Součásti dokumentu 02GMF1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GMF1}
\chapter{Abstraktnější pohled na vektorová pole}
\begin{defi}
Buď $M$ neprázdná množina, $\Omega$ neprázdná množina $n$-árních zobrazení $M \times \cdots \times M \rightarrow M$. Potom dvojici $(M, \Omega)$ nazýváme \textbf{algebra}. Množinu $M$ nazýváme \textbf{nosič algebry} $(M, \Omega)$.
\end{defi}
\begin{pozn}
Pro účely GMF budeme uvažovat pouze algebry, jejichž nosič je vektorový prostor $V$ (ten má sám o sobě binární operaci sčítání a modulární operaci násobení číslem z tělesa). Množina $\Omega$ bude nadále tvořena pouze jedinou bilineární operací $m$.
\end{pozn}
\begin{pozn}
Algebra $(V, m)$ je:
\begin{enumerate}
\item \textbf{asociativní} $\Leftrightarrow (\forall u, v, w \in V)( m(u, m(v,w)) = m(m(u,v),w))$
\item \textbf{komutativní} neboli \textbf{abelovská} $\Leftrightarrow (\forall u, v \in V)(m(u,v) = m(v,u))$
\item \textbf{Lieova} $\Leftrightarrow \forall u, v, w \in V$ platí následující dvě podmínky:
\begin{enumerate}
\item $m(u,v)=-m(v,u)$, tj. antikomutativita
\item $m(u, m(v,w))+ m(v,m(w,u)) + m(w,m(u,v)) = 0$, tj. Jacobiho identita
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Binární operaci v algebře $(M, \Omega)$ nazýváme obvykle \emph{násobení} a pro $x, z \in M$, $\omega \in \Omega$ místo značení $\omega(x,y)$ používáme krátce $x.y$. Další možností značení je např. sčítání $x+y$. Vhodné značení vybíráme podle vlastností operace -- asociativní násobení značíme jako součin, násobení v Lieově algebře nazýváme \textbf{Lieova závorka} a značíme $[\cdot, \cdot]$.
\end{pozn}
\begin{priklad}
Algebry lze zavést například následujícími způsoby:
\begin{itemize}
\item $(\mathcal{L} (V), m)$, kde $(\forall A,B \in \mathcal{L} (V))(m(A,B)=A \circ B)$, je asociativní algebra
\item $(\mathcal{L} (V), [\cdot, \cdot])$, kde $(\forall A,B \in \mathcal{L} (V))([A,B] = A \circ B - B \circ A)$, je Lieova algebra
\item $(\Cnek,[\cdot, \cdot])$, kde $[f,g] = \{ f,g\}$ a $\{ \cdot, \cdot \}$ je Poissonova závorka, je Lieova algebra
\item $(C^\infty (M), \cdot)$, kde $(\forall f,g \in \Cnek)(\forall p \in M)((f \cdot g) (p) = f(p) \cdot g(p))$, je komutativní asociativní algebra
\end{itemize}
\end{priklad}
\begin{defi}
\textbf{Derivace algebry} $(V,m)$ je libovolné lineární zobrazení $D: V\rightarrow V$ vyhovující podmínce $ (\forall x, y \in V)(D(m(x,y)) = m(D(x),y) + m(x,D(y)))$.
\end{defi}
\begin{priklad}
Nechť $V$ je vektorový prostor, ukážeme, že na $(\mathcal{L}(V), \circ)$ je operace $D_C(\cdot) = [C, \cdot]$ derivací:
$\ D_C(AB) = CAB - ABC=CAB - ACB + ACB - ABC = (CA - AC) B + A (CB - BC)= (D_C(A)) \circ B + A \circ (D_C(B))$.
\end{priklad}
\begin{priklad}
$(\Cnek, \{ \cdot , \cdot \}), \ f \in \Cnek, \ D_f(g)= \{ f, g\}$
\end{priklad}
\begin{veta}
Uvažujme $M$ hladkou varietu a $\Cnek$ jako asociativní komutativní algebru s násobením $(f \cdot g)(p) = f(p) \cdot g(p)$. Označme $\cX$ vektorový prostor všech derivací algebry $\Cnek$, tj. všech zobrazení $X: \Cnek \rightarrow \Cnek$ s vlastnostmi $X(a f + g) = a Xf + Xg,\ X(fg) = (Xf)g + f(Xg)$. Pak lze vzájemně jednoznačně zobrazit $\cX$ na množinu všech vektorových polí $\Gamma(TM)$ předpisem $X(p)(f) = (Xf)(p)$, $X \in \cX$, $\forall p \in M$. Tj. $\cX \simeq \Gamma(TM)$.
\end{veta}
\begin{dukaz}
$X \in \Gamma(TM)$, tj. $X: M \rightarrow TM, \ X(p) \in \tecn$ hladké zobrazení $\Rightarrow$ definujme $\widetilde{X}: \Cnek \rightarrow \Cnek$ předpisem $(\widetilde{X} f)(p) = X(p)f$. Z hladkosti $X$ vyplývá, že $\widetilde{X} f$ je v každých lokálních souřadnicích hladké zobrazení, tj. je hladké i na celém $M$. Z vlastností tečných vektorů pak vyplývá linearita a podmínka na derivaci $\widetilde{X}(fg)(p) = (\widetilde{X} f)(p) g(p) + f(p) (\widetilde{X}g)(p)$.
Naopak, buď $\widetilde{X} \in \cX$. Definujme $X(p): \Cnek \rightarrow \R, \ X(p)f = (\widetilde{X}f)(p)$. Evidentně platí $X(p)(a f + g) = a X(p)f + X(p)g$, $X(p)(f \cdot g) = X(p)f \cdot g(p) + f(p) \cdot X(p)g$. Dále ověříme podmínku lokality, tj. $(\forall f, g \in \Cnek)((\exists U = U^\circ, p \in U)(\forall q\in U)(f(q) = g(q)) \Rightarrow X f = X g)$. Ekvivalentně ji uvažujeme ve tvaru:
\[ (\forall f \in \Cnek)((\exists U = U^\circ \subset M, \ p \in U)(\forall q \in U)(f(q) = 0) \Rightarrow X(p)f = 0).
\]
Uvažujme tedy funkci $f$, která je nulová na $U$, okolí bodu $p$. V lokálních souřadnicích lze do $U$ vnořit otevřenou krychli se středem v bodě $p$. Dále zkonstruujeme pomocnou funkci $g \in \Cnek$ takovou, že $(\forall q \notin U)(g(q) = 0)$ a $g(p) = 1$, sestavenou vhodným přeškálováním intervalu a kartézským součinem funkcí tvaru $g_0: \R \rightarrow \R$:
\begin{equation*}
g_0(x) =
\begin{cases}
e \cdot e^{\frac{1}{x^2 - 1}} & |x| < 1 \\
0 & |x| \ge 1
\end{cases}
\end{equation*}
Lze snadno ověřit, že $(\forall n \in \mathbb{N}_0)(\lim_{x \rightarrow 1^-} g_0^{(n)} (x) = 0)$. Tudíž $(\forall q \in M)((gf) (q) = 0) \Rightarrow \widetilde{X} (fg) = 0$, $0 = X(p)(gf) = X(p)g \cdot f(p) + g(p) \cdot X(p)f$, kde $f(p) = 0$ a $g(p) = 1$ $\Rightarrow X(p)f = 0$, tj. $X(p)$ vyhovuje i lokalitě. Už tedy víme, že $X(p) \in \tecn$. Zbývá dokázat hladkost vzniklého vektorového pole, tj. $X \in \Gamma(TM)$. Ta vyplývá z toho, že $\widetilde{X}: \Cnek \rightarrow \Cnek$, a tudíž složky vektorového pole v souřadnicovém vyjádření, které se dají určit způsobem $X^i(p) = \widetilde{X}(x^i)(p)$, jsou hladké funkce.
(Je vhodné si uvědomit, že díky již dokázané lokalitě $\widetilde{X} \in \cX$, tj. nezávislosti $(\widetilde{X}f)(p)$ na chování $f$ mimo okolí bodu $p$, lze k $\widetilde{X} \in \cX$ definovat jeho zúžení $\restr{\widetilde{X}}{U} \in \cXA{U}$ tak, že $(\forall q \in U)$$(\forall f \in \Cnek)$ $((\restr{\widetilde{X}}{U} f)(q) = (\widetilde{X} f)(q))$. Poté můžeme $\restr{\widetilde{X}}{U}$ aplikovat na souřadnicové funkce $x^i: U \rightarrow \R$ a definovat $X = \widetilde{X}(x^i) \pder{x^i}$, kde $\widetilde{X}(x^i) \in \CnekA{U}$.)
\end{dukaz}
\begin{dusledek}
Nadále budeme ztotožňovat $\cX$ a $\Gamma(TM)$ a využívat definici vektorového pole vhodnější pro právě řešenou úlohu. \label{cXoznaceni}
\end{dusledek}
\begin{veta}
Množina všech derivací $\Der (A)$ dané algebry $A$ tvoří Lieovu algebru.
\end{veta}
\begin{dukaz}
To, že $\Der(A)$ je vektorový prostor, je zřejmé. Lieova závorka na $\Der(A)$ se definuje $[D_1, D_2] = D_1 \circ D_2 - D_2 \circ D_1$. Ověření:
\begin{align*}
[D_1, D_2] \ m(u, v) & = ( D_1 \circ D_2 - D_2 \circ D_1) m(u, v)
\\& = D_1 (m(D_2 u, v) + m(u, D_2 v)) - D_2 (m(D_1 u, v) + m(u, D_1 v))
\\& = m(D_1 D_2 u, v) + m(D_2 u, D_1 v) + m(D_1 u, D_2 v) + m(u, D_1 D_2 v)
\\& \quad - m(D_2 D_1 u, v) - m(D_1 u, D_2 v) - m(D_2 u, D_1 v) - m(u, D_2 D_1 v)
\\& = m(D_1 D_2 u, v) + m(u, D_1 D_2 v) - m(D_2 D_1 u, v) - m(u, D_2 D_1 v)
\\& = m([D_1, D_2] u, v) +m(u, [D_1, D_2] v).
\end{align*}
Antisymetrie $[\cdot , \cdot]$ a Jacobiho identita vyplývá ze způsobu definice $[\cdot , \cdot]$.
\end{dukaz}
\begin{dusledek}
$(\cX,[\cdot, \cdot])$ je nekonečněrozměrná \emph{Lieova algebra vektorových polí} na varietě $M$ s Lieovou závorkou definovanou způsobem $(\forall X, Y \in \cX)([X,Y] = X \circ Y - Y \circ X)$.
\end{dusledek}
\begin{pozn}
Často uvažujeme i vektorová pole definovaná na podmnožině $U \subset M$ jako $X: U \rightarrow TM$, $\pi \circ X = \restr{id}{U}$. Pokud $U = U^\circ$, pak lze všechny vlastnosti $\cX$ přepsat jako vlastnosti $\cXA{U}$. Jinak některé pojmy, např. $[\cdot, \cdot]$, mohou ztratit význam.
\end{pozn}
\begin{pozn}
Nechť $(x^i)$ jsou souřadnice na $U = U^\circ$, $X = X^i \pder{x^i}$, $Y= Y^i \pder{x^i}$, $f \in \CnekA{U}$. Pak
\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
[X,Y]f & = & X^i \pder{x^i} \left( Y^j \pder{x^j} f \right) - Y^i \pder{x^i} \left( X^j \pder{x^j} f \right) \\
& = & X^i \pderA{Y^j}{x^i} \pder{x^j} f - Y^i \pderA{X^j}{x^i} \pder{x^j} f = \left( X^i \pderA{Y^j}{x^i} - Y^i \pderA{X^j}{x^i}\right) \pder{x^j} f
\end{IEEEeqnarray*}
a tedy
\[ \fbox{$[X, Y] = \left( X(Y^j) - Y(X^j) \right) \pder{x^j}$}
\]
\end{pozn}
