Součásti dokumentu 02KVAN
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN}
\chapter{Předpovědi výsledků měření}
\ll{Vysledkymereni}
V této kapitole detailně probereme, jakým způsobem kvantová mechanika předpovídá výsledky měření fyzikálních veličin na částici, která je ve stavu popsaném vektorem $\psi$. V postulátu \ref{post:poz} jsme řekli, že možné výsledky měření dané pozorovatelné patří tvoří spektrum příslušného operátoru. Z diskuse v kapitole \ref{kap:priprava} víme, že předpovědi mají až na vyjímky pravděpodobnostní charakter - můžeme určit pouze pravděpodobnost daného výsledku měření, ale ne přesný výsledek jednoho měření.
\section{Pravděpodobnosti výsledků měření}
V postulátu \ref{proj:post} jsme uvedli, že pravděpodobnost naměření hodnoty $a_j$ pozorovatelné $A$ na částici ve stavu popsaném normovaným vektorem $\psi$, je dána vztahem
\begin{equation}
\label{pravd:1}
P_{\psi,(A=a_j)} = \|\hat P_j \psi|\|^2,
\end{equation}
kde $\hat P_j$ je projektor na podprostor odpovídající vlastní hodnotě $a_j$.
\subsection{Operátor s prostým čistě bodovým spektrem}
Pokud příslušný operátor $\hat A$ má prosté čistě bodové spektrum (tj. všechna vlastní čísla mají násobnost jedna), pak projektory můžeme zapsat (s použitím bra-ketového formalismu) ve tvaru
$$
\hat P_j = \ketbra{j}{j},
$$
kde kety $\ket{j}$ jsou normované vlastní vektory $\hat A$
$$
\hat A\ket{j} = a_j \ket{j}.
$$
Vztah (\ref{pravd:1}) se pak zjednoduší do tvaru
\be
\label{pst:1}
\fbox{\LARGE $P_{\psi,(A=a_j)} = |\braket{j}{\psi}|^2$} \ .
\ee
Ukažme, že takto zavedené předpovědi výsledků měření jsou v souladu s teorií pravděpodobnosti. Využijeme toho, že kety $\ket{j}$ tvoří ortonormální bázi $\Hil$
$$
\braket{i}{j} = \delta_{i,j},\quad \sum_{j=0}^\infty \ketbra{j}{j} = \hat I.
$$
Vektor $\ket{\psi}$ můžeme rozložit do báze vlastních vektorů $\hat A$ způsobem
$$
\ket{\psi} = \sum\limits_{j=0}^\infty \braket{j}{\psi}\ket{j}.
$$
Z Parsevalovi rovnosti pak plyne
$$
\braket{\psi}{\psi} = 1 = \sum\limits_{j=0}^\infty |\braket{j}{\psi}|^2,
$$
tedy $|\braket{j}{\psi}|^2$ jsou nezáporná reálná čísla, jejichž součet je jedna, a můžeme je interpretovat jako pravděpodobnosti nějakého jevu. Protože ve stavu $\ket{j}$ má pozorovatelná $A$ jednoznačně určenou hodnotu $a_j$, má smysl postulovat, že $|\braket{j}{\psi}|^2$ je pravděpodobnost naměření hodnoty $a_j$ na částici ve stavu $\ket{\psi}$.
\bc
Nechť je lineární harmonický oscilátor ve stavu popsaném vlnovou \fc í
\be \psi(x) = C e^{-x^2 + ikx}. \ll{tstfce} \ee
S~jakou pravděpodobností naměříme hodnoty energie oscilátoru rovné $\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$?
\ec
Připomeňme, že podle postulátu \ref{proj:post} je stav částice po měření $A$ s výsledkem $a_j$ popsán vlastním vektorem $\ket{j}$. Výraz $|\braket{j}{\psi}|^2$ pak můžeme interpretovat jako pravděpodobnost přechodu ze stavu $\ket{\psi}$ do stavu $\ket{j}$. Obecněji v kvantové mechanice postulujeme, že pravděpodobnost přechodu ze stavu $\psi$ do stavu ${\phi}$, které jsou popsány normovanými vektory $\ket{\psi},\ket{\phi},$ je rovna
\be
\fbox{\LARGE $ P_{\psi\to\phi} = |\braket{\phi}{\psi}|^2$} \ .
\ll{pstprech}
\ee
Skalární součin $\braket{\phi}{\psi}$ má význam amplitudy pravděpodobnosti přechodu $\psi\rightarrow\phi$.
\bc
Uvažujme lineární oscilátor s~vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ v koherentním stavu $\phi_\alpha$, $\alpha\in\C$. S jakou pravděpodobností ho najdeme v koherentním stavu $\phi_\beta$, $\beta\in\C$?
\ec
\subsection{Operátor s vícenásobným bodovým spektrem}
Uvažujme nyní případ, kdy vlastní hodnota $a\equiv a_j$ pozorovatelné $A$ má konečnou degeneraci $n>1$. V příslušném podprostoru zvolíme nějakou ortonormální bázi tvořenou vektory $\ket{a,k}$
$$
\hat A \ket{a,k} = a\ket{a,k},\quad \braket{a,k}{a,l} = \delta_{k,l}.
$$
Ortogonální projektor $\hat P_a$ na vlastní podprostor pak můžeme zapsat ve tvaru
$$
\hat P_a = \sum_{k=1}^n = \ketbra{a,k}{a,k}.
$$
Vztah (\ref{pravd:1}) pro pravděpodobnost výsledku měření bude tedy mít následující tvar
\be
\fbox{\LARGE $ P_{\psi,(A=a)} = \sum\limits_{k=1}^n |\braket{a,k}{\psi}|^2$} \ .
\ll{pstnamer}
\ee
V případě degenerované vlastní hodnoty musíme sečíst pravděpodobnosti přechodů ze stavu $\ket{\psi}$ do všech (jednoznačně odlišitelných) vlastních stavů $\ket{a,k}$. Snadno se lze přesvědčit, že výsledná pravděpodobnost nezávisí na konkrétní volbě báze $\{\ket{a,k}|k=1,\ldots, n\}$.
\bc
Nechť je isotropní harmonický oscilátor s~vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ ve stavu popsaném vlnovou \fc í
\be \psi(\vec x) = C e^{-x^2 + i\vec k\cdot\vex}. \ll{cvic3}\ee
S~jakou \pst í naměříme hodnotu energie oscilátoru rovnou $\frac{5}{2}\hbar\omega$?
\ec
Nejsme-li z~nějakých, například experimentálních, důvodů schopni rozlišit mezi dvěma či více různými vlastními hodnotami, pak \pst{} naměření
alespoň jedné z~nich je opět dána vzorcem \rf{pstnamer} s~tím, že suma probíhá přes všechny vlastní \fc e příslušné daným vlastním hodnotám.
\subsection{Operátor se spojitým spektrem}
Na závěr této části uvažujme pozorovatelnou $A$ se spojitým spektrem. Jak jsme si ukázali v kapitole \ref{zobvlf}, bodům ze spojitého spektra lze přiřadit zobecněné vlastní vektory $\ket{a}$ normované k $\delta$-funkci
$$
\braketA{a}{\hat A}{\psi} = a\braket{a}{\psi},\quad \braket{a}{a'} = \delta(a-a').
$$
Kvantová mechanika postuluje, že výraz
\be
\label{hust:pr}
\fbox{\LARGE $
w_\psi(a) = |\braket{a}{\psi}|^2 $}\ ,
\ee
představuje hustotu pravděpodobnosti naměření hodnoty $a$ na částici ve stavu $\ket{\psi}$. Pravděpodobnost, že výsledek měření pozorovatelné $\hat A$ padne do intervalu $(a_1,a_2)$, je pak určena vztahem
\be
\fbox{\LARGE $P_{\psi,(A\in(a_1,a_2))} = \int\limits_{a_1}^{a_2}|\braket{a}{\psi}|^2\d a$}\ ,
\ll{pstnamersp}
\ee
Pokud za pozorovatelnou $\hat A$ zvolíme polohu částice (pro jednoduchost uvažujme částici na přímce), pak (\ref{hust:pr}) přejde do tvaru
\be
\label{hust:x}
w_\psi(x) = |\braket{x}{\psi}|^2 = |\psi(x)|^2,
\ee
což odpovídá Bornově statistické interpretaci vlnové funkce $\psi(x)$ (tj. $x$-reprezentace stavu $\ket{\psi}$). Vztah (\ref{hust:pr}) je zobecněním Bornovy interpretace pro libovolné pozorovatelné se spojitým spektrem. Speciálně pro hybnost částice je hustota pravděpodobnosti rovna
$$
w_\psi(p) = |\braket{p}{\psi}|^2 = |\tilde\psi(p)|^2.
$$
Vlnová funkce v $p$-reprezentaci má tedy význam amplitudy pravděpodobnosti naměření hybnosti částice rovné $p$. Připomeňme, že funkce $\psi(x)$ a $\tilde\psi(p)$ jsou spojeny Fourierovou transformací, viz. (\ref{x:p:fourier}).
\bc
Určete pravděpodobnost nalezení hybnosti částice popsané vlnovou \fc í \rf{cvic3} v~intervalu $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$. Určete
hustotu \pst i nalezení hybnosti v~okolí hodnoty $\vec p_0$.
\ec
Vzorec \rf{pstnamersp} platí pro případ, že pro každý bod $a\in(a_1,a_2)$ existuje právě jedna zobecněná vlastní \fc e normalizovaná k $\delta$-funkci. Obecnější případ zde řešit nebudeme (vede na tzv.~spektrální míru operátoru $\hat A$). Uveďme pouze, že například \pst{}
naměření hodnoty energie částice v~Coulombově poli v~intervalu $(E_1,E_2)\subset\R_+$ je dána součtem integrálů
$$
W_{\psi,(E\in(E_1,E_2))}
= \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left[\int\limits_{-k_2}^{-k_1}\d k \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}%\sprod{\alpha}{\alpha}}
+ \int\limits_{k_1}^{k_2}\d k \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}\right],
$$
kde $k_i=\sqrt{\frac{2ME_i}{\hbar^2}}$, a $\phi_{klm}$ jsou zobecněné vlastní funkce (\ref{zobec:coulomb}) normované k k~$\delta$-funkci.
\section{Střední hodnoty pozorovatelných}
Pro kvantovou částici ve stavu $\psi$ známe díky vztahům (\ref{pst:1}), (\ref{pstnamer}) a (\ref{pstnamersp}) pravděpodobnosti výsledků měření libovolné pozorovatelné. Z pravděpodobnostních rozdělení pak můžeme určit střední hodnoty pozorovatelných podle vztahů známých z matematické statistiky. Pro pozorovatelnou $A$ s čistě bodovým spektrem platí
\be
\label{mean:disc}
\mean{\hat A}{\psi} = \sum_j a_j P_{\psi,(A=a)}.
\ee
Podobně, pro pozorovatelnou $A$ se spojitým spektrem je střední hodnota ve stavu $\psi$ rovna
\be
\label{mean:cont}
\mean{\hat A}{\psi} = \int\limits_{\sigma(\hat A)} a w_\psi(a) da .
\ee
Tyto vzorce můžeme převést do jednoho kompaktního vztahu, který se v kvantové mechanice často využívá. Odvodíme si ho na příkladu střední hodnoty polohy částice na přímce, pro kterou je hustota pravděpodobnosti dána Bornovým postulátem (\ref{hust:x}). Vztah (\ref{mean:cont}) pro střední hodnotu polohy přepíšeme do tvaru
\be
\mean{\hat Q}{\psi} = \int\limits_{\R} x w_\psi(x) dx = \int_{\R}\psi^*(x)x\psi(x)\dx = \int_{\R}\psi^*(x)[\hat Q\psi](x)\dx = (\psi,\hat Q\psi),
\ll{psixpsi}
\ee
kde $\psi(x)$ je opět normovaná funkce. Není důvodu, proč by měla mít poloha částice privilegované postavení mezi ostatními pozorovatelnými, a je proto přirozené
očekávat, že pro libovolnou pozorovatelnou se její střední hodnota bude počítat podle stejného předpisu. Pro pozorovatelné s čistě bodovým spektrem to snadno ukážeme s použitím spektrálního rozkladu operátoru $\hat A$
$$
\hat A = \sum_{j} a_j\ketbra{j}{j}.
$$
Dosadíme-li vztah pro pravděpodobnost (\ref{pst:1}) do vzorce pro střední hodnotu (\ref{mean:disc}), pak postupně dostaneme
$$
\mean{\hat A}{\psi} = \sum_j a_j |\braket{j}{\psi}|^2 = \sum_j a_j \braket{\psi}{j}\braket{j}{\psi} = \bra{\psi}\left(\sum_j a_j \ketbra{j}{j}\right)\ket{\psi} = \braketA{\psi}{\hat A}{\psi}.
$$
Pro pozorovatelné se spojitým spektrem lze vztah odvodit analogicky s použitím spektrální míry operátoru $\hat A$.
Platí tedy, že \textbf{je-li systém v~okamžiku měření ve stavu popsaném vektorem $\ket{\psi}$, pak střední hodnota měření
pozorovatelné $A$, které jsme přiřadili operátor $\hat A$, je rovna}
\be
\fbox{{\LARGE $\mean{\hat A}{\psi} = \braketA{\psi}{\hat A}{\psi}$}} \ .
\ll{aavr}
\ee
Všimněme si, že předpis \rf{aavr} je ve shodě nejen s~Bornovým postulátem, ale i s~popisem stavu pomocí vlastních \fc í kompatibilních
pozorovatelných. Skutečně, je-li $A$ jedna z~pozorovatelných, jež byly použity k~určení stavu a vektor $\ket{\alpha}$ je vlastní vektor
$\hat A$ pro vlastní hodnotu $a$, pak $\mean{\hat A}{\alpha} = a$.
\bc
Spočtěte střední hodnoty složek polohy kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}.
\ec
\bc
Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. Napište tvar vlnové \fc e popisující minimální
vlnový balík se střední hodnotou hybnosti $\vec p_0$, který má v~čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vex_0$.
\ec
\bc
Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice v~Coulombově poli s~energií $-MQ^2/2\hbar^2$ a nulovým momentem hybnosti
(elektron v~atomu vodíku ve stavu 1s).
\ec
\bc
Spočítejte střední hodnotu energie jednorozměrného harmonického oscilátoru v~koherentním stavu $\phi_{\alpha}$ \rf{kohstav}.
\ec
\bc
Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou \fc í
\be \psi(x) = (4\pi)^{-1/2} (e^{i\varphi}\sin\theta+\cos\theta )g(r)\ee
Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s~jakou \pst í? Jaká je střední hodnota $L_z$ v~tomto stavu?
\ec
\section{Střední kvadratická odchylka a relace neurčitosti}
\ll{relneu}
Důležitá \pst ní a experimentálně měřitelná veličina je \emph{střední kvadratická odchylka pozorovatelné $A$ při měření na stavu $\psi$}.
Ta je definována vztahem
\be
\left(\triangle_{\psi}A\right) := \sqrt{\mean{(\hat A - \mean{\hat A}{\psi})^2}{\psi}}, \ll{deltaapsi}
\ee
který je snadné přepsat do tvaru
\be
\left(\triangle_{\psi}A\right) = \sqrt{\mean{\hat A^2}{\psi} - \mean{\hat A}{\psi}^2}. \ll{dlt2} \ee
\bc
Ukažte, že pokud $\hat A$ je samosdružený operátor, pak výraz pod odmocninou \rf{deltaapsi} je nezáporný pro libovolné $\psi\in D_A$.
\ec
Střední kvadratická odchylka indikuje, jak dobře je ve stavu $\psi$ hodnota pozorovatelné $A$ určena. Pokud $\psi$ je vlastním vektorem operátoru $\hat A$, pak $\left(\triangle_{\psi}A\right)=0$. Hodnota pozorovatelné $A$ je tedy ve vlastním stavu určena s absolutní přesností. Na druhou stranu, čím větší je $\left(\triangle_{\psi}A\right)$, tím větší je neurčitost hodnoty $A$.
Hodnota pozorovatelné se spojitým spektrem není v žádném stavu kvantové částice určena s absolutní přesností, protože bodům ze spojitého spektra odpovídají pouze zobecněné vlastní vektory, které nepopisují fyzikálně realizovatelný stav. Zobecněné vlastní vektory však můžeme vždy libovolně přesně aproximovat pomocí vektorů z Hilbertova prostoru. Kvantová mechanika tedy nijak neomezuje přesnost, s jakou může být daná pozorovatelná určena, viz. tvrzení 16.1.5 v \cite{beh:lokf}. Zdůrazněme, že zde nemluvíme o experimentálně dosažitelné přesnosti.
\bc
Uvažujte částici na přímce ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\delta_{a,\varepsilon}(x)$ (\ref{aprox:x}). Ukažte, že platí
$$
\mean{\hat Q}{\delta_{a,\varepsilon}} = a,\quad \left(\triangle_{\delta_{a,\varepsilon}}Q\right) = \frac{\varepsilon}{\sqrt{3}}.
$$
\ec
\bc
Uvažujte částici na přímce ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\phi_{p,\varepsilon}(x)$ (\ref{aprox:p}). Ukažte, že platí
$$
\mean{\hat P}{\phi_{p,\varepsilon}} = p,\quad \left(\triangle_{\phi_{p,\varepsilon}}P\right) = \frac{\varepsilon}{\sqrt{3}}.
$$
\ec
V principu tedy můžeme kvantovou částici připravit ve stavu, kde je její poloha určena s libovolně malou nepřesností $\Delta x$. Podobně ji můžeme připravit v jiném stavu s libovolně malou neurčitostí hybnosti $\Delta p$. Otázka ale je, zda můžeme určit {\bf současně} polohu a hybnost částice libovolně přesně. Z relací neurčitosti vyplývá, že to obecně možné není.
\bt
\ll{tvrelneu}
Pro každé dva samosdružené operátory $\hat A,\hat B$
a $\psi \in D(AB)\cap D(BA)$ platí
\be \left(\triangle_{\psi}A\right)\left(\triangle_{\psi}B\right)\geq\half|\mean{[\hat A,\hat B]}{\psi}|
\ll{dadb}\ee
Rovnost ve vztahu \rf{dadb} nastává pro vlnové funkce, pro které
platí
\be [\hat A - \mean{\hat A}{\psi} - i\kappa(\hat B - \mean{\hat B}{\psi})]\psi = 0, \ll{rovnost} \ee
kde $\kappa\in\R$.
\et
Pro operátory polohy a hybnosti platí komutační relace
\be
[\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk},
\ll{comxp}
\ee
takže podle tvrzení \ref{tvrelneu} pro každé $\psi\in D(Q_jP_k)\cap D(P_kQ_j)$ platí {\bf Heisenbergovy relace neurčitosti}
\be
\fbox{{\LARGE$\left(\triangle_{\psi}Q_j\right)\left(\triangle_{\psi}P_k\right) \geq\frac{\hbar}{2}\delta_{jk}$}} \ .
\ll{dxdp2}
\ee
\bc
\ll{dpx}
Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a hybnosti kvantové částice při měření na stavu popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}.
Ukažte, že pro $A>0$ platí
\be
\left(\triangle_{\psi}Q_{\underline k}\right)\left(\triangle_{\psi}P_{\underline k}\right) = \frac{\hbar}{2}. \ll{dxdp}
\ee
\ec
\bc
Ukažte, že podmínka \rf{rovnost} pro operátory $\hat A =\hat Q_j,\hat B= \hat P_j$ dává integrodiferenciální rovnice, jejchž jedinými řešeními
jsou funkce %(\rf{mvb})
\[ g(\vex) = C \exp \left\{ -Ax^2+\vec B\cdot\vex \right\}, \qquad A>0, \]
které jsme nazvali minimální vlnové balíky.
\ec
Relace neurčitosti dávají omezení na stavy kvantové částice v důsledku existence nekompatibilních pozorovatelných. Pro kompatibilní pozorovatelné je nerovnost triviální, protože střední kvadratické odchylky jsou vždy nezáporné. Pro nekompatibilní pozorovatelné relace neurčitosti představují netriviální spodní mez na součin středních kvadratických odchylek ve stavu $\psi$. Neexistuje tedy stav, ve kterém jsou obě nekompatibilní pozorovatelné současně určeny libovolně přesně.
Z Heisenbergových relací neurčitosti plyne, že v~principu nejsme schopni současně provést měření polohy a hybnosti \cc e s~libovolnou přesností. Znamená to tedy, že v~rozporu s~představami klasické mechaniky, \cc i nelze přiřadit bod ve fázovém prostoru, nýbrž, že kvantovou
částici si ve fázovém prostoru lze představit jako jistou rozmazanou oblast objemu
\[ \triangle x\triangle p_x\triangle y\triangle p_y\triangle z\triangle p_z \geq \frac{\hbar^3}{8}. \]
Pro úlohy v~makrosvětě, které řeší klasická mechanika jsou však tyto úvahy zcela irelevantní: Např.~pro částice s~hmotou $\geq 10$ mg,
jejichž polohu jsme schopni určit s~přesností $\leq 10\ \mu$m, relace neurčitosti říkají, že rychlost částice nelze určit s~chybou
menší než $10^{-22}$ m/s, což je experimentálně nedosažitelná přesnost.
V~mikrosvětě však relace neurčitosti hrají důležitou roli. Hmota elektronu je cca.~$10^{-27}$ g a je-li nepřesnost měření polohy menší než
lineární rozměr atomu, což je řádově $10^{-8}$ cm, pak nepřesnost měření jeho rychlosti je větší než $10^{8}$ cm/s, což je srovnatelné
s~klasickou rychlostí elektronu v~atomu. Není tedy divu, že pro popis elektronů v~atomovém obalu nelze použít klasickou \mi ku.
\section{Kvantová mechanika ve fázovém prostoru}
Na závěr této kapitole poznamenejme, že je možné popisovat kvantovou mechaniku pomocí funkcí na fázovém prostoru (tzv. kvazidistribucí). Dají se využít např. pro hledání klasické limity kvantové mechaniky a přechodu ke klasické statistické fyzice.
Pro jednoduchost se opět omezíme na částici na přímce, tj. fázový prostor je $\R^2$. Jednu z možných kvazidistribucí popisující stav kvantové částice ve fázovém prostoru představuje Wignerova funkce. Ta je pro vlnovou funkci $\psi(x)\in L^2(\R,dx)$ definována předpisem
$$
W_\psi(x,p) = \frac{1}{\hbar\pi}\int\limits_{\R} e^{\frac{2i}{\hbar}py}\psi^*(x+y)\psi(x-y)dy.
$$
Jedná se o reálnou funkci na fázovém prostoru, která má řadu zajímavých vlastností, např. vede na správná marginální rozdělení polohy a hybnosti
$$
\int\limits_{\R} W_\psi(x,p)dp = |\psi(x)|^2,\quad \int\limits_{\R} W_\psi(x,p)dx = |\tilde\psi(p)|^2.
$$
Mohli bychom ji tedy považovat za hustotu pravděpodobnosti na fázovém prostoru a použít k porovnání kvantové mechaniky s klasickou statistickou fyzikou. Obecně tak postupovat nelze, protože Wignerova funkce může nabývat záporných hodnot (odtud označení kvazidistribuce). Pro některé třídy stavů to však možné je, např. pro koherentní stavy LHO (\ref{kohstav}) snadno najdeme, že jejich Wignerova funkce je rovna
$$
W_\alpha(x,p) = \frac{1}{\hbar\pi} \exp{\left(-(\kappa x-\sqrt{2}{\rm Re}(\alpha))^2 - (\frac{p}{\hbar\kappa} - \sqrt{2}{\rm Im}(\alpha)^2\right)},
$$
kde $\kappa = \sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}$. Wignerova funkce koherentního stavu má tvar Gaussova rozdělení se středními hodnotami
$$
\langle x\rangle = \frac{\sqrt{2}}{\kappa} {\rm Re}(\alpha),\quad \langle p\rangle = \sqrt{2}\hbar\kappa {\rm Im}(\alpha),
$$
a středními kvadratickými odchylkami
$$
\Delta x = \frac{1}{\sqrt{2}\kappa},\quad \Delta p = \frac{\hbar\kappa}{\sqrt{2}}.
$$
Odtud je vidět, že koherentní stavy minimalizují relace neurčitosti. Popis koherentních stavů ve fázovém prostoru můžeme dále zjednodušit přechodem k bezrozměrným proměnným
$$
\xi = \kappa x,\quad \rho = \frac{p}{\hbar\kappa},
$$
ve kterých má Wignerova funkce symetrický tvar
$$
W_\alpha(\xi,\rho) = \frac{1}{\pi} \exp\left(-(\xi-\sqrt{2}{\rm Re}(\alpha))^2 - (\rho - \sqrt{2}{\rm Im}(\alpha)^2\right).
$$
Gaussovo rozdělení je jednoznačně určeno střední hodnotou a střední kvadratickou odchylkou, navíc s rostoucí vzdáleností od střední hodnoty velmi rychle klesá k nule. Koherentní stavy ve fázovém prostoru se pak velmi často zobrazují jako kruh se středem v bodě $(\langle \xi\rangle = \sqrt{2}{\rm Re}(\alpha),\langle \rho\rangle = \sqrt{2}{\rm Im}(\alpha))$ a poloměrem $\Delta\xi = \Delta \rho = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
