Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Třída $\Lambda^+$ ($\LL^+$)}
\begin{define}
\label{def_trida_l}
Řekneme, že funkce $f:X\mapsto\RR$ je {\bf třídy $\Lambda^+(X)$},
existuje-li $(h_n)\in\HH$, $h_n\nearrow f$. Existuje-li navíc $c>0$
takové, že pro každé $n\in\N$ je $\II h_n\le c$, pak $f\in\LL^+(X)$.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Připouštíme i~\uv{zobecněné funkce} jako $f(x)=+\infty$
$\forall x\in X$.
\item $\HH\subset\LL^+(X)\subset\Lambda^+(X)$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}
Funkce třídy $\LL^+$ jsou skoro všude konečné.
\label{konecnost_fci_L}
\begin{proof}
Buď $f\in\LL^+(X)$. Potom existuje $h_n\nearrow f$ taková, že
$\II h_n\le\frac c2$. Definujme
\[Z=\left\{
x\in X\left|
\lim_{n\to\infty} h_n(x)=+\infty
\right.
\right\},\]
dokážeme, že $\mu(Z)=0$:
Buď $h_1'=h_1$, $h_n'=\max(h_n,h_{n-1}')$, $k_n=h_n'-h_1$. Protože
$h_n'\sim h_n$, je $\II h_n'=\II h_n\le\frac c2$, $\II k_n\le c$.
Zvolím $\epsilon>0$, pak pro každé $x\in Z$ existuje $n$ takové, že
$k_n(x)\ge\frac c\epsilon$. Sestrojil jsem nezápornou posloupnost
$\posl{\frac \epsilon c k_n}$ tak, že
$\sup_{n\in\N}\frac \epsilon c k_n\ge 1$ a
\[\lim_{n\to\infty}\II\frac \epsilon c k_n\le \epsilon,\]
takže $Z$ je nulové míry.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
\begin{enumerate}[(i)]
\item Jsou-li $f,g\in\Lambda^+$, pak $f+g\in\Lambda^+$.
\item Jsou-li $\alpha\ge 0$, $f\in\Lambda^+$, pak
$\alpha f\in\Lambda^+$.
\item Jsou-li $f,g\in\Lambda^+$, pak
$f^+,\max(f,g),\min(f,g)\in\Lambda^+$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item Buďte $h_n\nearrow f$, $k_n\nearrow g$, pak
$(h_n+k_n)\nearrow f+g$. $f+g$ nemusí mít smysl, ale to se může stát
pouze na množině nulové míry.
\item Protože $\alpha\ge 0$, platí, že
$(\alpha h_n)\nearrow\alpha f$.
\item $\max(h_n,k_n)\nearrow\max(f,g)$,
$\min(h_n,k_n)\nearrow\min(f,g)$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Buď $f\in\Lambda^+(X)$. Pak definujeme
\[\II f=\lim_{n\to\infty}\II h_n,\]
kde $h_n$ je posloupnost z~definice \ref{def_trida_l}.
$\II f$ je {\bf integrál funkce $f$ na $X$}.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Pro všechna $f \in \Lambda^+$ platí $-\infty < \II f \leq +\infty$.
\item $f\in\LL^+$, právě když $f\in\Lambda^+$ a $\II f<+\infty$.
\item Aby byla předchozí definice korektní, je třeba prověřit
nezávislost na volbě $h_n$:
\begin{proof}
Buď $f\in\Lambda^+(X)$, $h_n\nearrow f$, $k_n\nearrow f$.
Protože $f\lesssim f$, platí
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n\le \lim_{n\to\infty}\II k_n.\]
Zároveň $f\gtrsim f$, takže
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n\ge \lim_{n\to\infty}\II k_n.\]
Na volbě $h_n$ proto hodnota $\II f$ nezávisí.
\end{proof}
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}
Buďte $f,g\in\Lambda^+(X)$, $\alpha\ge 0$. Pak platí
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\II(f+g)=\II f+\II g$, má-li pravá strana smysl.
\item $\II(\alpha f)=\alpha\II f$, Lebesgueova konvence
$0\cdot\infty=0$.
\item Je-li $f\lesssim g$, pak $\II f\le\II g$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Buď $\posl{f_n}\in\Lambda^+(X)$, $f_n\nearrow f$. Pak
\[f\in\Lambda^+\quad\text{a}\quad
\II f=\lim_{n\to\infty}\II f_n.\]
\begin{proof}
Buď $\posl{f_n}\in\Lambda^+(X)$, existuje posloupnost
$\posloupnost{m=1}{\infty}{h_m^{(n)}}\nearrow f_n$.
Definujeme
\[h_m=\max_{1\le n\le m}h_m^{(n)}.\]
Platí, že $h_m\nearrow$ k~nějakému $f^*\in\Lambda^+$.
Buď $n\le m$, pak
\[h_m^{(n)}\le h_m\lesssim\max_{1\le n\le m}f_n\sim f_m\lesssim f.\]
Limitním přechodem $m\to\infty$ dostáváme
\[f_n\lesssim f^*\lesssim f,\]
limitním přechodem $n\to\infty$
\[f\lesssim f^*\lesssim f,\]
tedy limitní funkce $f^*$ je v~$\Lambda^+$.
\[h_m\lesssim f_m\lesssim f.\]
Dále platí
\[\II h_m\le\II f_m\le\II f,\]
limitním přechodem $m\to\infty$
\[\II f^*\le\lim_{m\to\infty}\II f_m\le\II f\]
\[\II f^*=\II f\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Předchozí věta znamená uzavřenost tříd $\Lambda^+$ a $\LL^+$ na operaci $\nearrow$
\end{remark}
\begin{theorem}
Nechť je $\posl{g_k}$ posloupností funkcí z $\Lambda^+$ větších než 0 \textit{s.v.}. Nechť $f=\sum_{k=1}^\infty g_k$. Pak $f \in \Lambda^+$ a
$\II f=\sum_{k=1}^\infty \II g_k$. Existuje-li navíc $c \in \R$ tak, že $\II\sum_{k=1}^n g_k \leq c$ pro všechna $n \in \N$ pak $f \in \LL^+$
\begin{proof}
Aplikací předchozí věty na posloupnost částečných součtů.
\end{proof}
\end{theorem}
