Součásti dokumentu 02KVAN
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN}
\chapter{Časový vývoj kvantové částice}
\ll{Casovyvyvoj}
Veškeré úvahy v~kapitolách \ref{Popisstavu} až \ref{Vysledkymereni} se týkaly stavu kvantové částice v~daném časovém okamžiku. Nyní se zaměříme vývoj stavu s časem. Omezíme se na případ tzv. uzavřeného systému, kdy uvažovaná kvantová částice neinteraguje s jiným kvantovým systémem. V takovém případě je časový vývoj částice popsán \sv ou rovnicí, se kterou jsme se seznámili již v kapitole~\ref{chap:dbschr}. Připomeňme, že \sv u rovnici není možné odvodit. Musíme ji zahrnout mezi základní postuláty kvantové mechaniky.
\begin{post}
Nechť je v čase $t_0$ stav kvantové částice s hamiltoniánem $\hat H$ popsán vektorem $\ket{\psi}$. Stav částice $\ket{\psi(t)}$ v čase $t>t_0$ je určen řešením \sv y rovnice
\be
\ll{SRH}
{\LARGE \fbox{$
i\hbar\frac{\pd}{\pd t}\ket{\psi(t)}=\hat H\ket{\psi(t)}$}}\ ,
\ee
s počáteční podmínkou $\ket{\psi(t_0)} = \ket{\psi}$.
\end{post}
Poznamenejme, že časový vývoj popsaný \sv ou rovnicí platí jen do okamžiku měření. Podívejme se nyní na důsledky \sv y rovnice.
\section{Zachování normy a rovnice kontinuity}
\label{sec:znrk}
Snadno se ukáže, že \sv a rovnice zachovává normu vektoru $\ket{\psi(t)}$. Derivaci kvadrátu normy $\ket{\psi(t)}$ podle času můžeme napsat ve tvaru
$$
\frac{\d }{\d t}\braket{\psi(t)}{\psi(t)} = \left(\frac{\pd }{\pd t}\bra{\psi(t)}\right)\ket{\psi(t)} +\bra{\psi(t)} \left(\frac{\pd }{\pd t}\ket{\psi(t)}\right).
$$
Ze \sv y rovnice dostaneme
\begin{equation}
\label{kbt}
\frac{\pd}{\pd t}\ket{\psi(t)}=-\frac{i}{\hbar}\hat H\ket{\psi(t)},\quad \frac{\pd}{\pd t}\bra{\psi(t)}=\frac{i}{\hbar}\bra{\psi(t)}\hat H,
\end{equation}
kde jsme využili samosdruženosti hamiltoniánu. Dosazením do předchozího vztahu pak zjistíme, že
$$
\frac{\d }{\d t}\braket{\psi(t)}{\psi(t)} = \frac{i}{\hbar}\left(\braketA{\psi(t)}{\hat H}{\psi(t)} - \braketA{\psi(t)}{\hat H}{\psi(t)}\right) = 0
$$
Časový vývoj tedy nemění normu vektoru - pokud je počáteční podmínkou pro \sv u rovnici vektor $\ket{\psi(t_0)}$ normovaný k jedné, pak i vektor $\ket{\psi(t)}$ zůstává normovaný pro všechna $t>t_0$. Tento výsledek je důležitý pro pravděpodobnostní interpretaci kvantové mechaniky.
V $x$-reprezentaci, kde má \sv a rovnice tvar
\be
\label{schr:x}
i\hbar \frac{\pd \psi}{\pd t} = -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta \psi + V(\vex,t) \psi,
\ee
můžeme odvodit zachování normy vlnové funkce $\psi(\vex,t)$ z tzv. \emph{rovnice kontinuity}. Definujeme-li vedle hustoty \pst i $\rho(\vex,t):=\psi^*(\vex,t) \psi(\vex,t)$ také \emph{hustotu toku \pst i}
\begin{equation}
\vec{j}(\vex,t):=\frac{i\hbar}{2M}[\psi(\vex,t) \vec{\nabla}\psi^*(\vex,t) -\psi^*(\vex,t) \vec{\nabla}\psi(\vex,t)],
\ll{tokpsti}
\end{equation}
pak je snadné ukázat, že pro tyto veličiny platí
\begin{equation}
\frac{\pd\rho}{\pd t}(\vex,t) + \div \vec{j}(\vex,t)=0.
\ll{rcekont}
\end{equation}
Z rovnice kontinuity vyplývá existence \uv{zachovávajícího se náboje}
$$
q = \int\limits_{\R^3} \rho(\vex,t)d^3x = \int\limits_{\R^3} |\psi(\vex,t)|^2 d^3x = (\psi(t),\psi(t)),
$$
tj. normalizace vlnové funkce $\psi(\vex,t)$ nezávisí na čase
$$
\frac{\d q}{\dt} = \frac{\d}{\dt}(\psi(t),\psi(t))=0.
$$
\section{Stacionární stavy}
Uvažujme nyní \sv u rovnici v $x$-reprezentaci pro potenciál $V(\vex)$ (a tedy i hamiltonián) nezávisející na čase. V takovém případě existují řešení, která mají separovaný tvar
$$
\psi(\vex,t) = f(t) \psi_E(\vex).
$$
Dosazením řešení v tomto tvaru do rovnice (\ref{schr:x}) a podělením obou stran $f(t) \psi_E(\vex)$ (všude, kde je to možné) dostaneme
$$
\frac{i\hbar}{f(t)} \frac{\d f}{\d t} = \frac{1}{\psi_E(\vex)} \left(-\frac{\hbar^2}{2M}\Delta \psi_E(\vex) + V(\vex)\psi_E(\vex)\right).
$$
Zatímco levá strana této rovnice závisí pouze na čase, pravá závisí pouze na poloze. Musí tedy být rovny konstantě, která má rozměr energie; označme ji $E$. \sv u rovnici pak můžeme separovat na dvě rovnice, z nichž jedna určuje časovou závislost vlnové funkce
\be
\label{ft}
i\hbar\frac{\d f}{\d t} = E f(t),
\ee
a druhá určuje její prostorovou závislost
$$
-\frac{\hbar^2}{2M}\Delta \psi_E(\vex) + V(\vex)\psi_E(\vex) = E \psi_E(\vex).
$$
Vidíme tedy, že $\psi_E(\vex)$ je vlastní vektor hamiltoniánu s vlastním číslem $E$
\begin{equation}
\hat{H}\psi_E = E\psi_E.
\ll{vlstham}
\end{equation}
Pokud budeme pro \sv u rovnici uvažovat počáteční podmínku
$$
\psi(\vex,t_0) = \psi_E(\vex),\quad {\rm tj.\ } f(t_0) = 1,
$$
pak řešením rovnice (\ref{ft}) je $f(t) = e^{-\frac{i}{\hbar}E(t-t_0)}$. Časový vývoj vlastních vektorů hamiltoniánu má tedy jednoduchý tvar
$$
{\LARGE \fbox{$
\psi(\vex,t) = e^{-\frac{i}{\hbar}E(t-t_0)} \psi_E(\vex) $}} \ .
$$
Faktor $e^{-\frac{i}{\hbar}E(t-t_0)}$ je fyzikálně nepodstatný, neboť neovlivní žádné fyzikálně interpretovatelné výsledky jako je pravděpodobnost nalezení
v~místě $\vex$, pravděpodobnost přechodu do jiného stavu v~důsledku měření, ani střední hodnotu libovolné pozorovatelné. Všechny výsledky jsou tedy nezávislé na čase. Z tohoto důvodu se vlastním vektorům hamiltoniánu říká \emph{stacionární stavy} a rovnice pro vlastní hodnoty \rf{vlstham} se často
nazývá \emph{bezčasová \sv a \rc e}. Vlastní vektory hamiltoniánu jsou obdobou rovnovážných stavů v klasické mechanice, tj. statických řešení pohybových rovnic $x(t)=x(t_0)$.
Jednoduchý časový vývoj stacionárních stavů je možno využít i pro popis časového vývoje nestacionárních stavů, tj.~řešení \sv y \rc e
s~počáteční podmínkou zadanou \fc í, která není vlastní funkcí hamiltoniánu. Stačí k~tomu, aby existovala ortonormální baze $\{\psi_n\}$, tvořená vlastními stavy hamiltoniánu
$$
\hat H \psi_n = E_n \psi_n.
$$
Pak je možno zapsat počáteční vlnovou \fc i způsobem
\be
\psi(\vex)=\sum_{n}(\psi_n,\psi) \psi_n(\vex)
\ll{rozklg0}
\ee
a odpovídající řešení \sv y \rc e je
\be
{\LARGE \fbox{$
\psi(\vex,t)=\sum\limits_{n}(\psi_n,\psi) e^{-\frac{i}{\hbar}E_n(t-t_0)} \psi_n(\vex)$}} \ .
\ll{rozklgt}
\ee
Neznamená to však, že stav rozložený podle stacionárních stavů je stacionárním, neboť koeficient u~každé komponenty má jinou časovou závislost.
Vyjímečnost stacionárních stavů byl jeden z~důvodů, proč jsme v~předchozích kapitolách hledali vlastní stavy operátorů energie, pro některé
fyzikálně zajímavé případy jako byl harmonický oscilátor či částice v~Coulombově poli.
\bc
Nechť Hamiltonián kvantového systému má čistě bodové spektrum. Na systému byla naměřena hodnota $a$ pozorovatelné $A$, která má čistě bodové
spektrum, přičemž $a$ je nedegenerovaná vlastní hodnota. Jaká je pravděpodobnost, že naměříme stejnou hodnotu, budeme-li měření opakovat po
čase $t$?
\ec
\bc
Nechť částice hmoty $M$ v~jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky $2a$ je v~čase $t=0$ popsána vlnovou \fc í (která je
superpozicí stacionárních stavů)
\[
\psi(x,0)=0,\ \mathrm{pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=\sin\left[ \frac{\pi}{2a}(x-a)\right] +\sin\left[\frac{\pi}{a}(x-a)\right] ,\ \mathrm{pro} \ |x|<a.
\]
Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v~čase $t>0$ bude nacházet v~intervalu $(-a,0)$?
\ec
\section{Unitarita časového vývoje}
Ze \sv y rovnice plyne, že systém, který v čase $t_0$ byl ve stavu $\ket{\psi}$, je v čase $t\geq t_0$ (pokud na něm nebylo provedeno měření) v jednoznačně určeném stavu $\ket{\psi(t)}$. Existuje tedy lineární operátor $\hat U(t,t_0)$, pro který platí \be
\ket{\psi(t)} = \hat U(t,t_0) \ket{\psi}.
\label{schr:ket}
\ee
Tento operátor se nazývá \emph{evoluční operátor}. Ukážeme, že je unitární. Podobným postupem jako v části \ref{sec:znrk} odvodíme, že pro dvě libovolná řešení \sv y rovnice $\ket{\psi(t)}$ a $\ket{\varphi(t)}$ je jejich skalární součin nezávislý na čase
\be\label{sst0}
\frac{\d}{\d t}\braket{\psi(t)}{\varphi(t)} = 0.
\ee
S použitím evolučního operátoru předchozí rovnost přepíšeme do tvaru
$$
\frac{\d}{\d t}\braket{\psi(t)}{\varphi(t)} = \braketA{\psi}{\frac{\d }{\d t}\hat U^\dagger(t,t_0)\hat U(t,t_0)}{\phi} = 0.
$$
Protože identita platí pro libovolné $\ket{\psi}$ a $\ket{\phi}$, musí být operátor $\hat U^\dagger(t,t_0)\hat U(t,t_0)$ nezávislý na čase. Z definice evolučního operátoru (\ref{schr:ket}) plyne
\be
\hat U(t_0,t_0) = \hat I,
\label{init:U}
\ee
a tedy
$$
\hat U^\dagger(t,t_0)\hat U(t,t_0) = \hat U^\dagger(t_0,t_0)\hat U(t_0,t_0) = \hat I,
$$
což je podmínka unitarity evolučního operátoru.
Dosazením (\ref{schr:ket}) do \sv y rovnice odvodíme diferenciální rovnici
$$
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \hat U(t,t_0) = \hat H \hat U(t,t_0),
$$
která spolu s počáteční podmínkou (\ref{init:U}) určuje evoluční operátor. V případě, kdy je hamiltonián částice nezávislý na čase, můžeme tuto rovnici zintegrovat a jejím řešením je
$$
\hat U(t,t_0) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat H(t-t_0)\right).
$$
Pokud má navíc hamiltonián čistě bodové spektrum, tj. existuje báze tvořená vlastními vektory $\hat H$ splňujícími
$$
\hat H\ket{\psi_n} = E_n\ket{\psi_n},
$$
pak evoluční operátor $\hat U(t,t_0)$ můžeme zapsat v energetické reprezentaci ve tvaru
$$
{\LARGE \fbox{$
\hat U(t,t_0) = \sum\limits_{n} e^{-\frac{i}{\hbar}E_n(t-t_0)}\ketbra{\psi_n}{\psi_n} $}} \ .
$$
Řešení \sv y rovnice (\ref{schr:ket}) v čase $t>t_0$ je tedy rovno
$$
\ket{\psi(t)} = \sum_{n} \braket{\psi_n}{\psi} e^{-\frac{i}{\hbar}E_n(t-t_0)}\ket{\psi_n}.
$$
Poznamenejme, že výraz (\ref{rozklgt}) není nic jiného, než zápis předchozího vztahu v $x$-reprezentaci.
\bc
Určete operátor časového vývoje v energetické reprezentaci pro lineární harmonický oscilátor. Ukažte, že pro libovolný počáteční stav $\ket{\psi}$ se oscilátor po čase $T = \frac{2\pi}{\omega}$ vrátí do původního stavu.
\ec
\section{Integrály pohybu, Ehrenfestovy teorémy}
V~klasické mechanice známe zachovávající se veličiny --- integrály pohybu (IP), jejichž hodnota se během časového vývoje systému nemění. Připomeňme, že v klasické mechanice jsou pozorovatelné reprezentovány funkcemi $f(q_j,p_j,t)$ na fázovém prostoru, které mohou i explicitně záviset na čase. Integrálem pohybu jsou takové funkce, které po dosazení řešení Hamiltonových pohybových rovnic $q_j=q_j(t)$, $p_j=p_j(t)$, zůstávají konstantní, tj. $\dfrac{\d f}{\d t} = 0$.
I v~\qv é \mi ce lze definovat integrály pohybu. Jejich definici však nelze převzít z~klasické \mi ky, protože pozorovatelné nejsou funkcemi stavů. Navíc, hodnota pozorovatelné je určena až po měření, a pokud stav kvantové částice $\ket{\psi(t)}$ není vlastní vektor pozorovatelné, pak v každém opakování experimentu může měření na stavu $\ket{\psi(t)}$ dát jiný výsledek. Správnou definicí integrálu pohybu v kvantové mechanice je tedy následující: {\bf $A$ je integrál pohybu právě tehdy když pro každé řešení \sv y rovnice $\ket{\psi(t)}$ je střední hodnota $A$ nezávislá na čase}
\be
{\LARGE \fbox{$A$ je IP $\Longleftrightarrow \forall \ket{\psi(t)},\quad \frac{\d }{\d t}\mean{\hat A}{\psi(t)} = 0 $ }}\ .
\ll{casderoper}
\ee
Za určitých podmínek (viz. věta 17.1.2 v \cite{beh:lokf}) můžeme odvodit ekvivalentní podmínku, kterou integrál pohybu musí splňovat. Z definice střední hodnoty (\ref{aavr}) dostaneme
$$
\frac{\d }{\d t}\mean{\hat A}{\psi(t)}
= \left(\frac{\pd }{\pd t}\bra{\psi(t)}\right)\hat A\ket{\psi(t)} +\bra{\psi(t)} \hat A\left(\frac{\pd }{\pd t}\ket{\psi(t)}\right) + \bra{\psi(t)}\left(\frac{\pd \hat A}{\pd t}\right)\ket{\psi(t)}.
$$
S využitím vztahů (\ref{kbt}) pak najdeme
\be
\label{evol:mean}
\frac{\d }{\d t}\mean{\hat A}{\psi(t)} = \left\langle\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A] + \frac{\pd \hat A}{\pd t}\right\rangle_{\psi(t)}.
\ee
Aby pozorovatelná $A$ byla integrálem pohybu, musí být předchozí vztah roven nule pro všechna řešení \sv y rovnice. To platí právě tehdy když je operátor na pravé straně (\ref{evol:mean}) roven nule, tedy
\be
{\LARGE \fbox{$A$ je IP $\Longleftrightarrow \frac{i}{\hbar} [\hat H,\hat A] + \frac{\pd \hat A}{\pd t} = 0 $ }}\ .
\label{ip}
\ee
\textbf{Pro operátory, které nejsou explicitně závislé na čase to znamená, že jsou integrály pohybu, pokud komutují s~$\hat H$.} Připomeňme, že v Hamiltonovské formulaci klasické mechaniky platí vztah obdobný (\ref{ip}) --- $A$ je integrálem pohybu, pokud $\{H,A\} + \frac{\pd A}{\pd t} = 0$, kde $\{,\}$ značí Poissonovu závorku.
\bc
Nalezněte operátor rychlosti pro \cc i v poli konzervativních sil.
\ec
\bc
Ukažte jak závisí na čase střední kvadratická odchylka souřadnice jednorozměrného harmonického oscilátoru.
\ec
Vztah (\ref{evol:mean}) můžeme chápat jako pohybovou rovnici pro střední hodnotu pozorovatelné $A$. Speciálním případem tohoto vztahu jsou tzv.~Ehrenfestovy teorémy, kde za operátor $\hat A$ zvolíme složky souřadnice či hybnosti. V tom případě dostaneme
\begin{align}
\frac{\d}{\dt} \langle \hat Q_j \rangle_{\psi(t)} &= \left\langle \hat{\frac{P_j}{M}} \right\rangle_{\psi(t)}, \ll{ehrx} \\
\frac{\d}{\dt} \langle \hat P_j \rangle_{\psi(t)} &= \left\langle {-\hat{\frac {\pd V}{\pd x_j}}} \right\rangle_{\psi(t)}. \ll{ehrp}
\end{align}
Tyto vztahy připomínají do jisté míry Hamiltonovy rovnice klasické mechaniky, kde přesné hodnoty $q_j$ a $p_j$ nahradíme jejich středními hodnotami. Skutečně, první z Ehrenfestových teorémů říká, že časová derivace střední hodnoty souřadnice
ve stavu ${\psi(t)}$ je rovna střední hodnotě rychlosti. Ve druhém vztahu však na pravé straně obecně vystupuje střední hodnota síly působící na částici. Analogie s klasickou pohybovou rovnicí bude platit pouze pokud pravá strana \rf{ehrp} je rovna hodnotě
síly v~bodě $\langle \hat Q_j \rangle_{\psi(t)}$, neboli pokud
\[
\left\langle {-\hat{\frac {\pd V}{\pd x_j}}} \right\rangle_{\psi(t)} = -\frac {\pd V}{\pd x_j}\left(\langle \vec Q\rangle_{\psi(t)}\right).
\]
To je splněno pouze pro potenciály, které jsou maximálně kvadratickou funkcí souřadnic. V takovém případě střední hodnoty polohy a hybnosti kvantové částice sledují klasickou trajektorii, a to pro všechna řešení \sv y rovnice. Speciálně toto tvrzení platí pro LHO. Pro obecnější typy potenciálů je souvislost Ehrenfestových
teorémů s~pohybovými rovnicemi klasické mechaniky mnohem složitější (viz \cite[kap.~1.7]{kv:qm} a \cite[kap.~3.5]{for:ukt}) a očekávaná shoda
s~klasickou teorií nastává až pro stavy s~dostatečně velkou energií.
\bc
Lineární harmonický oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je v čase $t=0$ v koherentním stavu s amplitudou $\alpha\in\R$. V jakém stavu je v libovolném čase $t>0$? Jak se mění střední hodnota polohy a hybnosti oscilátoru s časem?
\ec
