Součásti dokumentu 02KVAN
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN}
\chapter{Potenciálový rozptyl, tunelový jev}
\ll{potrozptyl}
Rozptylový experiment je obvykle uspořádán tak, že proud částic s~dobře určenými vlastnostmi (hmota, energie, hybnost, \ldots) dopadá na nějaký
objekt (tenká folie) či dokonce se sráží s~jiným proudem \cc{} a měří se charakteristiky rozptýlených \cc. Klasický popis takovýchto experimentů
se provádí pomocí výpočtu drah daných pohybovými rovnicemi (viz např.~Rutherfordův rozptyl v~\cite[kap.~3.4]{sto:tf}). V~této kapitole představíme nejjednodušší popis rozptylu metodami kvantové mechaniky.
První předpoklad je, že dosah vzájemné interakce \cc{} je mnohem menší než jsou charakteristické vzdálenosti částic v~terčovém objektu, takže problém
rozptylu lze redukovat na interakci dvou \cc{} se známou interakcí popsanou potenciálem $V(\vex_1-\vex_2)$ s~konečným dosahem. Dále předpokládáme, že
terč je dost tenký, takže nemusíme uvažovat vícenásobnou interakci. To nám umožňuje převést problém rozptylu na úlohu o~pohybu jedné \cc e
(s~redukovanou hmotou) v~potenciálu $V(\vex)$.
Dopadající \cc i můžeme popsat vlnovým balíkem $\psi_{\mathrm{in}}$ a s~grupovou rychlostí ve směru dopadu. Kvantově mechanický popis rozptylu pak spočívá
především ve výpočtu pravděpodobnosti nalezení \cc e v~oblasti prostoru vymezené prostorovým úhlem $d\Omega$.
Proces rozptylu lze v~\qv é \mi ce popsat časovým vývojem stavu daného počáteční podmínkou $\psi(t_0)=\psi_{\mathrm{in}}$, přičemž v~čase $t_0$ je interakce
částic nulová. Je tedy třeba nalézt řešení časové \sv y rovnice s~počáteční podmínkou $\psi(t_0)=\psi_{\mathrm{in}}$. Nalézt příslušné řešení \sv y rovnice se
však obvykle nepodaří a je třeba se uchýlit k~aproximativním metodám. Ukážeme, že výše popsanou nestacionární úlohu lze převést na úlohu stacionární
a některé důležité charakteristiky rozptylu lze získat ze znalosti zobecněných stacionárních stavů odpovídajících danému potenciálu.
\section{Rozptyl \cc{} na přímce}
\ll{rnap}
Začněme s~nejjednodušším případem rozptylu bezspinových částic na přímce, kde jsou jen dva možné úhly rozptylu: totiž 0 a 180 stupňů. Po redukci úlohy
dvou těles vede tento případ na problém časového vývoje vlnové \fc e v~jednorozměrném potenciálu, pro který navíc budeme předpokládat že má konečný dosah,
tzn.~$V(x)=0$ pro $|x|>a$. Dopadající částici lokalizovanou v~čase $t_0$ v~okolí $x_0<-a$ můžeme dobře posat vlnovým balíkem
\be
\psi_{in}(x)=\psi_{x_0,p_0,\sigma_0}(x)= Ce^{-\frac{(x-x_0)^2}{4\sigma_0^2} + i\frac{p_0}{\hbar}x},
\ee
kde $p_0>0$ a $\sigma_0$ je střední kvadratická odchylka souřadnice, která s~časem roste (viz cvičení \ref{casvmvb}). Čas počátku interakce $t_1$, tj.~čas,
kdy \uv{okraj vlnového balíku} dospěje do oblasti interakce, lze definovat způsobem
\be
x_0 +2\sigma(t_1)+\frac{p_0}{M}(t_1-t_0)=-a.
\ee
Pro $t\in(t_0,t_1)$ se částice pohybuje téměř jako volná, přesněji, časový vývoj vlnového balíku se příliš neliší od
\be
\psi_0(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}F(p)e^{i\frac{p}{\hbar}x-\frac{i}{\hbar}\frac{p^2}{2M}(t-t_0)}\d p, \ll{psi0xt}
\ee
kde
\be
F(p)=(2\pi\hbar)^{-1}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\frac{p}{\hbar}x'} \psi(x',t_0)\dx'= Ce^{-\sigma^2\frac{(p-p_0)^2}{\hbar^2} - i\frac{p}{\hbar}x_0},
\ee
Pro časy srovnatelné a větší než $t_1$, \rf{psi0xt} již nevystihuje ani přibližně skutečný časový vývoj dopadající \cc e, neboť je superposicí \fc í
$e^{i\frac{p}{\hbar}x-i\frac{p^2}{2M\hbar}(t-t_0)}$, což jsou zobecněné vlastní stavy energie pouze pro $V=0$, zatímco pro $t\ge t_1$ se podstatným
způsobem začne projevovat vliv potenciálu na řešení \sv y \rc e.
Chceme-li dostat přesný časový vývoj funkce $\psi_{\mathrm{in}}$ musíme nahradit zobecněné vlastní \fc e $e^{i\frac{p}{\hbar}x}$ hamiltoniánu volné \cc e vlastními stavy
%je dán rozkladem počátečního stavu podle zobecněných
%vlastních stavů energie
$\Phi_{p/\hbar}$ úplného hamiltoniánu, tj. \fc emi splňujícími bezčasovou \sv u rovnici
\be -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2\Phi_\frac{p}{\hbar}}{\dx^2} + V\Phi_\frac{p}{\hbar}=E\Phi_\frac{p}{\hbar},\ E=\frac{p^2}{2M},\ll{bcsr1dim} \ee
%kde $V$ je rozptylující potenciál,
takže časový vývoj \cc e je dán \fc í
\be {\Large \fbox{$\psi(x,t)=\int_{-\infty}^\infty F(p)e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\Phi_{p/\hbar}(x)\d p. $}}\ll{psixt} \ee
%V důsledku předpokládaného tvaru balíku %\rf{dopcce})
Zde předpokládáme, že díky vlastnostem \fc e $F(p)$, nejdůležitější roli hraje oblast energií v okolí $\frac{p_0^2}{2M}$ a k časovému vývoji rozhodujícím způsobem přispějí tedy pouze stacionární stavy s kladnou energií.
\special{src: 67 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Pro účely teorie rozptylu je vhodné zapsat \sv u rovnici \rf{bcsr1dim} v~integrálním (Lippmannově--Schwingerově) tvaru
\be \Phi_k(x)=e^{ikx}+\int_{-\infty}^\infty G_k(x-x')U(x')\Phi_k(x')\dx',
\ll{lipsch1}\ee
kde
\be U(x):=\frac{2M}{\hbar^2}V(x)\ee
a $G_k(x)$ je Greenova \fc e bezčasové \sv y \rc e pro volnou jednorozměrnou \cc i
splňující
\be \left(\frac{\d^2}{\dx^2} + k^2\right) G_k(x)=\delta(x).\ll{rcegf}\ee
\special{src: 78 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
\bc Ukažte, že \fc e %$G_k^{(+)}$
\be G_k^{(+)}(x):=\frac{e^{ik|x|}}{2ik} \ll{grfbsr} \ee
splňuje \rc i \rf{rcegf}
přesněji
\[ (G_k'',h)\equiv(G_k,h'') = -k^2(G_k,h) +h(0)
\] pro $h\in{\mathscr S}(\R)$.
\ec
Pomocí \rf{rcegf} lze snadno ukázat, že $\Phi_k$ splňující \rf{lipsch1} jsou též řešením \rf{bcsr1dim}.
\special{src: 89 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Dosazením explicitního tvaru Greenovy \fc e do \rf{lipsch1} dostaneme
\be \Phi_k(x)=e^{ikx}(1+C(k,x)) +A(k,x)e^{-ikx} ,\ll{phikx}\ee
kde
\be A(k,x)=\int_x^a \frac{e^{ikx'}}{2ik}U(x')\Phi_k(x')\dx', \ll{akx}\ee
\be C(k,x)=\int^x_{-a} \frac{e^{-ikx'}}{2ik}U(x')\Phi_k(x')\dx'. \ll{ckx}\ee
Odtud je ihned vidět, že v oblasti nulového potenciálu je \fc e $\Phi_{\frac{p}{\hbar}}$ superposicí zobecněných vlastních \fc í hybnosti $e^{\pm i \frac{p}{\hbar}x}$.
\be \Phi_k(x)=e^{ikx}+A(k)e^{-ikx} {\rm\ pro\ } x < -a,\ll{phivlevo}\ee
\be \Phi_k(x)=B(k)e^{ikx} {\rm\ pro\ } x > a,\ll{phivpravo}\ee
kde $A(k):=A(k,-a)$, $B(k):=1+C(k,a)$.
%\frac{1}{2ik}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx'}U(x')\Phi_k(x') \dx',
%\ll{koefak}\ee
%\be B(k)=1+\frac{1}{2ik}\int_{-\infty}^{\infty} %e^{-ikx'}U(x')\Phi_k(x')dx'.\ll{koefbk} \ee
%\special{src: 104 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Dosazením \rf{phikx} do \rf{psixt}, zjistíme, že vlnovou \fc i \cc e v libovolném čase je možno zapsat jako součet tří členů
\be \psi(x,t)=\psi_0(x,t)+\psi_A(x,t)+\psi_C(x,t).\ll{psi123}\ee
První člen je dán vzorcem \rf{psi0xt} a
představuje volně se pohybující vlnový balík s rychlostí $\frac{p_0}{M}$, o kterém víme, že absolutní hodnota vlnové funkce exponencielně klesá k nule
všude kromě okolí $x_0+\frac{p_0}{M}t$ nacházející se pro $t\gg t_0$ v oblasti $x>a$.
Mimo to, \fc e
\be \psi_A(x,t):=\int_{-\infty}^\infty F(p)A\left(\frac{p}{\hbar},x\right) e^{-i\frac{p}{\hbar}x-i\frac{p^2}{2M\hbar}(t-t_0)}\ll{psi1xt}\d p\ee
\be \psi_C(x,t):=\int_{-\infty}^\infty F(p)C\left(\frac{p}{\hbar},x\right) e^{i\frac{p}{\hbar}x-i\frac{p^2}{2M\hbar}(t-t_0)}\ll{psi2xt} \d p\ee
jsou nulové v oblastech $x>a$ resp. $x<-a$ a pomocí tzv.~Riemannova--Lebesgueova lemmatu
%{\em Pro $f\in L_1(\R)$, t.j.
$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(\xi)|\d \xi<\infty\ \Rightarrow\ \lim_{\tau\rightarrow\pm\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)e^{-i\tau\xi}\d \xi=0.$$
%}\vskip 2mm \noindent
lze dokázat, že funkce \rf{psi1xt} a \rf{psi2xt}
konvergují k 0 pro $t\to\infty$ dokonce i v oblastech $x>-a$, resp. $x<a$. Transformací
$p=\mp\sqrt{\xi}$ pro $p\lessgtr 0$ přejdou totiž pravé strany \rf{psi1xt} a \rf{psi2xt}
na součet integrálů tvaru $$ \int_{0}^{\infty}g_x(\xi)e^{-i(t-t_0)\frac{\xi}{2M\hbar}}\d\xi,$$
a o odpovídajících \fc ích $g_x(\xi)$ se dá ukázat, že pro $x>-a$, resp. $x<a$ leží v $L^1(\R,\dx)$,
tj. splňují předpoklad Riemannova--Lebesgueova lemattu.
Znamená to, že pro $t\to\infty$ je \fc e $\psi$ nenulová pouze pro $|x|>a $.
%\special{src: 121 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Veličiny, které nás z hlediska rozptylu zajímají především a které jsou experimentálně měřitelné, jsou tzv. koeficienty odrazu a průniku potenciálem
\be R:=\lim_{t \to \infty}\frac{\int^{-a}_{-\infty}|\psi(x,t)|^2dx} {\norm{\psi(t)}^2},\ \
P:=\lim_{t \to \infty}\frac{\int_a^\infty|\psi(x,t)|^2dx} {\norm{\psi(t)}^2},
\ll{koefop} \ee
udávající pravděpodobnosti, že za dost dlouhou dobu bude částice nalezena v oblasti \uv{před potenciálem} (odrazí se) či \uv{za potenciálem} (projde).
Vzhledem k tomu, že pro $t\to\infty$ amplituda vlnové \fc e v oblasti potenciálu vymizí platí
\be P+R=1.\ee
Ukážeme, že k výpočtu těchto koeficientů nebude nakonec zapotřebí řešit pohybovou \sv u \rc i, nýbrž pouze její bezčasovou variantu určující stacionární stavy.
\special{src: 132 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Pro $t\gg t_0$ je funkce $\psi$ superposicí dvou vlnových balíků pohybujících se přibližně rychlostmi $\pm\frac{p_0}{M}$. Z \rf{psi1xt} a \rf{psi2xt}
\be \psi(x,t)=\psi_1(x,t)=\int_{-\infty}^\infty F(p)e^{\frac{i}{\hbar}[-px-\frac{p^2}{2M}(t-t_0)]}A\left(\frac{p}{\hbar}\right) \d p\qquad \forall x<-a ,\ll{psixtvlevo}\ee
\be \psi(x,t)=\psi_0(x,t)+\psi_2(x,t)=\int_{-\infty}^\infty F(p)e^{\frac{i}{\hbar}[px-\frac{p^2}{2M}t(t-t_0)]}B\left(\frac{p}{\hbar}\right)\d p\qquad \forall x>a .\ll{psixtvpravo}\ee
\special{src: 138 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Všimněme si, že koeficienty $A(k),\ B(k)$ dané původně integrálními formulemi můžeme též určit řešením bezčasové \sv y \rc e \rf{bcsr1dim} s okrajovými podmínkami \rf{phivlevo} a \rf{phivpravo}. Nalezneme-li tedy řešení \rc e \rf{bcsr1dim} splňující tyto okrajové podmínky, pak koeficienty odrazu a průchodu potenciálem jsou dány vzorci \rf{koefop}, \rf{psixtvpravo} a \rf{psixtvlevo}.
\special{src: 142 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
Pro dopadající vlnové balíky s malou disperzí, tj. takové, že \fc e $F(p)$ je soustředěna v malém okolí $p_0$, kde \fc e $A(\frac{p}{\hbar}),B(\frac{p}{\hbar})$ lze nahradit jejich hodnotou v $\frac{p_0}{\hbar}$, dostaneme zvláště jednoduché vyjádření koeficientů odrazu a průniku.
\be P=\abs{B\left(\frac{p_0}{\hbar}\right)}^2\,\lim_{t \to \infty}\frac{\int_a^\infty|\psi_0(x,t)|^2\dx} {\norm{\psi(t)}^2}=
\abs{B\left(\frac{p_0}{\hbar}\right)}^2\,\lim_{t \to \infty}\frac{\int_{-\infty}^\infty|\psi_0(x,t)|^2\dx} {\norm{\psi(t_0)}^2}
=\abs{B\left(\frac{p_0}{\hbar}\right)}^2,\ll{pkoef}\ee
kde jsme použili nezávislost normy stavu na čase a vymizení \fc e $\psi_0$ pro $t\to\infty,\ x<a$. Podobně
\be R=\abs{A\left(\frac{p_0}{\hbar}\right)}^2,\ll{rkoef}\ee
kde $p_0$ je hybnost dopadající částice.
\section{Tunelový jev pro pravoúhlou bariéru}
Jako ilustraci použití předchozího postupu předvedeme výpočet koeficientů odrazu a průchodu potenciálem
\be V(x)=0,\ \ {\rm pro}\ |x|>a,\ V(x)=V_0,\ \ {\rm pro}\ |x|<a. \ll{prabar}\ee
Jako první krok je třeba řešit bezčasovou \sv u \rc i \rf{bcsr1dim} s okrajovými podmínkami.
Z tvaru potenciálu a podmínek \rf{phivlevo}, \rf{phivpravo}
ihned plyne, že
\[ \Phi_k(x) =e^{ikx} +A(k)e^{-ikx} \ {\rm pro}\ x<-a, \]
\be \Phi_k(x) = C(k)e^{ik'x} +D(k)e^{-ik'x} \ {\rm pro}\ -a<x<a, \ee
\[ \Phi_k(x) = B(k)e^{ikx} \ {\rm pro}\ a<x, \]
kde
\be k^2=\frac{2ME}{\hbar^2},\ k'^2=\frac{2M(E-V_0)}{\hbar^2}\ee
a $E$ je energie nalétávající \cc e $E>0,\ E>V_0$.
Z podmínek spojitosti vlnové \fc e a její derivace v bodech $\pm a$ dostaneme soustavu čtyř lineárních nehomogenních rovnic pro koeficienty $A,B,C,D$. Vyloučením $C$ a $D$ dostaneme
\be B(k)=e^{2ik'a}\left[e^{-2ika}+\frac{k'-k}{k'+k}A(k)\right],\ee
\be A(k)=e^{-2ika}V_0 [2E-V_0+2i\sqrt{E(E-V_0)}\cot(2k'a)]^{-1}.\ee
Dosazením do vzorců \rf{rkoef}, \rf{pkoef} pak dostaneme koeficienty odrazu a průchodu pravo\'uhlou bariérou \rf{prabar} pro \cc i s energií $E>0,\ E>V_0$
\be R=\left[1+\frac{4E(E-V_0)}{V_0^2\sin^2(2k'a)}\right]^{-1}, \ll{rprabar}\ee
\be P=\left[1+\frac{V_0^2\sin^2(2k'a)}{4E(E-V_0)}\right]^{-1}. \ll{pprabar}\ee
Tyto vzorce poskytují zajímavé srovnání s chováním klasické \cc e v témže potenciálu. Ta, pro $E>V_0$, bariérou vždy projde zatímco pro $E<V_0$ se vždy odrazí. Kvantová \cc e naopak projde s pravděpodobností 1 pouze pro $2k'a=\pi n$, neboli pro
tzv. {\em resonanční energie}
\be
\label{res:en}
E_n=V_0+\frac{\hbar^2\pi^2}{8Ma^2}n^2,\ n\in \Z\smallsetminus\{0\}.
\ee
(Porovnejte tyto energie s vlastními hodnotami energie v \uv{nekonečné potenciálové jámě} ze cvičení \ref{nekpoja}.) Mimo to se lze snadno přesvědčit, že uvedený postup nezávisí na znaménku $V_0$, takže dochází k odrazu dokonce i na potenciálové jámě. Na druhé straně pro $E\gg V_0$ $P\approx 1$, takže tyto \qv é jevy přecházejí v klasické chování.
Pro energie \cc e které jsou menší než \uv{výška bariéry} $0<E<V_0$ je $k'^2<0$ a ve formulích \rf{rprabar} a \rf{pprabar} je třeba zaměnit $\sin (2k'a)$ na $i\sinh|2k'a|$, takže např.
\be P=\left[1-\frac{V_0^2\sinh^2|2k'a|}{4E(E-V_0)}\right]^{-1}, \ll {pprabar2}\ee
což pro $|2k'a|\gg 1$ (mohutné potenciálové bariéry) přejde na
\be P\approx\frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}e^{-\sqrt{2M(V_0-E)}\frac{4a}{\hbar}}, \ee
takže pravděpodobnost průchodu bariérou klesá exponencielně s její šířkou, nicméně je nenulová. Tento experimentálně pozorovaný fakt, kterému se říká tunelový jev, je důsledkem vlnových vlastností kvantových částic. Závislost pravděpodobnosti průchodu na podílu $E/V_0$ je znázorněna na obrázku~\ref{fig:tunel}.
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{tunel_prob.pdf}
\end{center}
\caption{Pravděpodobnost průchodu bariérou v závislosti na poměru energie dopadající částice $E$ k výšce bariery $V_0$. Svislými čarami jsou naznačeny hodnoty rezonančních energií (\ref{res:en}).}
\label{fig:tunel}
\end{figure}
\bc
Spočítejte koeficienty odrazu a průchodu pro $E=V_0>0$ a porovnejte je s \rf{pprabar} a \rf{pprabar2}.
\ec
\section{Prostorový rozptyl}
Rozptyl \cc{} v 3--rozměrném prostoru se řeší analogicky, tedy analýzou časového vývoje počátečního stavu
\be \psi_{in}(\vex)=\psi(\vex,t_0)=\int_{\R^3}F(\vec p)e^{i\frac{\vec p\cdot\vex}{\hbar}}\d^3p, \ee
representující vlnový balík soustředěný v oblasti, ve které je potenciál nulový a pohybující se grupovou rychlostí $\vec p_0/M$.
Časový vývoj vlnové \fc e opět popíšeme pomocí stacionárních stavů,
$\Phi_{\vec p/\hbar}$, přesněji
řešeními Lippmannovy--Schwingerovy \rc e v $\R^3$ %tvaru
\be \Phi_{\vec k}(\vex)=e^{i{\vec k}\cdot\vex}+\int_{\R^3}G_{\vec k}(\vex-\vex')U(\vex')\Phi_{\vec k}(\vex')\d^3x',
\ll{lipsch}\ee
kde nyní
\be G_{\vec k}(\vex)=-\frac{e^{i\norm{\vec k}\norm{\vex}}}{4\pi\norm{\vex}}\ll{gfce3}\ee
je Greenova \fc e 3--rozměrné bezčasové \sv y \rc e pro volnou částici
\be -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta =E\Phi,\ E=\frac{p^2}{2M},\ll{bcsr} \ee
splňující
\be (\Delta + \vec k^2)G_{\vec k}(\vex)=\delta(\vex),
\ee
$G_k$ je tedy fundamentální řešení.
Dosadíme-li \rf{gfce3} do \rf{lipsch}, kde $U$ odpovídá potenciálu s konečným dosahem, tj. $U(\vex)=\frac{2M}{\hbar^2}V(\vex)=0$ pro $\norm{\vex}>R$,
%lze ukázat, (viz \cite{for:ukt} kap 4.2.1) že
pak pro $\norm{\vex}\gg R$
\be \Phi_{\vec k}(\vex)=e^{i{\vec k}\vex}+f(\vec \xi,\vec k)
\frac{e^{i\norm{\vec k}\norm{\vex}}}{\norm{\vex}}, \ee
kde $\vec \xi=\frac{\vex}{\norm{\vex|}}\norm{\vec k}$ a
\be f(\vec \xi,\vec k):=\frac{-1}{4\pi}\int_{\R^3}e^{-i\vec \xi\vex '} U(\vex ')\Phi_{\vec k}(\vex ') \d^3x'.\ee
Z Lippmannovy--Schwingerovy \rc e plyne, že časový vývoj vlnové \fc e
\be \psi(\vex,t)=\int_{\R^3}F(\vec p)e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}
\Phi_{\vec p/\hbar}(\vex)\d^3p\ll{psixt3} \ee
lze zapsat jako součet (analogický \rf{psi123})
\be \psi(\vex,t)=\psi_0(\vex,t)+\psi_R(\vex,t),\ee
kde první člen představuje volně se pohybující vlnový balík
zatímco druhý představuje rozptýlenou vlnu, která pro $t\gg t_0$
exponencielně klesá k nule všude kromě tenké kulové slupky rozbíhající se z centra konstantní rychlostí.
Fyzikálně důležitá veličina pro prostorový rozptyl je {\bf diferenciální \'učinný průřez} $\frac{\d\sigma}{\d\Omega}(\theta,\varphi)$ definovaný jako počet částic, které se rozptýlí za jednotku času do jednotkového prostorového \'uhlu okolo $(\theta,\varphi)$ při jednotkové intenzitě dopadajících částic. V kvantové mechanice je tato veličina dána \pst í nalezení částice v oblasti prostoru vymezené prostorovým úhlem $\d\Omega$. Z Bornova interpretačního postulátu pak plyne, že
\be {\d\sigma}={\d\Omega}\,\lim_{t\to\infty}\int_0^\infty |\psi(r,\theta,\varphi,t)|^2r^2\dr \cdot \norm{\psi (t)}^{-2}\ee
Podobnými \'uvahami jako v podkapitole \ref{rnap} lze ukázat, že
\be {\Large \fbox{$ \frac{\d\sigma}{\d\Omega}(\theta,\varphi)=\abs{f(\frac{\vec p_{\mathrm{out}}}{\hbar},\frac{\vec p_{\mathrm{in}}}{\hbar})}^2 $}}\ ,\ee
kde $(\theta,\varphi)$ jsou sférické souřadnice vektoru $\vec p_{\mathrm{out}}$ v soustavě kde vektor $\vec p_{\mathrm{in}}$ směřuje ve směru $z$. (Analogií tohoto vzorce v jednorozměrném případě jsou \rf{rkoef}, \rf{pkoef}).
