Součásti dokumentu 01DIFRcviceni
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty}
\subsection*{Zamyslete se:}
Jaký tvar mají LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty? \\
Jak se řeší? \\
Co je to fundamentální systém? \\
Jak je to s linearitou řešení? \\
Jak se dá převést LDR n-tého řádu na systém LDR I.řádu? \\
Jak se sestavuje a jaký je význam a smysl charakteristického polynomu? \\
Co víme o jednoznačnosti řešení?
\begin{displaymath}
tvar: L \big( y \big) = a_0 y^{( n ) } + a_1 y^{ ( n-1 ) } + \ldots + a_n y = q \big( x \big)
\end{displaymath}
\subsection*{Příklad č.1}
Řešte:
\begin{displaymath}
y^{\prime\prime} - 2y^\prime + y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x^3}
\end{displaymath}
Tohle je LDR druhého řádu s konstantními koeficienty. Ze znalosti z přednášky můžeme sestavit charakteristický
polynom.
\begin{center}
\begin{math}
\lambda ^2 - 2 \lambda + 1 = 0
\end{math}
\begin{math}
\big( \lambda - 1 \big) ^2 = 0
\end{math}
\end{center}
Tedy můžeme rovnou sestavit fundamentální systém řešení. Je to: $ \big\{ e^x; x \cdot e^x \big\}$.
Libovolné řešení LDR bez pravé strany je tedy možno zapsat:
\begin{displaymath}
y = C_1 \cdot e^x + C_2 x \cdot e^x
\end{displaymath}
Teď je třeba zjistit řešení s pravou stranou. Jak z přednášky víme, budeme sestavovat z derivací řešení další dvě rovnice.
\begin{displaymath}
y^\prime \big( x \big) = C_1^\prime \cdot e^x + C_1 e^x + C_2^\prime \cdot x e^x + C_2 e^x + C2_x \cdot e^x
\end{displaymath}
První rovnici sestavíme z toho, že požadujeme: $C_1^\prime e^x + C_2^\prime \cdot xe^x = 0$. Teď ještě zjistíme druhou derivaci $y^{\prime\prime}$.
\begin{displaymath}
y^{\prime\prime} \big( x \big) = \Big( C_1 + \big( 2 + x \big) \cdot C_2 + C_2^\prime \Big) \cdot e^x
\end{displaymath}
To dosadíme do původní LDR a máme:
\begin{displaymath}
\Big( C_1 + C_2^\prime + \big( 2 + x \big) \cdot C_2 \Big) e^x - 2 \Big( C_1 + \big( 1 + x \big) \cdot C_2 \Big) e^x +
\big( C_1 + C_2 x \big) e^x = \frac{ x^2 + 2x + 2 }{x^3}
\end{displaymath}
což se zjednoduší a tím dostáváme rovnou druhou rovnost: $ C_2^\prime = e^{-x} \big( \frac{x^2 + 2x + 2}{x^3} \big)$.
Z toho rovnou plyne, že: $C_1^\prime = - \frac{ x^2 + 2x + 2}{x^2} \cdot e^{-x} $. Pokud máme řešení v tomto tvaru, stačí
už jen zintegrovat, což doporučuji za samostatný úkol:
\begin{displaymath}
C_1 = - \int \big( 1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2} \big) e^{-x} dx + K_1 = \ldots per{ }partes \ldots =
e^{-x} + \frac{2}{x} e^{-x} + K_1
\end{displaymath}
Jen trochu snad pomůžu s tím integrálem, je třeba si napsat asi ty zlomky oba dva pod sebe, ono se tam objeví něco, co
se potom odečte. :-)
Stejným způsobem musíme dopočítat další konstantu $C_2$.
\begin{displaymath}
C_2 = \int \frac{1}{x} e^{-x} dx + 2 \int \frac{1}{x^2} e^{-x} dx + 2 \int \frac{1}{x^3} e^{-x} dx + K_2 = \ldots
= - \frac{1}{x} e^{-x} - \frac{1}{x^2} e^{-x} + K_2
\end{displaymath}
Už stačí jen doplnit do celkového řešení:
\begin{displaymath}
y = C_1 \cdot e^x + C_2 x \cdot e^x = \ldots = \frac{1}{x} + \big( K_1 + K_2 x \big) e^x
\end{displaymath}
\subsection*{Příklad č.2}
Řešte:
\begin{displaymath}
x \cdot y^{\prime\prime} + 2 y^\prime + x.y = x
\end{displaymath}
víte-li, že fundamentální systém je tvořen: $ \big\{ \frac{ \sin x}{x} , \frac{ \cos x}{x} \big\} = \big\{ \varphi _1 (x), \varphi _2 (x) \big\} $. Při této znalosti
už můžeme v podstatě přímo vyjádřit a zapsat do rovnice:
\begin{center}
\begin{math}
y (x) = C_1 \cdot \varphi _1 (x) + C_2 \cdot \varphi _2 (x)
\end{math}
\begin{math}
y^\prime (x) = C_1^\prime \varphi _1 (x) + C_1 \varphi _1^\prime (x) + C_2^\prime \varphi _2 (x) + C_2 \varphi ^\prime_2 (x)
\end{math}
\end{center}
A tedy můžu rovnou zapsat první rovnost: $C_1^\prime \varphi _1 (x) + C_2^\prime \varphi _2 (x) = 0$. A dále:
\begin{center}
\begin{math}
y^{\prime\prime} (x) = C_1^\prime \varphi _1^\prime (x) + C_1 \varphi _1^{\prime\prime} (x) + C_2^\prime \varphi _2^\prime (x) + C_2 \varphi _2^{\prime\prime} (x)
\end{math}
\begin{math}
x \cdot \big( C_1^\prime \varphi _1^\prime (x) + C_1 \varphi _1^{\prime\prime} (x) + C_2^\prime \varphi _2^\prime (x) + C_2 \varphi _2^{\prime\prime} (x) \big)
+ 2 \big( C_1 \varphi _1^\prime + C_2 \varphi _2^\prime \big) + x \cdot \big( C_1 \varphi _1 + C_2 \varphi _2 \big) = x
\end{math}
\begin{math}
C_1 \underbrace{ \big( x \varphi _1^{\prime\prime} (x) + 2 \varphi _1^\prime (x) + x \varphi _1 (x) \big) }_{=0} + \underbrace{ C_2 \big( x \varphi _2^{\prime\prime} (x) + 2 \varphi _2^\prime (x) + x \varphi _2 (x) \big) }_{=0} +
x C_1^\prime \varphi _1^\prime (x) + x \cdot C_2^\prime \varphi _2^\prime (x) = x
\end{math}
\end{center}
Proč jsou závorky za konstantami $C_1, C_2$ rovny nule? Stačí se podívat na zadání rovnice, je to přece řešení rovnice bez pravé strany. Výrazy v závorkách
mají přesně ten stejný tvar.
Nyní si můžeme konečně vyjádřit čemu se rovnají různé derivace $\varphi _1^\prime ; \varphi _2^\prime$.
\begin{center}
\begin{math}
\varphi _1^\prime = \frac{ x \cdot \cos x - \sin x }{ x^2}
\end{math}
\begin{math}
\varphi _2^\prime = \frac{ -x \sin x - \cos x }{x^2}
\end{math}
\end{center}
Mohu tedy poslední rovnost vyjádřit přesně a rovnou utvořit soustavu:
\begin{center}
\begin{math}
C_1^\prime \frac{ \sin x }{x} + C_2^\prime \frac{ \cos x }{x} = 0
\end{math}
\begin{math}
C_1^\prime \big( x \cos x - \sin x \big) - C_2^\prime \big( x \sin x + \cos x \big) = x^2
\end{math}
\end{center}
čímž dospějeme k tomuto:
\begin{center}
\begin{math}
C_1^\prime = x \cdot \cos x
\end{math}
\begin{math}
C_2^\prime = -x \cdot \sin x
\end{math}
\end{center}
Zkuste si dosadit,že funguje. Prostým zintegrováním získáme:
\begin{center}
\begin{math}
C_1 = x \cdot \sin x + \cos x + K_1
\end{math}
\begin{math}
C_2 = x \cdot \cos x - \sin x + K_2
\end{math}
\end{center}
a nyní stačí už jen do výsledku dosadit:
\begin{displaymath}
y(x) = \big( x \sin x + \cos x + K_1 \big) \frac{ \sin x }{x} + \big( x \cos x - \sin x + K_2 \big) \frac{ \cos x }{x} =
1 + \frac{ K_1 \sin x}{x} + \frac{ K_2 \cos x }{x}
\end{displaymath}
