Součásti dokumentu 01DIFRcviceni
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Zobecněné (kvazihomogenní) diferenciální rovnice }
\subsection*{Příklad č.1}
Dokázali by jste uhodnout jaká substituce vede k cíli při řešení této diferenciální rovnice?
\begin{displaymath}
9 y \cdot y^\prime - 18 x y + 4x^3 = 0
\end{displaymath}
K cíli vede tato substituce: $y = u^2$, $y^\prime = 2u \cdot u^\prime$. Rovnice potom vypadá:
\begin{displaymath}
18 u^3 \cdot u^\prime - 18 x u^2 + 4 x^3 = 0
\end{displaymath}
což je už pouze homogenní diferenciální rovnice. Zkuste si cvičně dopočítat. Jen upozorňuji, v řešení vychází téměř
neřešitelný integrál, ponechejte řešení v tvaru s integrálem. I praxi se Vám nemusí vždy podařit vyřešit problém
v \uv{jednoduchém tvaru}.
Nyní ale k řešení zobecněných diferenciálních rovnic. Homogenní diferenciální rovnice jsme řešili substitucí
$y = x \cdot u$, zobecněné budou řešit substituce $y = x^k \cdot u$, kde k je obecné reálné číslo. Při řešení budeme
z každého členu v podstatě sčítat exponenty s tím, že místo $y$ budeme počítat $k$ a místo $y^\prime$ budeme počítat $k-1$.
Předvedeme si to na následujícím příkladě:
\subsection*{Příklad č.2}
Řešte:
\begin{displaymath}
\underbrace{ \frac{2}{x^2} }_{-2} \underbrace{ - y^2 }_{2k} + \underbrace{ y^\prime }_{k-1} = 0; \ldots y = x^k \cdot u
\end{displaymath}
Dále musíme dát \uv{ součty z exponentů } do rovnosti: $ -2 = 2k = k-1 $, těmto podmínkám vyhovuje $k= -1$, substituce
tedy bude následující: $ y = \frac{u}{x}$. Jen tak pro úplnost je to rovněž speciální Riccatiho rovnice, takže řešení by šlo
nalézt i jinak.
\begin{center}
\begin{math}
y^\prime = - \frac{u}{x^2} + \frac{u^\prime}{x}
\end{math}
\begin{math}
\frac{2}{x^2} - \frac{u^2}{x^2} - \frac{u}{x^2} + \frac{1}{x} \cdot u^\prime = 0
\end{math}
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
\begin{math}
2 - u^2 - u + x \cdot y^\prime = 0 \ldots
\end{math}
rovnice separovatelná
\begin{math}
x \cdot u^\prime = u^2 + u - 2
\end{math}
\end{center}
\begin{displaymath}
\frac{u^\prime}{u^2 + u -2} = \frac{1}{x}
\end{displaymath}
kde vidíme, že řešením jsou např. $u_1 = 1, u_2 = -2$, takže v zpětné substituci: $y_1 = \frac{1}{x}, y_2 = - \frac{-2}{x}$.
Pro ty kdo neví, tak to plyne z podmínek pro separovatelné diferenciální rovnice.
Další řešení jsou už jen mechanickým dopočítáním snadno dosažitelná.
\bigskip
Nyní se můžeme podívat, jestli by náhodou touto metodou nešel spočíst i první příklad. Jaké bylo zadání?
\begin{displaymath}
9 y \cdot y^\prime - 18 x y + 4x^3 = 0
\end{displaymath}
A ono ejhle co se objeví. Provedeme-li stejnou analýzu jako u předchozího případu, dostáváme dvě rovnosti:
$2k - 1 = k+1 = 3$, takže $k=2$. Zvolená substituce tedy bude: $y=x^2 \cdot u$ a k ní: $y^\prime = 2xu + x^2 \cdot u^\prime$.
Dále tedy pokračuju:
\begin{center}
\begin{math}
9x^2 \cdot u \cdot \big( 2x u + x^2 \cdot u^\prime \big) - 18 x^3 \cdot u + 4 x^3 = 0
\end{math}
\begin{math}
18u^2 + 9 x u \cdot u^\prime - 18 u + 4 = 0
\end{math}
\begin{math}
9xu \cdot u^\prime = 18 u - 18 u^2 - 4
\end{math}
\end{center}
a dostávám tedy tvar, se kterým si už každý poradí a sice:
\begin{displaymath}
\frac{9 u \cdot u^\prime }{18u - 18 u^2 - 4} = \frac{1}{x}
\end{displaymath}
\subsection*{Příklad č.3}
Řešte:
\begin{displaymath}
\big( y^4 - 3x^2 \big) \cdot y^\prime + xy = 0
\end{displaymath}
Řešení bude naprosto obdobné jako v předchozích případech. Pouze v dalším počítání se objeví jedna rovnice, která nebude
řešitelná. Řešení stačí ponechat ve tvaru:
\begin{displaymath}
2 \int \frac{u^4 -u^3}{u-u^5} du = \ln |x| + C
\end{displaymath}
