Součásti dokumentu 02KVAN
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN}
\chapter{Částice v~elektromagnetickém poli. Spin}
Doposud jsme se zabývali \qv ě mechanickým popisem \cc e v~poli konzervativních sil. Jinými slovy předpokládali jsme, že
hamiltonián je tvaru
\[ \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl+\hat V(\vex). \]
Ne všechny síly však jsou konzervativní. Důležitým případem je Lorentzova síla
\begin{equation}
\vec{F} = \vec{F}(\vex,\vec v,t)=q[\vec E(\vex,t)+\vec v \times \vec{B}(\vex,t)],
\end{equation}
která působí na nabitou částici s nábojem $q$ v~\emk ém poli $\{\vec{E}(\vex,t),\vec{B}(\vex,t)\}$. Tato síla není konzervativní. Na druhé
straně, z~kursu teoretické fyziky (viz např.~\cite[U2.1]{sto:tf}), víme, že je ji možno vyjádřit pomocí zobecněného potenciálu
\[ U(\vex,\vec{v},t)=q[\phi(\vex,t)-\vec v\cdot\vec A(\vex,t)] , \]
kde $\phi$ a $\vec A$ jsou \emk é potenciály, tzn.
\begin{equation}
\vec{E} = -\grad\phi - \frac{\pd\vec{A}}{\pd t}, \qquad \vec{B} = \rot\vec{A}.
\end{equation}
Pohyb klasické \cc e v~\emk ém poli je možno popsat pohybovými \rc emi v~Hamiltonově formulaci s~Hamiltonovou \fc í
\begin{equation}
H(\vex, \vec{p},t) = \frac{1}{2M}[\vec{p} - q \vec{A}(\vex,t)]^2 + q\phi(\vex,t).
\end{equation}
\emph{Hamiltonián \qv ě \mi cké \cc e v~\emk ém poli} je pak možno odvodit z~principu korespondence
\begin{equation}
\hat{H} = \frac{1}{2M}\left(\hat{\vec{P}} - q\hat{\vec{A}}(\vex,t)\right)^2 + q\hat{\phi}(\vex,t)
\ll{hem}.
\end{equation}
{Poznamenejme zde, že v~tomto případě princip korespondence neurčuje hamiltonián jednoznačně, neboť operátory $\hat{\vec{P}}$ a $\hat{\vec{A}}$
vyskytující se v~prvním členu pravé strany \rf{hem} obecně nekomutují
$$
[\hat{\vec{P}},\hat{\vec{A}}] = -i\hbar \vec{\nabla}\cdot\vec{A}.
$$
Tato nejednoznačnost odpadá, pokud zvolíme Coulombovu kalibraci, kde $\vec{\nabla}\cdot\vec{A} = 0$. Hamiltonián (\ref{hem}) pak můžeme snadnými úpravami přepsat do tvaru
\begin{equation}
\hat{H}
= \frac{\hat{P}^2}{2M} - \frac{q}{M}\hat{\vec{A}}(\vex,t) \cdot \hat{\vec{P}}
+ \frac{q^2}{2M} \hat{A}^2(\vex,t)
+ q\hat{\phi}(\vex,t).
\ll{hem2}
\end{equation}
}
\bc
Ukažte, že požadavek samosdruženosti neurčuje uspořádání operátoru odpovídajímu klasické pozorovatelné $p x^2$, kde $p$ a $x$
jsou hybnost a souřadnice jednorozměrného systému.
\ec
\section{Částice v~homogenním magnetickém poli}
Budeme se zabývat případem \qv é \cc e v~homogenním časově nezávislém magnetickém poli $\vec{B}(\vex,t) = \vec{B}$. Vektorový potenciál lze v~tomto případě zvolit $\vec{A}(\vex)=\half \vec{B} \times \vex$ a odpovídající hamiltonián lze zapsat
způsobem
\begin{equation}
\hat{H}
= \frac{\hat{P}^2}{2M} - \frac{q}{2M} \vec{B} \cdot \hat{\vec{L}}
+ \frac{q^2}{8M} (\vec{B} \times \hat{\vex})^2 + q\hat{\phi}(\vex),
\ll{hhommag}
\end{equation}
kde $\hat{\vec{L}}$ je operátor momentu hybnosti částice.
Pro střední hodnoty souřadnice a momentu hybnosti charakteristické pro atomy a nikoliv extrémně silná magnetická pole je příspěvek
od třetího členu zanedbatelný, takže hamiltonián lze psát způsobem
\begin{equation}
\hat{H} = \hat{H}_0 - \hat{\vec{\mu}}_{\mathrm{orb}} \cdot \vec{B},
\end{equation}
kde $\hat{H}_0$ je hamiltonián \cc e bez vlivu magnetického pole (pouze v~poli konzervativních sil, což je problém který jsme studovali
doposud) a
\begin{equation}
\hat{\vec{\mu}}_{\mathrm{orb}} = \frac{q}{2M}\hat{\vec{L}}
\ll{orbmgm}
\end{equation}
je \emph{operátor magnetického momentu \cc e} související s~jejím orbitálním pohybem.
Je-li potenciál $V(\vex)=q\phi(\vex)$ v~$\hat{H}_0$ sféricky symetrický, což je například potenciál coulombického pole jádra atomu, pak
lze nalézt vlastní funkce $\psi_{E,l,m}$ hamiltoniánu $\hat{H}_0$, které jsou současně vlastními \fc emi momentu hybnosti (viz
\ref{ssec:csympot})
\begin{align}
\hat{H}_0 \psi_{E,l,m} &= E\psi_{E,l,m}, \ll{vlfceelm1} \\
\hat{L}^2 \psi_{E,l,m} &= l(l+1)\hbar^2\psi_{E,l,m}, \ll{vlfceelm2} \\
\hat{L}_z \psi_{E,l,m} &= m\hbar\psi_{E,l,m}. \ll{vlfceelm3}
\end{align}
Odtud plyne, že v~tomto případě lze okamžitě určit vlastní energie i vlastní funkce \cc e v~magnetickém poli. Sférická symetrie systému
bez magnetického pole totiž umožňuje zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole, a pokud platí \rf{vlfceelm1}, \rf{vlfceelm3}, pak rovněž platí
\begin{equation}
\hat{H} \psi_{E,l,m} = \left(E \mp \mu_0 m B\right) \psi_{E,l,m},
\ll{vlfcemagp}
\end{equation}
kde znaménko $-$ odpovídá kladně nabité a $+$ záporně nabité částici, $B = \norm{\vec{B}}$ a $\mu_0=\frac{|q|\hbar}{2M}$ je tzv.~\emph{magneton} částice. V případě elektronu ($q=-e$) ho nazýváme \emph{Bohrovým magnetonem} a jeho hodnota je $0.9274 \times 10^{-23} \mathrm{JT}^{-1}$.
Znamená to, že \textbf{hladiny energie částice}, které díky sférické symetrii původně nezávisely na $m$, a spektrum tedy bylo degenerované,
\textbf{se podle takto navržené teorie vlivem homogenního magnetického pole rozštěpí na $2l+1$ různých hladin vzdálených o~$\mu_0 B$.}
Říkáme, že magnetické pole sejme degeneraci energie. Střed vzniklého multipletu hladin zůstane na místě a vzdálenosti hladin jsou úměrné
intenzitě magnetického pole (pro jisté rozmezí jejích hodnot, mimo něj je třeba započítat další efekty).
Efekt rozštěpení hladin magnetickým polem byl experimentálně pozorován, jedná se o~tzv.~\emph{Zeemanův jev}, avšak \textbf{počet hladin
v~multipletu neodpovídá předpovězenému číslu $2l+1$}. Překvapivé je, že například dochází k~rozštěpení hladiny energie základního stavu atomů,
který by podle dosavadní teorie měl být nedegenerovaný, neboť v~tomto stavu $l=0$.
\section{Vlastní magnetický moment a spin částice}
\label{vmmsc}
Uvedený rozpor teorie a experimentu řeší hypotéza (Landé, Stoner, Pauli 1923--25), podle které \textbf{elektron má} vedle magnetického
momentu \rf{orbmgm} souvisejícího s~orbitálním pohybem ještě \textbf{vlastní magnetický moment $\vec{\mu}$, jehož projekce nabývají právě
dvou hodnot} $\pm|\mu|$.
Tato hypotéza se opírá i o~výsledky \emph{Sternova-Gerlachova pokusu}, při kterém prochází svazek atomů stříbra v~základním stavu nehomogenním magnetickým polem kolmo na směr nehomogenity.
\begin {figure}[hbtp]
\hskip 1cm
\vskip 1cm
%TexCad Options
%\grade{\on}
%\emlines{\off}
%\beziermacro{\off}
%\reduce{\on}
%\snapping{\on}
%\quality{2.00}
%\graddiff{0.01}
%\snapasp{1}
%\zoom{1.00}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(127.00,150.00)
%\emline(20.00,130.00)(60.00,130.00)
\put(20.00,130.00){\line(1,0){40.00}}
%\end
%\emline(90.00,145.00)(90.00,115.00)
\put(90.00,145.00){\line(0,-1){30.00}}
%\end
%\vector(60.00,130.00)(90.00,135.00)
\put(90.00,135.00){\vector(4,1){0.2}}
\multiput(60.00,130.00)(0.71,0.12){42}{\line(1,0){0.71}}
%\end
%\vector(60.00,130.00)(90.00,125.00)
\put(90.00,125.00){\vector(4,-1){0.2}}
\multiput(60.00,130.00)(0.71,-0.12){42}{\line(1,0){0.71}}
%\end
\put(55.00,135.00){\rule{10.00\unitlength}{15.00\unitlength}}
\put(55.00,110.00){\rule{10.00\unitlength}{15.00\unitlength}}
%\emline(120.00,135.00)(115.00,150.00)
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,0.36){42}{\line(0,1){0.36}}
%\end
%\emline(115.00,150.00)(125.00,150.00)
\put(115.00,150.00){\line(1,0){10.00}}
%\end
%\emline(125.00,150.00)(120.00,135.00)
\multiput(125.00,150.00)(-0.12,-0.36){42}{\line(0,-1){0.36}}
%\end
%\emline(127.00,126.00)(127.00,110.00)
\put(127.00,126.00){\line(0,-1){16.00}}
%\end
%\emline(127.00,110.00)(113.00,110.00)
\put(127.00,110.00){\line(-1,0){14.00}}
%\end
%\emline(113.00,110.00)(113.00,125.00)
\put(113.00,110.00){\line(0,1){15.00}}
%\end
%\emline(113.00,125.00)(114.00,125.00)
\put(113.00,125.00){\line(1,0){1.00}}
%\end
%\emline(114.00,125.00)(115.00,124.00)
\multiput(114.00,125.00)(0.11,-0.11){9}{\line(0,-1){0.11}}
%\end
%\emline(115.00,124.00)(125.00,124.00)
\put(115.00,124.00){\line(1,0){10.00}}
%\end
%\emline(125.00,124.00)(126.00,125.00)
\multiput(125.00,124.00)(0.11,0.11){9}{\line(0,1){0.11}}
%\end
%\emline(126.00,125.00)(127.00,125.00)
\put(126.00,125.00){\line(1,0){1.00}}
%\end
%\vector(120.00,135.00)(120.00,124.00)
\put(120.00,124.00){\vector(0,-1){0.2}}
\put(120.00,135.00){\line(0,-1){11.00}}
%\end
%\vector(120.00,135.00)(123.00,124.00)
\put(123.00,124.00){\vector(1,-4){0.2}}
\multiput(120.00,135.00)(0.12,-0.42){26}{\line(0,-1){0.42}}
%\end
%\vector(120.00,135.00)(117.00,124.00)
\put(117.00,124.00){\vector(-1,-4){0.2}}
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,-0.42){26}{\line(0,-1){0.42}}
%\end
%\vector(120.00,135.00)(126.00,125.00)
\put(126.00,125.00){\vector(2,-3){0.2}}
\multiput(120.00,135.00)(0.12,-0.20){50}{\line(0,-1){0.20}}
%\end
%\vector(120.00,135.00)(114.00,125.00)
\put(114.00,125.00){\vector(-2,-3){0.2}}
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,-0.20){50}{\line(0,-1){0.20}}
%\end
\put(20.00,132.00){\makebox(0,0)[lb]{1}}
\put(68.00,145.00){\makebox(0,0)[lb]{2}}
\put(80.00,136.00){\makebox(0,0)[lb]{3}}
\put(93.00,115.00){\makebox(0,0)[lb]{4}}
\put(20.00,100.00){\makebox(0,0)[lb]{A) Sch\'ema experimentu}}
\put(105.00,100.00){\makebox(0,0)[lb]{B) Bokorys průběhu}}
\put(105.00,95.00){\makebox(0,0)[lb]{siločar magnetického pole}}
\put(20.00,90.00){\makebox(0,0)[lb]{1 Svazek atomů }}
\put(20.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{2 P\'oly magnetu}}
\put(50.00,90.00){\makebox(0,0)[lb]{3 Rozštěpené svazky částic}}
\put(50.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{4 Stínítko}}
\end{picture}
\caption{Sternův-Gerlachův pokus}
\end{figure}
Síla, která na atomy v~tomto poli působí (viz např.~\cite[kap.~4.3]{sto:em}) je
\[ \vec{F}(\vex) = \grad (\vec{\mu} \cdot \vec{B}(\vex)), \]
takže částice jsou urychlovány ve směru gradientu projekce magnetického momentu \cc e na směr magnetického pole. {Atom stříbra má jeden valenční elektron. V určitém přiblížení ho tedy můžeme popsat jako vázaný systém dvou částic - valenčního elektronu a jádra s elektrony uzavřených slupek. V základním stavu je valenční elektron ve slupce $5s$, takže jeho orbitální magnetický moment je nulový a se svazkem atomů by se po průchodu nehomogenním magnetickým polem nemělo nic stát. V experimentu se však svazek atomů rozdělí na dva, což je plně v~souhlasu s~představou vlastního magnetického momentu elektronu. Z~úhlu, pod kterým tyto dva rozdělené svazky atomů stříbra vylétají je možno určit i velikost vlastního magnetického momentu elektronu.
Ukázalo se, že je ve velmi dobré shodě s~velikostí Bohrova magnetonu, $|\mu|=\mu_0$. Poznamenejme, že později byl analogický experiment proveden i s atomárním vodíkem se stejným výsledkem.}
Možnost rozštěpení hladiny energie základního stavu atomu vodíku na dvě svědčí o~tom, že \textbf{základní stav je degenerovaný a jeho
popis vlnovou funkcí $\psi_{E,0,0}$ není úplný} a je mu nutno přiřadit lineární kombinaci dvou lineárně nezávislých funkcí, jež jsou
vlastními \fc emi energie s~nejnižší vlastní hodnotou. Z~předchozího však víme, že taková funkce je až na multiplikativní konstantu jen
jedna. Východiskem z~této situace je použití vlnových \fc í které mají dvě složky
\begin{equation}
\Psi(\vex) = \left( \ba {c} \psi_1(\vex) \\ \psi_2(\vex) \ea \right).
\ll{vekvlnfce}
\end{equation}
Alternativní, avšak ekvivalentní přístup je použití vlnových funkcí, které vedle $\vex$ závisí ještě na další proměnné $\xi$, která nabývá
pouze dvou hodnot $\pm$, tj.
\[
\psi=\psi(\vex,\xi), \quad \psi(\vex,+)\equiv\psi_1(\vex), \quad \psi(\vex,-)\equiv\psi_2(\vex).
\label{2kvf}
\]
Přechod k~vlnovým \fc ím \rf{vekvlnfce} znamená přechod od Hilbertova prostoru \qintspace{} k~prostoru \qintspace$\otimes\C^2$. Skalární
součin v~tomto prostoru je definován vztahem
\begin{equation}
(\Psi,\Phi) := \sum_{k=1}^2\int_{\R^3}\psi^*_k(\vex)\phi_k(\vex)d^3x =\sum_{\xi=\pm}\int_{\R^3}\psi^*(\vex,\xi)\phi(\vex,\xi)d^3x
\end{equation}
a operátory jsou obecně zadány maticí operátorů $\hat{A}=\{ \hat{A}_{ij}\}_{i,j=1}^2$. Neboť jsme se doposud zabývali jevy, ve kterých
magnetický moment nehrál roli, mohli jsme používat operátory, které jsou násobkem jednotkové matice, např.~hamiltonián je dán maticí
$\hat{H}_{ij} = \hat{H} \delta_{ij}$, jinak vyjádřeno $\hat{H} = \hat{H} \otimes \uni_{\C^2}.$
Projekci vlastního magnetického momentu do osy $z$ (směru magnetického pole) naopak přiřadíme operátor $\hat{ \mu}_{3}$, který působí
netriviálně pouze v~prostoru $\C^2$, zatímco v~prostoru \qintspace{} působí pouze jako násobení konstantou
\begin{equation}
\hat{\mu}_{3} := \left( \ba {cc} \mu_0&0\\ 0&-\mu_0 \ea \right) .
\ll{muz}
\end{equation}
{Standardní bázi $\C^2$ tedy ztotožníme s vlastními vektory $\hat{\mu}_{3}$, které odpovídají kladné, resp. záporné, projekci vlastního magnetického momentu do osy $z$.}
Souvislost orbitálního magnetického momentu s~momentem hybnosti \rf{orbmgm} přivedla G.~E.~Uhlenbecka a S.~Goudsmita k~hypotéze (1925),
že podobně jako orbitální, i \textbf{vlastní magnetický moment elektronu je důsledkem nenulového vlastního momentu hybnosti --- spinu}. Tato
veličina \emph{nemá analogii} v~žádném druhu pohybu klasických hmotných těles. \textbf{Operátor spinu má stejně jako orbitální magnetický
moment tři složky $\hat{S}_j$, které netriviálně působí pouze v~$\C^2$ a vzájemně komutují stejným způsobem jako složky momentu hybnosti}
\begin{equation}
{\Large \fbox{ $ [\hat{S}_j,\hat{S}_k] = i\hbar \epsilon_{jkl}\hat{S}_l $}}\ .
\ll{relspin}
\end{equation}
Vztah mezi spinem a vlastním magnetickým momentem elektronu je
\be
\label{mu:el}
{\large\fbox{$\hat{\vec{\mu}} = \frac{2\mu_0}{\hbar}\hat{\vec{S}}$}}\ ,
\ee
Faktor 2 je v~rámci této teorie nutné brát jako fenomenologickou konstantu. Její vysvětlení je možno podat až v~rámci relativistické kvantové mechaniky.
Operátory projekce spinu $\hat{S}_j$ jsou ve standardní bázi $\C^2 $, kterou stejně jako v (\ref{muz}) spojíme s vlastními vektory $\hat \mu_3$ (a tedy i $\hat S_3$), reprezentovány pomocí tzv.~\emph{Pauliho matic} $\sigma_j$
\begin{equation}
\hat S_j = \frac{\hbar}{2}\sigma_j,\quad \sigma_1 = \left(\ba{cc}0&1\\1&0\ea\right),\
\sigma_2 = \left(\ba{cc}0&-i\\i&0\ea\right),\
\sigma_3 = \left(\ba{cc}1&0\\0&-1\ea\right).
\ll{paulimat}
\end{equation}
Přímým výpočtem lze ukázat, že Pauliho matice splňují komutační relace
\begin{equation}
[\sigma _j,\sigma _k] = 2i\epsilon_{jkl}\sigma _l,
\ll{sigmarel}
\end{equation}
ze kterých plyne \rf{relspin}. Pro Pauliho matice platí další vztahy užitečné při různých výpočtech. Uveďme nejdůležitější z~nich
\begin{align}
\sigma _j &= \sigma _j^\dagger, \\
\Tr \sigma _j &= 0, \\
\{\sigma _j,\sigma _k\} &= 2\delta_{jk}\uni. \ll{anticomsig}
\end{align}
Mimo to spolu s~jednotkovou maticí tvoří $\{\sigma _j \ | \ j=1,2,3\}$ (hermitovskou) bazi v~prostoru komplexních matic $2\times 2$.
Násobení Pauliho matic
\begin{equation}
\sigma _j\sigma _k=\delta_{jk}\uni+i\epsilon_{jkl}\sigma _l
\ll{nassig}
\end{equation}
plyne okamžitě z~\rf{sigmarel}, \rf{anticomsig}.
\bc
\label{spin:n}
Ukažte, že vlastní čísla operátoru projekce spinu do směru $\vec{n}$, definovaného předpisem $\hat S_{\vec{n}} = \vec{n} \cdot \hat{\vec{S}}$, kde $\vec{n} = (\cos\varphi\sin\theta, \sin\varphi\sin\theta,\cos\theta)$, jsou $\pm \frac{\hbar}{2}$. Najděte odpovídající vlastní vektory.
\ec
\bc
Napište vlnovou \fc i $\Psi(\vex)$ základního stavu \cc e v~poli Coulombova potenciálu s~hodnotou $z$--ové, resp. $x$--ové,
resp.~$y$--ové složky spinu rovné $\frac\hbar 2$.
\ec
\bc
Nechť pro volnou \cc i se spinem je naměřena hodnota $z$--ové složky spinu $s_z$=$\frac\hbar 2$. Jestliže vzápětí měříme hodnotu spinu ve
směru, který se $z$--ovou osou svírá úhel $\Theta$, jaké můžeme naměřit hodnoty a s~jakou pravděpodobností?
\label{spin:pr}
\ec
Snadno se ukáže, že spektrum všech tří operátorů $\hat S_j$ je tvořeno vlastními čísly $\pm\frac{\hbar}{2}$. Obdobně to platí pro projekci spinu do jakéhokoli směru, viz. cvičení (\ref{spin:n}). Neznamená to však že hodnoty všech tří složek spinu v jednom stavu jsou $\pm\frac{\hbar}{2}$. Pokud je např. částice ve stavu odpovídajícím kladné projekci spinu do $z$-ové osy, pak hodnota projekce jejího spinu do směru kolmého na osu $z$ není vůbec určená - podle cvičení (\ref{spin:pr}) je pravděpodobnost naměření kladné i záporné projekce spinu rovna $\frac{1}{2}$.
\bc
\label{spin:s2}
Ukažte, že $\hat{\vec{S}}^2 = \frac{3}{4}\hbar^2\uni$.
\ec
{Ze cvičení (\ref{spin:s2}) plyne, že operátor $\hat S^2$ je násobek jednotkové matice, a můžeme ho zapsat ve tvaru $\hat S^2 = \hbar^2 s(s+1)\hat I$, kde $s = \frac{1}{2}$. V případě elektronu tedy hovoříme o částici se spinem $\half$. Poznamenejme, že existují i kvantové částice s jinou velikostí spinu než $\half$. Možné hodnoty velikosti spinu určíme v kapitole \ref{atmh}.}
\bc
Uvažujte systém (tzv.~supersymetrický harmonický oscilátor) popsaný na Hilbertovu prostoru $L^2(\R,dx) \otimes \C^2$ hamiltoniánem
\[
\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta \otimes \uni + \frac{ m \omega^2}{2} x^2 \otimes \uni + \frac{\hbar \omega}{2} \uni \otimes \sigma_{3}.
\]
Dále je dán operátor
\[
\hat{Q} = \frac{1}{2 \sqrt{m}} \sigma_{1} ( \hat{P}+i \omega m \sigma_{3} \hat{X}).
\]
Nalezněte $\hat{Q}^{\dagger}$, $\hat{Q}^2$, $[\hat{H},\hat{Q}]$ a výsledky vyjádřete pomocí operátorů $\hat{H}$, $\hat{Q}$. Jaké
omezení lze vyvodit z~těchto relací na spektrum hamiltoniánu (tj.~zda je shora či zdola omezené a čím)? (Postačí uvažovat bodovou
část spektra.)
\ec
\section{Pauliho \rc e. Normální Zeemanův jev}
\label{sec:pnz}
Z~výsledku Sternova-Gerlachova pokusu a rozštěpení energetických hladin atomů v~magnetickém poli jsme došli k~hypotéze, že stavy elektronu v~atomu jsou charakterizovány též hodnotou čistě kvantové veličiny nazývané spin. Síly, které působí na elektron v~magnetickém
poli jsou na spinu závislé a musí být proto zahrnuty do hamiltoniánu. W.~Pauli navrhl rozšíření hamiltoniánu pro elektron (kde $q=-e$) v~\emk ém poli
na tvar{\be
{\Large \fbox{$\hat{H} = \dfrac{1}{2M}[\hat{\vec{P}} + e\hat{\vec{A}}]^2 - e\hat{\phi} + \frac{2\mu_0}{\hbar} \hat{\vec{B}} \cdot \hat{\vec{S}}$}} \ .
\ll{pauham}
\ee}
Rovnice
\[
i\hbar\frac{\pd\Psi}{\pd t}=\hat H\Psi,
\]
kde $\hat{H}$ je tvaru \rf{pauham} a $\Psi$ je dvoukomponentová \fc e se nazývá \emph{Pauliho \rc e}. Odpovídající \rc e $\hat{H}\Psi=E\Psi$
se pak nazývá bezčasová Pauliho \rc e.
Pro homogenní, časově nezávislé magnetické pole $\vec{B}(\vex,t)=\vec{B}$ je možno řešení Pauliho \rc e převést na řešení \sv y \rc e, neboť
přímým výpočtem lze ukázat, že pokud $\phi_j,\ j=1,2$ jsou řešení \sv y \rc e
\be
\label{schr:komp}
i\hbar\frac{\pd\phi}{\pd t}=\hat H_1\phi,
\ee
kde $\hat{H}_1$ je spinově nezávislá část \rf{pauham}, pak řešení Pauliho \rc e lze zapsat způsobem
{
\begin{equation}
\Psi(\vex,t) = \left( \ba {c} \psi_1(\vex,t) \\ \psi_2(\vex,t) \ea \right)
= \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \mu_0 \vec{B}\cdot \hat{\vec{\sigma}} t \right) \left( \ba {c} \phi_1(\vex,t) \\ \phi_2(\vex,t) \ea \right),
\ll{respauli}
\end{equation}
kde
\be
\exp \left( -\frac{i}{\hbar} \mu_0 \vec{B}\cdot \hat{\vec{\sigma}} t \right)
= \cos \left( \frac{\mu_0}{\hbar}B t \right)
- i\frac{\vec{B} \cdot \vec{\sigma}}{B} \sin \left( \frac{\mu_0}{\hbar} Bt \right).
\ll{expmb}
\ee
Pokud má navíc počáteční podmínka (v čase $t_0=0$) pro Pauliho rovnici faktorizovaný tvar
$$
\Psi(\vex,0) = \phi(\vex,0)\psi_S(0),\quad \phi\in L^2(\R^3,d^3 x),\quad \psi_S \in\C^2,
$$
pak tento tvar zůstává i pro $t>0$, tj.
$$
\Psi(\vex,t) = \phi(\vex,t)\psi_S(t),
$$
kde $\phi(\vex,t)$ je řešením \sv y rovnice s hamiltoniánem $\hat H_1$ (\ref{schr:komp}) a
$$
\psi_S(t) = \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \mu_0 \vec{B}\cdot \hat{\vec{\sigma}} t \right) \psi_S(0).
$$
}
\bc
Částice se spinem $\hbar/2$ je umístěna v~konstantním magnetickém poli směřujícím ve směru osy $x$. V~čase $t=0$ byla naměřena hodnota její
$z$-ové složky spinu $+\hbar/2$. S~jakou \pst í nalezneme v~libovolném dalším čase hodnotu její $y$-ové složky spinu $+\hbar/2$?
\ec
\bc
Ukažte, že pokud výraz $\exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \}$ definujeme pomocí řady
\be
\exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \} := \sum_{n=0}^\infty\frac{(i\vec{a}\cdot\vec{\sigma})^n}{n!},
\ll{defexp}
\ee
pak platí
\be
\exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \} = \cos(a) + i\frac{\vec{a}\cdot\vec{\sigma}}{a} \sin(a), \quad a =\norm{\vec{a}}.
\ee
\ec
Rozštěpení energetických hladin v~důsledku existence vlastního magnetického momentu elektronu je pak možno popsat Pauliho hamiltoniánem
{\be
\hat{H} = \hat{H}_0 +\frac{\mu_0}{\hbar}\vec{B}\cdot\hat{\vec{L}}+\frac{2\mu_0}{\hbar}\vec{B}\cdot\hat{\vec{S}},
\ee}
kde $\hat{H}_0$ (což je např.~hamiltonián elektronu v~coulombickém poli) popisuje elektron bez magnetického pole. Řešením bezčasové Pauliho \rc e
$\hat{H}\Psi=E\Psi$ lze dostat \textbf{energetické spektrum, které odpovídá rozštěpení hladin magnetickým polem pozorované v~normálním
Zeemanově jevu.} Toto řešení lze obdržet ze znalosti řešení bezčasové \sv y \rc e.
Pro sféricky symetrický hamiltonián $\hat{H}_0$, lze bez újmy na obecnosti zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole. Je snadné se
přesvědčit, že pokud elektron má v~nepřítomnosti magnetického pole energii $E_0=E_{nl}$ (tzn.~$E_{nl}$ je vlastní hodnotou hamiltoniánu
$\hat{H}_0$) a funkce $\psi_{n,l,m}$ jsou vlastní funkce $\hat{H}_0$, $\hat{L}^2$, $\hat{L}_z$, pak \fc e
\be
\Psi_{n,l,m,+}(\vex) = \left(\ba{c} \psi_{n,l,m}(\vex) \\ 0 \ea\right), \quad
\Psi_{n,l,m,-}(\vex) = \left(\ba{c} 0 \\ \psi_{n,l,m}(\vex) \ea\right)
\ee
jsou vlastními \fc emi Pauliho hamiltoniánu odpovídajícími vlastním hodnotám $E_{n,l,m,\pm}=E_{nl}+\mu_0 B_z(m\pm 1)$. Počet hladin multipletu
je $2l+3$ pro $l=1,2,\ldots$ Pro $l=0$ dostáváme dvě hladiny energie, což je ve shodě i se
Sternovým-Gerlachovým pokusem.
\bc
Liší se rozštěpení $N$- té excitované hladiny pro částici v Coulombickém
poli a v poli harmonického oscilátoru?
\ec
Poznamenejme, že normální Zeemanův jev je experimentálně pozorován v silném magnetickém poli. Ve slabém poli dochází k tzv. anomálnímu Zeemanovu jevu, kde je spektrum podstatně složitější - multiplety obsahují sudý počet hladin, jejichž vzdálenost navíc závisí na projekci spinu elektronu do směru magnetického pole. S jeho popisem a vysvětlením se seznámíme v kapitole (\ref{sec:fsh}), detailněji je pak zpracováno např.~\cite[kap.~8.5]{for:ukt}.
Na závěr této kapitoly je třeba ještě učinit důležitou poznámku: Existence nenulového spinu není univerzální vlastnost všech kvantových \cc.
V~uvedených jevech, které nás přiměly zavést spin, mají rozhodující vliv valenční elektrony atomů. Znamená to tedy, že elektronům je třeba
přiřadit spin (velikosti 1/2). Na druhé straně existují částice, které spin nemají. Jsou to například mesony $\pi$ důležité pro popis jaderných
sil. Ty pak interagují s~magnetickým polem pouze prostřednictvím svého orbitálního momentu hybnosti.
\section{Algebraická teorie momentu hybnosti}
\ll{atmh}
Jak už jsme poznamenali v~podkapitole \ref{vmmsc}, vlastní i orbitální moment hybnosti mají stejné komutační relace
\begin{equation}
[\hat{J}_k,\hat{J}_m] = i\hbar\,\epsilon_{kmn}\hat{J}_n.
\label{imcr}
\end{equation}
Tyto relace lze zároveň považovat za definici násobení prvků baze v~Lieovské algebře $\mathfrak{su}(2)$, která úzce souvisí s~grupou
otočení $SO(3)$. V~dalším odvodíme vlastnosti společných vlastních vektorů operátorů $\hat{J}_3$ a
$\hat{J}^2:={\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2+{\hat{J}_3}^2$ a jejich vlastních hodnot \textbf{bez znalosti jejich konkrétních tvarů}, pouze
využitím algebraických relací \rf{imcr}. Jediné, co budeme navíc předpokládat, je samosdruženost. Z~hlediska zmíněné Lieovské algebry
to znamená konstrukci jejích konečně rozměrných ireducibilních reprezentací.
Podstatným způsobem budeme při tom využívat tzv.~posunovacích operátorů
\begin{equation}\label{jpm}
\hat{J}_\pm := \hat{J}_1\pm i\hat{J}_2, \quad [\hat{J}_3,\hat{J}_\pm] = \pm\hbar \hat{J}_\pm
\end{equation}
s~jejichž obdobou jsme se seznámili v~podkapitole \ref{posunovacioperatory}. Snadno pro ně odvodíme, že
\begin{equation}
\hat{J}_-\hat{J}_+ = {\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2-\hbar \hat{J}_3 = {\hat{J}}^2-{\hat{J}_3}^2-\hbar \hat{J}_3.
\label{jmjp}
\end{equation}
Nechť $\ket{\lambda,\mu}$ je společný vlastní vektor operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_3$ s~vlastními hodnotami $\lambda$, $\mu$
\begin{equation}\label{j2eigen}
\hat{J}^2\ket{\lambda,\mu}=\lambda\ket{\lambda,\mu}, \quad \hat{J}_3\ket{\lambda,\mu}=\mu\ket{\lambda,\mu}.
\end{equation}
Prozkoumejme, jaké jsou možné hodnoty vlastních čísel $\lambda$ a $\mu$. Ze samosdruženosti operátorů $\hat{J}_1$ a $\hat{J}_2$ plyne, že pro libovolný prvek Hilbertova prostoru $\ket{\phi}$ platí
\[
\braketA{\phi}{\hat{J}_1^2 +\hat{J}_2^2}{\phi} = \|{\hat{J}_1}\ket{\phi}\|^2 + \|{\hat{J}_2}\ket{\phi}\|^2 \geq 0,
\]
takže
\[
\braketA{\lambda,\mu}{\hat{J}_1^2+\hat{J}_2^2}{\lambda,\mu}
= \braketA{\lambda,\mu}{\hat{J}^2-\hat{J}_3^2}{\lambda,\mu}
= (\lambda-\mu^2)\, \|\ket{\lambda,\mu}\|^2
\]
je rovněž nezáporné, z~čehož plyne
\begin{equation}\label{lamgeqmu}
\lambda\geq\mu^2.
\end{equation}
Na druhé straně díky \rf{jpm}
\[
\hat{J}_+\ket{\lambda,\mu}=\alpha^{(+)}_{\lambda,\mu} \ket{\lambda,\mu+\hbar},
\]
takže musí existovat maximální vlastní hodnota $\mu_{\mathrm{max}}$ taková, že $\hat{J}_+ \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}=0$.
V~opačném případě by totiž byla porušena nerovnost \rf{lamgeqmu}. Aplikujeme-li operátor $\hat{J}_-\hat{J}_+$ na
$\ket{\lambda,\mu}$ a použijeme \rf{jmjp} a \rf{j2eigen}, dostaneme
\[
0 = \hat{J}_-\hat{J}_+\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}
= (\hat{J}^2-{\hat{J}_3}^2-\hbar \hat{J}_3) \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}
= (\lambda-\mu_{\mathrm{max}}^2-\hbar\mu_{\mathrm{max}}) \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}},
\]
odkud plyne
\begin{equation}
\lambda = \mu_{\mathrm{max}}^2+\hbar\mu_{\mathrm{max}}.
\label{lameq}
\end{equation}
Stejnými úvahami, kde zaměníme $\hat{J}_+$ a $\hat{J}_-$, zjistíme, že musí existovat minimální vlastní hodnota $\mu_{\mathrm{min}}$,
pro kterou platí
\begin{equation}
\lambda = \mu_{\mathrm{min}}^2-\hbar\mu_{\mathrm{min}}.
\label{lameqi}
\end{equation}
Porovnáním \rf{lameq} a \rf{lameqi} dostaneme $\mu_{\mathrm{min}}=-\mu_{\mathrm{max}}$. Mimo to je zřejmé, že opakovaným působením
operátoru $\hat{J}_+$ na $\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{min}}}$ dostaneme vektor úměrný $\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}$. Tj.~existuje
celé nezáporné $k$ tak, že
\[
\mu_{\mathrm{min}}+k\hbar = \mu_{\mathrm{max}} = -\mu_{\mathrm{min}}.
\]
Odtud
\[
\mu_{\mathrm{max}} = -\mu_{\mathrm{min}} = j\hbar, \quad j\in\left\{0,\half,1,\frac{3}{2},2,\ldots\right\},
\]
\begin{equation}
\lambda=j(j+1)\hbar^2, \quad \mu = m\hbar, \quad m\in\{j,j-1,j -2,\ldots\,-j\}
\label{lamu}
\end{equation}
{K označení vlastních vektorů $\hat J^2$ a $\hat J_3$ se pak místo vlastních čísel $\lambda,\mu$ častěji používá kvantových čísel $j,m$, tj. přiřadíme jim kety $\ket{j,m}$, které splňují
$$
\hat J^2 \ket{j,m} = j(j+1)\hbar^2\ket{j,m}, \quad \hat J_3\ket{j,m} = m\hbar \ket{j,m}.
$$
}
Je tedy vidět, že pokud jsme nepředpokládali operátory $\hat{J}_k$ ve tvaru operátorů momentu hybnosti, nýbrž vzali v~úvahu pouze jejich
komutační relace, zjistili jsme, že spektrum vlastních hodnot operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_3$, může nabývat hodnot \rf{lamu} s~$j$
nejen celým jako v~případě momentu hybnosti, nýbrž i polocelým, což je případ spinu. Z~tohoto výsledku lze též usoudit, že mohou
existovat částice nejen se spinem $1/2$ jako např.~elektron, proton, neutron a další, ale také s~vyššími (polo)celými spiny, což bylo experimentálně potvrzeno.
\bc
Jak vypadají posunovací operátory $\hat J_\pm$ pro spin $\frac{1}{2}$ zavedený v kapitole \ref{vmmsc}?
\ec
\bc
S~použitím výsledků cvičení \ref{alplm} najděte $(2j+1)\times(2j+1)$ matice $J_k$ splňující relace \rf{imcr}, které reprezentují operátory $\hat J_k$ v bázi $\left\{\ket{j,m}|m=j,j-1,\ldots,-j\right\}$ tvořené vlastními vektory $\hat J_3$ a $\hat J^2$ (tyto matice určují ireducibilní reprezentace algebry $\mathfrak{su}(2)$). Ověřte, že pro $j=\half$ jsou shodné se složkami spinu.
\ec
