02TSFA:Kapitola27

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 27. 5. 2017, 15:58, kterou vytvořil Kubuondr (diskuse | příspěvky) (průhlednější postup získání C_p)

Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201010:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201120:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátKunzmart 25. 8. 202111:16 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201412:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201413:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201402:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201403:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKunzmart 26. 8. 202109:10 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201411:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborGodalale 7. 6. 202321:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKunzmart 12. 7. 202100:40 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201402:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályKunzmart 12. 7. 202103:41 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201402:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201114:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201014:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201713:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201010:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201012:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201712:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201012:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201708:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201014:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůChladjar 14. 9. 202014:32 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201018:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201120:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201012:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicChladjar 15. 9. 202010:40 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiAdmin 25. 4. 202411:36 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201420:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůChladjar 17. 9. 202017:19 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 14. 2. 201123:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201010:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201012:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Odvození termodynamiky IP statistickými metodami}
\index{plyn, ideální}
 \label{chap:IP}
Vezměme si jednočásticovou partiční funkci IP a nejprve předpokládejme, že částice může nabývat
pouze určitých hodnot energie (diskrétní rozdělení).
 
$$\zeta = \suma{i}{}\exp\left(-\frac{\varepsilon _i}{kT}\right)$$
\bigskip
 
Pro volnou částici platí $\varepsilon = \frac{p^2}{2m}$. Potom suma přejde v integrál
 
$$\zeta = \frac{1}{h^3}\integral{}{} \exp\left( - \frac{p^2}{2mkT}\right)d^3q  d^3p = 
\frac{V}{h^3}\integral{0}{\infty}\exp\left( - \frac{p^2}{2mkT}\right) 4 \pi p^2 \: dp 
= \frac{V}{h^3}(2 \pi m k T)^{\tripul}$$
\bigskip
 
viz. odvození Maxwell-Boltzmanova rozdělení hybností. Částice IP jsou nezávislé, leč
nerozlišitelné a proto 
 
$$Z = \frac{1}{N!}\zeta ^N = \frac{1}{N!}\left(\frac{V}{h^3} \right)^N(2\pi mkT)^{\tripul N}$$
\bigskip
 
Odtud dostáváme
 
$$F = -kT \ln Z = -NkT \ln \zeta + kT \ln N! = -NkT \ln \zeta + kT \ln 
\left( \frac{N}{e} \right)^N = $$
$$= -NkT \ln \zeta + NkT \ln N - NkT $$
\medskip
 
$$S = - \termderiv{F}{T}{V,N} = Nk \ln \left(\frac{V}{h^3}(2 \pi m k T)^{\tripul}\right) + Nk T \tripul\frac1 T-
  Nk \ln N + Nk = $$
$$=  Nk \ln \frac{V}{h^3}(2 \pi m k T )^{\tripul} - Nk \ln N + N \cdot \text{konst}$$
\bigskip
 
a máme tedy známou entropii IP
 
$$S = Nk \ln V + \tripul Nk \ln T - Nk \ln N + N \cdot \text{konst}$$
\bigskip
 
\begin{remark}
 
Kdybychom použili nekorigovanou MB statistiku, předpokládali, že $Z = \zeta ^N$ a faktor
$\frac{1}{N!}$ zanedbali, člen $Nk \ln N $ by se nám ve vyjádření pro entropii neobjevil.
To je ale, jak všichni víme, \index{paradox,Gibbsův}\emph{Gibbsův paradox} (entropie by nebyla aditivní).
 
\end{remark}
\bigskip
 
Dále potom tlak vyjádříme jako
 
$$p = - \termderiv{F}{V}{T,N} = \frac{NkT}{V} \quad \Rightarrow \quad pV = NkT$$
\bigskip
 
Pro vnitřní energii platí
 
$$U = -\pderivx{}{\beta} \ln Z=  kT^2 \pderivx{}{T}\ln Z = \tripul NkT$$
\bigskip
 
a jelikož 
 
$$C_V = \termderiv{U}{T}{V} = \tripul Nk \quad \Rightarrow \quad U = C_V T = N c_V T$$
\bigskip
 Vyjádříme-li entropii $S(T,V)$ pomocí stavové rovnice IP jako funkci $T$ a $p$, vyjde nám  
$$C_p = T\termderiv{S}{T}{p} = \frac{5}{2}kN \quad \Rightarrow \quad C_p - C_V = 
\frac{5}{2}kN - \tripul kN = kN$$
($C_p% se snáze dostane z entalpie $H$: $H=U+pV=\frac{5}{2}NkT\quad C_p =\termderiv{H}{T}{p}= \frac{5}{2}kN$)

Citováno z „https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola27&oldid=7757“