Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GR}
% ****************************************************************************************************************************
% KAPITOLA: Grupy
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Grupy}
\section{Algebraický koncept}
\begin{define}
\index{operace n-ární}
\label{def:nArniOperace}
Mějme libovolnou množinu $M$. Potom \textbf{n-ární operací} na $M$ nazveme zobrazení $f: M \times M \times \ldots \times M \rightarrow M$.
\end{define}
\begin{define}
\index{součin vnitřní}
\label{def:vnitrniSoucin}
Operaci $f: M \times M \rightarrow M$ (binární operace) budeme nazývat \textbf{vnitřní součin} a místo $f(x,y)=z$ ji budeme značit $xy=z$.
\end{define}
\begin{remark}
Neplést vnitřní součin s pojmem skalární součin (angl.: scalar product = inner product). Příkladem binární operace na vektorovém prostoru je vektorový součin vektorů.
\end{remark}
\begin{define}
\index{grupid}
\label{def:grupid}
Dvojici $\{M,\cdot\}$ nazýváme \textbf{grupoid}. Dále při splnění dodatečných podmínek zavádíme:
\begin{enumerate}
\item ($\forall a,b,c \in M$)($(ab)c=a(bc)$): \textbf{pologrupa} (asociativní grupoid),
\item ($\forall a,b \in M$)($ab=ba$): \textbf{komutativní grupoid},
\item počet prvků $M$ je konečný: \textbf{konečný grupoid}.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{define}
Levou resp. pravou \textbf{jednotkou} v grupoidu nazýváme takový prvek $e$, pro který platí $eg=g$ respektive $ge=g$ pro každé $g$ z grupoidu.
\end{define}
\begin{theorem}
\label{theo:jednotka}
Má-li grupoid levou a pravou jednotku, pak jsou stejné.
\begin{proof}
$e_l=e_l e_p=e_p$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
\index{monoid}
\label{def:monoid}
Pologrupu s jednotkovým prvkem nazýváme \textbf{monoid}. Navíc pokud pro $m \in M$ existuje $m^{-1} \in M$ takový, že $m^{-1}m=e$ resp. $mm^{-1}=e$, nazýváme $m^{-1}$ \textbf{levým, resp. pravým inverzním} prvkem k $m$. (Díky asociativitě platí rovnost mezi levým a pravým inverzním prvkem, protože pro levou inverzi $am=e$ a pravou inverzi $mb=e$ platí $b=eb=(am)b=a(mb)=ae=a$. Proto má smysl zavést značení $m^{-1}$.)
\end{define}
\begin{theorem}
\label{theo:inverze}
Každý prvek monoidu má nejvýše jeden inverzní prvek.
\begin{proof}
Nechť $f,g,m \in M$ a platí $fm=e$ a $gm=e$, pak $f=ef=gmf=ge=g$.
V předposledním rovnítku využíváme asociativitu.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
\index{kraceni}
\label{def:kraceni}
Zavádíme:
\begin{enumerate}
\item grupoid \textbf{s krácením}, pokud ($\forall x,y,z \in M$)($zx=zy \Rightarrow x=y$),
\item grupoid \textbf{s dělením}, pokud ($\forall x,y \in M$)($\exists u,v \in M$)($ux=xv=y$).
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{define}
\index{grupa}
\label{def:grupa}
Monoid, ve kterém ke každému prvku existuje inverzní prvek nazýváme \textbf{grupa}.
\end{define}
\begin{remark}
\label{rmrk:grupa}
Grupa $\{M,\cdot\}$ tedy splňuje vlastnosti:
\begin{enumerate}
\item ($\forall a,b,c \in M$)($(ab)c=a(bc)$),
\item ($\exists e \in M$)($\forall m \in M$)($em=m$),
\item ($\forall m \in M$)($\exists m^{-1} \in M$)($mm^{-1}=e$).
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{example}
Příkladem grupy může být:
\begin{enumerate}
\item množina regulárních matic rozměru $n \times n$ s maticovým násobením,
\item množina čísel ${\{0, 1, 2, \ldots, p-2, p-1\}}$ se sčítáním modulo $p$ pro nějaké prvočíslo $p$, tedy $a \oplus_{modulo p} b \equiv a+b \mod p$, (značená $\mathbb{Z}_p \equiv \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$),
\item množina kvaternionů s násobením.
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{define}
\index{abelovska}
\label{def:abelovska}
Komutativní grupu nazýváme \textbf{abelovská}.
\end{define}
\begin{define}
\index{okruh}
\label{def:okruh}
Mějme množinu se dvěma vnitřními součiny $\{M, \oplus, \odot\}$.
\begin{enumerate}
\item Pokud je $M$ Abelovská grupa vůči $\oplus$ a pologrupa s distributivním zákonem vůči $\odot$ (tedy $a\odot (b\oplus c)=ab \oplus ac$), nazýváme ji \textbf{okruh}.
\item Pokud je $M$ Abelovská grupa vůči $\oplus$ a $M \setminus \{0\}$ grupa vůči $\odot$, nazýváme $M$ \textbf{okruh s dělením}.
\item Pokud je $M$ Abelovská grupa vůči $\oplus$ a $M \setminus \{0\}$ Abelovská grupa vůči $\odot$, nazýváme $M$ \textbf{těleso}.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{remark}
Značku $0$ používáme pro jednotkový prvek vůči operaci značené $\oplus$ a značku $1$ pro jednotkový prvek vůči operaci značené $\odot$ nebo $\otimes$.
\end{remark}
\begin{example}
Dalším příkladem grupy je množina $\mathbb{Q}[\sqrt{p}]=\{m+n\sqrt{p} | m,n \in \mathbb{Q}\}$ s normálním násobením, kde $\mathbb{Q}$ jsou racionální čísla a $p$ je prvočíslo. (Odmocnina z prvočísla je vždy iracionální.) Jedná se o určitou analogii komplexních čísel: $a\cdot b = (a_1+a_2\sqrt{p})(b_1+b_2\sqrt{p})=a_1b_1+a_2b_1\sqrt{p}+a_1b_2\sqrt{p}+a_2b_2 p$.
\end{example}
\begin{define}
Mějme množinu $M$, těleso $\mathbb{T}$, vnitřní součin $+: M\times M \rightarrow M$ a vnější součin $\times: \mathbb{T} \times M \rightarrow M$. Čtveřici $\{M,\mathbb{T},+,\times\}$ nazýváme \textbf{vektorový prostor}, pokud je abelovskou grupou vůči $+$ a platí:
\begin{enumerate}
\item ($\forall \alpha \in \mathbb{T}$)($\forall x,y \in M$)($\alpha \times (x+y)=\alpha \times x + \alpha \times y$),
\item ($\forall \alpha,\beta \in \mathbb{T}$)($\forall x \in M$)($(\alpha+\beta) \times x=\alpha \times x + \beta \times x$),
\item ($\forall x \in M$)($1 \times x=x$),
\item ($\forall x \in M$)($0 \times x=0$).
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{define}
Mějme $\{M,\mathbb{T},+,\times,\odot\}$ vektorový prostor s dodatečným vnitřním součinem $\odot$. Zavádíme pojmy:
\begin{enumerate}
\item pro $M$ grupoid s distributivním zákonem vůči $\odot$ \textbf{lineární algebra} nad $\mathbb{T}$,
\item pro $M$ pologrupu s distributivním zákonem vůči $\odot$ \textbf{asociativní algebra} nad $\mathbb{T}$,
\item pro $M$ pologrupu s distributivním a komutativním zákonem vůči $\odot$ \textbf{komutativní algebra} nad $\mathbb{T}$.
\end{enumerate}
\end{define}
%___________________________________klasifikace grup_____________________________________________
\section{Vlastnosti grup}
Jednou z možností je klasifikace grup podle počtu prvků na konečné, diskrétní nekonečné (spočetné), nespočetné.
\begin{define}
Mějme grupu $G=\{M,\cdot\}$ a topologii na $M$. $G$ nazýváme \textbf{topologickou grupou}, pokud pro $\forall x,y \in M$ jsou zobrazení $f_y(x)=x\cdot y$ a $g(x)=x^{-1}$ spojitá.
\end{define}
\begin{example}
Mějme grupu $G=\{\{e,a,b\},\odot\}\equiv \mathbb{Z}_3=\{\{0,1,2\},+_{mod 3}\}$. Její strukturu můžeme zobrazit pomocí tabulky.
\vspace{10pt}
\begin{tabular}{| c | c | c | c |}
\hline
$\odot$ & e & a & b \\ \hline
e & e & a & b \\ \hline
a & a & b & e \\ \hline
b & b & e & a \\ \hline
\end{tabular}
\vspace{10pt}
\begin{tabular}{| c | c | c | c |}
\hline
+ & 0 & 1 & 2 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 2 \\ \hline
1 & 1 & 2 & 0 \\ \hline
2 & 2 & 0 & 1 \\ \hline
\end{tabular}
\vspace{10pt}
Pokud zvolíme topologii $\tau=\{\emptyset, e, a, \{e,a\}, G\}$, nedostaneme topologickou grupu, protože vzor otevřené množiny $\{a\}$ při zobrazení $g(x)=x^{-1}$ je množina $\{b\}$, která není otevřená.
\end{example}
\begin{define}
Topologický prostor $\{M,\{\nu_i\}\}$ nazýváme \textbf{homogenní}, pokud $(\forall x,y \in M)$ existuje homeomorfismus (spojitá bijekce se spojitou inverzí) takový, že $f(x)=y$.
\end{define}
\begin{theorem}
Každá topologická grupa je homogenní topologický prostor.
\begin{proof}
Mějme $x,y \in G$ a nechť $a=yx^{-1}$. Určitě platí $a \in G$ a $ax=yx^{-1}x=y$. Hledaný homeomorfismus tedy bude $f(x)=ax$ (spojitost operací v topologické grupě).
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Topologická grupa má lokální vlastnosti $\mathbb{R}^n.$
\end{remark}
\begin{define}
Topologickou grupu $G$ nazýváme \textbf{$n$-parametrická}, pokud:
\begin{enumerate}
\item ($\exists$ systém souřadnic $\{\varphi\}$ v $G$)($\varphi: G \rightarrow \mathbb{R}^n : x \rightarrow (\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_n)$),
\item $\varphi$ může být i pouze lokální, ale pro každé dva souřadné systémy $\varphi, \psi$ musí být $\varphi \circ \psi^{-1}$ spojité (tam, kde je definované),
\item souřadnice bodu $c=a\cdot b$ jsou spojitou funkcí $a$ a $b$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{example}
Grupa $G=GL(n,\mathbb{R})$ je množina všech nesingulárních ($\det \neq 0$) reálných matic rozměru $n \times n$. Zavedeme $n^2$ souřadnic tak, že prvku $x\in G$, kde $x=\mathbb{I}+\tilde{x}$ ($\mathbb{I}$ je jednotková matice), přiřadíme prvky matice $\tilde{x}$, tedy $\{x_{i,j}\}_{i,j=1}^n$.
\end{example}
\begin{remark}
I u grupového násobení používáme mocniny jako u násobení čísel, tedy pro $g \in G$ píšeme $g^n$ místo $g\cdot g \cdot \ldots \cdot g $ ($n$-krát).
\end{remark}
\begin{define}
\textbf{Řád prvku} $a$ v grupě $G$ je číslo $n$, pro které platí $(a^n=e)\wedge((\forall m<n)(a^m \neq e))$. (Tedy nejmenší mocnina $a$, která dá jednotku.)
\end{define}
\begin{define}
\textbf{Řád grupy} je počet jejích prvků (značíme $|G|$).
\end{define}
\begin{remark}\label{rad prvku rad grupy}
Pro každý $g \in G$ platí $|g|\leq |G|$. Pro nekonečný řád grupy to platí triviálně, pro konečnou grupu platí následující argument:
Vezměme posloupnost $\{g^n\}_{n\in \N}$ pro libovolný prvek $g \in G$. Každý prvek posloupnosti je prvkem $G$ (uzavřenost na násobení). Protože $G$ má konečný počet prvků, pak jistě existují indexy $n_1,n_2$ tak, že $g^{n_1}=g^{n_2}$. Z toho ale plyne $g^{n_1-n_2}=e$, tedy $g$ má konečný řád.
Kdyby existoval prvek s řádem $n>|G|$, pak by posloupnost $\{g^i\}_{i=0}^{n-1}$ měla $n$ různých prvků, tj. více než kolik jich je v $G$, což je spor, tudíž $n\leq|G|$.
\end{remark}
\begin{define}
\textbf{Generátory} grupy jsou prvky minimálního souboru (s minimálním počtem prvků), ze kterého je možné získat celou grupu pomocí vzájemného násobení. Počet generátorů nazýváme \textbf{rank} grupy ($Rank(G)$).
\end{define}
\begin{example}
Dihedrální grupa $D_6$ je grupa symetrií rovnostranného trojúhelníku, viz Obr. \ref{fig:trojuhelnik}.
\vspace{10pt}
\begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c | c |}
\hline
$\odot$ & E & A & B & C & D & F \\ \hline
E & E & A & B & C & D & F \\ \hline
A & A & E & D & F & B & C \\ \hline
B & B & F & E & D & C & A \\ \hline
C & C & D & F & E & A & B \\ \hline
D & D & C & A & B & F & E \\ \hline
F & F & B & C & A & E & D \\ \hline
\end{tabular}
\vspace{10pt}
Pravidla pro násobení je možné popsat vztahy $A^2=E$, $D^3=E$, $DA=AD^2(=AD^{-1})$. Generátory jsou například $\{A,D\}$, a tedy $Rank(D_6)=2$.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.6]{trojuhelnik.jpg}
\caption{Zobrazení grupy $D_6$.}
\label{fig:trojuhelnik}
\end{figure}
\end{example}
\begin{example}
Dihedrální grupa $D_{2n}$ představující symetrie pravidelného $n$-úhelníku ($n$ rotací a $n$ zrcadlení). Generátory grupy jsou $r$ (rotace o nejmenší úhel) a $s$ (libovolné zrcadlení). Násobení je zavedeno pomocí vztahů $r^n=e$, $s^2=e$, $rs=sr^{-1}$.
\end{example}
\begin{example}
Cyklická grupa $\mathbb{Z}_n=\{0,1,2, \ldots , n-1\}$ se sčítáním modulo $n$. Grupa je generována například prvkem $1$ (v této grupě číslo $1$ není jednotkový prvek, to je $0$) ($Rank(\mathbb{Z}_n)=1$). Ekvivalentně je možno tuto grupu zavést jako množinu $\{e^{i\frac{2\pi}{n}k}\}^{n-1}_{k=0}$ s násobením.
\end{example}
\begin{example}
Symetrická grupa $S_\Omega$ na množině $\Omega \neq \emptyset$ je grupa permutací prvků množiny $\Omega$. Tedy $S_\Omega$ představuje všechny bijekce na $\Omega$ a v případě $\Omega=\hat n$ platí $|S_n|=n!$.
\end{example}
\begin{example}
Grupa kvaternionů $Q_8=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$ s relacemi $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$.
\end{example}
%__________________________________________Homomorfismus a isomorfismus grup_________________________________________
\section{Homomorfismus a isomorfismus grup}
\begin{define}
Grupy $\{G,\cdot\}$ a $\{H,\times\}$ jsou \textbf{homomorfní}, když $(\exists \varphi : G \rightarrow H)(\forall x,y \in G)(\varphi(x\cdot y)=\varphi(x)\times\varphi(y))$. Zobrazení $\varphi$ se nazývá \textbf{homomorfismus}, popř.
\begin{itemize}
\item \textbf{monomorfismus}, je-li prosté,
\item \textbf{epimorfismus}, je-li na $H$,
\item \textbf{isomorfismus}, je-li bijekcí (prosté i na $H$),
\item \textbf{endomorfismus}, je-li $G=H$ (tj. zobrazuje do sebe),
\item \textbf{automorfismus}, je-li $G=H$ a isomorfní (tj. zobrazuje na sebe),
\end{itemize}
Dále definujeme \textbf{jádro} homomorfismu: $\Ker\varphi=\{x \in G |\varphi(x)=e_H\}$.
\end{define}
\begin{remark}
Neplést homomorfismus (zobrazení zachovávající algebraickou strukturu) a homeomorfismus (spojité zobrazení se spojitou inverzí)!
\end{remark}
\begin{example}
Grupy $GL(n,\mathbb{R})$ (nesingulární reálné matice) a $G=\{\mathbb{R}^+,\cdot\}$ (kladná reálná čísla s násobením) jsou homomorfní pomocí zobrazení $\varphi(A)=\det A$.
\end{example}
\begin{example}
Grupa $(\R,+)$ je izomorfní grupě $(\R^+,\cdot)$ přes zobrazení $\varphi(x)=e^x$, jelikož platí $e^x\cdot e^y = e^{x+y}$.
\end{example}
\begin{example}
Pro libovolnou grupu $G$ je zobrazení $\varphi : G \rightarrow G$ definované pro $\all f \in G$ jako $\varphi(f) = gfg^{-1}$ (pro $g \in G$ pevné) automorfismus, tj. $\varphi\in\Aut H$.
\end{example}
\begin{remark}
Nutné podmínky pro to, aby $\varphi : G \rightarrow H$ mohlo být isomorfismus:
\begin{enumerate}
\item $|G|=|H|$,
\item $G$ je abelovská právě tehdy, když $H$ je abelovská,
\item $(\all x\in H)(|\varphi(x)|=|x|)$.
\end{enumerate}
\end{remark}
