Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou}
\Def{ (Homomorfismus Lieových grup $G$ a $H$)
\begin{itemize}
\item \textbf{Homomorfismus $G$ a $H$} je libovolné hladké $\phi :G \to H$, $\phi(g\cdot_G h)=\phi(g) \cdot_H \phi(h)$, $\forall g,h \in G$.
\item \textbf{Izomorfismus $G$ a $H$} je bijektivní homomorfismus s~hladkou inverzí.
\end{itemize}
}
\Def{
\textbf{Jednoparametrická podgrupa v~$G$} je homomorfismus $\varphi: (\R,+) \to G$.
}
\Dsl{
Platí $\varphi(s+t)=\varphi(s)\varphi(t)=\varphi(t)\varphi(s)$, tedy nutně $\varphi (0)=e$.
}
\Prl{
$G$ Maticová grupa:
\begin{align*}
\dot{g}(t) = g(t)\cdot\underbrace{\dot{g}(0)}_{konst.} &= L_{g(t)*}\left(\dot{g}(0)\right) \\
&= \dot{g}(0)\cdot g(t) = R_{g(t)*}\left(\dot{g}(0)\right)
\end{align*}
}
\Pzn{
Obecně:
\begin{align*}
g(s+t) = g(t)g(s)\equiv L_{g(t)}g(s) \rimpl \underbrace{\dot{g}(t)}_{T_{g(t)}G} = \zuz{\td{}{s}}{0}\left(L_{g(t)}g(s)\right) = L_{g(t)*}\underbrace{\in \dot{g}(0)}_{T_{\e} G}
\end{align*}
Označíme-li pro $X\in \g$, $\zuz{X}{e}=\dot{g}(0)$, pak $\dot{g}(t)=L_{g(t)*}(\zuz{X}{e})=\zuz{X}{g(t)}$.
}
\Dsl{
Jednoparametrické podgrupy jsou integrální křivky levoinvariantních vektorových polí, tj. elementů Lieovy algebry, vycházející z~$e$.
}
\subsection{Exponenciální zobrazení}
% Jak jsem zmínili ve větě \ref{ztotozneni g a TeG}, odpovídá prostor levoinvariatních vektorových polí Lieově algebře $T_eG$. Pokud chceme z~daného levoinvariantního pole $X$ získat vektor z~$T_eG$ stačí toto pole vyhodnotit v~$e$, tj. získáme $X|_e \in T_eG$.
Na základě integrálních křivek můžeme definovat zobrazení $\g \to G$, které danému vektoru $X|_e \in \g$ přiřadí nějaký bod na příslušné integrální křivce levoinvariantního vektorového pole $X$, ke kterému je $X|_e$ tečným vektorem.
\Def{
$\exp : \g \to G$ definujeme $\exp (tX) =\varphi (t),\ \exp (X) =\varphi (1)$, kde $\varphi$ je jednoparametrická podgrupa generovaná $X \in \g$ (integrální křivka $X \in \g$).
}
\Pzn{
$\exp =:\e$ tedy splňuje $\varphi(t+s)=\e^{(t+s)X}=\varphi (t) \varphi (s) =\e^{tX}\e^{sX}$.
}
\Prl{
Exponenciela $\mfrk{af}(1) \to Af(1)$.
}
Hledáme integrální křivky vektorového pole z~příkladu \ref{grupa Af(1)}. Pro libovolné levoinvariantní pole jsou rovnice integrálních křivek $\dot{x}(t)=\alpha x(t)$ a $\dot{y}(t)=\beta x(t)$ s~počátečními podmínkami $(x(0),y(0))=(1,0)$, řešením je $(x(t),y(t))=\left( \e^{\alpha t}, \frac{\beta}{\alpha}(\e^{\alpha t}-1) \right)$. Exponencielu získáme dosazením $t=1$, tj. $\e^X=\e^{\alpha x \partial_x + \beta x\partial_y}=(\e^{\alpha}, \frac{\beta}{\alpha}(\e^{\alpha}-1))$ (pro $\alpha=0$ vyjde výsledek stejně jako provedením $\lim_{\alpha \to 0}$).
V~maticovém vyjádření je pole
$\left( \begin{smallmatrix}
\alpha & \beta \\ 0 &0
\end{smallmatrix} \right)$,
platí
$\left( \begin{smallmatrix}
\alpha & \beta \\ 0 &0
\end{smallmatrix} \right)^2 =
\left( \begin{smallmatrix}
\alpha^2 & \alpha \beta \\ 0 &0
\end{smallmatrix} \right)$, \dots ,
$\left( \begin{smallmatrix}
\alpha & \beta \\ 0 &0
\end{smallmatrix} \right)^k =
\left( \begin{smallmatrix}
\alpha^k & \alpha^{k-1} \beta \\ 0 &0
\end{smallmatrix} \right)$,
takže získáme
$\exp \left( \begin{smallmatrix}
\alpha & \beta \\ 0 &0
\end{smallmatrix} \right)=
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}\left( \begin{smallmatrix}
\alpha & \beta \\ 0 &0
\end{smallmatrix} \right)^n=
\left( \begin{smallmatrix}
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\alpha^n}{n!}, & \frac{\beta}{\alpha}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\alpha^n}{n!} \\ 0, &1
\end{smallmatrix} \right)=
\left( \begin{smallmatrix}
\e^\alpha, & \frac{\beta}{\alpha}(\e^\alpha -1) \\ 0, &1
\end{smallmatrix} \right)$.
\Prl{
Exponenciela maticových grup $G$.
}
Hledáme integrální křivku $\gamma (t)$ levoinvariantního vektorového pole, určenou $X \in \g$. Jak toto pole vypadá víme z~příkladu \ref{Maticove grupy} (značení převezmeme z~tohoto příkladu, tj. $X^i_j(e)=\alpha^i_j$). Máme tak pro složky pole $X^i_j(\gamma (t))=\gamma^i_k(t)X^k_j(e)$. Rovnice pro integrální křivky tohoto pole je
\begin{align}
\dot{\gamma}^i_j(t)=\gamma^i_k(t)X^k_j(e), \quad \gamma^i_j(0)=\delta^i_j \,,
&& \Leftrightarrow &&
\dot{\gamma}(t)= \gamma (t) X(e), \quad \gamma (0)=\mathbb{1} \,.
\end{align}
Z~maticového zápisu vidíme, že řešením je maticová exponenciela $\gamma(t)=\e^{t X(e)}$, výsledkem je $\e^{X}=\gamma (1)=\e^{X(e)}$.
\Vet{
Pro libovolnou čtvercovou matici $A$ platí: $\in \gl(n,\C)$, potom $\det \e^A=\e^{\Tr A}$.
}
\begin{proof}
Předpokládame, že $\exists B$, tak, že $D=BAB^{-1}$ diagonální (diagonalizovatelné matice jsou husté v množine všech matic a obě strany rovnice jsou spojité$\rimpl$platí obecně).
\begin{align*}
\Tr D = \Tr BAB^{-1} = \Tr AB^{-1}B = \Tr A
\end{align*}
Platí $\e^{BAB^{-1}} = B\e^AB^{-1}$ z definice pomocí řady, proto $\det\,\e^{D} = \det\,B\det\,B^{-1}\det\,\e^A = \det\,\e^{A}$, a protože $D = \mrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) \rimpl \e^D = \mrm{diag}(\e^{\lambda_1},\dots,\e^{\lambda_n})$, tedy
\begin{align*}
\det\,\e^D =\prod_{k=1}^{n}\e^{\lambda_k} = \e^{\sum_k \lambda_k} = \exp(\Tr D).
\end{align*}
\end{proof}
\Vet{
Buď $G$ Lieova grupa, pak $\exp: \g \to G:X\to \e^{X}$ je lokální difeomorfismus okolí $0 \in\g$ na okolí $e\in G$. (Toto zobrazení není obecně surjektivní ani injektivní na celé $G$).
}
\begin{proof}
$\g$ jako vektorový prostor lze chápat jako varietu, $T_0\g\cong\g \rimpl \exp$ je hladké zobrazení variet. $\left.\exp_*\right|_0:T_0\g\equiv\g \to \g\equiv T_{e} G, \exp (tX)$ je integrálí křivka procházející $e$, s tečným vektorem $X \rimpl \zuz{\exp_*}{0} = \text{identita}\rimpl$podle věty o inverzní funkci je $\exp$ lokální difeomorfismus.
Detailně: $\exp:X \to \e^X$
\begin{align*}
\exp_*(\left.X\right|_0)f = \lim_{t \to 0}\frac{f(\e^{tX+0})-f(\e^0)}{t} = \lim_{t \to 0}\frac{f(\e^{tX})-f(e)}{t} \overset{\mrm{def.}}{=} \left.Xf\right|_e
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \exp_*(\left.X\right|_0) = \left.\exp_*(X)\right|_e = \left.X\right|_e$.
\end{proof}
\Pzn{
Pro matice platí: $\exp_*(X)=\left.\td{}{t}(\e^{tX})\right|_{t=0} = \left.\td{}{t}\left(1+tX+O(t^2)\right)\right|_{t=0} = X$.
}
\Pzn{
Je zřejmé, že $\exp$ nemůže být surjektivní pro grupy s~více komponentami souvislosti (nelze spojit křivkou body z~různých komponent). $\exp$ není obecně surjektivní ani pro souvislé $G$, pouze v~případě, že je $G$ kompaktní.
}
\subsection{Vyšetřování souvislosti variet}
\Def{
Buďte $V \subset M$ dif. variety ($V$ podvarieta $M$). $V$ je \textbf{deformační retrakt} $M$ právě tehdy, když $\exists$ $r: \langle 0,1 \rangle \times M \to M$ spojité, takové že
\begin{itemize}
\item $\forall m \in M$, $r(0,m)=m$,
\item $\forall v \in V$, $\forall t \in \langle 0, 1\rangle$: $r(t,v)=v$,
\item $\forall m \in M$, $r(1,m) \in V$.
\end{itemize}
}
\Def{
Souvislá varieta $M$ je jednoduše souvislá právě tehdy, když platí:
\begin{itemize}
\item $\forall \gamma: \langle 0,1 \rangle \to M$, spojité, $\gamma(0) = \gamma(1)$
\item $\exists \phi: \langle 0,1 \rangle \times \langle 0,1 \rangle \to M$, spojité takové, že $\forall t \in \langle 0,1 \rangle,\ \phi(0,t)=\gamma(t),\ \phi(1,t)=\gamma(0)$
\end{itemize}
}
\Vet{
$V$ je deformační retrakt $M$, pak
\begin{itemize}
\item $M$ souvislá $\Leftrightarrow$ $V$ souvislá,
\item $M$ jednoduše souvislá $\Leftrightarrow$ $V$ jednoduše souvislá.
\end{itemize}
}
\begin{proof}
Souvislost zřejmá. Jednoduchá souvislost plyne z toho, že pro křivky platí $\gamma_V(t) = r(1,\gamma_M(t))$.
\end{proof}
\Pzn{
Souhrnné pojednání o souvislosti námi používaných grup je v~\emph{The American Mathematical Monthly}
Vol. 74, No. 8 (Oct., 1967), pp. 964-966.\footnote{
\texttt{http://www.jstor.org/stable/2315278}
}
}
\Prl{
$SL(2,\R) = \left(\begin{smallmatrix}
x & y \\
z & w
\end{smallmatrix}\right),\ xw-zy=1$ není jednoduše souvislá.
Lze ji zdeformovat na $SO(2)$: Nejprve definujeme $V_1$ tak, aby
\begin{align*}\forall \begin{pmatrix}
\tilde{x} & \tilde{y} \\
\tilde{z} & \tilde{w}
\end{pmatrix} \in V_1,\ \tilde{x}^2+\tilde{z}^2=1,\ \tilde{x}\tilde{w}-\tilde{z}\tilde{y}=1.
\end{align*}
Položíme $r_1\left( t,\left(\begin{smallmatrix}
x & y \\
z & w
\end{smallmatrix}\right) \right) = \left(\begin{smallmatrix}
\alpha(t)x & \frac{1}{\alpha(t)}y \\
\alpha(t)z & \frac{1}{\alpha(t)}w
\end{smallmatrix}\right)$ , kde $\alpha(0) = 1$ a pro $\alpha(1)$ platí $\alpha^2(1) \left( x^2+z^2 \right) = 1$. Zvolime proto $\alpha(t) = \frac{1}{\left( x^2 + z^2 \right)^{t/2}}$ a $V_1 = \mrm{Im}\, r_1\left( 1,. \right) \subset SL(2,\R)$ už splňuje požadavky. Dále zdeformujeme $V_1$ tak, aby sloupce byly ortonormální vektory:
\begin{align*}
r_2\left( t,\begin{pmatrix}
x & y \\
z & w
\end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix}
x & y \\
z & w
\end{pmatrix} - t\left( xy + zw \right) \begin{pmatrix}
0 & x \\
0 & z
\end{pmatrix} \\
V_2 = \mrm{Im}\, r_2 (1,.) = \left\{ \begin{pmatrix}
x & y \\
z & w
\end{pmatrix} \in Sl(2,\R) \middle| x^2 + z^2 = 1,\ xy + zw = 0 \right\}
\end{align*}
\begin{align*}
xy + zw = 0 \rimpl x = -\frac{zw}{y} \quad \Rightarrow\quad \begin{array}{lllll} xw - zy &= -\frac{zw^2}{y}-zy = 1 &\Rightarrow w^2 + y^2 &= -\frac{y}{z}\\
x^2 + z^2 &= \frac{z^2w^2}{y^2}+z^2 = 1 &\Rightarrow w^2 + y^2 &= \frac{y^2}{z^2}
\end{array}
\end{align*}
$\Rightarrow\quad w^2 +y^2 = 1\rimpl V_2 = SO(2)=\left\{ \left(\begin{smallmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{smallmatrix}\right)\middle|\theta \in \langle 0,2\pi \rangle \right\}$ souvislá a topologicky eqvivalentní $S^1$. $SL(2,\R)$ je tedy souvislá, ale není jednoduše souvislá.
Podíváme se ještě na $\exp: \mfrk{sl}(2,\R) \to SL(2,\R)$.
\begin{align*}
\mfrk{sl}(2,\R) = \left\{A = \begin{pmatrix}
x & y \\
z & -x
\end{pmatrix}\middle| x,y,z \in \R \right\} \Rightarrow A^2 = \begin{pmatrix}
x & y \\
z & -x
\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}
x^2 + yz & 0 \\
0 & zy + x^2
\end{pmatrix} = -\det A \cdot \mathbb{1}
\end{align*}
\begin{align*}
\e^A = \left\{ \begin{array}{lllllll}
\cos\det A \cdot \mathbb{1} + \frac{1}{\sqrt{\det A}}\sin\sqrt{\det A}\cdot A & & \det A > 0 & & \Rightarrow & & \Tr\, e^A = 2\cos \sqrt{\det A} \in \langle -2,2 \rangle \\
\cosh \sqrt{|\det A|}\cdot \mathbb{1} + \frac{1}{\sqrt{|\det A|}} \sinh \sqrt{|\det A|}\cdot A & & \det A < 0 & & \Rightarrow & & \Tr\, e^A = 2\cosh \sqrt{|\det A|} \geq 2 \\
\mathbb{1}+A & & \det A = 0 & & \Rightarrow & & \Tr\, \e^A = 2
\end{array}\right.
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \Tr\,\e^A \geq -2,\ \forall A \in \mfrk{sl}(2,\R)\rimpl$ např. $\left(\begin{smallmatrix}
-2 & 0 \\
0 & -\frac{1}{2}
\end{smallmatrix}\right) \in SL(2,\R) \setminus \exp\big( \mfrk{sl}(2,\R) \big)$.
}
\Dsl{
$G$ nemusí být celé pokryté exponenciélou, pokud je jen souvislé. Pro $G$ jednoduše souvislé to už platí. Bez důkazu.
}
\Pzn{
Lze ukázat, že $SL(n,\R)$ není jednoduše souvislá $\forall n \in \N$.
}
%\Vet{$G$ souvislá Lieova grupa, $\varphi: 0\in U=U^\circ \subset \g \to \varphi(U)=(\varphi (U))^\circ \subset G$ ($e \in \varphi (U)$) difeomorfismus. Pak libovolný $g \in G$ lze zapsat vepsat ve tvaru konečného součinu $g=g_1g_2 \cdots g_k$, kde $g_j\in \varphi (U)$. (V~případě $\varphi =\exp$ umí Vysouš ukázat, že $k=2$.)}
\Vet{
Buď $G$ souvislá Lieova grupa, $g \in G$. Pak existuje $n \in \N,\ X_1,\dots,X_n \in \g$ takové, že $g=\e^{X_1}\e^{X_2}\dots\e^{X_n}$.
}
\begin{proof}
Mějme $e\in U_0 = U_0^\circ \subset G$. Předpokládame $(.)^{-1}: U_0 \to U_0$ (jinak bereme $\tilde{U}_0 = U_0 \cap U_0^{-1}$, kde $U_0^{-1} = \{ g^{-1}| g \in U_0 \}$). Konstruujeme $U_i = \bigcup_{g \in U_{i-1}} gU_0$, zřejmě $U_i \subset U_i+1$ a protože $L_g(U_0) = \left( L_g(U_0)\right)^\circ$, je taky $U_i = U_i^\circ$. Označme $U=\bigcup_{i \in \N_0}U_i$, pak $U = U^\circ$ a pro $V = G \setminus U$ platí $V = \overline{V}$. Chceme ukázat, že $\forall g \in V,\ gU_0 = L_g(U_0) = \left(L_g(U_0)\right)^\circ \subset V$.
Sporem: $L_g(U_0) \cap U \neq \emptyset \rimpl \exists u_0 \in U_0,\ gu_0 \in U \rimpl g \in Uu_0^{-1} \subset U$, protože $U_iu_0^{-1} \subset U_iu_0 \subset U_{i+1} \subset U$, spor.$\rimpl V=V^\circ \rimpl U = \overline{U},\ e \in U \rimpl U \neq \emptyset \rimpl U = G$
\end{proof}
\subsection{Tok levoinvariantního vektorového pole}
\Vet{
Tok generovaný levoinvariatním $X$ (tj. $X \in \g \cong T_eG$) je jednoparametrická grupa pravých translací, tj.
\begin{align*}
\Phi^t_X(g)=g\e^{tX} \quad \Leftrightarrow \quad \Phi^t_X=R_{\e^{tX}} \,.
\end{align*}
}
\begin{proof}
Pro $X \in \g$ je $X|_e \in T_eG$ a $\e^{tX}$ je integrální křivka procházející $e$. Ukážeme, že integrální křivka tohoto pole procházející $g$ je $g \e^{t X}$:
\begin{align*}
\zuz{ \frac{\dd}{\dd t} }{t=0}g \e^{tX}=L_{g*}\zuz{\frac{\dd}{\dd t}}{t=0} \e^{tX}=L_{g*} \zuz{X}{e} = \zuz{X}{g},
\end{align*}
tj. $\dot{\gamma}(t)=X(\gamma(t))$.
\begin{align*}
\gamma(0) = e &\rimpl \gamma(t) = \e^{tX} \\
\gamma(0) = g &\rimpl \gamma(t) = g\e^{tX} = L_g\left( \e^{tX} \right) = R_{\e^{tX}}(g)
\end{align*}
$\Rightarrow \quad \Phi_X^t = R_{\e^{tX}}$
\end{proof}
\Dsl{
$X \in \g$, $Y \in \Xs (G)$, $Y \circ R^*_g=R^*_g \circ Y$, potom $[X,Y]=0$. (To znamená, že levoinvariantní a pravoinvariantní pole komutují.)
}
\begin{proof}
\begin{align*}
[ X,Y ] f = X(Yf) - Y(Xf) = \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t}\big( (Yf) \circ R_{\e^{tX}} - Yf - Y(f \circ R_{\e^{tX}}) + Yf \big) = \\
= \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t}\big( (R_{\e^{tX}}^* \circ Y)f - (Y \circ R_{\e^{tX}}^*)f \big) = 0
\end{align*}
\end{proof}
\Vet{
$M$ dif. varieta, $X,Y \in \Xs (M)$, $\Phi_t^X$, $\Phi_t^Y$ jejich toky, $p\in M$. Potom
\begin{align*}
([X,Y]f)(p) = \lim_{t \to 0}\frac{f(\sigma (t))-f(p)}{t^2}\,,
\end{align*}
kde $\sigma(t)=(\Phi_{-t}^Y \circ \Phi_{-t}^X \circ \Phi_t^Y \circ \Phi_t^X \ )(p)$, tedy $\sigma(0) = p$.
}
\begin{proof}
Pro jednoduchost zavedeme následující značení:
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[pdf]{liag-1.pdf}
\end{figure}
\begin{align*}
f(4) - f(0) = \big( f(4) - f(3) \big) + \big( f(3) - f(2) \big) + \big( f(2) -f(1) \big) + \big( f(1) - f(0) \big)
\end{align*}
\begin{align*}
f(1) - f(0) &= tXf(0) + \frac{t^2}{2}X(Xf)(0) + O(t^3) \\
f(2) - f(1) &= tYf(1) + \frac{t^2}{2}Y(Yf)(1) + O(t^3) \\
f(3) - f(2) &= -tXf(2) + \frac{t^2}{2}X(Xf)(2) + O(t^3) \\
f(4) - f(3) &= -tYf(3) + \frac{t^2}{2}Y(Yf)(3) + O(t^3)
\end{align*}
\begin{align*}
Xf(0) - Xf(2) &= Xf(0) - Xf(1) + Xf(1) - Xf(2) = -tX(Xf)(0) - tY(Xf)(1) + O(t^2) =\\
&= -tX(Xf)(0) - tY(Xf)(0) +O(t^2) \\
Yf(1) - Yf(3) &= Yf(1) - Yf(2) +Yf(2) - Yf(3) = -tY(Yf)(1) + tX(Yf)(2) + O(t^2) = \\
&= -tY(Yf)(0) + tX(Yf)(0) + O(t^2)
\end{align*}
\begin{align*}
f(4) - f(0) = -t^2X(Xf)(0) - t^2Y(Xf)(0) - t^2Y(Yf)(0) + t^2 X(Yf)(0) +\\
+ \frac{t^2}{2}X(Xf)(0) + \frac{t^2}{2}Y(Yf)(0) + \frac{t^2}{2}X(Xf)(0) + \frac{t^2}{2}Y(Yf)(0) + O(t^3)= \\
= t^2\big( X(Yf) - Y(Xf) \big)(0) + O(t^3)
\end{align*}
\begin{align*}
\Rightarrow \quad \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t^2}\big( f(\sigma(t)) - f(p) \big) = \left[ X(Yf) - Y(Xf) \right](p)
\end{align*}
\end{proof}
\Dsl{
$X,Y \in \g \rimpl [X,Y]f(p) = \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t^2}\Big(f\big( R_{\e^{-tY}}R_{\e^{-tX}}R_{\e^{tY}}R_{\e^{tX}}(p) \big) - f(p) \Big)$
}
\Dsl{
Pro maticové grupy tak platí $\zuz{[X,Y]}{e} = XY-YX,\ \forall X,Y \in \g$.
}
\begin{proof}
$e = \mathbb{1},\ R_{\e^{-tY}}R_{\e^{-tX}}R_{\e^{tY}}R_{\e^{tX}}(\mathbb{1}) = \e^{tX}\e^{tY}\e^{-tX}\e^{-tY}$
\begin{align*}
[X,Y]f(e) = \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t^2}\Big(f\left( \e^{tX}\e^{tY}\e^{-tX}\e^{-tY} \right) - f(\mathbb{1}) \Big) = \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t}\Big(f\left( \e^{\sqrt{t}X}\e^{\sqrt{t}Y}\e^{-\sqrt{t}X}\e^{-\sqrt{t}Y} \right) - f(\mathbb{1}) \Big)
\end{align*}
\begin{align*}
\zuz{\td{}{t}}{t=0}\left( \e^{\sqrt{t}X}\e^{\sqrt{t}Y}\e^{-\sqrt{t}X}\e^{-\sqrt{t}Y} \right) = \zuz{\td{}{t}}{t=0}\left( \left( \mathbb{1} + \sqrt{t}X \right) + \frac{t}{2}X^2 \right)\left( \left( \mathbb{1} + \sqrt{t}Y \right) + \frac{t}{2}Y^2 \right) \times \\
\times \left( \left( \mathbb{1} - \sqrt{t}X \right) + \frac{t}{2}X^2 \right)\left( \left( \mathbb{1} - \sqrt{t}Y \right) + \frac{t}{2}Y^2 \right) = \zuz{\td{}{t}}{t=0}\left( \mathbb{1} + t\left( XY - YX \right) +O(\sqrt{t}^3) \right) = XY - YX
\end{align*}
\begin{align*}
\Rightarrow \quad [X,Y]f(\mathbb{1}) = \underbrace{(XY - YX)}_{\text{maticové násobení}}f(\mathbb{1}) \rimpl \zuz{[X,Y]}{\mathbb{1}} = \zuz{X}{\mathbb{1}}\zuz{Y}{\mathbb{1}} - \zuz{Y}{\mathbb{1}}\zuz{X}{\mathbb{1}}
\end{align*}
\end{proof}
\Pzn{ \label{Veta}
$G$ Lieova grupa, $\g$ Lieova algebra, $\h$ podalgebra $\g$. Potom existuje vnořená podvarieta $H \subset G$, taková, že $H$ je podgrupa $G$ a její Lieova algebra je přirozeně izomorfní $\h$.
}
\Pzn{
Obecně se nejedná o vložení. Uvažujme například $T^2=S^1[\varphi] \times S^1[\vartheta],\ (\varphi_1,\theta_1)(\varphi_2,\theta_2) = (\varphi_1 + \varphi_ 2, \theta_1 +\theta_2),\ e=(0,0)$. Vektorové pole $X=a\partial_\varphi + b \partial_\vartheta \in \mathfrak{t}^2$, $\h =\mathrm{span} \{ X \}$, $\dot{\varphi} = a,\ \dot{\theta} = b \rimpl H = \{at, bt | t \in \R\}$. Protože $[X,X]=0$ je $\h$ jednorozměrná podalgebra. Pro $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$ je křivka na toru uzavřená a jedná se o vložení, pro $\frac{a}{b}\not \in \mathbb{Q}$ ale v~topologii $T^2$ je $\overline{H}=T^2$, tj. nejedná se o vložení.
}
\subsection{Vlastnosti homomrfismů (cvičení)}
\begin{lmma}
Nechť $G, \widetilde{G}$ jsou Lieovy grupy, $\phi: G \to \widetilde{G}$ hladký homomorfismus, tj. $\forall g,h \in G,\ \phi(gh) = \phi(g)\phi(h)$, pak platí:
\begin{align*}
\phi_*\circ L_{g*} = L_{\phi(g)*} \circ \phi_*, \qquad \qquad \phi_*X \in \zuz{\widetilde{\g}}{\phi(g)},\ \forall X \in \g.
\end{align*}
\end{lmma}
\begin{proof}
Z definice platí $\forall g,h \in G,\ \forall X \in \g$:
\begin{align*}
\left.\begin{array}{l}
L_{g*}\zuz{X}{h} = \zuz{X}{gh} \\
\phi(L_g h) = L_{\phi(g)} h \quad\Leftrightarrow\quad \phi \circ L_g = L_{\phi(g)} \circ \phi
\end{array} \right\} \rimpl \phi_* \circ L_{g*} = L_{\phi(g)*} \circ \phi_*
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \phi_*\zuz{X}{gh} = \phi_* L_{g*} \left( \zuz{X}{h} \right) = L_{\phi(g)*} \phi_* \zuz{X}{h}$. Dále nechť $\phi(g) = \widetilde{g}, \phi(h) = \widetilde{h}$, pak:
\begin{align*}
L_{\widetilde{g}*} \zuz{\left( \phi_* X \right)}{\widetilde{h}} &= L_{\phi(g)*} \zuz{\left( \phi_* X \right)}{\phi(h)} = L_{\phi(g)*} \circ \phi_* \left( \zuz{X}{h} \right) = \phi_* \circ L_{g*} \left( \zuz{X}{h} \right) = \\
&= \phi_* \left( \zuz{X}{gh} \right) = \zuz{\left( \phi_* X \right)}{\phi(gh)} = \zuz{\left( \phi_* X \right)}{\widetilde{g}\widetilde{h}}
\end{align*}
$\Rightarrow\quad L_{\widetilde{g}*}\zuz{ \left( \phi_* X \right) }{\widetilde{h}} = \zuz{ \left( \phi_* X \right) }{\widetilde{g}\widetilde{h}} \rimpl \phi_* X \in \zuz{\widetilde{\g}}{\phi(g)},\ \forall X \in \g$.
\end{proof}
\begin{lmma}
$\phi\left( \e^{tX} \right) = \e^{t\phi_* X}$
\end{lmma}
\begin{proof}
Obě strany rovnice jsou díky $\phi(gh) = \phi(g)\phi(h)$ $1$-parametrické podgrupy$\rimpl$stačí ukázat, že tečné vektory v $e$ jsou stejné.
\begin{align*}
\zuz{\td{}{t}}{t=0} \phi\left( \e^{tX} \right) = \phi_* \zuz{\td{}{t}}{t=0} \e^{tX} = \zuz{\left( \phi_* X \right)}{\widetilde{e}} = \zuz{\td{}{t}}{t=0} \e^{t\phi_* X}
\end{align*}
Díky grupovosti tedy platí:
\begin{align*}
\td{}{t}\phi \left( \e^{tX} \right) &= \zuz{\td{}{s}}{s=0} \phi \left( \e^{(t+s)X} \right) = \zuz{\td{}{s}}{s=0} \phi \left( \e^{tX} \right) \phi \left( \e^{sX} \right) = L_{\phi \left( \e^{tX} \right)*} \zuz{\left( \phi_* X \right) }{\widetilde{e} } = \zuz{\left( \phi_*X \right)}{\phi\left( \e^{tX} \right)} \\
\td{}{t} \e^{t\phi_* X} &= \zuz{ \left( \phi_*X \right) }{\e^{t\phi_* X}}
\end{align*}
$\Rightarrow\quad$obě strany lemmatu jsou řešení stejné ODR se stejnou počáteční podmínkou $\zuz{\phi \left( \e^{tX} \right)}{t=0} = \widetilde{e} =\zuz{\e^{t\phi_* X}}{t=0}$.
\end{proof}
\begin{lmma}
$\left[ \phi_* X, \phi_* Y \right] = \phi_* \big( [X,Y] \big)$
\end{lmma}
\begin{proof}
Mějme $f \in C^\infty(\widetilde{G})$:
\begin{align*}
\left( \phi_* Y \right) \zuz{f}{\phi(g)} = Y\zuz{(f\circ \phi)}{g} = \zuz{\td{}{t}}{t=0} f\left( \phi\left( g\e^{tY} \right) \right) = \zuz{\td{}{t}}{t=0} f\left( \phi(g) \phi\left( \e^{tX} \right) \right) = \zuz{ \td{}{t} }{t=0} \zuz{\left( f \circ R_{\phi\left( \e^{tX} \right)} \right) }{\phi(g)}
\end{align*}
\begin{align*}
\left[ \phi_*X, \phi_*Y \right] \zuz{f}{\phi(p)} &= \zuz{ \td{}{s} }{s=0} \zuz{ \td{}{t} }{t=0} \left[ f \left( \phi(p) \phi \left( \e^{sX} \right) \phi \left( \e^{tY} \right) \right) - f \left( \phi(p) \phi \left( \e^{tY} \right) \phi \left( \e^{sX} \right) \right) \right] = \\
&= \zuz{ \td{}{s}\td{}{t} }{s,t = 0} \left[ f \left( \phi \left( p\e^{sX}\e^{tY} \right) \right) - f \left( \phi \left( p\e^{tY}\e^{sX} \right) \right) \right] = \\
&= \zuz{ \td{}{s}\td{}{t} }{s,t = 0} \left[ (f \circ \phi) \left( p\e^{sX}\e^{tY} \right) - (f \circ \phi) \left( p\e^{tY}\e^{sX} \right) \right] = \\
&= [X,Y] \zuz{(f \circ \phi)}{p} = [X,Y]\zuz{(f \circ \phi)}{p} = \big( \phi_* [X,Y] \big) \zuz{f}{\phi(p)}
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \left[ \phi_*X, \phi_* Y \right] = \phi_* \big( [X,Y] \big)$.
\end{proof}
