyvadlo
%\end{center}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.2\textheight]{ob1c4}\\
\caption{Matematické kyvadlo}
\label{obr1.4}
\end{center}
\end{figure}
%\begin{figure}[ht]
%%%\vspace{3.8cm}
% \caption{Matematické kyvadlo.}
%\end{figure}
{\bf Matematická poznámka.} Obyčejná diferenciální rovnice
\begin{equation}
\fbox{$\displaystyle \ddot{x} + \omega^{2} x = 0$}
\label{eq:M1.1}
\end{equation}
je lineární s konstantními koeficienty. Řešení
diferenciálních rovnic tohoto typu vychází z vlastnosti
funkce $e^t$,
\begin{equation} \label{eq:M1.2}
\frac{\d}{\d t}e^t =\e{t}.
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item{
Předpokládaný tvar řešení
\begin{equation} \label{eq:M1.3}
x(t) = \e{\lambda t}
\end{equation}
dosadíme do (\ref{eq:M1.1}),
\begin{equation} \label{eq:M1.4}
(\lambda^{2} + \omega^{2})\e{\lambda t} = 0.
\end{equation}
}
\item
{Charakteristická rovnice
\begin{equation} \label{eq:M1.5}
\lambda^{2} + \omega^{2} = 0
\end{equation}
má kořeny
\begin{equation} \label{eq:M1.6}
\lambda_{1,2} = \pm i\omega, \quad \omega > 0.
\end{equation}
}
\item
{Získali jsme {\bf fundamentální systém} lineárně
nezávislých řešení rovnice (\ref{eq:M1.1})
\begin{equation} \label{eq:M1.7}
\{\e{i\omega t}, \e{-i\omega t} \}.
\end{equation}
}
\item
{Obecné řešení (závislé na 2 libovolných reálných
konstantách) obdržíme pomocí principu superpozice
\begin{equation} \label{eq:M1.8}
x(t) = C_{1} \e{i\omega t}+ C_{2} \e{-i\omega t} ,
\quad C_{2} = \bar{C_1}.
\end{equation}
}
\end{enumerate}
{\bf Mechanické soustavy s $n$ stupni volnosti.}
Budeme studovat netlumené kmity, které vznikají při malých
výchylkách konservativní soustavy z její stabilní
rovnovážné konfigurace.
Uvažujme tedy konservativní soustavu o $n$ stupních
volnosti, jejíž potenciál $U$
je funkcí (kartézských) souřadnic $x_1,\dots ,x_n$.
Pohybové rovnice soustavy zapíšeme ve tvaru
\begin{equation} \label{eq:1.11}
m_{i}\ddot{x_i} = F_i =
- \frac{\partial U}{\partial x_i},
\end{equation}
kde $m_i$ jsou hmotnostní konstanty příslušné souřadnicím
$x_i$. Soustava je podle definice v konfiguraci
$x_{01},\dots ,x_{0n}$ v {\it rovnováze,} jestliže síly
na ni působící jsou v této {\it rovnovážné konfiguraci}
rovny nule,
\begin{equation} \label{eq:1.12}
F_i \vert _{\mbox{\footnotesize rovn. konfig.}}
= - \frac{\partial U}{\partial x_i}
(x_{01},\dots ,x_{0n}) = 0.
\end{equation}
To znamená, že v rovnovážné konfiguraci nabývá $U$
stacionární (extremální) hodnoty. Rovnovážná konfigurace
se nazývá {\it stabilní,} jestliže pohyb vlivem malé poruchy
neopustí jisté okolí rovnovážné konfigurace (z nestabilní
konfigurace se soustava při malém vychýlení vychyluje
dále). Rovnováha je stabilní v těch stacionárních bodech
potenciálu $U$, které odpovídají {\it lokálnímu ostrému
minimu.}
Při malých výchylkách z rovnovážné polohy potenciální
energie roste a síla vrací systém do rovnovážné polohy.
Pohyb vlivem malé poruchy pak nevyjde z malého okolí
rovnovážné konfigurace soustavy.
Není-li extrém ostrým minimem, existují směry výchylek,
v~nichž se potenciální energie nezvětšuje;
v~těchto směrech se soustava může při malé poruše
neomezeně vzdalovat.
Jelikož chceme pohybové rovnice soustavy linearisovat
v bezprostředním okolí rovno\-váž\-né konfigurace
$x_{01},\dots ,x_{0n}$, použijeme Taylorův rozvoj
funkce $U$ $n$ proměnných
kolem bodu $(x_{01},\dots ,x_{0n})$ do 2. řádu včetně:
\begin{eqnarray} \label{eq:1.13}
U(x_{1},\dots ,x_{n})& =& U(x_{01},\dots ,x_{0n}) +
\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial U}{\partial x_i}
(x_{01},\dots ,x_{0n})(x_{i} - x_{0i}) + \\
&& + \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^{n}\frac{\partial^{2}U}
{\partial x_{i} \partial x_{j}}(x_{01},\dots ,x_{0n})
(x_{i} - x_{0i})(x_{j} - x_{0j}) + \dots, \nonumber
\end{eqnarray}
Zde člen lineární ve výchylkách $x_{i} - x_{0i}$ je
podle (\ref{eq:1.12}) roven nule a nultý člen můžeme položit
rovným nule (volba bodu nulového potenciálu).
Při zanedbání členů od 3. řádu můžeme tedy
potenciál přibližně zapsat jako kvadratickou formu
\begin{equation} \label{eq:1.14}
U = \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^{n} U_{ij}\xi_{i} \xi_{j}
\end{equation}
v proměnných $\xi_{i} = x_{i} - x_{0i}$
s konstantními koeficienty
\begin{equation} \label{eq:1.15}
U_{ij} = \frac{\partial^{2}U}{\partial x_{i} \partial x_{j}}
(x_{01},\dots ,x_{0n}) = U_{ji},
\end{equation}
které tvoří {\it symetrickou matici} $(U_{ij})$.
Podmínka minima znamená, že matice $(U_{ij})$
je {\it positivně definitní} (tj. příslušná kvadratická
forma (\ref{eq:1.14}) je positivně definitní). Připomeňte
si \cite{P} též Sylvestrovo kriterium, podle něhož všechny
rohové subdeterminanty musí být positivní !
Pohybové rovnice (\ref{eq:1.11}), (\ref{eq:1.14})
po substituci $x_{i} = \xi_{i} + x_{0i}$
mají tvar
\begin{equation} \label{eq:1.16}
m_{i}\ddot{\xi_{i}} + \sum_{j=1}^{n} U_{ij} \xi_{j}=0,
\; i = 1,\dots,n.
\end{equation}
Tato soustava obyčejných diferenciálních rovnic 2. řádu
s konstantními koeficienty určuje malé kmity soustavy
kolem rovnovážné polohy $\xi_{1} = \dots = \xi_{n} = 0$.
Rovnice (\ref{eq:1.16}) mají řešení typu $ e^{\lambda t}$
a v našem případě --- bez tlumení --- speciálně typu
$\exp(\pm i \omega t)$ nebo $\cos(\omega t + \varphi)$.
Pro určení řešení postupem podle Matematické poznámky
zapišme soustavu (\ref{eq:1.16}) v maticovém tvaru.
Zavedeme--li konstantní matice
\begin{equation} \label{eq:1.17}
A = (m_{i}\delta_{ij}), \quad B = (U_{ij})
\end{equation}
a sloupcový vektor $\xi$, kde $\xi^{T} = (\xi_{1},\dots ,
\xi_{n})$, lze soustavu (\ref{eq:1.16}) zapsat ve tvaru
\begin{equation} \label{eq:1.18}
A \ddot{\xi} + B \xi = 0
\end{equation}
($A$, $B$ jsou matice $n \times n$, symetrické a positivně
definitní).
\begin{enumerate}
\item{
Hledejme řešení ve tvaru
\begin{equation} \label{eq:1.19}
\xi (t) =X \cos (\omega t + \varphi),
\end{equation}
kde amplituda $X$ je konstantní sloupcový vektor.
V takovém řešení, které ve fyzice nese název
{\bf mód} (česky též \em vid\em) soustavy,
{\it všechny části soustavy kmitají se stejnou
frekvencí $\omega$ a ve fázi.}
}
\item
{Po dosazení (\ref{eq:1.19}) do soustavy (\ref{eq:1.18})
obdržíme homogenní systém
\begin{equation} \label{eq:1.20}
( -\omega^{2} A + B ) X = 0
\end{equation}
$n$ lineárních rovnic pro určení $n$ neznámých
amplitud $X_{i}$. Tato rovnice má nenulové řešení,
jen když
\begin{equation} \label{eq:1.21}
det (B -\omega^{2} A) =
\vert U_{ij} -\omega^2 m_{i}\delta_{ij} \vert = 0,
\end{equation}
To je tzv. \em sekulární rovnice \em pro určení
\em vlastních frekvencí soustavy. \em
Jako algebraická rovnice $n$--tého stupně pro
$\omega^{2}$ má $n$ kořenů $\omega_{1}^{2},\dots,
\omega_{n}^{2}$. Všechny jsou positivní v důsledku
positivní definitnosti matic $A$, $B$.
}
\item
{Dosadíme--li jednotlivé kořeny $\omega^{2}$
do systému (\ref{eq:1.20}) a určíme (normalizovaná)
řešení $X^{(k)}$, získáme {\it fundamentální systém}
lineárně nezávislých řešení soustavy diferenciálních
rovnic (\ref{eq:1.18})
\begin{equation} \label{eq:1.22}
\{ X^{(1)} \cos(\omega_{1} t + \varphi_{1}),\dots,
X^{(n)} \cos(\omega_{n} t + \varphi_{n}) \}.
\end{equation}
Vektory amplitud $X^{(k)}$ určují \em tvary módů. \em
}
\item
{Obecné řešení (závislé na $2n$ libovolných reálných
konstantách) obdržíme pomocí principu superpozice
\begin{equation} \label{eq:1.23}
\xi(t) = \sum_{k=1}^{n} A_{k} X^{(k)} \cos
(\omega_{k} t + \varphi_{k}).
\end{equation}
}
\end{enumerate}
%\begin{figure}[t]
%%\begin{center}
%\epsfxsize=120mm \epsfysize=90mm
%\mbox{\epsffile{ob1c55.eps}}\\
%\end{center}
%\parbox[t]{2cm}{Obr. \/ 1.5}
%\parbox[t]{15cm}{Módy vázaných oscilátorů (kyvadel)\\
%a)\,Pro $\fii_1(0)=\fii_2(0),\,\dot{\fii}_1(0)=\dot{\fii}_2(0)$
% jsou výchylky kyvadel jsou stále shodné.\\
%b)\,Pro $\fii_1(0)=-\fii_2(0),\,\dot{\fii}_1(0)=-\dot{\fii}_2(0)$
% se výchylky kyvadel liší jen znaménkem.\\
%c)\,Při jiných počátečních podmínkách se módy superponují,
% čímž vzniká situace naznačená na grafu.}
%\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[width=0.8\textwidth]{ob1c55}\\
\caption[]{Módy vázaných oscilátorů (kyvadel):\\
a)\,Pro $\fii_1(0)=\fii_2(0),\,\dot{\fii}_1(0)=\dot{\fii}_2(0)=0$
jsou výchylky kyvadel jsou stále shodné;\\
b)\,Pro $\fii_1(0)=-\fii_2(0),\,\dot{\fii}_1(0)=\dot{\fii}_2(0)=0$ se výchylky kyvadel liší jen znaménkem;\\
c)\,Při jiných počátečních podmínkách se módy superponují;
při jakých počátečních podmínkách vzniká situace naznačená na grafu?}
\label{obr1.5}
\end{center}
\end{figure}
Další podrobnosti o řešení úlohy {\it současné diagonalizace
dvojice symetrických matic $A$, $B$} naleznete např.
v klasické učebnici \cite{G}. Najdete tam vysvětlení, že
kvadráty frekvencí módů $\omega_{k}^{2}$ jsou vlastními
čísly úlohy
\begin{equation} \label{eq:1.24}
B X = \omega^{2} A X
\end{equation}
a tvary módů $X^{(k)}$ jsou vlastními vektory této úlohy.
Vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou
zde ortogonální vzhledem ke skalárnímu součinu
\begin{equation} \label{eq:1.25}
(X,Y)_{A} = \sum_{i,j=1}^{n}X_{i} A_{ij} Y_{j}=
\sum_{i=1}^{n}m_{i}X_{i}Y_{i}
\end{equation}
(viz \cite{P}, příklady 592 --594).
Normu definovanou tímto skalárním součinem pak lze
použít k normalizaci vlastních vektorů.
Systém normalizovaných vlastních vektorů $X^{(k)}$ představuje
význačnou ortogonální bázi v $R^{n}$. Kartézské souřadnice v nových
směrech $X^{(k)}$ se nazývají {\bf normální souřadnice} $\eta_{k}$.
Lineární ($A$--ortogonální) transformace od souřadnic $\xi_{i}$ ve
standardní bázi k normálním souřadnicím $\eta_{k}$ v bázi vlastních
vektorů je
\begin{equation} \label{eq:1.26}
\xi = C \eta, \quad \mbox{kde} \quad C_{ij}=X_{i}^{(j)}.
\end{equation}
Ověřte si (viz též \cite{G}), že transformace $C$
provádí současnou diagonalizaci matic $A$, $B$:
\begin{equation} \label{eq:1.27}
C^{t} A C = E, \quad C^{t} B C = \Lambda,
\end{equation}
kde $\Lambda = \mbox{diag}(\omega_{1}^{2},\dots,
\omega_{n}^{2}).$
V důsledku transformačních vzorců (\ref{eq:1.27})
se pohybové rovnice (\ref{eq:1.18}) po vynásobení
$C^{t}$ zleva dají upravit na tvar
\begin{equation} \label{eq:1.28}
C^{t}(A \ddot{\xi} + B \xi) = C^{t}AC\ddot{\eta} +
C^{t}BC\eta = \ddot{\eta} + \Lambda \eta = 0,
\end{equation}
neboli
\begin{equation}
\fbox{$\displaystyle
\ddot{\eta}_{k} + \omega_{k}^{2} \eta_{k} = 0.$}
\label{eq:1.29}
\end{equation}
To znamená, že
\begin{quote}
{\it v normálních souřadnicích se soustava
jeví jako systém nezávislých harmonických oscilátorů.}
\end{quote}
{\bf Shrnutí.} {\it Kmitající soustava s $n$ stupni
volnosti má právě $n$ módů. Je-li v soustavě vybuzen pouze
jeden mód, např. $k$-tý s úhlovou frekvencí $\omega_k$,
pak všechny její stupně volnosti kmitají se stejnou
frekvencí $\nu_{k}=\omega_{k} / 2 \pi $, ve fázi
(rovnovážnými polohami procházejí současně) a tvar módu
je dán poměrem amplitud jednotlivých stupňů volnosti.
V daném módu na každý stupeň volnosti působí táž vratná síla
na jednotkovou výchylku a jednotkovou hmotnost, rovná $\omega_{k}^{2}$.
Každá soustava o $n$ stupních volnosti,
která vykonává malé netlumené kmity kolem rovnovážné
polohy, je ekvivalentní soustavě $n$ nezávislých
harmonických oscilátorů.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Kmity struny} \label{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{quote}
{\it Odvození vlnové rovnice pro strunu. Stojaté vlny jako
módy. Okrajové podmínky,
vlastní funkce a vlastní frekvence. Počáteční podmínky a
Fourierovy řady. Obecný pohyb struny.}
\end{quote}
{\bf Vlnová rovnice pro strunu.} Jestliže soustava obsahuje velmi
mnoho pohyblivých částí (1 mol vzduchu obsahuje $N_A \approx
6.10^{23}$ molekul) a jestliže pohyb sousedících částí je téměř
stejný, pak můžeme výchylky z~rovnovážných poloh $(x,y,z)$ popsat
vektorovým polem
\label{eq:pole}
$$\mbox{$\vc{\psi} (x,y,z,t) = (\psi_{x}(x,y,z,t),\psi_{y}(x,y,z,t),
\psi_{z}(x,y,z,t)), $}$$
jež je spojitou funkcí polohy a času. Vzhledem k~jejímu
interpolačnímu charakteru můžeme předpokládat, že je
i dostatečně hladká (diferencovatelná). Vztah kmitů
diskretní soustavy a její spojité aproximace budeme zkoumat
v oddílu 1.3.
Pro jednoduchost se omezíme na jednorozměrnou modelovou soustavu,
\it strunu. \rm Pod strunou rozumíme dostatečně tenké pružné vlákno,
které klade zanedbatelný odpor vůči ohýbání. Strunu si znázorníme
podle obr. \ref{obr:struna} napjatou silou $T$ v rovnovážné poloze
podél osy $z$ mezi body $0$ a $L$. Budeme uvažovat pouze příčné
výchylky $\psi(z,t)$ ve směru osy $x$. Nechť $\varrho$ označuje
konstantní lineární hustotu struny. Pak pohybová rovnice pro krátký
úsek struny délky $\Delta z$ mezi body $z_1$ a $z_2$ (viz obr.
\ref{obr1.7}) se dostane z~I.~věty impulsové (zopakujte si ji!)
\footnote{\normalsize
{\it I. věta impulsová.}\/ Pro soustavu hmotných bodů $m_{\alpha},
\ \alpha=1,\ldots,N$ pod vlivem vnitřních sil (splňujících zákon
akce a reakce) a vnějších sil $\vc{F}_{\alpha}^{(e)}$ je časová
změna úhrnné hybnosti soustavy rovna výslednici vnějších sil
$\vc{F}^{(e)}= \sum_{\alpha}\vc{F}^{(e)}_{\alpha}$. Vzhledem k tomu,
že $ \vc{P}=\sum_{\alpha} m_{\alpha} \dot{\vc{r}}^{\alpha}$
lze jednoduše vyjádřit pomocí radiusvektoru těžiště
$ \vc{R}=1/M \sum_{\alpha}m_{\alpha}
\vc{r}^{\alpha}$, kde
$ M=\sum_{\alpha} m_{\alpha}$, jako
$ \vc{P}=M\dot{\vc{R}}\ $,
můžeme I. větu impulsovou zapsat
$M\ddot{\vc{R}}=\vc{F}^{(e)}$\ .}
%
\begin{equation}
\frac{{\rm d}P_x}{{\rm d}t}=F_x^{(e)} \stackrel{obr
1.7}{=\!=\!=}F_{1x}+F_{2x}= \mbox{$ -|\mbf{F}_{1}|\sin \vartheta_{1}
+ |\mbf{F}_{2}|\sin \vartheta_2.$} \ee
%\begin{center}
%\epsfxsize=7cm \epsfysize=25mm
%\mbox{\epsffile{ob1c5.eps}}\\
%Obr. 1.6 Struna
%\end{center}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.15\textheight]{ob1c5}\\
\caption{Struna}
\label{obr:struna}
\end{center}
\end{figure}
%\begin{figure}[ht]
%%%\vspace{2cm}
%\caption{Struna}
%\label{obr:struna}
%\end{figure}
%\begin{center}
%\epsfxsize=7cm \epsfysize=4cm
%\mbox{\epsffile{ob1c6.eps}}\\
%Obr. 1.7 \/ K odvození vlnové rovnice
%\end{center}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.17\textheight]{ob1c6}\\
\caption{K odvození vlnové rovnice}
\label{obr1.7}
\end{center}
\end{figure}
%\begin{figure}[ht]
%%%\vspace{4cm}
%\caption{K odvození vlnové rovnice}
%\end{figure}
%\unitlength=1pt
Abychom dospěli k výsledné příčné síle {\it lineární
v} $\psi(z,t)$, budeme předpokládat, že výchylky jsou velmi malé,
takže platí (srovnej \cite{TK}, př. 1.1)\\
\mbox\qquad 1. $|\mbf{F}_{1}|=|\mbf{F}_{2}|=T$,\\
\mbox\qquad 2. $\vartheta _1,\vartheta _2 \ll 1.$\\
Potom $ F_x^{(e)}\doteq -T \tg \vartheta_1 + T \tg \vartheta _2=
T\left[\frac{\pad \psi}{\pad z}(z_2,t)- \frac{\pad \psi}{\pad
z}(z_1,t)\right] $ a pomocí Lagrangeovy věty $f(b)-f(a)=f'( \xi
)(b-a),a<\xi <b,$ dostaneme pravou stranu pohybové rovnice
\be
F_x^{(e)}\doteq T\f{\pad ^2\psi}{\pad z^2}(z_0,t)\Delta z;\qquad
z_1<z_0<z_2 .
\ee
Levá strana pohybové rovnice je
\be
\frac{{\rm
d}P_x}{{\rm d} t}=\Delta m \f{\pad ^2 \psi} {\pad
t^2}(z_{CM},t)=\varrho \f{\pad ^2 \psi}{\pad t^2}(z_{CM},t) \Delta
z,
\ee
kde $z_{CM}$ je souřadnice těžiště (center of mass). Po
vykrácení $\Delta z $ provedeme limitu $z_2 \rightarrow z_1$,
přičemž $z_{CM}\to z_1, z_0\to z_1$. Nakonec píšeme{} $z$ místo
$z_1$\/:
\begin{equation}
\fbox{$\displaystyle \varrho \frac{\partial ^2 \psi} {\partial
t^2}(z,t)=T\f{\pad ^2\psi}{\pad z^2}(z,t).$} \label{eq:struna}
\ee
Tato {\it vlnová rovnice pro strunu} je pohybovou rovnicí
pro všechny {\it vnitřní body} struny $z \in (0,L)$. Musíme
ji proto doplnit ještě {\it okrajovými podmínkami}, které
vyjadřují tzv. {\it pevné konce\footnote{Okrajová podmínka pro tzv.
{\it volný konec} vyjadřuje, že upevnění působí {\it nulovou příčnou
silou } na strunu. Podle obr. \ref{obr1.7} v bodě $z_2$ zákon akce a
reakce dává $$ F_{2x}\doteq T \, \tg \theta_2= T\f{\pad \psi}{\pad
z}(z_2,t)=0. $$ Volný konec struny v bodě $z_2=L$ tedy vyjádříme
okrajovou podmínkou \be \f{\pad \psi}{\pad z}(L,t)=0\ .\ee } }: \be
\psi (0,t)=0=\psi(L,t),\quad t\in\mbox{$\mbf{R}$} . \ee
{\bf Stojaté vlny jako módy.}
1. Při řešení vlnové rovnice
(\ref{eq:struna}) pomocí módů předpokládáme tvar řešení
\be
\label{eq:stojatavlna}
\psi (z,t)=X(z)\cos(\omega t+\varphi).
\ee
Protože všechny body kmitají se stejnou frekvencí a
procházejí současně rovnovážnou polohou, jedná se vlastně o
{\bf stojatou vlnu}.
2. Po dosazení (\ref{eq:stojatavlna}) do (\ref{eq:struna}) dostaneme
$$
-\omega^2 \varrho X(z) \cos(\omega t + \varphi) = T X''(z)
\cos(\omega t + \varphi)\ .
$$
Vzhledem k tomu, že tato rovnice má platit pro všechna $t$, musí
platit \be \label{eq:modynastrune} X''(z) + k^2 X(z) = 0, \ee kde
\be \label{eq:k1}
k^2=\f{\varrho}{T}\omega^2.\ee
Obyčejná diferenciální rovnice (\ref{eq:modynastrune}) v prostorové
souřadnici $z$ má přesně stejný tvar jako (1.6) v čase. Její obecné
řešení má tedy tvar \be X(z) = A\sin kz +B\cos kz, \ee kde $k$ je
kladné (odmocnina z $k^2$). Okrajové podmínky pro pevné konce dávají
$$\begin{array}{lll}
X(0)=0 & \Rightarrow & B=0\ , \\
X(L)=0 & \Rightarrow & \sin kL=0\ .
\end{array}$$
Poslední rovnice je transcendentní a má nekonečně mnoho kořenů
\be
k_m =\f{m\pi}{L}\,,\quad m\in {\rm Z}; \;
\ee
poněvadž $k>0$, vybíráme
pouze kladné hodnoty $m=1,2\ldots$ . Příslušné {\it vlastní
frekvence} obdržíme ze vztahu (\ref{eq:k1})
\begin{eqnarray} \omega
_m=\sqrt{\f{T}{\varrho}}k_m= m\sqrt{\f{T}{\varrho}}\f{\pi}{L}=
m\omega_1,\\
\nu_m = \f{m}{2L}\sqrt{\f{T}{\varrho}}=m\nu_1,\qquad m=1,2\ldots .
\end{eqnarray}
Vlastní frekvence struny jsou tedy celočíselnými násobky základní
frekvence $\nu_1$ základní\-ho tónu; $\nu_m$ pro $m>1$ se nazývají
vyšší harmonické (svrchní tóny). Příslušné {\it vlastní funkce}
$$ X^{(m)}(z)=\sin k_m z=\sin m\pi \f{z}{L}$$
jsou znázorněny na obr. \ref{obr:1.6}. Určují tvar odpovídajícího
módu. Jejich vlnové délky jsou $\lambda_1=2L, \lambda_2=\f{2L}{2},
\lambda_3=\f{2L}{3},\ldots,\lambda_m=\f{2L}{m}=\f{\lambda_1}{m},\ldots$
Veličina $k$, nazývaná {\it vlnové číslo}, je tedy s vlnovou délkou
spojena vztahem $k= 2\pi / \lambda$. (Veličina $\sigma= 1 / \lambda$
se nazývá {\it vlnočet}.\/) Závislost (\ref{eq:k1}) úhlové frekvence
na vlnovém čísle se nazývá {\it disperzní vztah}; pro strunu máme
tedy \be \omega=\sqrt{\f{T}{\varrho}}k . \ee V kapitole 2 uvidíme,
že podíl $\omega / k =\lambda \nu=v$
je roven tzv. {\it fázové rychlosti.}
\unitlength=1cm
%\begin{center}
%\epsfxsize=8cm \epsfysize=5cm
%\mbox{\epsffile{ob1c7.eps}}\\
%Obr. 1.8: Stojaté vlny na struně s pevnými konci
%\end{center}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[width=0.6\textwidth]{ob1c7}\\
\caption{Stojaté vlny na struně s pevnými konci}
\label{obr:1.6}
\end{center}
\end{figure}
%\begin{figure}[ht]
%\begin{center}
%%%\vspace{6cm} \label{obr:1.6}
%\caption{Stojaté}
%\end{center}
%\end{figure}
3. Fundamentální systém řešení vlnové rovnice je nekonečný,
$$\left\{\sin(k_m z)\cos(\omega_m t+\varphi_m)
\right\}_{m=1}^{\infty}\ .$$
4. Princip superpozice dává obecné řešení ve formě nekonečné
řady \be \label{eq:obecne} \psi(z,t)=\sum_{m=1}^\infty A_m \sin(k_m
z) \cos(\omega_m t+\varphi_m) , \ee obsahující nekonečně mnoho
konstant $A_m,\,\varphi_m$, které se mají určit z počátečních
podmí\-nek.
{\bf Počáteční podmínky a Fourierovy řady.} Protože vlnová rovnice
je lineární, obecný pohyb spojité struny upevněné na obou koncích je
dán superpozicí (\ref{eq:obecne}) všech módů $m=1,2,\ldots$ s
libovolnými amplitudami $A_m$ a fázovými konstantami $\varphi_m$.
%$\disp\psi(z,t)=\sum_{m=1}^\infty A_m \sin(k_m z)
% \cos(\omega_m t+\varphi_m) $.
Amplitudy a fázové konstanty lze
určit z počátečních podmínek pro polohu a rychlost v čase $t=0$:
\begin{eqnarray}
\psi(z,0)=f(z),\\
\f{\pad \psi}{\pad t}(z,0)=g(z),
\end{eqnarray}
kde funkce $f(z),\ g(z)$ jsou předepsány na intervalu $\langle 0,L
\rangle$, v souladu s okrajovými podmínkami. Dosazením obecného
řešení (\ref{eq:obecne}) do počátečních
podmínek dostaneme
\begin{equation} \label{eq:pocpodm1}
\sum_{m=1}^{\infty}A_m \sin (k_m z)\cos\varphi_m=f(z), \ee \be
\label{eq:pocpodm2} \sum_{m=1}^{\infty}A_m(-\omega_m) \sin (k_m
z)\sin\varphi_m =g(z).\non \ee Levé strany rovnic
(\ref{eq:pocpodm1}), (\ref{eq:pocpodm2})
představují {\it Fourierovy
rozvoje} daných funkcí na pravé straně a naším úkolem je najít
jejich {\it Fourierovy koeficienty} $A_m\cos\varphi_m$ resp.
$-A_m\omega_m\sin\varphi_m$.
V matematice se dozvíte podmínky, za nichž rozvoje funkcí
konvergují k rozvíjeným funkcím.
Ve fyzice musí být funkce $f(z)$ dostatečně hladká,
aby platilo odvození vlnové rovnice; v matematice je třída
přípustných $f(z)$ mnohem širší.
Fourierův rozvoj na levé straně (\ref{eq:pocpodm1}) je zřejmě
periodickou funkcí $z$ s periodou $\lambda_1=2L$. Také pravou stranu
$f(z),\ 0\leq z\leq L,$ můžeme dodefinovat pro všechna $z$, abychom
obdrželi periodickou funkci $F(z)$ (viz obr. \ref{obr1.9}). Máme
tedy třídu všech periodických (hladkých) funkcí $F(z)$ s periodou
$\la_1=2l$, které jsou nulové pro $z=0,z=L$.
%\unitlength=1cm
%\begin{center}
%\epsfxsize=95mm \epsfysize=2cm
%\mbox{\epsffile{ob1c8.eps}}\\
%Obr. 1.9: Periodické prodloužení funkce $f(z)$
%\end{center}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[width=0.8\textwidth]{ob1c8}\\
\caption{Periodické prodloužení funkce $f(z)$}
\label{obr1.9}
\end{center}
\end{figure}
%\begin{figure}[h]
%%%\vspace{2.1cm}
%\caption{Periodické prodloužení funkce $f(z)$}
%\end{figure}
Fourierův rozvoj lze však psát pro ještě širší třídu funkcí,
jestliže se vzdáme okrajových podmínek odpovídajících pevným koncům.
Všechny 'rozumné' periodické funkce $F(z)$ s periodou $\lambda_1$,
$F(z+\la_1)=F(z)$, lze rozvinout \be \label{eq:Fourrada} \fbox{$
\disp F(z)=\f{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty
\left( a_n \cos nk_1z+b_n \sin n k_1 z \right),$} \\
\ee
kde $ k_1=2 \pi / \la_1.$
Přidané kosinové členy odpovídají kmitům s volnými konci.
Hledání konstant $a_n,b_n$ se nazývá {\it Fourierova
analýza}. Používá se k ní relací ortogonality mezi vlastními
funkcemi:
\begin{center}
\begin{tabular}{l}
$\disp \int_{z_1}^{z_1+\la_1}\sin n k_1 z \sin m k_1z\,\d z=
\f{1}{2}\left(\int_{z_1}^{z_1+\la_1}\cos(n-m)k_1z\,\d z-
\int_{z_1}^{z_1+\la_1}\cos(n+m)k_1z\,\d z\right)=$ \\
$\disp \qquad \qquad \qquad =\left\{
\begin{array}{cl}
0,& n\neq m\\
\f{1}{2}\la_1,& n=m
\end{array}
\right\}=\f{1}{2}\la_1\delta_{mn}\ ,$
\\
$\disp \int_{z_1}^{z_1+\la_1}\cos nk_1z\cos mk_1z \,\d
z=\f{1}{2}\la_1\delta_{mn}\ ,$ \\
$ \disp\mbox{}\int_{z_1}^{z_1+\la_1}\sin nk_1z\cos mk_1z\,\d z=
\int_{z_1}^{z_1+\la_1}\left[ \sin(n+m)k_1z +\sin
(n-m)k_1z\right]\,\d z=0\ . $
\end{tabular}
\end{center}
Jednotlivé koeficienty vypočteme tak, že řadu (\ref{eq:Fourrada})
vynásobíme příslušnou vlastní funkcí a vyintegrujeme přes periodu
$\la_1$ (vlastní funkce odpovídající $a_0$ je 1); dostaneme
tak vztahy \\
\be
\begin{tabular}{|c|}
\hline %\\[-5mm]
$ \disp \quad a_m \ =\
\f{2}{\la_1}\int\limits_{z_1}^{z_1+\la_1}F(z)\cos mk_1z\ \d z\,,
$ \\
$ \disp \quad b_m \ =\
\f{2}{\la_1}\int\limits_{z_1}^{z_1+\la_1}F(z)\sin mk_1z\ \d z\,.
$ \\ \hline
\end{tabular}
\ee
Analogické vztahy lze samozřejmě psát pro Fourierovy řady periodické
funkce času ($ \om=2 \pi /T$):
\begin{center}
$\disp
F(t)=\f{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty
\left( a_n \cos n\om t+b_n \sin n \om t \right)\, ,$ \\
$\disp a_n\ =\ \f{2}{T}\int_{t_1}^{t_1+T}F(t)\cos n\om t \
\d t\,, $ \\
$\disp b_n\ =\ \f{2}{T}\int_{t_1}^{t_1+T}F(t)\sin
n\om t\ \d t\,. $\\
\end{center}
\section{Příčné kmity řetízku atomů}
Znalost řešení pohybu struny metodou stojatých vln (Fourierovou
metodou) nám pomů\-že k~vyřešení úlohy na určení kmitů nejjednodušší
periodické struktury --- jednorozměrného řetízku atomů. Vedle nového
pohledu na spojitou strunu jako na limitní případ řetízku, má tato
úloha zásadní důležitost v~teorii pevných látek s~krystalickou
strukturou.
Zkoumejme tedy příčné kmity soustavy $N$ hmotných bodů
(všechny o~hmotnosti $M$) spojených pružinkami (všechny
o~tuhosti $K$) podle obr. \ref{obr:1.8}\,. V~rovnovážné
poloze je řetízek napjat silou $T=Ka$.
Výchylky hmotných bodů ve směru osy $x$ označíme
$\psi_n,\ n=1,2,\ldots,N$. Při malých výchylkách můžeme
sestavit lineární pohybovou rovnici pro $n$-tý hmotný bod postupem
analogickým postupu u~spojité struny.
\unitlength=1cm
Podle obr. \ref{obr:1.9} působí na $n$-tý hmotný bod pouze
síly od sousedních atomů,
\be
M\ddot\psi_n=F_x=F_{1x}+F_{2x}=
\mbox{$ -|\mbf{F}_1 | \sin \vartheta_1 +
|\mbf{F}_2|\sin\vartheta_2\ .$}
\non \ee
Aproximace malých výchylek
$F_x\doteq T\tg \vartheta_2 - T\tg \vartheta_1 ,$ pak vede na
lineární pohybové rovnice \be \label{eq:rsoustava}
M{\ddot\psi}_n=T\f{\psi_{n+1}-\psi_n}{a}-T\f{\psi_n - \psi_{n-1}}{a}
\ee pro hmotné body $n=1,2,\ldots,N$. Pro krajní body musíme
pohybové rovnice doplnit okrajovými podmínkami (pevné
konce)
\ $\psi_0(t)=0=\psi_{N+1}(t)$.
%\begin{center}
%\epsfxsize=95mm \epsfysize=20mm
%\mbox{\epsffile{ob1c9.eps}}\\
%Obr. 1.10: Rovnovážná poloha řetízku N hmotných bodů
%\end{center}
%\begin{center}
%\epsfxsize=7cm \epsfysize=30mm
%\mbox{\epsffile{ob1c10.eps}}\\
%Obr. 1.11: K odvození pohybové rovnice
%\end{center}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[width=0.9\textwidth]{ob1c9}\\
\caption{Rovnovážná poloha řetízku $N$ hmotných bodů}
\label{obr:1.8}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[width=0.7\textwidth]{ob1c10}\\
\caption{K odvození pohybové rovnice}
\label{obr:1.9}
\end{center}
\end{figure}
Pohybové rovnice řešíme metodou módů z~oddílu 1.1,\ tj. hledáme módy
soustavy \be \label{eq:rpodmmodu}
\psi_n(t)=X_n\cos(\omega t + \varphi)\ ,\qquad n=1,2,\ldots,N\ . \ee
Všimněte si, že index $n$ odpovídá souřadnici $z$ v~$\psi(z,t)$ pro
spojitou strunu. Dosazení módu (\ref{eq:rpodmmodu})
do (\ref{eq:rsoustava}) vede na soustavu $N$
lineárních homogenních rovnic pro amplitudy $X_n$
\be \label{eq:ralgsoustava} -\om^2
X_n=\f{K}{M}(X_{n+1}-2X_n+X_{n-1})\ , \ee kde $X_0=X_{N+1}=0$.
Nenulové řešení existuje jen v případě,
že $ \mbf{X} $ je vlastním vektorem matice soustavy. Místo
sestavení a řešení sekulární (charakteristické) rovnice
ukážeme, že stojaté vlny $X(z)=A\sin kz+B\cos kz$
v~bodech $z=na$, tj. \be \label{eq:rvlna}
X_n = X(na)=A\sin kna+B\cos kna
\ee řeší (\ref{eq:ralgsoustava}) pro nějaké $\om$. Stačí vypočítat
\begin{center}
$\disp X_{n+1}+X_{n-1}=
A\left[\sin (kna+ka)+\sin (kna-ka)\right] +
B\left[\cos (kna+ka)+\cos (kna-ka)\right]= $\\[1mm]
$\disp =2(A\sin kna + B\cos kna)\cos ka=2X_n\cos ka
$
\end{center}
a srovnat s~(\ref{eq:ralgsoustava}) ve formě \s{-2}$$
X_{n+1}+X_{n-1}= X_n(2-\f{M}{K}\om^2)\ . $$ \s{-2} Vidíme, že
(\ref{eq:rvlna}) je nenulovým řešením (\ref{eq:ralgsoustava}) za
podmínky \be 2\cos ka = 2 - \f{M}{K}\om^2\ , \ee neboli \s{-2}\be
\om^2=2\f{K}{M}(1-\cos ka)=4 \f{K}{M}\sin^2 \f{ka}{2}\ . \non \ee
Graf tohoto {\it nelineárního disperzního vztahu} \be \fbox{$ \disp
\om = 2\sqrt{\f{K}{M}}\sin \f{ka}{2} \,,\qquad 0\leq
\f{ka}{2}\leq\f{\pi}{2} $} \label{rdispvztah} \ee je na obr.
\ref{obr1.12}. Slouží k~určení vlastních frekvencí $\om_m$ řetízku
pro hodnoty $k_m$, které vyplývají z~okrajových podmínek:
\be\begin{array}{rrr}
X_0=0 & \Ra &B=0\\
X_{N+1}=0& \Ra &A\sin k(N+1)a =0.
\end{array} \ee
Dostáváme tedy $ N$ vlnových čísel \be k_m=\f{m\,\pi}{(N+1)a}\
,\quad m=1,\dots,N \ee Příslušné módy jsou zakresleny na
obr.\ref{obr1.13}. \footnote{Řešení pro $m=N+1$ je identicky nulové,
tedy jako pro $m=0$, pro vyšší hodnoty $m=N+2,\ldots$\ \ se --- až
na znamení výchylek --- periodicky opakují módy $m=1,2,\ldots,N$.
Např. pro $m=N+1+l\,,\ l=1,\ldots,N\,,$ \be X_n=\sin
k_{N+1+l}na=\sin \left(\f{ln\pi }{N+1}+n\pi\right)=(-1)^n \sin
\f{ln\pi}{N+1}\ .\non \ee Z jiného pohledu, tato vyšší vlnová čísla
odpovídají půlvlnám kratším než je vzdálenost $a$. V oddíle 3.3
uvidíme, že při frekvencích $\om > \om_{max}$ se místo takových vln
realizují kvalitativně zcela odlišná řešení.}
%\begin{center}
%\epsfxsize=8cm \epsfysize=4cm
%\mbox{\epsffile{ob1c11.eps}}\\
%Obr. 1.12 \/ Disperzní vztah pro řetízek atomů
%\end{center}
%\begin{center}
%\epsfxsize=13cm \epsfysize=5cm
%\mbox{\epsffile{ob1c12.eps}}\\
%Obr. 1.13 \/ Módy na řetízku atomů
%\end{center}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[width=0.6\textwidth]{ob1c11}\\
\caption{Disperzní vztah pro řetízek atomů}
\label{obr1.12}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[width=0.9\textwidth]{ob1c12}\\
\caption{Módy na řetízku atomů}
\label{obr1.13}
\end{center}
\end{figure}
%\begin{figure}[ht]
%%%%\vspace{4cm}
%\caption{Disperzní vztah pro řetízek atomů}
% \label{gr:disperzní vztah pro řetízek atomů}
%\end{figure}
%
%\begin{figure}[ht]
%\framebox(17,9){}
%\caption{Módy na řetízku atomů}
%\label{gr:módy na řetízku}
%\end{figure}
Obecné řešení je lineární superpozicí nalezených módů,
\be
\psi_n(t)=\sum_{m=1}^N A_m\sin( k_m na )\cos(\om_m t+\fii_m),
\ee
s~libovolnými konstantami $A_m, \fii_m$.
Na závěr se vraťme ke {\it spojité limitě řetízku} $a\to 0$.
Vzhledem k~dané délce $L=\\=(N+1)a$, lineární hustotě
\mbox{$\varrho=M/a$} a síle \mbox{$T=Ka$} musí současně $a\to 0,
N\to \infty,$ $M\to 0, K\to \infty$.\/ V~této limitě můžeme
disperzní vztah přibližně vyjádřit pomocí Taylorova rozvoje funkce
sinus,
\be
\om=2\sqrt{\f{K}{M}}\sin\f{ka}{2}=2\sqrt{\f{K}{M}}\left(
\f{ka}{2}-\f{1}{3!}(\f{ka}{2})^3+\cdots\right) \doteq
\sqrt{\f{T}{a^{2}\varrho}} \left( ka-\f{1}{24}(ka)^3+\cdots\right).
\ee
V~limitě $a\to 0$ tak zbývá jen první člen, který dává
disperzní vztah pro spojitou strunu
$\om=\sqrt{T / \varrho}\;k\ .$ Zanedbání členů vyššího řádu je
u~řetízku možné, když
\be ka\ll 1,\qq \mbox{tj. když} \qq
\f{\la}{2\pi}\gg a\ .
\ee
Spojitá limita je tedy dobrou aproximací pouze tehdy, když
vlnové délky módů jsou dostatečně velké vůči vzdálenosti
sousedních bodů $a$. Pak se ovšem výchylky sousedních bodů
budou velmi málo lišit. Z těchto důvodů často mluvíme
o dlouhovlnné limitě.
\section{Vynucené kmitání tlumených soustav pod vlivem
harmonické budící síly} \markright{1.4\q VYNUCENÉ KMITÁNÍ TLUMENÝCH
SOUSTAV } V tomto oddíle si nejprve zopakujeme základní vlastnosti
pohybu tlumeného harmo\-ni\-ckého oscilátoru (\cite{Smech}, oddíl
2.2) Jeho pohybová rovnice \bes{-1} \label{eq:14.1}
m\ddot x=-kx-h\dot x \ee má na pravé straně součet elastické síly a
{\it síly viskózního tlumení}\/, která je úměrná rychlosti a míří
proti směru pohybu.
Diferenciální rovnice (\ref{eq:14.1}) má tvar (1.5) \bes{-1}
\label{eq:14.2} \ddot x+2\delta \dot x +\om_0^2 x = 0\ , \ee kde
$\om_0^2={k}/{m}$ a parametr $\delta=h/2m>0$ se nazývá {\it
dekrement útlumu.} Řešení (\ref{eq:14.1}) hledáme ve tvaru
$x(t)=\exp{\la t}$, který vede na charakteristickou rovnici \bes{-1}
\label{eq:14.3} \la^2 + 2\delta \la +\om_0^2=0\ . \ee Podle hodnoty
diskriminantu ${\cal D}=4(\delta^2-\om_0^2)$, tedy podle velikosti
útlumu, dostáváme tři typy řešení:\s{2}
\begin{center}
\tabcolsep=8pt
\begin{tabular}{|c|c|l|}\hline
${\cal D}=4(\delta^2-\om_0^2)$&Útlum&Pohyb\\
\hline
$< \,0$& slabý & periodický tlumený\\
=\,0 & kritický & aperiodický mezní\\
$> 0$ & silný & aperiodický\\
\hline
\end{tabular}
\end{center} \s{3}
Zapišme podrobně tvar řešení rovnice (\ref{eq:14.2}) pouze pro
případ {\it slabého tlumení} $\delta<\om_0$, který budeme potřebovat
v dalších kapitolách. V tomto případě má charakteristická rovnice
kořeny \s{-2} \be \label{eq:14.4}
\la_{1,2}=-\delta\pm i\om\ ,\qq{\rm kde}\qq \om =
\sqrt{\om_0^2-\delta^2}\ , \ee takže obecné řešení je dáno vztahy
(odvoďte!) \bes{-1} \label{eq:14.5}
x(t)=e^{-\delta t}\left( C_1 e^{i \om t}+\overline{C}_1e^{-i\om
t}\right) \ee nebo \s{-2} \be \label{eq:14.6}
x(t)=A e^{-\delta t}\cos(\om t +\alpha)\ . \ee Při slabém útlumu
tedy oscilátor kmitá, ale amplituda kmitů exponenciálně klesá k nule
(viz obr.\ref{obr:14.14}).
%\begin{center}
%\epsfxsize=9cm \epsfysize=5cm
%\mbox{\epsffile{ob1c13.eps}}\\
%Obr. 1.14: Graf tlumených mkitů
%\end{center}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[width=0.6\textwidth]{ob1c13}\\
\caption{Graf tlumených kmitů}
\label{obr:14.14}
\end{center}
\end{figure}
%\begin{figure}[hb]
%%%\vspace{3.5cm}
%\caption{Graf tlumených kmitů}
% \label{obr:14.14}
%\end{figure}
Mechanická energie oscilátoru se vlivem viskózního tlumení mění
nevratně v teplo. Tuto ztrátu energie lze vyrovnávat dodáváním
energie vnější {\it periodickou silou} $F_x(t)=F_0 \cos \Omega t$\,.
Pohybová rovnice pro vynucené kmity má pak tvar \bes{-1}
\label{eq:14.7} m\ddot x =-kx-h\dot x+F_0 \cos \Omega t\ , \ee
neboli \be \label{eq:14.8} \ddot x +2\delta \dot x
+\om_0^2 x =B\cos \Omega t\ , \ee kde $B=F_0/m$.
Obecné řešení závislé na dvou integračních konstantách je podle
nauky o diferenciálních rovnicích superpozicí řešení $x_{hom}(t)$
rovnice s nulovou pravou stranou (\ref{eq:14.2}), tedy
(\ref{eq:14.5}) nebo (\ref{eq:14.6}) a partikulárního řešení
$x_{part}(t)$ rovnice (\ref{eq:14.8}), \be \label{eq:14.9}
x(t)=x_{hom}(t)+x_{part}(t)\ . \s{-2} \ee (Ověřte!)
Připomeňme, že partikulární řešení při speciálním tvaru pravé
strany rovnice (\ref{eq:14.8}) lze snadno nalézt: do
(\ref{eq:14.8}) dosaďte předpokládaný tvar řešení
\be \label{eq:14.10}
x_{part}(t)=C(\Omega) \cos(\Omega t +\Phi (\Omega))
\ee
a porovnáním koeficientů u $\cos \Omega t$ a $\sin \Omega t$
vypočítejte
\be \label{eq:14.11}
C(\Omega)=\f{B}{\sqrt{(\om_0^2-\Omega^2)^2+4 \delta^2\Omega^2}}\ ,
\ee
\be \label{eq:14.12}
\tg \Phi(\Omega)=-\f{2\delta\Omega}{\om_0^2-\Omega^2}\ .
\ee
Závislost amplitudy $C$ na budící úhlové frekvenci $\Omega$
dosahuje (při dosti slabém útlumu $\delta<\om/\sqrt{2}$) při
hodnotě $\Omega_r=\sqrt{\om_0^2-2\delta^2}$
{\it rezonančního maxima.} \unitlength=1cm
%\begin{figure}[ht]
%\begin{center}
%\epsfxsize=10cm \epsfysize=11cm
%\mbox{\epsffile{ob1c14.eps}}\\
%\end{center}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.5\textheight]{ob1c14}\\
\caption{\q I.\ Amplituda $C(\Omega)$, \/
II.\ Fázové posunutí $\Phi(\Omega)$ \/
a) pro zanedbatelné tlumení, \/
b) pro $\delta=0,2\,\om_0$, \/ c) pro $\delta=5\om_0$.}
\label{obr:14.15}
\end{center}
\end{figure}
%\addtocounter{figure}{1}
%Obr. 1.15 \q I.\ Amplituda $C(\Omega)$, \/
%II.\ Fázové posunutí $\Phi(\Omega)$ \/
% a) pro zanedbatelné tlumení, \/
%b) pro $\delta=0,2\,\om_0$, \/
%c) pro $\delta=5\om_0$.
%\label{obr:14.15}
%\end{figure}
%\begin{center}
%\epsfxsize=11cm \epsfysize=7cm
%\mbox{\epsffile{ob1c15.eps}}\\
%Obr. 1.16 \/ Energie vynucených kmitů --- skutečná
% vystředovaná energie a její Lorentzova aproximace
% (čerchovaně) pro $\delta=0.2 \, \om_0$
%\end{center}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.25\textheight]{ob1c15}\\
\caption{Energie vynucených kmitů --- skutečná
vystředovaná energie a její Lorentzova aproximace
(čerchovaně) pro $\delta=0.2 \, \om_0$}
\label{obr1.16}
\end{center}
\end{figure}
%%%\vspace{8cm}
%\begin{figure}[hb]
%\caption{Obr. 1.16: Energie vynucených kmitů --- skutečná vystředovaná
%energie a její Lorentzova aproximace (čerchovaně) pro $\delta=0.2
%\om_0$.}
%\end{figure}
Rezonanční křivka na obr.\ref{obr:14.15}.I je grafem
závislosti $C(\Omega)$. Při $\Omega=0$ (konstantní budící
síla) má oscilátor statickou výchylku $B/\omega_0^2$, při
rezonanční frekvenci $\Omega_r$ kmitá s maximální
amplitudou
\be \label{eq:14.13}
C_m=\f{B}{2\delta\sqrt{\om_0^2-\delta^2}}\ .
\ee
Viděli jsme, že obecné řešení (\ref{eq:14.9}) se skládá
ze dvou částí (\ref{eq:14.6}) a (\ref{eq:14.10})
\be \label{eq:14.14}
x(t)=Ae^{-\delta t }\cos(\om t +\alpha) +C(\Omega)\cos(\Omega t +\Phi (\Omega))\ .
\ee
V první části závisí na dvou integračních konstantách
$A,\alpha,$ které se určí ze dvou počátečních podmínek.
Všimněte si, že tato první část se časem exponenciálně
utlumí, představuje tedy {\it přechodný jev.}\/
Druhý člen, který přetrvává po odeznění
přechodného jevu, se nazývá {\it ustálený (stacionární) děj.}\/
Z průběhu fáze $\Phi(\Omega)$ (obr.\ref{obr:14.15}.II) je
patrné, že fáze ustáleného děje je záporná, {\it vynucené
kmity soustavy se zpožďují za kmity budící síly}.
Zajímavé je chování řešení (\ref{eq:14.14}) pro velmi slabé
až zanedbatelné tlumení \\$\delta\ll \omega$. V tomto
případě rezonanční křivka (obr.\ref{obr:14.15}.I.a) má
velmi úzké a vysoké rezonanční maximum při
$\Omega_r\approx\omega_0$ a fáze $\Phi(\Omega)$ se skokem
mění z $0$ na $-\pi$. Energie přechodného jevu
exponenciálně klesá s časem
\be \label{eq:14.15}
E_{hom}(t)=\f{1}{2}m\dot x^2_{hom}+\f{1}{2}k x^2_{hom}\approx
\f{1}{2}m\om_0^2A^2e^{-2\delta t}
\ee
s časovou konstantou $\tau=1/(2\delta).$
Celková energie oscilátoru při ustáleném ději se periodicky
mění s periodou $T=2\pi/\Omega$ budící síly: \s{-2}
\bea \label{eq:14.16}
E(t)& =& \frac{1}{2} m \dot x_{part}^2+\frac{1}{2}k
x_{part}^2= \nonumber\\
& = & \frac{1}{2} m\Omega^2 C^2\sin^2(\Omega t +\Phi)
+\frac{1}{2}m\omega_0^2 C^2\cos^2(\Omega t +\Phi)\ . \non \\
&&
\eea
\s{-6} \\
Tuto energii můžeme vystředovat přes periodu
\be
\bar{E}_T=\f{1}{2}m\f{\Omega^2+\om_0^2}{2}C^2
\ee
V {\it těsné blízkosti rezonance}
%$\Omega\approx\omega_0$\/ má energie
% rezonanční průběh
%\bes{-2} %\label{eq:14.17}
%E\approx\f{1}{2}m\om_0^2 C^2=\f{1}{2}\f{m\om_0^2
%B^2}{(\om_0^2-\Omega^2)^2+4\delta^2\Omega^2}\ ,
%\ee který lze
lze průběh energie aproximovat jednodušší {\it Lorentzovou\/}
(Breit-Wignerovou) {\it křivkou} (viz obr. \ref{obr1.16} a
\cite{TK}, př. 4.13) \be \label{eq:14.18}
E\approx\f{1}{8}\f{mB^2}{(\Omega-\omega_0)^2+(\f{\Gamma}{4})^{2}}\ .
\s{1} \ee Zde $\Gamma=2\delta$ značí šířku rezonanční křivky
(\ref{eq:14.18}) v poloviční výšce $E_{max}/2$, kde \s{-2} $$
E_{max}=\f{mB^2}{2 \Gamma^2}\ . \s{-5} $$ (Ověřte!) \footnote{Ve
skriptech \cite{Smech} jste se zabývali {\it jinou aproximací.} Ta
však není tak přesná.}
{\bf Cvičení 1.} Při ustáleném ději je veškerá energie
dodávaná budící silou přeměňována viskózním tlumičem na
teplo. Vypočítejte střední výkon $\bar P$ dodaný budící
silou během jedné periody $T=2\pi/\Omega$ a ukažte, že je
roven střednímu výkonu spotřebovanému třením.\\
\mbox{}\hfill $\disp \left[ \bar P=\f{m\delta \Omega^2
B^2}{(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4\delta^2 \Omega^2} \right] $
\s{5}
{\bf Cvičení 2.} Ukažte, že při velmi slabém tlumení
$\delta\ll\omega_0$ lze určit 'dobu života' $\tau$ soustavy
ponechané bez vlivu budící síly z šířky $\Gamma$ rezonanční křivky
pro energii podle vztahu \s{-2}$$ \Gamma \tau\approx 1\ .$$ \s{1}
{\bf Cvičení 3.} Obvykle se zavádí {\it činitel jakosti
(kvalita)}\/ slabě tlumeného oscilátoru jako bezrozměrné číslo
\s{-2} $$
Q=\f{\om_0 E}{\overline P}\ .
\s{-2} $$
Ukažte, jak lze vlastnosti oscilátoru $\om_0, Q$ určit z
rezonanční křivky (\ref{eq:14.16%tady bylo původně 14.17
}) pro energii.
\mbox{} \hfill $\disp \left[ Q\approx \f{\om_0}{\Gamma} \right]$
