Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Diferenciální 1-formy}
\begin{define}Zobrazení, které každému bodu z afinního prostoru $\R^n$ přiřadí objekt, nazveme:
\begin{enumerate}[(I)]
\item {\bf skalárním polem} $f$ na prostoru $\R^n$, zobrazuje-li $f:\R^n\mapsto \R$.
\item {\bf vektorovým polem} $\vec F$ na prostoru $\R^n$, zobrazuje-li $\vec F:\R^n\mapsto (V^n)$.
\item {\bf kovektorovým polem} $\boldsymbol\omega$ na prostoru $\R^n$, zobrazuje-li $\boldsymbol\omega:\R^n\mapsto (V^n)^\#$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{define}
\label{omega}
Nechť $(\covec e^{1}, \dots,\covec e^{n})$ báze $(V^n)^\#$ a $\omega_i: \R^n\mapsto\R$. {\bf Diferenciální 1-formou} (resp. diferenciální formou stupně $1$) rozumíme kovektorové pole $\boldsymbol\omega$, jehož složky jsou skalárními poli $\omega_i$, tj. \[\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^n\omega_i\covec e^i.\]
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Bodový zápis diferenciální 1-formy je
\[\covec\omega(x)=\sum_{i=1}^n\omega_i(x)\covec e^i,\]
diferenciální 1-forma v bodě je tedy lineární kombinace kovektorů, tedy kovektor, jinými slovy {\bf (lineární) 1-forma}.
\item Součet diferenciálních forem bodově definujeme
$\COVEC{(\omega+\eta)}(x)=\covec\omega(x)+\covec\eta(x)$.
\item Násobení číslem z tělesa bodově definujeme
$\COVEC{(t\omega)}(x)=t\covec\omega(x)$.
\item Součin se skalárním polem bodově definujeme
$\COVEC{(f\omega)}(x)=f(x)\covec\omega(x)$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
\label{extdif}
Každé skalární pole $f:\R^n\mapsto\R$ je diferenciální 0-forma. Je-li funkce $f$ diferencovatelná na celém definičním oboru, pak $f'$ je diferenciální 1-forma a nazýváme ji {\bf vnější derivací} diferenciální 0-formy $f$ a s použitím totální derivace $f'(x)$ bodově definujeme
\[(\d f)(x)=f'(x)\in(V^n)^\#\]
\end{define}
\begin{remark}
\label{dx}
\begin{enumerate}
%\item Je důležité si uvědomit, jaký je rozdíl mezi formou a diferenciální formou. Funkční hodnoty v bodech (tj. $n$-tice čísel) jsou lineární formy, často se říká pouze formy. Tj. $f(x)$ či $f'(x)$ jsou formy, zatímco funkce $f$ či $f'$ jsou diferenciální formy.
\item $\d$ je symbol. Příkladem vnější derivace je totální diferenciál, gradient, rotace, divergence či Laplaceův operátor. Více později v \ref{axiomyextdif}.
\item Buďte soubor $(\vec e_{1}, \dots,\vec e_{n})$ báze $V^n$, soubor $(\covec e^{1}, \dots,\covec e^{n})$ k ní duální báze $(V^n)^\#$. Mějme (z~LAA) souřadnicový izomorfismus $\R^n\mapsto V^n$ vztahem
\[ x=(x^1,\dots,x^n)^T\mapsto\vec x=\sum_{i=1}^nx^i\vec e_i,\]
kde $x\in\R^n$ je bod z~afinního prostoru a $\vec x\in V^n$ je vektor z~přidruženého lineárního prostoru.
Dále pro každé $i\in\n$ mějme (z~LAA) souřadnicový funkcionál $\covec e^i:V^n\mapsto\R$
\[\covec e^i\vec x=x^i.\]
Díky souřadnicovému izomorfismu můžeme tento souřadnicový funkcionál reprezentovat souřadnicovou funkcí $\chi^i(x):\R^n\mapsto\R$
\[\chi^i(x)=\covec e^i\vec x,\]
která je zřejmě diferencovatelná. Souřadnicové funkci říkáme (zejména ve fyzice) též projektor. Pro vnější derivaci souřadnicové funkce $\chi^i$ v libovolném bodě $x$ platí
\[\d\chi^i(x)=\covec e^i.\]
To je důvod, proč se ve funkčních předpisech diferenciálních forem nepíše $\covec e^i$, nýbrž $\d x^i$ (viz~příští bod). Pro diferenciální formu $\boldsymbol\omega$ z linearity platí
\[\covec\omega(x)=\sum_{i=1}^n\omega_i(x)\covec e^i=
\sum_{i=1}^n\omega_i(x)\d\chi^i(x)=
\left(\sum_{i=1}^n\omega_i\d\chi^i\right)(x).\]
Diferenciální forma $\boldsymbol\omega$ je tedy obecně \uv{lineární kombinace} derivací souřadnicových funkcí. Lineární kombinace to dle definice není, neboť koeficienty $\omega_i$ nejsou čísla z tělesa, nýbrž reálné funkce.
\[\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^n\omega_i\d\chi^i.\]
\item Máme-li diferenciální formu $\d f$, její složky $f_i=\frac{\pd f}{\pd x^i}$ a označíme-li $\d\chi^i$ jako $\d x^i$, můžeme ji zapsat ve tvaru
\[\d f=\sum_{i=1}^n \frac{\pd f}{\pd x^i}\d x^i.\]
Tuto formu nazýváme {\bf totální diferenciál}, správněji {\bf exaktní diferenciální forma}.
\item
Porovnejme totální diferenciál $\d f$ s totální derivací $f'(x)\vec h$.
\begin{enumerate}
\item Máme-li funkce $V^n\mapsto V^m$, pojmy nemají společný význam, neboť totální derivace je lineární zobrazení $\LL(V^n,V^m).$
\item Máme-li funkce z $V^n\mapsto\R$, totální derivace $\COVEC{f'(x)}$ leží v $\LL(V^n,\R)=(V^n)^\#$, je to tedy kovektor (zobrazuje $V^n$ do $\R$).
\item Totální diferenciál je zobrazení, které každému bodu přiřadí kovektor (zobrazuje $\R^n$ do $(V^n)^\#$.
\end{enumerate}
Pokud tedy $\d f$ ukotvíme v pevném bodě $t_0$, získáme kovektor, který má význam totální derivace, tj.
\[\d f(t_0)=\COVEC{f'(t_0)}.\] Dle Riezsovy věty pro každý kovektor $\COVEC{f'(t_0)}$ existuje vektor $\grad f$. Vztah mezi gradientem a totálním diferenciálem ukazuje věta \ref{vgrad}. Tím je otázka rozdílnosti $\d f$ a $\COVEC{f'(x)}\vec h$ vyřešena.
\item $xy\d x+y\d y$ je tedy formálně blbost --- správně je
\[\omega_1(x,y)=xy,~ \omega_2(x,y)=y:~\boldsymbol\omega=\omega_1\d x+\omega_2\d y\]
nebo \[\omega(x,y)=xy \covec e^1+y \covec e^2.\] Protože je však tento špatný zápis zvyklostí, budeme se ho držet i my.
\item Následující definice platí pro diferenciální formy všech stupňů. O diferenciálních $k$-formách později v \ref{difkform}.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Diferenciální 1-forma $\boldsymbol\omega$ je {\bf třídy $\c{q}$}, právě
když $\omega_i$ jsou třídy $\c{q}$ pro všechna $i\in\n$.
\end{define}
\begin{define}
Diferenciální 1-forma $\boldsymbol\omega$ se nazývá
\begin{enumerate}[(I)]
\item {\bf uzavřená}, jestliže platí \[\frac{\pd\omega_i}{\pd x^j}=\frac{\pd\omega_j}{\pd x^i}\quad
\forall i,j\in\n,\]
\item {\bf exaktní}, jestliže existuje funkce $f$ taková, že $\d f=\boldsymbol\omega$.
\end{enumerate}
Funkce $f$ se nazývá {\bf primitivní funkce}.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Exaktní forma třídy $\c{1}$ je uzavřená. Není-li při vhodné třídě
forma uzavřená, není exaktní (neexistuje primitivní funkce).
\item V mechanice se obvykle setkáváme s exaktními 1-formami typu $F=\d U$. O funkci $U$ pak říkáme, že je {\bf potenciál} pole $F$ a pole $F$ pak nazýváme potenciální, resp. nevírové:
Buď $\boldsymbol\omega=\in\c{1}$, $\boldsymbol\omega=\d f$,
$f\in\c{2}$, $\omega_i=\frac{\pd f}{\pd x^i}$. Pak
\[\frac{\pd\omega_i}{\pd x^j}=\frac{\pd^2f}{\pd x^j\pd x^i}=
\frac{\pd^2f}{\pd x^i\pd x^j}=\frac{\pd\omega_j}{\pd x^i} \implies \frac{\pd^2f}{\pd x^j\pd x^i}-\frac{\pd^2f}{\pd x^i\pd x^j}=0 \implies \rot f=0.\]
\item 1-formám se v termodynamice tradičně říká {\bf Pfaffovy formy}, správněji lineární diferenciální formy. Exaktním 1-formám tvaru $\d F$ se pak říká {\bf úplné diferenciály}, kde $F$ je {\bf stavová veličina}. Formy, které nejsou exaktní, se značí $\eth W$, $\eth Q$, říkáme, že $W$ a $Q$ nejsou úplnými diferenciály. Proto zavádíme stavovou veličinu $S$, díky níž je $\eth Q=T\d S$ již úplným diferenciálem.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{example}
\[\omega(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}\d x+\frac{x}{x^2+y^2}\d y\]
\[
\frac{\pd\omega_1}{\pd y}=-\frac{x^2+y^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2},\quad
\frac{\pd\omega_2}{\pd x}=\frac{x^2+y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2},
\]
takže $\boldsymbol\omega$ je uzavřená. Zkusíme najít kandidáta na primitivní funkci, pak bude $\boldsymbol\omega$ i exaktní.
\[
\phi(x,y)=
\begin{cases}
\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{pro $y \ge 0$}\\
-\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{pro $y < 0$}
\end{cases}
\]
\[
\frac{\pd\phi}{\pd x}=-\frac{\abs{y}}{x^2+y^2}\ \forall x,y,\quad
\frac{\pd\phi}{\pd y}=\frac{x\sgn y}{x^2+y^2},
\]
\[P_\pi=\{(x,0)~|~x\le 0\}\]
\[\omega(x,y)=\phi'(x,y)=d\phi(x,y)\]
Aby byla $\boldsymbol\omega$ exaktní, musí platit
$\boldsymbol\omega=\d f$ na $\R^2\sm\{(0,0)\}$; $\phi'(x,y)=f'(x,y)$
na oblasti $\R^2\sm P_\pi$. Liší se o~konstantu: $f=\phi+C$ a to je
spor kvůli skoku na $P_\pi$. $f$ musí být spojitá, ale $\phi$ není.
\end{example}
\begin{remark}
Jestliže je množina jednoduše souvislá, pak je
uzavřená 1–forma exaktní.
\end{remark}
\begin{remark}
\label{simplyconnected}
Připomeneme, že oblast je jednoduše
souvislá, právě když ona i~její doplněk jsou souvislé, tj. \uv{množina bez děr}.
\end{remark}
