Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Základní integrál}
\begin{define}
Buď $X$ libovolná množina. Množinu $\HH(X)$ reálných omezených funkcí
$X\to\R$ nazveme {\bf třídou} $\HH$ {\bf (souborem základních funkcí)}, platí-li
\begin{enumerate}[(I)]
\item Je-li $h,k\in \HH(X)$, pak $h+k\in \HH(X)$;
\item je-li $\alpha\in\R$, $h\in \HH(X)$, pak $\alpha h\in \HH(X)$;
\item je-li $h\in \HH(X)$, pak $\abs{h}\in \HH(X)$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Požadujeme tedy, aby $\HH(X)$ byl vektorový prostor, který navíc s každou funkcí obsahuje i její absolutní hodnotu.
\item Protože obecně platí $\max(h,k)-\min(h,k)=\abs{h-k}$ a také $\max(h,k)+\min(h,k)=h+k$, pak pro $h, k \in \HH$ patří i $\max(h,k)$ a $\min(h,k)$ do $\HH$.
\item Definujeme-li kladnou a zápornou část funkce pomocí vztahů $h^+=\max(h,0)$ a $h^-=\max(-h,0)$, pak pro $h\in\HH$ patří do $\HH$ i $h^+, h^-$. Nulová funkce totiž v~$\HH$ leží díky (II).
\item Lze psát $h=h^+-h^-$; $\abs{h}=h^++h^-$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Buď $\II$ funkcionál definovaný na $\HH(X)$ a nechť platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $(\forall h,k\in\HH(X),\forall\alpha\in\R)
(\II(\alpha h+k)=\alpha\II h+\II k)$,
\item $(\forall h\in\HH(X))(h\ge 0\implies\II h\ge 0)$,
\item \[(\forall\posl{h_n}\in\HH(X),h_n\ge 0\wedge h_n\ge h_{n+1})
\left(
\lim_{n\to\infty}h_n=0\implies\lim_{n\to\infty}\II h_n=0
\right),\]
\end{enumerate}
pak $\II$ nazýváme {\bf základní integrál}.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item První vlastnost se nazývá linearita a neříká nic jiného, než že se opravdu jedná o lineární funkcionál na vektorovém prostoru $\HH$. Druhé vlastnosti říkáme nezápornost a třetí spojitost.
\item Je-li $h\le k$, pak $\II h\le\II k$. To snadno plyne z axiomů I a II.
\item Platí, že $h\le h^+\le\abs{h}$, $-h\le h^-\le\abs{h}$. Tedy
$\II h\le\II\abs{h}$, $\II h\ge-\II\abs{h}$.
\item Zvolím-li interval $\I\subset\R^n$, $\HH(\I)$ stupňovité funkce,
$\II h$ jako v~předchozím odstavci, je $\II$ základní integrál.
\item Buď $\I\subset\R^n$ kompaktní interval, $\HH(\I)=\c{0}(\I)$,
pak $\II h=\mathfrak R\!\int_\I h$ je základní integrál. Linearita a
pozitivnost je jasná, (III) plyne z~Diniovy věty.
\item Nevlastní integrál: Buď $\J\subset\R^n$ jakýkoli interval, třeba
neomezený. Pak řekneme, že $h\in\HH(\J)$ je stupňovitá na $\J$,
jestliže existuje $\I\subset\J$ kompakt tak, že $h|_\I\in\HH(\I)\wedge
h(x)=0$ pro $x\in\J\sm\I$. Zavedu $\II$ vztahem $\II h=\II(h|_\I)$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Buď $Z\subset X$. Pak množina $Z$ je nulové míry ($\mu(Z)=0$), právě
když pro každé $\epsilon>0$ existuje rostoucí posloupnost
nezáporných základních funkcí $\posl{h_n}\in\HH(X)$ tak, že platí:
\begin{enumerate}
\item $(\forall x\in Z)(\sup_{n\in\N}h_n(x)\ge 1)$,
\item $(\forall n\in\N)(\II h_n<\epsilon)$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{define}
Řekneme, že výrok $V$ platí {\bf $\boldsymbol\mu$-skoro všude} na množině $X$, právě
když existuje $Z\subset X$ taková, že $\mu(Z)=0$ a výrok $V$ platí pro
každé $x\in X\sm Z$.
\end{define}
\begin{theorem}
Sjednocení nejvýše spočetného systému množin míry nula je opět
množina míry nula.
\end{theorem}
\begin{remark}Termín skoro všude je závislý na volbě míry i na volbě základního integrálu!
\begin{enumerate}
\item Volíme-li $\II$ stejně jako v předchozím odstavci, pak lze tvrdit např.:
\begin{enumerate}
\item Skoro každé číslo je iracionální.
\item Omezená monotonní funkce je spojitá skoro v~každém bodě.
\end{enumerate}
\item Volíme-li $\HH(\R)$ a definujeme $\II h=h(0),$ pak je množina $\R \setminus \{0\}$ míry nula. Funkcionálu $\II$ pak říkáme {\bf Diracova $\boldsymbol\delta$-funkce}, ačkoliv se nejedná o funkci v klasickém pojetí, nýbrž o tzv. distribuci (více v MMF).
\end{enumerate}
Nemůže-li dojít k záměně s jinou mírou, namísto \emph{$\mu$-skoro všude} budeme psát pouze \emph{skoro všude}, resp. \emph{s.v.}
\end{remark}
\begin{theorem}
Buď $\posl{h_n}$ posloupnost funkcí z~$\HH$; $h_n\ge h_{n+1}\ge
0$. Nechť $\lim_{n\to\infty}h_n(x)=0$ s.v. na $X$. Pak
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n=0.\]
\begin{proof}
Buď
\[
Z=\left\{x\in X \mid \lim_{n\to\infty}h_n(x)>0\right\},
\]
pak $\quad\mu(Z)=0$. Označme $M=\sup_{x\in X}h_1(x)$. Pro každé
$\epsilon>0$ existuje posloupnost $\posl{k_m}\in\HH$, $0\le k_n\le
k_{n+1}$ taková, že $\II k_n<\frac{\epsilon}{M}$ a pro každé $x\in Z$ je
$(\sup_{n\in\N}k_n(x)\ge 1)$.
Posloupnost $h_n-{Mk_n}$ klesá, má tedy limitu pro každé $x$. Současně
pro každé $x$ platí
\[\lim_{n\to\infty}(h_n-Mk_n)(x)\le 0,\]
tedy
\[\lim (h_n-Mk_n)^+(x)=0.\]
Podle axiomu (III) je $\lim\II(h_n-Mk_n)^+=0$.
Protože $h_n-Mk_n\le (h_n-Mk_n)^+$, je i
$\II(h_n-Mk_n)\le\II(h_n-Mk_n)^+$, takže $\exists n_0$, že pro $n>n_0$ platí
\[0\le\II h_n\le M\II k_n\le\epsilon,\]
tedy
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n=0.\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Položím–li za členy posloupnosti $h_n=\abs{h},\forall n \in \N$, dostanu, že z $h$ je skoro všude 0 plyne $\II h=0$.
\item Nechť $h=k$ skoro všude, pak $\II h=\II k$. Dostanu to aplikací předchozího bodu na rozdíl $h-k$ a z linearity.
\end{enumerate}
\end{rewmark}
\begin{theorem}
Buď $\posl{h_n}\in\HH$. Nechť platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $h_n(x)\ge h_{n+1}(x)\ge 0$ s.v. na $X$ pro každé $n\in\N$,
\item $\lim_{n\to\infty} h_n(x)=0$ s.v. na $X$.
Pak
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n=0.\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
Zvolím $k_1=h_1^+$, $k_n=\min(h_n^+,k_{n-1})$. Posloupnost
$\posl{k_n}$ neroste, platí $k_n(x)=h_n(x)$ s.v. na $X$ a podle
předchozí poznámky
\[\lim_{n\to\infty}\II(k_n-h_n)=0\implies
\lim_{n\to\infty}\II h_n=\lim_{n\to\infty}\II k_n=0.\]
Poslední rovnítko platí, protože $k_n$ má díky monotonii limitu.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
\begin{enumerate}
\item Dvě funkce jsou ekvivalentní, značíme $f\sim g$, právě když
$f(x)=g(x)$ s.v. na $X$.
\item $f\lesssim g$, právě když $f(x)\le g(x)$ s.v. na $X$.
\item $h_n\nearrow$, právě když $h_n\lesssim h_{n+1}$ pro každé
$n\in\N$.
\item $h_n\nearrow f$, právě když $h_n\lesssim h_{n+1}$ pro každé
$n\in\N$ a navíc $\lim_{n\to\infty} h_n(x) = f(x)$ s.v. na $X$.
\item $h_n\searrow$, právě když $h_{n+1}\lesssim h_n$ pro každé
$n\in\N$.
\item $h_n\searrow f$, právě když $h_{n+1}\lesssim h_n$ pro každé
$n\in\N$ a navíc $\lim_{n\to\infty} h_n(x) = f(x)$ s.v. na $X$.
\item $h_n\rightarrow$, právě když $\exists\lim_{n\to\infty}h_n(x)$
s.v. na $X$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{remark}
Předchozí věta: $h_n\searrow 0\implies\lim_{n\to\infty}\II h_n=0$.
\end{remark}
\begin{theorem}
Buďte $h_n,k_n\in\HH$. Nechť $h_n\nearrow f$, $k_n\nearrow g$ a
$f\lesssim g$. Pak
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n\le\lim_{n\to\infty}\II k_n.\]
\begin{proof}
Platí, že
\[(h_n-k_m)\searrow (h_n-g)\lesssim (f-g)\lesssim 0,\quad
\text{kde $n$ je pevné}\]
tedy
\[(h_n-k_m)^+\searrow(h_n-g)^+\sim 0.\]
Podle axiomů
\[\lim_{m\to\infty}\II(h_n-k_m)\le\lim_{m\to\infty}\II(h_n-k_m)^+=0,\]
tedy
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n\le\lim_{m\to\infty}\II k_m.\]
\end{proof}
\end{theorem}
