01MAA4:Kapitola31

PDF	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Přeložení pouze této kaptioly.
ZIP			Kompletní zdrojový kód včetně obrázků.

---

Součásti dokumentu 01MAA4

součást	akce		popis	poslední editace			soubor
Hlavní dokument	editovat	Hlavní stránka dokumentu 01MAA4		Nguyebin	24. 1. 2014	13:14
Řídící stránka	editovat	Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků		Admin	7. 9. 2015	13:46
Header	editovat	Hlavičkový soubor		Nguyebin	24. 1. 2014	13:28	header.tex
Kapitola0	editovat	Značení		Nguyebin	24. 1. 2014	13:28	preamble.tex
Kapitola15	editovat	Regulární zobrazení		Krasejak	7. 9. 2015	21:32	kapitola15.tex
Kapitola16	editovat	Implicitní zobrazení		Kubuondr	1. 5. 2017	08:09	kapitola16.tex
Kapitola17	editovat	Variety		Kubuondr	4. 3. 2017	08:48	kapitola17.tex
Kapitola18	editovat	Vázané extrémy		Krasejak	7. 9. 2015	22:58	kapitola18.tex
Kapitola19	editovat	Diferenciální formy		Kubuondr	12. 3. 2017	10:53	kapitola19.tex
Kapitola20	editovat	Křivkový integrál druhého druhu		Kubuondr	15. 3. 2017	21:26	kapitola20.tex
Kapitola21	editovat	Křivkový integrál prvního druhu		Nguyebin	24. 1. 2014	13:55	kapitola21.tex
Kapitola22	editovat	Riemannův integrál jako elementární integrál		Kubuondr	10. 8. 2018	10:01	kapitola22.tex
Kapitola23	editovat	Stupňovité funkce		Kubuondr	10. 8. 2018	15:00	kapitola23.tex
Kapitola24	editovat	Základní integrál		Kubuondr	1. 6. 2017	10:06	kapitola24.tex
Kapitola25	editovat	Třída Lambda plus a L plus		Kubuondr	2. 4. 2017	08:14	kapitola25.tex
Kapitola26	editovat	Třída Lambda a L		Kubuondr	11. 8. 2018	09:16	kapitola26.tex
Kapitola27	editovat	Limitní přechody		Mazacja2	11. 4. 2016	20:11	kapitola27.tex
Kapitola28	editovat	Měřitelné funkce		Kubuondr	2. 6. 2017	08:24	kapitola28.tex
Kapitola29	editovat	Měřitelné množiny		Kubuondr	2. 6. 2017	08:01	kapitola29.tex
Kapitola30	editovat	Integrál na měřitelné množině		Admin	1. 8. 2010	10:04	kapitola30.tex
Kapitola31	editovat	Výpočet integrálu		Kubuondr	8. 4. 2017	08:03	kapitola31.tex
Kapitola33	editovat	Parametrické integrály		Kubuondr	2. 6. 2017	12:38	kapitola33.tex
Kapitola34	editovat	Newtonova formule		Krasejak	19. 9. 2015	00:48	kapitola34.tex
Kapitola39	editovat	Vnější algebra		Kubuondr	3. 5. 2017	20:13	kapitola39.tex
Kapitola35	editovat	Divergenční věta		Kubuondr	3. 6. 2018	08:22	kapitola35.tex
Kapitola36	editovat	Komplexní derivace		Kubuondr	31. 5. 2017	08:27	kapitola36.tex
Kapitola37	editovat	Holomorfní funkce		Kubuondr	31. 5. 2017	12:57	kapitola37.tex
Kapitola38	editovat	Laurentovy řady		Kubuondr	5. 6. 2017	10:01	kapitola38.tex

Vložené soubory

soubor	název souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf	01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf	01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf	01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Výpočet integrálu}
 
\begin{remark}
Důkazy k následujícím větám jsou ve skriptech, Vrána je nezkouší.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Fubini]
Buď $A\subset\R^n$, $B\subset\R^m$, $A,B$ měřitelné,
$f\in\Lambda(A\times B)$. Potom platí
\begin{enumerate}[(i)]
\item Pro skoro všechna $x\in A$ je $f(x,\ )\in\Lambda(B)$;
\item
\[\int_B f(\ ,y)\,\d y\in\Lambda(A);\]
\item
\[\int_{A\times B}f=\int_A\left(\int_B f(\ ,y)\,\d y\right)(x)\d x.\]
\end{enumerate}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Buď $A\subset\R^{n+m}$, $A$ měřitelná. Pak pro skoro všechna je
$x\in\R^n$ je $A_x=\{y\in\R^m|(x,y)\in A\}$ měřitelná v~$R^m$ a
$A_y=\{x\in\R^n|(x,y)\in A\}$ měřitelná v~$R^n$ pro skoro všechna
$y\in\R^m$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $A\subset\R^{n+m}$, $f\in\Lambda(A)$. Pak
\[\int_A f=\int_{R^n}\left(\int_{A_x} f(x,y)\,\d y\right)\d x=
\int_{R^m}\left(\int_{A_y} f(x,y)\,\d x\right)\d y.\]
\end{theorem}
 
\begin{example}
\[\int_0^1\d x\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\d y=
\int_0^1\d x\int_0^1\frac{\pd}{\pd y}
\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)\d y=
\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\d x=\frac{\pi}{4},\]
\[\int_0^1\d y\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\d x=
\int_0^1\d y\int_0^1-\frac{\pd}{\pd x}
\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)\d y=
-\int_0^1\frac{1}{1+y^2}\d y=-\frac{\pi}{4}.\]
Integrály obecně nelze zaměnit. Tady je to způsobeno tím, že $\int
f^+$ i $\int f^-=+\infty$, takže integrál neexistuje.
\end{example}
 
\begin{theorem}[o substituci]
\label{substint}
Buď $\varphi$ prosté a regulární zobrazení $\R^n\mapsto\R^n$
(difeomorfismus), $A\subset\obr\phi$. Pak platí:
\[\int_A f(x)\,\d x=\int_{\phi^{-1}(A)}f(\phi(t))\abs{\phi'(t)}\,\d t\]
má-li jedna strana smysl. ($\abs{\phi'(t)}$ je absolutní hodnota z Jakobiánu)
\begin{proof}
Plyne z \ref{kint1druh}.
\end{proof}
\end{theorem}