Součásti dokumentu 02TSFA
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Kvantověmechanický harmonický oscilátor}
\index{oscilátor, harmonický, kvantově-mechanický}
\label{kvantosc}
Mějme kvantový harmonický oscilátor s frekvencí $\omega$. Jeho energetické
stavy jsou určeny kvantovým číslem, a to následujícím způsobem:
$$E_n = E_0 + n\hbar\omega=\hbar\omega\left( n + \pul\right) $$
\begin{center}
\includegraphics{Oscpot.pdf}
\end{center}
Nechme oscilátor v rovnováze s okolím a spočítejme partiční funkci,
vnitřní energii (tj. střední energii), entropii a partiční funkci
pro $N$ nezávislých oscilátorů.
\bigskip
Platí:
$$w_\gamma = \frac{1}{Z_C} \exp( -\beta E_\gamma) \qquad Z_C = \suma{\gamma}{} \exp( -\beta E_\gamma)$$
%%% WTF? - V.P.
%Harmonický oscilátor (je-li v rovnováze s okolím) není ustálen na konstantní energetické
%hladině, ale různě je střídá. To, jak dlouho na které setrvá, nám pak dává střední časovou
%hodnotu jeho vnitřní energie. Chceme-li se vyhnout práci s časem, můžeme si představit,
%že každý energetický stav je jakýsi \uv{šuplík}, do kterého vkládáme myšlené částice. Jejich
%počet je úměrný tomu, jak dlouho se oscilátor na této energetické hladině zdrží (v nějaké
%časové jednotce). Tento systém tedy můžeme popsat i grandkanonickým souborem, ale protože
%by stejně vyšel chemický potenciál nulový ($\mu = 0$) a protože energetické hladiny jsou
%ekvidistantní a vztah mezi počtem našich myšlených částic a energií oscilátoru je jednoznačný,
%vystačíme si i s kanonickým souborem.
V našem případě jsou mikrostavy indexovány kvantovým číslem $n$, tedy
$$Z_C = \suma{n=0}{\infty}\exp(-\beta E_n) = \suma{n=0}{\infty}\exp(-\beta E_0)\exp(-\beta n\hbar \omega ) = $$
$$ = \exp(-\beta E_0)\suma{n=0}{\infty}\left( \exp(-\beta \hbar \omega) \right) ^n $$
Poslední člen je zjevně geometrická řada s kvocientem $\exp(-\osci) < 1 $ a lze ji snadno sečíst:
$$Z_C = \exp(-\beta E_0)\frac{1}{1 - \exp(-\osci)} = \frac{\exp(-\beta E_0)}
{1 - \exp(-\osci)}$$
Odtud získáme střední hodnotu energie podle vzorce
$$U = \left<E\right> = -\pderivx{\ln Z_C}{\beta} = E_0 +\frac{\exp(-\osci) \hbar \omega }{1 - \exp(-\osci)}$$
\bigskip
Náš výsledek je ale poněkud podezřelý --- ekvipartiční teorém přeci říká, že na každý stupeň volnosti
zastoupený v hamiltoniánu ve druhé mocnině připadne $\pul kT$ energie.
U klasického harmonického oscilátoru, který má hamiltonián
$$H = \pul m \dot{x} ^2 + \pul m \omega^2 x^2$$
by tedy mělo být $U = kT$. Zde ale pracujeme s kvantovým harmonickým oscilátorem, který by měl přejít
ke klasickému modelu při $\hbar \to 0$ (nebo pro $T \to \infty$). Ovšem bude-li $\osci \ll 1$, pak se výraz zredukuje na
$$U \quad = \quad E_0 \quad + \quad \hbar \omega \frac{\exp(-\osci)}{ 1 - \exp(-\osci)} \quad \longrightarrow \quad
E_0 \quad + \quad \hbar \omega \frac{e^0}{1 - \exp(-\osci)} \quad \longrightarrow $$
$$ \longrightarrow \quad E_0 \quad + \quad \frac{\hbar \omega }{1 - 1 + \osci} \quad = \quad E_0 + \frac{1}{\beta} \quad =
\quad E_0 \quad +\quad kT $$
\bigskip
Takže to vlastně sedí. V běžném pozorování jednoho oscilátoru zjistíme energetické hladiny jako kontinuum, neboť
konstanta $\hbar$ je nesmírně malá a tedy $\osci \rightarrow 0$.
Jaká je entropie? Dle vzorce z kapitoly \ref{kansoub} ji spočteme takto:
$$S = k_B\left( \ln Z_C + \beta U \right) = k_B\left( \ln \frac{\exp(-\beta E_0)}{ 1 - \exp(-\osci)} \quad +\beta E_0+ \quad
\osci \frac{\exp(-\osci)}{1 - \exp(-\osci)} \right) \quad =$$
$$= k_B\left( - \ln\left( 1 - \exp(-\osci) \right) + \osci \frac{\exp(-\osci)}{1 - \exp(-\osci)}\right)$$
\bigskip
Je ale možné vycházet i z termodynamického vzorce
$$F = - k T \ln Z_C = U - TS$$
\bigskip
Jelikož $U$ již máme vypočtenu, stačí prostě dosadit. Je hodné pozornosti,
že entropie již nezávisí na $E_0$ \index{energie, nulových kmitů}(energii nulových kmitů).
Partiční funkci $N$ nezávislých oscilátorů již samozřejmě spočítáme snadno:
$$Z_N = (Z)^N$$
\bigskip
Podívejme se ještě na jeden podobný příklad. Mějme částice s nenulovým spinem
(které můžeme považovat za elementární magnetky) uspořádané na přímce tak,
aby se navzájem nemohly svými slabými magnetickými poli ovlivňovat. Celou
přímku pak umístěme do silného vnějšího pole $H$. Určeme partiční funkci,
střední hodnotu energie systému, celkovou magnetizaci, entropii a tepelnou
kapacitu za konstantního vnějšího pole $C_H$.
\begin{center}
\includegraphics{spins.pdf}
\end{center}
Každá částice může mít energii $\pm m H$, kde $m$ je její mg. moment. Protože jsou pro každou
z nich možné jen dva stavy ($\uparrow$ a $\downarrow$ resp. $-$ a $+$, opačně než je energie),
bude jednočásticová partiční funkce
$$\zeta = \exp(\beta m H) + \exp(- \beta m H) = 2 \cosh (\beta m H)$$
Částice jsou nezávislé, celková partiční funkce je tedy
$$Z_N = \zeta^{N} = 2^{N} \cosh ^{N} (\beta m H)$$
Střední energie:
$$U = N\suma{\gamma}{} w_\gamma E_\gamma = N \suma{n=1}{2}\frac{1}{Z}\exp( \beta m_n H)m_n H
= - N m H \tanh(\beta m H )$$
a nebo jsme mohli použít vzorec $U = -\pderivx{}{\beta}\ln Z_N$ . Celkový moment magnetizace pak bude
$$M = N\left<m\right> = N \suma{\gamma}{}w_\gamma m_\gamma
\underbrace{=}_{\gamma \in \{-1, +1\}}
N\left( m \frac{\exp(-\beta m H)}{Z} - m\frac{\exp(\beta m H)}{Z} \right) =$$
$$ = - N m \tanh(\beta mH ) $$
Pro $\beta \rightarrow 0$ jsou $w(\uparrow) = w (\downarrow) = \pul$
a pro $\beta \rightarrow \infty$ jsou $ w(\uparrow) = 1$, $w(\downarrow) = 0$.
Kdybychom otočili polaritu $H$, $\beta$ se nahradí $-\beta$ a pravděpodobnosti
se prohodí.
\begin{center}
\includegraphics{spins2.pdf}
\end{center}
Je-li parametr $\beta$ definován jako $\beta = 1/kT$, pak tento
systém může mít zavedenu zápornou teplotu. Je tomu tak proto, že
jde-li teplota k nule ($T \rightarrow 0_+$), sedá si systém do stavů s nižšími energiemi. Extrém je takový, že všechny částice mají energii
$-mH$ a minimální energie celého systému je tedy $-NmH$. Pro
$T \rightarrow \infty$ se ovšem $U$ blíží k nule. Jak tedy dosáhnout toho,
aby systém měl energie kladné, v~extrémním případě $+NmH$? Zavedením
záporné teploty:
\begin{center}
\includegraphics{spins3.pdf}
\end{center}
Ještě entropie:
$$S = k(\ln Z_N +\beta U)= kN\left[ \ln \zeta - \tanh (\beta mH) \beta m H \right]$$
\bigskip
1.PT v tomto systému má tvar
$$\eth Q = dU +\eth W =dU +MdH$$
tudíž můžeme jednoduše spočíst tepelnou kapacitu při konstantním $H$
$$C_H = \termderiv{U}{T}{H} = \termderiv{U}{\beta}{H}k\beta^2= kN \frac{ (\beta m H )^2}{ \cosh^2( \beta m H) }$$
\bigskip
Povšimněme si, že pro jednu zvolenou hodnotu entropie máme dvě přípustné
hodnoty vnitřní energie --- závisí to na tom, v jaké teplotě (kladné či
záporné) se systém nachází:
\begin{center}
\includegraphics{spins4.pdf}
\end{center}
\bigskip
