Součásti dokumentu 02KVAN
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN}
\chapter{Systémy více částic}
Zatím jsme se věnovali kvantové mechanice jedné \cc e v~poli vnějších sil. Není třeba zdůrazňovat, že pro popis reálných fyzikálních
systémů je třeba rozšířit kvantově mechanický popis na systémy více \cc, neboť i velmi jednoduchý reálný systém --- atom vodíku,
jehož elektronový obal jsme zatím modelovali jednou kvantovou \cc í v~coulombickém poli, se skládá ze dvou \cc, protonu a elektronu.
V~této kapitole se proto budeme věnovat \qv é \mi ce více \cc {} bez vazeb.
Při budování \qv é \mi ky více \cc{} je třeba, na rozdíl od mechaniky klasické, velmi důsledně rozlišovat, jestli jde o~systém
\cc{} stejného typu či nikoliv. Pod \cc emi stejného typu rozumíme \cc e, které se od sebe vzájemně neliší žádným ze svých
vnitřních parametrů jako jsou hmota, náboj, magnetický moment atd., tedy parametrů, které jsou nezávislé na pohybovém stavu. Dvě
\cc e, které mají všechny tyto parametry stejné považujeme za \emph{nerozlišitelné}, zatímco v~opačném případě je nazýváme
rozlišitelné.
V klasické mechanice tento pojem není podstatný, neboť každá \cc e se pohybuje po dané křivce určené pohybovými \rc emi.
Označíme-li si \cc e na začátku experimentu např.~jako \uv{první}, \uv{druhá} atd., je možné v~každém čase rozhodnout, o~kterou
\cc i se jedná a všechny \cc e lze tedy považovat za rozlišitelné.
Při popisu jevů na atomární a nižší úrovni, nejsme schopni sledovat ani teoreticky předpovědět dráhy jednotlivých \cc {} a označení
\uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné \cc e ztrácí smysl, neboť při přechodu z~jednoho stavu dvou či více nerozlišitelných \cc
{} do jiného (ať už časovým vývojem nebo měřením) není možno rozhodnout, které z~nich je třeba přiřadit hodnoty pozorovatelných
týkajících se jednotlivých \cc.
\section{Systémy rozlišitelných \cc}
Úkolem \qv é mechaniky systémů více \cc {} je předpovědět \pst i různých měření provedených na těchto systémech. Máme-li systém dvou
bezspinových rozlišitelných \cc, a víme-li, že pravděpodobnost nalézt první \cc i v~oblasti $O_1$ je $w_1$ a pravděpodobnost nalézt
druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_2$, pak (za předpokladu, že tyto \pst i jsou nezávislé) pravděpodobnost nalézt první \cc i
v~oblasti $O_1$ a současně nalézt druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_1w_2$. Vzhledem k~tomu, že podle Bornova postulátu je \pst {}
dána amplitudou vlnové \fc e, je celkem přirozené přiřadit systému dvou \cc, z~nichž jedna je ve stavu popsaném vlnovou \fc í $\psi_1$
a druhá ve stavu $\psi_2$, vlnovou funkci $\psi(\vex_1,\vex_2)=\psi_1(\vex_1)\psi_2(\vex_2)$.
To ovšem zdaleka neznamená, že všechny stavy systému dvou \cc {} jsou popsány vlnovými \fc emi, jež lze zapsat jako součin \fc í
proměnných $\vex_1$, respektive $\vex_2$. Pokud by tomu tak bylo, pak by libovolná \pst{} týkající se první \cc e byla nezávislá na
stavu druhé \cc e a mohli bychom popisovat pouze systémy nijak se neovlivňujících, tj.~neinteragujících \cc. Taková teorie však nemá
žádný smysl, přesněji je ekvivalentní jedno\cc ové teorii pro každou ze složek systému. Obecný stav systému dvou rozlišitelných bezspinových částic je tedy popsán kvadraticky integrabilní funkcí šestice proměnných $\vex_1,\vex_2$. Množina všech takových funkcí tvoří Hilbertův prostor $\Hil = L^2(\R^{6},\d^{6}x)$, který můžeme zapsat jako tenzorový součin jednočásticových Hilbertových prostorů
$$
L^2(\R^{6},\d^{6}x) = L^2(\R^{3},\d^{3}x)\otimes L^2(\R^{3},\d^{3}x).
$$
{\subsection{Matematická vsuvka 4 - tenzorový součin Hilbertových prostorů}}
{V této matematické vsuvce zavedeme konstruktivně tenzorový součin Hilbertových prostorů, uvedeme jeho základní vlastnosti a ukážeme několik jednoduchých příkladů. Omezíme se na tenzorový součin dvou Hilbertových prostorů, rozšíření pro více prostorů je přímočaré. Pro rigoróznější popis, zejména pokud jde o tenzorový součin prostorů nekonečné dimenze, odkazujeme na literaturu \cite{beh:lokf}.}
Uvažujme dva Hilbertovy prostory $\Hil^{(1)}$ a $\Hil^{(2)}$. Pro rozlišení budeme vektory z $\Hil^{(k)}$ značit kety $\ket{\psi^{(k)}}$. Definujeme bilineární a bijektivní zobrazení $\otimes: \Hil^{(1)}\times\Hil^{(2)}\rightarrow\Hil$, které každé dvojici vektorů $\ket{\psi^{(1)}}$ a $\ket{\psi^{(2)}}$ přiřadí vektor, který značíme $\ket{\psi^{(1)}}\otimes\ket{\psi^{(2)}}.$ Z bilinearity a bijektivnosti zobrazení $\otimes$ plyne, že $\Hil$ je vektorový prostor dimenze ${\rm dim} \Hil^{(1)}. {\rm dim}\Hil^{(2)}$. Skalární součin v $\Hil$ zavedeme pomocí skalárních součinů v $\Hil^{(k)}$. Pro vektory
\be
\label{tens:sep1}
\ket{\Psi} = \ket{\psi^{(1)}}\otimes\ket{\psi^{(2)}},\quad \ket{\Phi} = \ket{\phi^{(1)}}\otimes\ket{\phi^{(2)}},
\ee
definujeme skalární součin způsobem
$$
\braket{\Phi}{\Psi} = \braket{\phi^{(1)}}{\psi^{(1)}} \braket{\phi^{(2)}}{\psi^{(2)}},
$$
a na lineární kombinace ho rozšíříme tak, aby to byla sesquilineární forma. Hilbertův prostor $\Hil$ nazýváme \textbf{tenzorovým součinem} Hilbertových prostorů $\Hil^{(1)}$ a $\Hil^{(2)}$ a značíme $\Hil = \Hil^{(1)}\otimes\Hil^{(2)}$.
Jsou-li množiny $\left\{\ket{\psi_i^{(1)}}\right\}$ a $\left\{\ket{\psi_j^{(2)}}\right\}$ ON baze v $\Hil^{(1)}$ a $\Hil^{(2)}$, pak množina $\left\{\ket{\psi_i^{(1)}}\otimes \ket{\psi_j^{(2)}}\right\}$ tvoří ON bazi v $\Hil$. %Pokud $\Hil^{(k)}$ mají konečné dimenze $n_k$, pak dimenze $\Hil^{(1)}\otimes\Hil^{(2)}$ je $n_1\cdot n_2$. Speciálně platí $\C^{n_1}\otimes \C^{n_2}\cong \C^{n_1 n_2}$.
Nechť vektory $\ket{\phi^{(k)}}$ mají následující rozvoj do výše zmíněných ON bazí
$$
\ket{\phi^{(1)}} = \sum_{i} a_i\ket{\psi_i^{(1)}}, \quad \ket{\phi^{(2)}} = \sum_{i} b_j\ket{\psi_j^{(2)}}.
$$
Jejich tenzorovým součinem je vektor
\be
\label{tens:sep}
\ket{\phi^{(1)}}\otimes\ket{\phi^{(2)}} = \sum_{i,j} a_ib_j \ket{\psi_i^{(1)}}\otimes\ket{\psi_j^{(2)}}.
\ee
Jeho složky jsou tedy dány součinem složek vektorů $\ket{\phi^{(k)}}$.
\noindent {\textbf{Poznámka:} ve fyzikální literatuře se často symbol $\otimes$ vynechává, tj.
$$
\ket{\phi^{(1)}}\otimes\ket{\phi^{(2)}} \equiv \ket{\phi^{(1)}}\ket{\phi^{(2)}}.
$$}
\noindent \bp
Uvažujme $\C^2\otimes \C^3 \cong\C^6$, a dva vektory vyjádřené ve standardních bazích
$$
\phi^{(1)} = (1,2)^T,\quad \phi^{(2)} = (3,4,5)^T.
$$
Jejich tenzorový součin je vektor
$$
\phi^{(1)}\otimes \phi^{(2)} = (3,4,5,6,8,10)^T.
$$
\ep
Obecné vektory z tenzorového součinu $\Hil^{(1)}\otimes\Hil^{(2)}$ lze zapsat ve tvaru
\be
\label{tens:ent}
\ket{\Psi} = \sum_{i,j} c_{i,j} \ket{\psi_i^{(1)}}\otimes\ket{\psi_j^{(2)}},\quad \ket{\Phi} = \sum_{m,n} d_{m,n} \ket{\psi_m^{(1)}}\otimes\ket{\psi_n^{(2)}},
\ee
a jejich skalární součin je roven
$$
\braket{\Phi}{\Psi} = \sum_{m,n,i,j}d_{m,n}^* c_{i,j} \braket{\psi_m^{(1)}}{\psi_i^{(1)}}\braket{\psi_n^{(2)}}{\psi_j^{(2)}} = \sum_{i,j} d^*_{i,j}c_{i,j}.
$$
Zmiňme se krátce o operátorech na tenzorovém součinu. Operátory působící na prostorech $\Hil^{(k)}$ lze doplnit jednotkou a rozšířit na celý $\Hil$
$$
\hat A^{(1)} = \hat A\otimes\uni,\quad \hat A^{(2)} = \uni\otimes \hat A.
$$
Platí-li
$$
\hat A \ket{\psi^{(1)}} = a \ket{\psi^{(1)}},
$$
pak libovolný vektor tvaru $\ket{\psi^{(1)}}\otimes\ket{\phi^{(2)}}$ je vlastním vektorem operátoru $\hat A^{(1)}$ s vlastním číslem $a$. Spektra operátorů $\hat A$ a $\hat A^{(k)}$ jsou tedy stejná, ale změní se násobnost vlastních čísel.
Uvažujme operátory $\hat A^{(1)}$, $\hat B^{(2)}$ a jejich součet $\hat C = \hat A^{(1)} + \hat B^{(2)}$. Nechť platí
$$
\hat A \ket{\alpha^{(1)}_i} = a_i \ket{\alpha^{(1)}_i},\quad \hat B \ket{\beta^{(2)}_j} = b_j \ket{\beta^{(2)}_j}.
$$
Operátory $\hat A^{(1)}$ a $\hat B^{(2)}$ komutují
$$
\left[\hat A^{(1)},\hat B^{(2)}\right]=0,
$$
a jejich společné vlastní vektory jsou $\ket{\alpha^{(1)}_i}\otimes\ket{\beta^{(2)}_j}$. Ty jsou navíc vlastními vektory operátoru $\hat C$
$$
\hat C \ket{\alpha^{(1)}_i}\otimes\ket{\beta^{(2)}_j} = (a_i + b_j)\ket{\alpha^{(1)}_i}\otimes\ket{\beta^{(2)}_j}.
$$
Vraťme se ke kvantově-mechanickému popisu rozlišitelných částic. Označme Hilbertův prostor $j$-té částice jako $\Hil^{(j)}$. Hilbertův prostor systému $N$ rozlišitelných částic je pak dán tenzorovým součinem
$$
\Hil = \bigotimes\limits_{j=1}^N \Hil^{(j)}.
$$
Obecný stav systému je popsán nějakým jednotkovým vektorem $\ket{\psi}\in \Hil$. Nechť množiny $\left\{\ket{\psi_{n_j}^{(j)}}\right\}$ tvoří ortonormální baze v $\Hil^{(j)}$. Pak vektory $\ket{\psi_{n_1}^{(1)}}\otimes\cdots\otimes \ket{\psi_{n_N}^{(N)}}$ tvoří ortonormální bazi v $\Hil$. Stav systému rozlišitelných částic tedy můžeme zapsat ve tvaru
$$
\ket{\psi} = \sum\limits_{n_1,\ldots, n_N} c_{n_1,\ldots,n_N} \ket{\psi_{n_1}^{(1)}}\otimes\cdots\otimes \ket{\psi_{n_N}^{(N)}}.
$$
Poznamenejme, že pokud existují jednočásticové stavy $\ket{\phi^{(j)}}$ takové, že
\begin{equation}
\label{sep:state}
\ket{\psi} = \ket{\phi^{(1)}}\otimes\cdots\otimes \ket{\phi^{(N)}},
\end{equation}
pak stav $\ket{\psi}$ nazýváme \emph{separovaný}. V tomto případě jsou stavy jednotlivých částic na sobě nezávislé. Ne každý vektor z $\Hil$ je možné zapsat tímto způsobem; stavy, které nelze zapsat ve tvaru (\ref{sep:state}), označujeme jako \emph{provázané}.
{\bf Příklad: }Stavový prostor systému $N$ rozlišitelných částic se spinem $1/2$, jejichž vlnové \fc e %mají dvě komponenty nebo alternativně
závisejí na dodatečné proměnné $\xi\in\{+,-\}$ (viz kapitola \ref{vmmsc}), je tenzorovým součinem
jednočásticových prostorů $\Hil^{(j)}=$ \qintspace $\otimes \C^{2}$
\[
\Hil = \Hil^{(1)} \ox \Hil^{(2)} \ox \cdots \ox \Hil^{(N)} = L^2(\R^{3N},\d^{3N}x) \ox \C^{2^N}.
\]
Jeho prvky jsou kvadraticky integrabilní funkce proměnných
$\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N $ a skalární součin v~tomto prostoru je definován způsobem
$$
(\psi,\phi)
:= \sum_{\xi_1=\pm}\cdots\sum_{\xi_N=\pm} \int_{\R^{3N}}
\psi^*(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)
\phi(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)
\d^{3N}x.
$$
Pozorovatelným systému rozlišitelných částic odpovídají samosdružené operátory na $\Hil$.
Zvláštní roli mezi nimi hrají tzv. \emph {jednočásticové} pozorovatelné, které působí netriviálně pouze v $\Hil^{(j)}$, tzn. mají tvar
\[
\hat{A}^{(j)} = \underbrace{\uni\ox\uni\ox\cdots\ox\uni}_{\text{$(j-1)$-krát}}\ox\hat{A}\ox\uni\ox\cdots\ox\uni
\]
Typickým příkladem je operátor kinetické energie první částice
$\hat{T}^{(1)} := \frac{1}{2M_1}\hat P^2\ox \uni \ox \cdots \ox \uni .$ Operátor celkové kinetické energie systému je pak dán součtem
$$
\hat T = \sum_{j=1}^N \hat T^{(j)}.
$$
Některé pozorovatelné nemusí mít tvar součtu jednočásticových pozorovatelných. Například operátor popisující interakci první a druhé částice lze zapsat jako
$$
\hat U^{(1,2)} = \hat U\otimes \uni\ox \cdots \ox\uni,
$$
kde $\hat U$ působí netriviálně na prostoru $\Hil^{(1)}\otimes \Hil^{(2)}$.
\subsection{Problém dvou těles v~\qv é \mi ce}
Problém dvou těles je v~kvantové, stejně jako v~klasické, mechanice snadno řešitelný, pokud síly jsou dány potenciálem závisejícím pouze na
rozdílu poloh jednotlivých \cc {} $V(\vex_1,\vex_2)=V(\vex_1-\vex_2)$. Abychom mohli provést dynamický popis systému dvou \qv ých \cc,
popíšeme napřed klasický systém hamiltonovským formalismem.
Zavedením nových proměnných
\be
\vec{X} := \frac{m_1\vex_1+m_2\vex_2}{m_1+m_2}, \quad \vex := \vex_1-\vex_2
\ll{nsour}
\ee
dostaneme Lagrangeovu \fc i pro dvě \cc e ve tvaru
\be
L(\vec{X},\vex,\dot{\vec{X}},\dot{\vex}) = \half(m_1+m_2)\dot{\vec{X}}^2 + \half\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex}^2-V(\vex).
\ee
Kanonicky sdružené hybnosti jsou
\begin{align}
\vec{P} &:= \vec{p}_1+\vec{p}_2 = (m_1+m_2)\dot{\vec X} = m_1\dot{\vex}_1+m_2\dot{\vex}_2, \ll{nhyb1} \\
\vec{p} &:= \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex} = \frac{ m_2\vec{p}_1-m_1\vec{p}_2}{m_1+m_2} \ll{nhyb2}
\end{align}
a Hamiltonova \fc e má tvar součtu dvou Hamiltonových funkcí
\be
H(\vec{X},\vex,\vec{P},\vec{p}) = \frac{\vec{P}^2}{2(m_1+m_2)}+\frac{m_1+m_2}{2m_1m_2}\vec{p}^{\,2}+V(\vex) = H_t(\vec{P})+H_{\mathrm{rel}}(\vex,\vec{p}).
\ee
Hamiltonovy pohybové \rc e pro $\vex_1(t), \vex_2(t), \vec{p}_1(t),\vec{p}_2(t)$ pak přejdou na separované rovnice pro pohyb těžiště
$\vec{X}(t),\vec{P}(t)$ a relativní pohyb \cc {} daný $\vex(t), \vec{p}(t)$.
\textbf{Transformace souřadnic \rf{nsour} vede i na zjednodušení kvantově mechanického popisu dvou částic.} Zapíšeme-li vlnovou \fc i
systému jako \fc i nových souřadnic
\be
\Psi(\vec{X},\vex):=\psi(\vex_1(\vec{X},\vex), \vex_2(\vec{X},\vex)),
\ee
pak transformace \rf{nsour} vede na transformaci parciálních derivací
\begin{align}
\frac{\pd}{\pd X_j} &= \frac{\pd}{\pd x_{1,j}}+\frac{\pd}{\pd x_{2,j}}, \quad j=1,2,3, \ll{nder1} \\
\frac{\pd}{\pd x_j} &= \frac{1}{m_1+m_2} \left( m_2\frac{\pd}{\pd x_{1,j}}-m_1\frac{\pd}{\pd x_{2,j}} \right), \quad j=1,2,3, \ll{nder2}
\end{align}
která odpovídá transformaci operátorů hybnosti analogické \rf{nhyb1}, \rf{nhyb2}.
\textbf{Hamiltonián systému dvou interagujících \cc
\be
\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m_1}\lapl_1-\frac{\hbar^2}{2m_2}\lapl_2 +\hat V(\vex_1-\vex_2)
\ee
transformací \rf{nsour} přejde na tvar
\be
\hat{H} = \hat{H}_t + \hat{H}_{\mathrm{rel}} = -\frac{\hbar^2}{2(m_1+m_2)}\lapl_X -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl_x + \hat V(\vex),
\ee
který je ekvivalentní hamiltoniánu dvou neinteragujících \cc.} Jedna z~nich je volná kvantová \cc e s~hmotou $m_1+m_2$ (těžiště) a
druhá je \cc í s~hmotou $M=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ v~poli potenciálu $V$.
Právě uvedená fakta ospravedlňují interpretaci hladin \cc e v~coulombickém poli jako hladin vodíkového atomu, pokud do výrazu pro
Rydbergovu energii dosadíme hmotu $M=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}\approx{m_e}(1-\frac{m_e}{m_p})$, kde ${m_e},{m_p}$ jsou hmoty elektronu
a protonu. Pokud se zajímáme o~spektrum hladin deuteria, je třeba místo $m_p$ použít hmotu deuteronu, která se přibližně rovná $2m_p$.
\section{Skládání momentů hybnosti}
\ll{smh}
\def\lj{{\hat L^{(1)}}}
\def\l2{{\hat L^{(2)}}}
\def\hj{{\hat J}}
V~klasické \mi ce je moment hybnosti složených systémů dán prostým sčítání vektorů, tj.~vektorovým součtem momentů hybnosti jednotlivých
složek. Pro kvantově \mi cké stavy tomu tak být nemůže, neboť víme, že projekce momentu hybnosti do libovolného směru může nabývat pouze
celočíselných nebo poločíselných násobků $\hbar$. Je proto užitečné zjistit jaké stavy složeného systému odpovídají těmto hodnotám. Složitost
problému skládání momentů hybnosti narůstá s~počtem složek, a proto se v~dalším omezíme na systém {složený ze dvou podsystémů, kde každý je v nějakém vlastním stavu momentu hybnosti}, tj.~společném vlastním stavu $\hat L^2$ a $\hat L_3$. {Poznamenejme, že se nemusí nutně jednat o skládání momentů hybnosti dvou různých částic. Postup bude využívat pouze komutační relace složek momentu hybnosti, a lze ho tak využít i pro skládání orbitálního momentu hybnosti a spinu jedné částice.}
Nechť tedy máme systém složený ze dvou rozlišitelných podsystémů, pro které byly naměřeny hodnoty momentů hybnosti odpovídající kvantovým číslům $l_i, m_i$. Znamená to tedy, že prvnímu lze přiřadit ket
$\ket{a_1,l_1,m_1}$ a druhému $\ket{a_2,l_2,m_2}$, kde hodnoty $a_1$, $a_2$
představují hodnoty ostatních pozorovatelných kompatibilních s~$\hat{L}^2$ a $\hat{L}_3$, např.~celkové energie. {Zanedbáme-li závislost stavů na vlastních číslech $a_1,a_2$, pak stav celého sytému můžeme popsat ketem $\ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}$, pro který platí}
\begin{align}
(\lj)^2 \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= l_1(l_1+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm1} \\
(\l2)^2 \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= l_2(l_2+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm2} \\
\lj_3 \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= m_1\hbar \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm3} \\
\l2_3 \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= m_2\hbar \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}. \label{lmlm4}
\end{align}
Pro dané $l_1$, $l_2$ (a $a_1$, $a_2$) tvoří tyto stavy { Hilbertův prostor $\Hil^{(l_1,l_2)}$ dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$, který můžeme zapsat jako tenzorový součin
$$
\Hil^{(l_1,l_2)} = \Hil^{(l_1)}\otimes \Hil^{(l_2)},\quad \Hil^{(l_i)} = \left[\{\ket{l_i,m_i},m_i=l_i,l_i-1,\ldots,-l_i \}\right]_\lambda .
$$}
Otázka je, jaké lze naměřit
\textbf{hodnoty momentu hybnosti celého systému} a s~jakou \pst í?
Složkám celkového momentu hybnosti podle principu korespondence přiřadíme operátory $\hat{J}_k=\lj_k+\l2_k$, kde $\lj_k$ působí {netriviálně pouze na $\Hil^{(l_1)}$ a $\l2_k$ působí pouze na $\Hil^{(l_2)}$}. Znamená to tedy, že operátory $\lj_k$ a $\l2_j$
komutují. Odtud je pak snadné ukázat, že
\be
[\hat{J}_k,\hat{J}_l]=i\hbar\epsilon_{klm}\hat J_m,
\ee
a tedy operátory $\hat{J}_k$ %skutečně odpovídají
{komutují jako složky momentu hybnosti}. Z~podkapitoly \ref{atmh} pak plyne, že vlastní hodnoty operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_3$ mohou mít vlastní hodnoty pouze $j(j+1)\hbar^2$
a $m\hbar$, kde $j$ a $m$ jsou (polo)celá čísla, $|m| \leq j$. Zároveň lze snadno ukázat že
\be
[\hat{J}_k,(\lj)^2]=0, \quad [\hat{J}_k,(\l2)^2]=0,
\ee
takže operátory $(\lj)^2$, $(\l2)^2$, $\hat{J}^2$, $\hat{J}_3$ jsou kompatibilní a mohou (spolu s~dalšími operátory) být součástí úplné
množiny pozorovatelných systému dvou \cc. Označme tedy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ ket, který je vlastním stavem těchto pozorovatelných. Znamená to,
že splňuje rovnice
\begin{align}
(\lj)^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= l_1(l_1+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm1} \\
(\l2)^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= l_2(l_2+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm2} \\
\hj^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= j(j+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm3} \\
\hj_3 \ket{l_1,l_2,j,m} &= m\hbar \ \ket{l_1,l_2,j,m}.\label{lljm4}
\end{align}
Naším úkolem nyní je tyto stavy nalézt, přesněji, sestavit je ze stavů $\ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}$ popisujících momenty hybnosti
jednotlivých \cc.
V~prvním kroku se přesvědčíme, že stav $\ket{l_1,l_1} \otimes \ket{l_2,l_2}$ splňuje rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro $j=m=l_1+l_2$.
Rovnice \rf{lljm1}, \rf{lljm2} se shodují s~\rf{lmlm1}, \rf{lmlm2} a rovnice \rf{lljm4} je jednoduchým důsledkem \rf{lmlm1}, \rf{lmlm2}.
K~odvození \rf{lljm3} se hodí formule
\begin{equation}
\hj^2 = \hj_1^2+\hj_2^2+\hj_3^2 = (\lj)^2+(\l2)^2+2\lj_3\l2_3+\lj_+\l2_-+\lj_-\l2_+,
\label{jjll}
\end{equation}
kterou lze snadno odvodit z~definice posunovacích operátorů $\hat{L}_\pm$. Znamená to tedy, že
$\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2} = \ket{l_1,l_1} \otimes \ket{l_2,l_2}$.
Ze stavu $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2}$ nyní můžeme snadno vytvořit $2(l_1+l_2)+1$ stavů
\[
\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,m}, \text{ kde } m=l_1+l_2,\ldots,-l_1-l_2
\]
působením posunovacích operátorů $\hat{J}_\pm = \hat{J}_1\pm i \hat{J}_2 = \lj_\pm+\l2_\pm$.
%(Tyto stavy tvoří
%tzv.~ireducibilní reprezentaci algebry $\mathfrak{su}(2)$.)
V~dalších krocích (pro $l_1,l_2\neq 0$) je nutné vytvořit stavy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ s~$j<l_1+l_2$. {Začněme s vektorem $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2-1,l_1+l_2-1}$. Z vlastnosti
$$
\hat J_3 \ket{l_1,m_1}\otimes\ket{l_2,m_2} = (m_1+m_2)\hbar\ket{l_1,m_1}\otimes\ket{l_2,m_2},
$$
je zřejmé, že musí být lineární kombinací stavů
$\ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1}$ a $\ket{l_1,l_1-1} \ox \ket{l_2,l_2}$. Z předchozího víme, že vektor $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1}$ je rovněž lineární kombinací stejných ketů
\begin{align}
\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1}
&= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \hat{J}_- \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2} \nonumber \\
&= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} (\lj_- +\l2_-) \ket{l_1,l_l}\ox\ket{l_2,l_2} \nonumber \\
&= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \left( \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2}
+ \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right).
\label{mminus1a} \end{align}
Protože kety $\ket{l_1,l_2,j,m}$ splňují rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro různá vlastní čísla, jsou pro různá $j$ nebo $m$ navzájem ortogonální. Musí tedy platit
\begin{equation}
\ket{l_1,l_2,l_1+l_2-1,l_1+l_2-1} = \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}}
\left( \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} - \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right).
\label{mminus1b} \end{equation}
Přímým výpočtem lze ukázat, že tento vektor splňuje rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro $j=m=l_1+l_2-1$.} Postupnou aplikací operátoru $\hat{J}_-$ na tento stav dostaneme $2(l_1+l_2-1)-1$ stavů s~$j=l_1+l_2-1$, $|m|\leq j$.
Stejným postupem dostaneme stavy s $j=l_1+l_2-2,j=l_1+l_2-3,\ldots.,
j_{min}$. {Vektor $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2-k,l_1+l_2-k}$ musí být lineární kombinací $k+1$ ketů $\ket{l_1,l_1}\otimes\ket{l_2,l_2-k},\ \ket{l_1,l_1-1}\otimes\ket{l_2,l_2-k+1},\ldots,\ \ket{l_1,l_1-k}\otimes\ket{l_2,l_2}$. $k$ vektorů $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2-n,l_1+l_2-k},\ n=0,1,\ldots k-1,$ které rovněž leží v tomto podprostoru, již známe. Ket $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2-k,l_1+l_2-k}$ je pak jednoznačně určený jako jejich ortogonální doplněk.} Zbývá zjistit, kolik je $j_{min}$. Rozměr podprostoru stavů s daným $j$ je $2j+1$ a {rozměr Hilbertova prostoru $\Hil^{(l_1,l_2)}$ pro dané $l_1,l_2$ je
$(2l_1+1)(2l_2+1)$}. Musí tedy platit \begin{equation}\label{jmin}
(2l_1+1)(2l_2+1)=\sum_{j=j_{min}}^{l_1+l_2}(2j+1)=(l_1+l_2+1)^2-j_{min}^2,
\end{equation} z čehož plyne $j_{min}=|l_1-l_2|$.
{Množiny stavů $\{\ket{l_1,l_2,j,m}|j=|l_1-l_2|,\ldots, l_1+l_2,\ m=j,\ldots, -j\}$ a $\{\ket{l_1,m_1} \ox \ket{l_2,m_2}|m_1=l_1,\ldots, -l_1,\ m_2=l_2,\ldots, -l_2\}$ tvoří dvě ortonormální baze v~prostoru $\Hil^{(l_1,l_2)}$. Elementy matice přechodu mezi těmito dvěma bazemi se nazývají Clebschovy--Gordanovy koeficienty a značí se {
$$
(l_1,l_2,m_1,m_2|j,m) \equiv \Big(\bra{l_1,m_1}\otimes\bra{l_2,m_2}\Big)\ket{l_1,l_2,j,m}.
$$
}Způsob jejich výpočtu je možno nalézt např.~v~\cite {beh:lokf}. Pro Condon-Shortleyovu konvenci, kdy $\alpha_{lm}^\pm\geq 0$, jsou
Clebschovy--Gordanovy koeficienty reálné. Platí tedy
$$
\ket{l_1,l_2,j,m} = \sum_{m_1=-l_1}^{l_1}\sum_{m_2=-l_2}^{l_2}(l_1,l_2,m_1,m_2|j,m) \ket{l_1,m_1}\otimes \ket{l_2,m_2},
$$
a současně
$$
\ket{l_1,m_1}\otimes \ket{l_2,m_2} = \sum_{j=|l_1-l_2|}^{l_1+l_2}\sum_{m=-j}^{j}(l_1,l_2,m_1,m_2|j,m) \ket{l_1,l_2,j,m} .
$$
Pokud je tedy systém ve stavu $\ket{l_1,m_1}\otimes \ket{l_2,m_2}$, pak pravděpodobnost naměření hodnoty celkového momentu hybnosti s danými kvantovými čísly $j$ a $m$ je rovna $|(l_1,l_2,m_1,m_2|j,m)|^2$. Pro Clebschovy--Gordanovy koeficienty platí výběrová pravidla
$$
(l_1,l_2,m_1,m_2|j,m) \neq 0 \Leftrightarrow m_1+m_2=m, |l_1-l_2| \leq j\leq l_1+l_2 .
$$}
Na závěr této části se podívejme na úlohu skládaní momentů hybnosti z hlediska teorie reprezentací. Operátory $\hat L_k^{(i)}$ představují reprezentace Lieovy algebry $\mathfrak{su}(2)$ na prostorech $\Hil^{(l_i)}$. Tyto reprezentace jsou ireducibilní, tj. operátory $\hat L_k^{(i)}, k=1,2,3,$ nemají společný invariantní podprostor. Operátory celkového momentu hybnosti $\hat J_k$ tvoří opět reprezentaci $\mathfrak{su}(2)$ na $\Hil^{(l_1,l_2)}$. Tato reprezentace je ale reducibilní - operátory $\hat J_k$ mají společné vlastní podprostory, které jsou určeny hodnotou celkového momentu hybnosti, resp. kvantového čísla $j$. V bázi tvořené vlastními vektory celkového momentu hybnosti $\ket{l_1,l_2,j,m}$ jsou matice operátorů $\hat J_k$ blokově diagonální, jak se lze snadno přesvědčit přímým výpočtem s použitím posunovacích operátorů $\hat J_\pm$. Reducibilní reprezentaci $\Hil^{(l_1,l_2)}$ tak lze rozložit na direktní součet ireducibilních reprezentací
$$
\Hil^{(l_1,l_2)} = \Hil^{(l_1)}\ox \Hil^{(l_2)} = \Hil^{(j=|l_1-l_2|)}\oplus \Hil^{(j=|l_1-l_2|+1)}\oplus\ldots \oplus \Hil^{(j=l_1+l_2)},
$$
kde
$$
\Hil^{(j=k)} = \left[\{\ket{l_1,l_2,k,m},m=k,k-1,\ldots,-k \}\right]_\lambda .
$$
\subsection{Hyperjemná struktura základního stavu vodíku}
{Jako příklad využití teorie skládání momentů hybnosti si ukážeme tzv. hyperjemnou strukturu elektronového obalu vodíku. V důsledku interakce spinu elektronu a spinu protonu (jádra vodíku) bude energie záviset na hodnotě celkového spinu. Pro jednoduchost se přitom omezíme na základní stav, jehož energie je bez interakce spinů rovna
$$
E_1 = - R = -13,6\ {\rm eV}.
$$
Pracujeme v Hilbertově prostoru
$$
\Hil^{(\frac{1}{2},\frac{1}{2})} = \Hil^{(\frac{1}{2})}\ox\Hil^{(\frac{1}{2})} = \C^2\ox\C^2 \simeq \C^4 .
$$
Hamiltonián popisující interakci spinů má tvar
$$
\hat H = E_1 \hat\uni + \tilde{A} \hat{\vec{S}}^{(e)}\cdot \hat{\vec{S}}^{(p)},
$$
kde {$\tilde{A}$ je zatím neurčená konstanta a } $\hat{\vec{S}}^{(e,p)}$ jsou operátory spinu elektronu a protonu, které jsou ve standardní bázi vyjádřeny pomocí matic
$$
\hat{\vec{S}}^{(e)} = \frac{\hbar}{2}\vec{\sigma}\ox\uni,\quad \hat{\vec{S}}^{(p)} = \uni\ox \frac{\hbar}{2}\vec{\sigma}.
$$
Spektrum hamiltoniánu lze snadno určit přímým výpočtem. Označíme-li $A = \frac{\hbar^2}{4}\tilde{A}$, pak matice hamiltoniánu je
$$
\hat H = E_1 \hat\uni + A\sigma_i\ox\sigma_i = \left(\ba{cccc}
E_1+A & 0 & 0 & 0\\
0 & E_1-A & 2A & 0\\
0 & 2A & E_1-A & 0\\
0 & 0 & 0 & E_1+A \ea\right).
$$
Její vlastní čísla jsou rovna
\begin{equation}
\label{hyperfine:E}
E_{1,1} = E_1 + A,\quad E_{1,0} = E_1-3A,
\end{equation}
přičemž hodnota $E_{1,1}$ je trojnásobně degenerovaná. Tento výsledek můžeme obdržet s využitím teorie skládání momentů hybnosti. Obecně můžeme ukázat, že vlastní vektory celkového momentu hybnosti jsou i vlastní vektory operátoru $\hat{\vec{L}}^{(1)}\cdot\hat{\vec{L}}^{(2)}$. Platí totiž vztah
$$
\hat{\vec{L}}^{(1)}\cdot\hat{\vec{L}}^{(2)} = \frac{1}{2}\left(\hat J^2 - \hat L^{(1)2}-\hat L^{(2)2}\right),
$$
odkud už snadno nalezneme
\begin{equation}
\label{ll:coupling}
\hat{\vec{L}}^{(1)}\cdot\hat{\vec{L}}^{(2)}\ket{l_1,l_2,j,m} = \frac{\hbar^2}{2}\left(j(j+1)-l_1(l_1+1)-l_2(l_2+1)\frac{}{}\right)\ket{l_1,l_2,j,m}.
\end{equation}
V našem případě je $l_1=l_2=\frac{1}{2}$, takže platí
\begin{eqnarray}
\nonumber \hat{\vec{S}}^{(e)}\cdot \hat{\vec{S}}^{(p)}\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,m} & = & \frac{\hbar^2}{4}\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,m},\quad m = 1,0,-1 ,\\
\nonumber \hat{\vec{S}}^{(e)}\cdot \hat{\vec{S}}^{(p)}\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0} & = & -\frac{3}{4}\hbar^2\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0}.
\end{eqnarray}
Vlastní čísla hamiltoniánu jsou tedy skutečně (\ref{hyperfine:E}), přičemž kety $\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,m},\ m=1,0,-1,$ odpovídají hodnotě $E_{1,1}$ a ket $\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0}$ přísluší hodnotě $E_{1,0}$. Vidíme, že při započtení interakce spinů elektronu a protonu se základní energie rozdělí na dvě hladiny podle velikosti celkového spinu atomu vodíků, resp. kvantového čísla $j$. Z měření spektra vodíku je možné určit hodnotu konstanty $A$. Přeskoku mezi dvěma hladinami hyperjemné struktury odpovídá mikrovlnné záření o frekvenci $\nu \approx 1420$MHz, tj. $\Delta E = E_{1,1}- E_{1,0} = 4A = h\nu \approx 5,9 \mu$eV. Tato spektrální linie hraje důležitou roli v radioastronomii, kde poskytuje informace o množství a pohybu (díky Dopplerově posunu) atomárního vodíku v galaxiích.}
{Na závěr uveďme explicitní tvar vlastních vektorů celkového momentu hybnosti (a tedy i Hamiltoniánu) v bázi vlastních vektorů spinu elektronu a protonu. Kety odpovídající hodnotě $j=1$ a $m=1,-1$ jsou rovny
$$
\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,1} = \ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}\ox \ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}},\quad \ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,-1} = \ket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}\ox \ket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}.
$$
Stav s $j=1$ a $m=0$ dostaneme aplikací posunovacího operátoru $\hat J_- = \hat S^{(e)}_- + \hat S^{(p)}_-$
$$
\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,0} = \frac{1}{\alpha^-_{1,1}}\hat J_- \ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{}{}\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}\ox \ket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} + \ket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}\ox \ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}\right).
$$
Zbývající vektor s $j=m=0$ leží ve stejném dvourozměrném podprostoru (který odpovídá $m=0$) jako $\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,0}$ a je na něj ortogonální, takže
$$
\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{}{}\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}\ox \ket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} - \ket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}\ox \ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}\right).
$$
Trojice stavů $\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,m},\ m = 1,0,-1,$ tvoří tzv. \emph{tripletní podprostor}, k němu ortogonální stav $\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0}$ se označuje jako \emph{singlet}.
}
\subsection{Skládání orbitálního momentu hybnosti a spinu elektronu}
Celkový moment hybnosti elektronu je dán součtem jeho orbitálního momentu hybnosti a spinu
$$
\hat J_k = \hat L_k + \hat S_k.
$$
V tomto případě jde o skladání momentů hybnosti s $l_1 = l \in \Z_+$ a $l_2 = \frac{1}{2}$. {Případ $l=0$ je triviální, protože $\Hil^{(0)}$ má dimenzi jedna. Vlastní vektory celkového momentu hybnosti jsou v tomto případě
\begin{eqnarray}
\label{joint:sl:0}
\nonumber \ket{0,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} & = & \ket{0,0}\otimes\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}, \\
\ket{0,\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} & = & \ket{0,0}\otimes\ket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}.
\end{eqnarray}}
Pro $l\geq 1$ má Hilbertův prostor
$$
\Hil^{(l,\frac{1}{2})} = \Hil^{(l)}\ox\Hil^{(\frac{1}{2})},
$$
dimenzi $2(2l+1)$ a můžeme ho rozdělit na direktní součet dvou podprostorů lišících se velikostí celkového momentu hybnosti, resp. kvantového čísla $j = l \pm\frac{1}{2}$
$$
\Hil^{(l,\frac{1}{2})} = \Hil^{(j=l+\frac{1}{2})}\oplus \Hil^{(j=l-\frac{1}{2})}.
$$
Ortonormální baze v těchto podprostorech tvoří vlastní vektory celkového momentu hybnosti $\ket{l,\frac{1}{2},l\pm\frac{1}{2},m}$, které můžeme rezepsat do bazí orbitálního momentu hybnosti a spinu způsobem (\ref{mminus1a}), (\ref{mminus1b})
\be
\label{joint:sl}
\ket{l,\frac{1}{2},l\pm\frac{1}{2},m} = \sqrt{\frac{l\mp m+ \frac{1}{2}}{2l+1}}\ket{l,m+\frac{1}{2}}\ox\ket{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} \pm \sqrt{\frac{l\pm m+ \frac{1}{2}}{2l+1}}\ket{l,m-\frac{1}{2}}\ox\ket{\frac{1}{2},\frac{1}{2}} .
\ee
Kromě toho, že se jedná o vlastní vektory $\hat L^2$, $\hat S^2$, $\hat J^2$ a $\hat J_3$, jsou to i vlastní vektory operátoru $\hat{\vec{L}}\cdot\hat{\vec{S}}$. Ze vztahu (\ref{ll:coupling}) plyne
\begin{eqnarray}
\nonumber \hat{\vec{L}}\cdot\hat{\vec{S}} \ket{l,\frac{1}{2},l+\frac{1}{2},m} & = & l\frac{\hbar^2}{2} \ket{l,\frac{1}{2},l+\frac{1}{2},m}, \\
\nonumber \hat{\vec{L}}\cdot\hat{\vec{S}} \ket{l,\frac{1}{2},l-\frac{1}{2},m} & = & -(l+1)\frac{\hbar^2}{2} \ket{l,\frac{1}{2},l-\frac{1}{2},m} .
\end{eqnarray}
Operátor $\hat{\vec{L}}\cdot\hat{\vec{S}}$ hraje roli u tzv. \emph{spin-orbitální vazby}, která ovliňuje jemnou strukturu energetických hladin vodíku. S ní se seznámíme v kapitole \ref{sec:fsh}.
\section{Systémy nerozlišitelných \cc, Pauliho princip}
Jak už bylo řečeno na počátku této kapitoly, při popisu jevů na atomární a nižší úrovni označení \uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné \cc e ztrácí smysl. Jak si ukážeme na následujícím myšlenkovém experimentu (podrobněji viz \cite{feynman}, kapitola 1.4), důvodem je to, že kvantová mechanika nepopisuje trajektorie částic.
Uvažujme pružnou srážku dvou částic vyletujících ze zdrojů $Z_1$ a $Z_2$. Problém budeme popisovat v težišťové soustavě.
%Označme amplitudu rozptylu částice ze zdroje $Z_1$ do úhlu $\alpha$ %jako $f(\alpha)$.
Pod úhly $\Theta$, resp. $\pi-\Theta$ umístíme detektory $D_1$ a $D_2$, viz obrázek~\ref{fig:rozptyl}. Detektor $D_1$ zaznamená buď dopad částice ze zdroje $Z_1$ (tj. dojde k jejímu rozptylu o úhel $\Theta$), nebo dopad částice ze zdroje $Z_2$. Ve druhém případě se částice ze zdroje $Z_1$ rozptýlí pod úhlem $\pi-\Theta$ a dopadne do detektoru $D_2$. {Označme počáteční stav částic v čase $t_0=0$ jako $\ket{\psi_i}$ a evoluční operátor systému $\hat U(t)$. Stav částic těsně před okamžikem detekce $t_D$ bude
$$
\ket{\psi_{t_D}} = \hat U(t_D)\ket{\psi_i}.
$$}
Bude nás zajímat pravděpodobnost $P$, že detektor $D_1$ zaznamená dopad nějaké částice (tj. že nastane jedna ze situací z obrázku~\ref{fig:rozptyl}). Pravděpodobnost $P$ se bude lišit podle typu částic, se kterými experiment provádíme.
\begin{figure}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{roz1.pdf}\hfill
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{roz2.pdf}
\caption{Rozptyl částic ze zdrojů $Z_1$ a $Z_2$ v težišťové soustavě. {Pokud detektor $D_1$ zaznamená dopad, mohla to být buď částice ze zdroje $Z_1$, nebo částice ze $Z_2$.}}
\label{fig:rozptyl}
\end{figure}
Začněme s případem, kdy částice ze zdrojů $Z_1$ a $Z_2$ jsou různého druhu. Pak jsou dvě situace z obrázku~\ref{fig:rozptyl} od sebe principiálně odlišitelné, a fakt, že nerozlišujeme mezi spuštěním detektoru $D_1$ částicí ze zdroje $Z_1$ nebo $Z_2$ na tom nic nemění. První situaci z obrázku~\ref{fig:rozptyl}, kdy částice ze $Z_1$ dopadne do $D_1$ a částice ze $Z_2$ dopadne do $D_2$, odpovídá koncový stav částic který symbolicky zapíšeme jako $\ket{D_1}\ket{D_2}$. Koncový stav ve druhém případě zapíšeme analogicky ve tvaru $\ket{D_2}\ket{D_1}$. Označme $P(Z_i\rightarrow D_1)$ pravděpodobnost dopadu částice ze zdroje $Z_i$ do detektoru $D_1$. Ty jsou dány projekcemi dvoučásticového stavu $\ket{\psi_{t_D}}$ na koncové stavy $\ket{D_1}\ket{D_2}$, resp. $\ket{D_2}\ket{D_1}$,
$$
P(Z_1\rightarrow D_1) = \left|\bra{D_1}\braket{D_2}{\psi_{t_D}}\right|^2,\quad P(Z_2\rightarrow D_1) = \left|\bra{D_2}\braket{D_1}{\psi_{t_D}}\right|^2.
$$
Pravděpodobnost spuštění detektoru $D_1$ v případě rozlišitelných částic je pak rovna součtu pravděpodobností obou možností
\be
\label{p:roz}
P^{(R)} = P(Z_1\rightarrow D_1) + P(Z_2\rightarrow D_1).
\ee
Uvažujme stejný experiment, ale zdroje $Z_1$ a $Z_2$ budou nyní vysílat identické částice. V takovém případě není možné zjistit z kterého zdroje vyšla částice, jež spuštění způsobila a pravděpodobnosti $P(Z_i\rightarrow D_1)$ nelze vůbec zavést. Pravděpodobnost spuštění detektoru $D_1$ bude dána projekcí stavu $\ket{\psi_{t_D}}$ na koncový stav obou částic $\ket{\psi_f}$
$$
P = \left|\braket{\psi_f}{\psi_{t_D}}\right|^2.
$$
Neboť se jedná o nerozlišitelné částice, zdá se, že stav $\ket{\psi_f}$ může být popsán ketem $\ket{D_1}\ket{D_2}$ stejně jako $\ket{D_2}\ket{D_1}$. Obecně dokonce jejich lineární kombinací
$$
\ket{\psi_f} = \alpha\ket{D_1}\ket{D_2}+\beta\ket{D_2}\ket{D_1}.$$
Tento popis je však nepřípustný, neboť pravděpodobnost spuštění detektoru $D_1$ by pak závisela na neurčených konstantách $\alpha,\beta$. Je tedy třeba určit jakými kety (vlnovými funkcemi) budeme popisovat stavy několika nerozlišitelných částic.
Uvažujme systém dvou stejných částic ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi(\vex_1,\vex_2)$. Označme jako $\tilde{\psi}$ funkci, která z $\psi$ vznikne záměnou proměnných $\vex_1\leftrightarrow\vex_2$, tj. $\tilde{\psi}(\vex_1,\vex_2) := \psi(\vex_2,\vex_1)$. Protože částice jsou nerozlišitelné, změnou očíslování se fyzikální stav systému nezmění, a tedy funkce $\psi$ a $\tilde{\psi}$ popisují stejný stav. Musí tedy ležet ve stejném paprsku, takže se mohou lišit maximálně o násobek nenulovou konstantou $C_\psi$. Odtud však plyne, že
\be
\psi(\vex_1,\vex_2) = C_\psi \tilde{\psi}(\vex_1,\vex_2) = C_\psi\psi(\vex_2,\vex_1)={C_\psi}^2\psi(\vex_1,\vex_2),
\ll{asymvlnfce}
\ee
takže $C_\psi=\pm 1$. Vlnové \fc e dvou nerozlišitelných \cc\ musí tedy být buď symetrické, či antisymetrické při záměně svých argumentů.
Mimo to, pro jeden typ \cc {} znaménko $C_\psi$ nemůže záviset na vlnové \fc i, neboť v~opačném případě stavy popsané lineárními kombinacemi
vlnových \fc í s~různými symetriemi by nebyly ani symetrické ani antisymetrické. Částice, jejichž soubory jsou popsány symetrickými vlnovými
\fc emi se nazývají \emph{bosony} a částice, jejichž soubory jsou popsány antisymetrickými vlnovými \fc emi se nazývají \emph{fermiony}. Poznamenejme, že v rozptylovém experimentu rozebíraném na úvod této sekce bude předpověď i výsledek měření pro bosony jiný než pro fermiony. Koncový stav bosonů musí být symetrický
$$
\ket{\psi_f^{(B)}} =\ket{D_1}\ket{D_2} +\ket{D_2}\ket{D_1},
$$
zatímco pro fermiony bude antisymetrický
$$
\ket{\psi_f^{(F)}} = \ket{D_1}\ket{D_2} -\ket{D_2}\ket{D_1}.
$$
Pravděpodobnost spuštění detektoru $D_1$ v případě bosonů je tedy
$$
P^{(B)} = \left|\bra{D_1}\braket{D_2}{\psi_{t_D}} + \bra{D_2}\braket{D_1}{\psi_{t_D}}\right|^2.
$$
Pro fermiony dostaneme vztah
$$
P^{(F)} = \left|\bra{D_1}\braket{D_2}{\psi_{t_D}} - \bra{D_2}\braket{D_1}{\psi_{t_D}}\right|^2.
$$
Rozdílný vztah pro pravděpodobnost spuštění detektoru $D_1$ je důsledkem symetrie (resp. antisymetrie) dvoučásticové vlnové funkce. Poznamenejme, že výrazy $\bra{D_1}\braket{D_2}{\psi_{t_D}}$ a \\ $\bra{D_2}\braket{D_1}{\psi_{t_D}}$ představují amplitudy pravděpodobnosti dvou procesů vedoucích ke spuštění detektoru $D_1$. Pro bosony tyto amplitudy interferují konstruktivně, pro fermiony destruktivně. V případě rozlišitelných částic sčítáme pravděpodobnosti (\ref{p:roz}), tj. kvadráty amplitud.
V~kvantové teorii pole lze ukázat, že \textbf{typ symetrie vlnových \fc í je určen spinem \cc.} Částice s~polocelým spinem (v~jednotkách
$\hbar$), jako např.~elektron, proton či neutron, jsou fermiony a částice s~celým spinem, jako např.~$\pi$--mesony nebo foton, jsou bosony. Vlnové \fc e \cc{} s~nenulovým spinem velikosti $s$ však závisejí vedle souřadnic $\vex_j$ též na proměnných $\xi_j$ nabývajících pouze
diskrétních hodnot $s,s-1,\ldots ,-s$. Symetrií či antisymetrií vlnové \fc e se pak rozumí (anti)symetrie vůči záměně dvojic $(\vex_j,\xi_j)$ a $(\vex_k,\xi_k)$,
$j\neq k$.
Z~výše uvedeného ihned plyne, že \textbf{vlnová funkce systému více nerozlišitelných bosonů či fermionů je symetrická, respektive
antisymetrická} vůči záměně libovolných argumentů, neboť analog podmínky \rf{asymvlnfce} pro více \cc{} lze interpretovat jako
existenci jednorozměrné reprezentace grupy permutací $P_N$. Takovéto reprezentace jsou však buď totálně symetrické či antisymetrické.
Příkladem je vlnová funkce tří \cc, která má v~první dvojici argumentů symetrii danou znaménkem $C_1$ a ve druhé znaménkem $C_2$. Pak
\[
\psi(\vex_1,\vex_2,\vex_3)=C_1\psi(\vex_2,\vex_1,\vex_3)=C_1C_2\psi(\vex_2,\vex_3,\vex_1)=C_2\psi(\vex_3,\vex_2,\vex_1),
\]
ale současně
\[
\psi(\vex_1,\vex_2,\vex_3)=C_2\psi(\vex_1,\vex_3,\vex_2)=C_1C_2\psi(\vex_3,\vex_1,\vex_2)=C_1\psi(\vex_3,\vex_2,\vex_1),
\]
takže $C_1=C_2$.
Podobně jako v~případě rozlišitelných \cc {} je možno vytvářet vícečásticové vlnové funkce z~jednočásticových. Označme symbolem $a$ soubor všech kvantových čísel nutných k jednoznačnému popisu jednočásticového stavu (např. ve sféricky symetrickém poli to budou kvantová čísla $N,l,m$; pro částici s nenulovým spinem navíc přibude hodnota projekce spinu). Uvažujme nejprve dvě částice v různých jednočásticových stavech $a_1$, $a_2$. Jsou-li $\psi_{a_j}(\vex,\xi)$ příslušné normalizované vlnové
\fc e jedné \cc e, pak
\[
\psi^{(B)}_{a_1,a_2}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2) := \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)\psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) + \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)\psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1)\right)
\]
je vlnová \fc e dvou stejných bosonů, a podobně
\[
\psi^{(F)}_{a_1,a_2}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2)
:= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)\psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) - \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)\psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1)\right)
\]
je vlnová \fc e dvou stejných fermionů. Číselný faktor $\frac{1}{\sqrt{2}}$ jsme přidali tak, aby dvoučásticový stav byl normován k jedné. Pokud jsou jednočásticové stavy stejné $(a_1=a_2=a)$, pak vlnová funkce dvou bosonů je
$$
\psi^{(B)}_{a,a}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2) := \psi_{a}(\vex_1,\xi_1)\psi_{a}(\vex_2,\xi_2).
$$
Dva fermiony ve stejném stavu být nemohou, protože antisymetrizací dostaneme funkci identicky rovnou nule. Tento fakt je speciálním případem Pauliho principu (viz dále).
Vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných bosonů ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je rovna
\be
\psi^{(B)}_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,
\ldots,\vex_N,\xi_N)
:= {\cal N} \sum_{\pi\in S_N} \psi_{a_1}(\vex_{\pi 1},\xi_{\pi 1}) \ldots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N},\xi_{\pi N}),
\ll{bosvlf}
\ee
kde $S_N$ je grupa permutací $N$ objektů a ${\cal N}$ značí normalizační faktor. Pokud jsou jednočásticové stavy $a_j$ různé, pak ${\cal N} = \frac{1}{\sqrt{N!}}$, v jiném případě je určení ${\cal N}$ složitější. Analogicky, vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných fermionů ve stavech
$\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je
\be \psi^{(F)}_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,
\ldots,\vex_N,\xi_N):= {\cal N}
\sum_{\pi\in S_N} {\sgn \pi}\,
\psi_{a_1}(\vex_{\pi 1},\xi_{\pi 1}) \ldots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N},\xi_{\pi N}), \ll{antisym}
\ee
kde $\sgn\pi$ je znaménko permutace $\pi$. Antisymetrická vlnová \fc e \rf{antisym} se dá zapsat jako
tzv. {\em Slaterův determinant}.
\[ \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,
\ldots,\vex_N,\xi_N)=\ \ \ \ \ \ {}\]
\be \ \ \ {\cal N}\det\left( \ba{cccc}
\psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)& \psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1)&\ldots&\psi_{a_N}(\vex_1,\xi_1)\\
\psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)& \psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2)&\ldots&\psi_{a_N}(\vex_2,\xi_2)\\
.&.&.&.\\
\psi_{a_1}(\vex_N,\xi_N)& \psi_{a_2}(\vex_N,\xi_N)&\ldots&\psi_{a_N}(\vex_N,\xi_N)\\
\ea
\right). \ll{slaterd}
\ee
Z~výrazu \rf{slaterd} je zřejmé, že pokud dva jednočásticové stavy jsou stejné, pak $\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}=0$, což je matematické
vyjádření Pauliho vylučovacího principu: \textbf{V~souboru nerozlišitelných fermionů nemohou existovat dvě \cc e ve stejném stavu}. Tento princip má dalekosáhlé důsledky pro strukturu atomu. {Normalizační faktor ${\cal N}$ pro stav $N$ fermionů je roven $\frac{1}{\sqrt{N!}}$.
Obecně je Hilbertův prostor souboru $N$ nerozlišitelných bosonů (resp. fermionů), roven podprostoru totálně symetrických vektorů $\Hil^S$ (resp. antisymetrických vektorů $\Hil^A$), v prostoru $\Hil^{\otimes N}_1$, kde $\Hil_1$ je Hilbertův prostor jedné částice. Pokud jednočásticové vlnové \fc e $\psi_{a_i}$ tvoří ortonormální bazi v~prostoru $\Hil_1$,
pak funkce \rf{bosvlf}, resp. \rf{antisym}, složené z~jednočásticových stavů tvoří ortonormální bazi v~prostoru
$\Hil^S$ popisující soustavu bosonů, resp.~$\Hil^A$ popisující soustavu fermionů.
Pozorovatelné pro systémy nerozlišitelných \cc{} jsou pak popsány samosdruženými operátory v~podprostorech $\Hil^S$ nebo $\Hil^A$. Znamená
to, že působení těchto operátorů musí zachovat (anti)symetrii \fc í, na které působí. Takže např.~operátor potenciální energie v~poli
konzervativních sil musí být popsán funkcí $V(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N)$, která je symetrická vůči záměně svých proměnných. Formálně lze tuto
vlastnost vyjádřit tak, že pozorovatelné komutují s~operátory \uv{záměny \cc{}} $\hat P_\pi,\ \pi\in S_N,$
\be
\hat P_\pi\psi(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N) := \psi(\vex_{\pi 1},\vex_{\pi 2},\ldots,\vex_{\pi N})
\ee
\bc
Najděte energie a vlastní \fc e základního a prvního excitovaného stavu dvou nerozlišitelných \cc{} se spinem 0, resp.~$\half$ v~poli
harmonického oscilátoru.
\ec
\bc
Napište vlnovou funkci základního stavu atomového obalu helia zanedbáme-li odpudivé síly mezi elektrony (tzv.~nulová aproximace).
\ec
{\bc
Uvažujte dvě částice v (ortogonálních) jednočásticových stavech $\ket{\psi}$ a $\ket{\phi}$. Na obou částicích změříme stejnou pozorovatelnou $\hat A$, která má čistě bodové spektrum a vlastní vektory
$$
\hat A \ket{j} = a_j \ket{j}.
$$
S jakou pravděpodobností $P_{m,n}$ naměříme dvě různé hodnoty $a_m$ a $a_n$, pokud jsou částice
\begin{itemize}
\item[a)] rozlišitelné
\item[b)] identické bosony
\item[c)] identické fermiony
\end{itemize}
Jaká bude pravděpodobnost naměření stejných hodnot $a_m$?
\ec}
