Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GR}
% ****************************************************************************************************************************
% KAPITOLA: Reprezentace
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Reprezentace grup}
\section{Základní definice}
\begin{define}
Buďte $G$ grupa a $V$ vektorový prostor nad tělesem $T$. Potom \textbf{lineární reprezentací} grupy $G$ na prostoru $V$ nazýváme každý homomorfismus $T: G \rightarrow GL(V)$, který každému prvku $g \in G$ přiřazuje lineární zobrazení $T(g)$ takové, že $(\all g,h \in G)(T(g)T(h)=T(gh))$.
\begin{itemize}
\item Prostor $V$ nazýváme \textbf{reprezentativní prostor} a jeho dimenzi \textbf{rozměr} reprezentace.
\item Je-li navíc $T$ isomorfismus, nazýváme takovou reprezentaci \textbf{věrná}.
\item Je-li $\dim V<\infty$ (existuje tedy konečná báze $V$), mluvíme o \textbf{maticové} reprezentaci.
\end{itemize}
\end{define}
\begin{remark}
\begin{itemize}
\item $T$ je vždy věrnou reprezentací faktor grupy $G/\Ker T$.
\item Prostá grupa má jen věrné reprezentace (kromě triviální).
\end{itemize}
\end{remark}
\begin{define}
Je-li $\mathcal{H}$ Hilbertův prostor a $T$ homomorfismus grupy $G$ do množiny unitárních operátorů na $\mathcal{H}$, nazýváme $T$ \textbf{unitární} reprezentací $G$ na $\mathcal{H}$.
\end{define}
\begin{define}
Dvě reprezentace $T: G \rightarrow V$ a $T': G \rightarrow V'$ nazýváme \textbf{ekvivalentní}, pokud existuje lineární isometrie $A: V \rightarrow V'$ taková, že $\all g \in G$ platí $T'(g)=AT(g)A^{-1}$ a $\| A\varphi \| = \| \varphi \|$, $\all \varphi \in V$. Je-li navíc $A$ unitární, říkáme, že reprezentace jsou \textbf{unitárně ekvivalentní}.
\end{define}
\begin{lemma}[Hilbert] Každá maticová reprezentace grupy je ekvivalentní unitární reprezentaci.
\begin{proof}
Konstrukcí: Buď $A_i$ matice reprezentující prvek $g_i \in G$. Sestrojíme nejprve hermitovskou matici $H=\sum_{i=1}^r A_i A_i^\dagger$. Hermitovské matice můžeme diagonalizovat pomocí unitární matice $U$. Nechť tato diagonalizované matice je:
\begin{align}
D = U^{-1}HU = \sum_i U^{-1}A_i A_i^\dagger U = \sum_i U^{-1}A_i UU^{-1} A_i^\dagger U = \sum_i A_i' A_i'^\dagger, \nonumber
\end{align}
kde jsme označili $A_i' = U^{-1}A_i U$. Rozpisem poslední sumy
\[\sum_i A_i' A_i'^\dagger=\sum_i \sum_j (A_i')_{kj} (A_i'^\dagger)_{jk}=\sum_i \sum_j |(A_i')_{kj}|^2\]
zjišťujeme, že diagonální členy $D$ jsou kladné, protože jednou z matic $A_i'$ je identita (člen $j=k$).
Proto můžeme vytvořit matice $D^{\frac{1}{2}}$ a $D^{-\frac{1}{2}}$. Potom z definice zřejmě platí:
\begin{align}
I = D^{-\frac{1}{2}} \sum_i A_i' A_i'^\dagger D^{-\frac{1}{2}}. \nonumber
\end{align}
Nyní již definujeme matice finální reprezentace $A_i''= D^{-\frac{1}{2}} A_i' D^{\frac{1}{2}}$, o kterých ukážeme, že jsou unitární:
\begin{align}
A_j''A_j''^\dagger &= D^{-\frac{1}{2}} A_j' D^{\frac{1}{2}} I D^{\frac{1}{2}} A_j'^\dagger D^{-\frac{1}{2}} = \nonumber \\
&= D^{-\frac{1}{2}} A_j' D^{\frac{1}{2}} D^{-\frac{1}{2}} \sum_i A_i' A_i'^\dagger D^{-\frac{1}{2}} D^{\frac{1}{2}} A_j'^
\dagger D^{-\frac{1}{2}} = \nonumber \\
&= D^{-\frac{1}{2}} \sum_i A_j'A_i'(A_j' A_i')^\dagger D^{-\frac{1}{2}} = \nonumber \\
&= D^{-\frac{1}{2}} \sum_k A_k'A_k'^\dagger D^{-\frac{1}{2}} = I. \nonumber
\end{align}
Tím je důkaz dokončen.
\end{proof}
\end{lemma}
%---------------------------------------------------------------------------------
\section{Reducibilní a ireducibilní reprezentace}
\begin{define}
$V_1 \subset V$ se nazývá \textbf{invariantní} podprostor příslušný operátoru $A$, když $(\all \varphi \in V_1)(A\varphi \in V_1)$, tedy $A(V_1) \subset V_1$. Pokud se nejedná o triviální invariantní podprostor, nazývá se takový podprostor \textbf{vlastní}.
\end{define}
\begin{define}
Říkáme, že $T$ je \textbf{ireducibilní} reprezentace grupy $G$ na prostoru $V$, pokud neexistuje vlastní invariantní podprostor $V$ příslušný všem operátorům $T(g)$ pro všechna $g \in G$. Tedy $(\all g \in G)(T(g)(V_1) \subset V_1) \Rightarrow (V_1 = 0 \vee V_1 = V)$. V opačném případě se reprezentace nazývá \textbf{reducibilní}.
\end{define}
\begin{remark}
Reprezentace je ireducibilní, pokud neexistuje taková podobnostní transformace, která by převedla současně všechny $T(g)$ na blokově diagonální tvar.
\end{remark}
\begin{define}
Reducibilní reprezentace, kterou je možné napsat jako direktní součet ireducibilních reprezentací se nazývá \textbf{úplně reducibilní}.
\end{define}
\begin{theorem}
Buď $T$ unitární reprezentace grupy $G$ na Hilbertově prostoru $\mathcal{H}$. Potom:
\begin{enumerate}
\item Ortogonální doplněk k $\mathcal{H}_1$ (označme $\mathcal{H}_2$) je invariantní podprostor $\Leftrightarrow$ $\mathcal{H}_1$ je invariantní podprostor.
\item $\mathcal{H}_1 \subset \mathcal{H}$ je invariantní podprostor $\Leftrightarrow$ projektor $E_1$ na $\mathcal{H}_1$ splňuje podmínku: $(T(g)E_1=E_1 T(g))(\all g \in G)$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Nechť $\psi_1 \in \mathcal{H}_1$ a $\psi_2 \in \mathcal{H}_2$, pak z předpokladu máme $T(g) | \psi_1 \rangle \in \mathcal{H}_1 = \mathcal{H}_2^\perp$ a platí
\begin{align}
\langle \psi_2 | T(g) \psi_1 \rangle = 0= \langle T^\dagger(g) \psi_2 | \psi_1 \rangle.
\end{align}
\item Můžeme psát $\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2$, tedy $\all | \psi\rangle \in \mathcal{H}$ platí $|\psi\rangle = |\psi_1\rangle + |\psi_2\rangle$, kde $|\psi_1\rangle \in \mathcal{H}_1$ a $|\psi_2\rangle \in \mathcal{H}_2$.
\begin{enumerate}
\item[$\ra$)] Předpokládáme, že $\mathcal{H}_1$, a z předchozího bodu též $\mathcal{H}_2$, jsou invariantní.
\begin{align}
E_1T(g)|\psi\rangle = E_1T(g)|\psi_1\rangle + E_1T(g)|\psi_2\rangle = E_1T(g)E_1|\psi\rangle = T(g)E_1|\psi\rangle.
\end{align}
\item[$\la$)] Z rovnosti $E_1T(g)|\psi\rangle = T(g)E_1|\psi\rangle$ plyne že $T(g)\mathcal{H}_1 \subset \mathcal{H}_1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{dusl}[Maschke]
Reducibilní unitární reprezentace je úplně reducibilní.
\end{dusl}
\begin{theorem}
Každá unitární ireducibilní reprezentace konečné grupy má konečnou dimenzi.
\begin{proof}
Bez důkazu.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Schurova lemmata}
\begin{theorem}[1. Schurovo lemma] Každá matice, která komutuje se všemi maticemi ireducibilní reprezentace je násobkem jednotkové matice.
\begin{proof}
Víme, že se můžeme omezit je na unitární matice. Mějme tedy matici $M$, pro kterou platí $MA_i = A_i M$ pro $\all i$. Sdružením obou stran dostaneme $M^\dagger A_i^\dagger = A_i^\dagger M^\dagger$ a vynásobením maticí $A_i$ zprava i zleva dostaneme $A_i M^\dagger = M^\dagger A_i$, tedy i $M^\dagger$ komutuje se všemi maticemi reprezentace. Nyní můžeme vytvořit hermitovské matice $H_1 = M + M^\dagger$ a $H_2=i(M - M^\dagger)$ a vyjádřit $M = H_1 -iH_2$. Potom $M$ je konstantní právě tehdy, když tyto hermitovské matice jsou konstantní, a proto se můžeme omezit na hermitovské komutující matice.
Hermitovskou matici můžeme diagonalizovat, tedy $D=U^{-1}MU$ a definujeme $A_i'=U^{-1}A_iU$. Potom platí $A_i'D=DA_i'$ díky invarianci maticových rovnic vůči unitárním transformacím. Nyní musíme ukázat, že $D$ je nejen diagonální, ale přímo násobkem jednotkové matice. Napíšeme po složkách $(A_i')_{\mu \nu}d_{\nu \nu}=d_{\mu \mu}(A_i')_{\mu \nu}$, tedy $(A_i')_{\mu \nu}(d_{\nu \nu}-d_{\mu \mu})=0$. Pokud by pro nějaké $\mu \nu$ bylo $(d_{\nu \nu}-d_{\mu \mu}) \neq 0$, muselo by být $(A_i')_{\mu \nu}=0$ pro $\all i$, což je spor s ireducibilitou reprezentace. Odtud dostáváme $d_{\nu \nu}=d_{\mu \mu}$ pro $\all \mu \nu$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[2. Schurovo lemma]
\label{v:komutace}
Máme-li dvě ireducibilní reprezentace $T_1$ a $T_2$ rozměru $l_1$ a $l_2$ jedné grupy $G$ a dále existuje obdélníková matice $M$, pro kterou platí: $MT_1(g) = T_2(g)M$ pro $\all g \in G$, pak
\begin{enumerate}
\item $(l_1 \neq l_2) \ra M = 0$ (nulová matice)
\item a pro $l_1 = l_2$ je buď $M=0$, nebo $\det M\neq 0$, a tedy existuje $M^{-1}$, z čehož dostáváme $MT_1(g)M^{-1} = T_2(g)$ pro $\all g \in G$, a tedy obě reprezentace jsou ekvivalentní.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Opět uvažujeme pouze unitární matice a bez újmy na obecnosti nechť $l_1 \le l_2$. Nyní sdružením rovnice pro $M$ dostaneme: $T_1(g)^\dagger M^\dagger = M^\dagger T_2(g)^\dagger$, neboli $T_1(g^{-1}) M^\dagger = M^\dagger T_2(g^{-1)}$. Nyní obě strany vynásobíme $M$ a využijeme toho, že rovnost platí pro všechny $g_i^{-1}$ stejně jako pro všechna $g_i$. Dostaneme (použitím základní rovnosti)
\begin{align}
T_2(g_i^{-1})MM^\dagger = MM^\dagger T_2(g_i^{-1}). \nonumber
\end{align}
Tedy matice $MM^\dagger$ komutuje se všemi maticemi reprezentace a podle předchozího lemmatu musí platit $MM^\dagger = cI$.
Uvažujme nejprve $l_1=l_2$, tedy $M$ je čtvercová matice. Pomocí pravidel počítání determinantů máme $(\det M)^2=c^{l_1}$. Nyní pokud $c \neq 0$, musí mít $M$ nenulový determinant. V případě, že $c=0$ máme $MM^\dagger = 0$. Po složkách tedy $\sum_\alpha M_{\mu \alpha}M^*_{\nu \alpha} = 0$ pro $\all \mu \nu$. Speciálně volbou $\mu = \nu$ dostáváme $\sum_\alpha |M_{\mu \alpha}|^2=0$, a tedy $M_{\mu \alpha}=0$ pro $\all \mu \alpha$.
V případě, že $l_1 < l_2$, tedy $M$ má $l_1$ sloupců a $l_2$ řádků, doplní $M$ přidáním $l_2-l_1$ sloupců na čtvercovou matici $N$. Platí, že $NN^\dagger=MM^\dagger$. Jelikož $N$ má zřejmě nulový determinant, dostáváme případ, kdy $M=0$.
\end{proof}
\end{theorem}
\section{Velká věta ortogonality}
\begin{theorem}[velká věta ortogonality] Uvažujme všechny neekvivalentní ireducibilní unitární reprezentace grupy $G$. Platí:
\begin{align}
\sum_{g \in G} T_i(g)_{\mu \nu}^* T_j(g)_{\alpha \beta} = \frac{|G|}{l_i}\delta_{ij} \delta_{\mu \alpha} \delta_{\nu \beta},
\end{align}
kde $l_i$ je rozměr reprezentace $T_i$.
\begin{proof}
Nejprve uvažujeme dvě neekvivalentní reprezentace $T_1$ a $T_2$. Zkonstruujeme matici:
\begin{align}
M = \sum_{g} T_2(g)XT_1(g^{-1}), \nonumber
\end{align}
kde $X$ je zatím zcela libovolní obdélníková matice, která odpovídá rozměrem. Nyní použijeme větu \ref{v:komutace}, a proto ukážeme potřebnou rovnost:
\begin{align}
T_2(f)M &= \sum_g T_2(f)T_2(g)XT_1(g^{-1}) = \nonumber \\
&= \sum_g T_2(f)T_2(g)XT_1(g^{-1})T_1(f^{-1})T_1(f) = \nonumber \\
&= \sum_g T_2(fg)XT_1(g^{-1}f^{-1})T_1(f) = \nonumber \\
&= \sum_g T_2(fg)XT_1((fg)^{-1})T_1(f) = \nonumber \\
&= \sum_{h} T_2(h)XT_1(h^{-1})T_1(f) = MT_1(f). \nonumber \\
\end{align}
Musí tedy platit, že $M=0$, tedy
\begin{align}
M_{\alpha \mu} = 0 = \sum_g \sum_{\kappa \lambda} T_2(g)_{\alpha \kappa} X_{\kappa \lambda} T_1(g^{-1})_{\lambda \mu}.
\end{align}
Nyní si zvolíme konkrétní matici $X$ a to tak, že $X_{\beta \nu}=1$ (jeden prvek je jedna) a ostatní prvky jsou nulové. Pak předchozí rovnost dává:
\begin{align}
0 = \sum_g T_2(g)_{\alpha \beta} T_1(g^{-1})_{\nu \mu} = \sum_g T_2(g)_{\alpha \beta} T_1(g)^*_{\mu \nu},
\end{align}
kde poslední úprava je z unitarity matice. To nám tedy dává člen $\delta_{ij}$ ve výsledku (pro různé reprezentace je skalární součin vždy 0).
Nyní mějme jednu reprezentaci a znovu zkonstruujeme matici $M$ jako:
\begin{align}
M = \sum_{g} T_1(g)XT_1(g^{-1}), \nonumber
\end{align}
a ze Schurova lemmatu máme $M = cI$. Vezměme prvek $\mu \mu'$, což nám dá rovnici:
\begin{align}
\sum_g \sum_{\kappa \lambda} T_1(g)_{\mu \kappa} X_{\kappa \lambda} T_1(g^{-1})_{\lambda \mu'}=c\delta_{\mu \mu'}. \nonumber
\end{align}
Opět zvolíme $X$ jen s jedním nenulovým prvkem $X_{\nu \nu'}=1$. Potom:
\begin{align}
\sum_g T_1(g)_{\mu \nu} T_1(g^{-1})_{\nu' \mu'}=c_{\nu \nu'}\delta_{\mu \mu'}, \nonumber
\end{align}
kde indexy u $c$ značí, že jeho hodnota závisí na volbě matice $X$. Nyní zvolíme $\mu = \mu'$ a sečteme přes $\mu$.
\begin{align}
\sum_g T_1(gg^{-1})_{\nu' \nu}&=l_1 c_{\nu \nu'}, \nonumber \\
\sum_g T_1(gg^{-1})_{\nu' \nu} & = \sum_g T_1(e)_{\nu' \nu} = |G| \delta_{\nu \nu'}.\nonumber
\end{align}
Odtud máme $c_{\nu \nu'} = \frac{|G|\delta_{\nu \nu'}}{l_1}$. Zpětným dosazením za $c$ dostaneme:
\begin{align}
\sum_g T_1(g)_{\mu \nu} T_1(g^{-1})_{\nu' \mu'}=\frac{|G|}{l_1}\delta_{\nu \nu'}\delta_{\mu \mu'} = \sum_g T_1(g)_{\mu \nu} T_1(g)^*_{\mu' \nu'}, \nonumber
\end{align}
což dokazuje tvrzení věty.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Velká věta ortogonality tedy říká, že pokud vytvoříme vektory čísel o počtu prvků $|G|$ tak, že si zvolíme jednu reprezentaci a v ní $\mu$-tý řádek a $\nu$-tý sloupec a prvky vektoru jsou prvky matice reprezentace pro jednotlivé prvky grupy $G$, pak jsou tyto vektory vzájemně kolmé pro různé reprezentace nebo různé pozice v matici. (Musíme mít stanovené pořadí prvků v $G$.) Označme $|G|=n$. Vektory s $n$ prvky tvoří $n$-dimenzionální vektorový prostor. V takovém prostoru tedy může být maximálně $n$ vzájemně kolmých vektorů, a proto platí, že $\sum_i l_i^2 \le n$, kde suma jde přes všechny neekvivalentní ireducibilní reprezentace. (Později se zde ukáže, že vždy platí rovnost.)
\end{remark}
\section{Tabulky charakterů}
\begin{remark}
Pro maticové reprezentace zavedeme užitečnou veličinu nezávisející na bázi -- tzv. charakter reprezentace.
\end{remark}
\begin{define}
Označme stopu $\Tr{(T(g))}=\chi(g)$. Uspořádanou $n$-tici stop matic $T(g)$ nazveme \textbf{charakter} reprezentace.
\end{define}
\begin{remark}
Charaktery ekvivalentních reprezentací jsou zřejmě stejné.
\end{remark}
\begin{corollary}
Velká věta ortogonality pro charaktery prvků grupy:
\begin{align}
\sum_{g \in G} \chi^{(\mu)}(g)^*\chi^{(\nu)}(g)=n\delta_{\nu \mu}.
\end{align}
\end{corollary}
\begin{remark}
Charaktery všech konjugovaných prvků grupy jsou stejné.
\end{remark}
\begin{corollary}
Velká věta ortogonality pro charaktery konjugovaných prvků grupy:
\begin{align}
\sum_{i} n_i \chi^{(\mu)}(C_i)^*\chi^{(\nu)}(C_i)=n\delta_{\nu \mu},
\end{align}
kde $G=C_1\cup\cdots\cup C_k$ a $n_i$ je počet prvků v konjugované třídě. Prvky
\begin{align}
\chi'^{(\mu)}(C_i)=\sqrt{\frac{n_i}{n}}\chi^{(\mu)}(C_i)
\end{align}
tvoří ortonormální systém, který je větší nebo roven počtu neekvivalentních reprezentací.
\end{corollary}
\begin{theorem}
Mějme unitární reducibilní reprezentaci $T(g)$ rozepsanou pomocí ireducibilních reprezentací jako $T(g)=\bigoplus_\nu a_\nu T^{(\nu)}(g)$. Označme $\chi(C_i)=\sum_{\nu}a_\nu\chi^{(\nu)}(C_i)$. Potom pro koeficienty rozkladu $a_\mu$ platí
\begin{align}
a_\mu=\frac{1}{n}\sum_{i} n_i \chi^{(\mu)}(C_i)^*\chi(C_i).
\end{align}
\begin{proof}
Rovnost $\chi(C_i)=\sum_{\nu}a_\nu\chi^{(\nu)}(C_i)$ vynásobme $n_i\chi^{(\mu)}(C_i)$ a vysčítáme přes $i$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{dusl}
Z definice je $T(g)$ ireducibilní transformace, právě když $a_\mu=1$. Poté platí
\begin{align}
\sum_{i} \chi^{(\mu)}(g_i)^*\chi(g_i)=n.
\end{align}
Tomuto vztahu se říká Frobeniova podmínka.
\end{dusl}
