Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Motivace}
V této kapitole se budeme snažit nastínit, co matematiky vedlo k vytvoření teorie zobecněných funkcí a pokusíme se na
příkladu ilustrovat, co je myšleno testováním funkcemi.
\section{Problém s Diracovou $\delta$-funkcí}
V~průběhu předešlého studia například teoretické fyziky (TEF2) vyvstal mj. problém s~popisem bodových zdrojů záření.
Bylo potřeba definovat nějakou \uv{funkci}, která by dokázala popsat chování nějakého bodového zdroje a zároveň by nějakým
způsobem popisovala \uv{mohutnost} tohoto zdroje. Proto se definovala tzv. {\it Diracova $\delta$-funkce}. Připomeňme její
definici:
$$\delta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{pro } x\neq 0, \\[.2em] +\infty, &\mbox{pro } x=0. \end{array}\right.$$
a zároveň požadujeme
$$\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 1.$$
Vidíme, že minimálně druhý požadavek na naši funkci je v~rozporu s~našimi dosavadními znalostmi z~matematické analýzy. Tam totiž
při použití Lebesgueovy integrace dostáváme
$$ \mathcal{L}\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 0,$$
protože naše funkce je nulová až na množině nulové míry. Tento rozkol se tedy budeme snažit v~průběhu tohoto skripta odstranit.
Zároveň bychom rádi na námi nově zavedené tzv. \uv{zobecněné funkce} pohlíželi alespoň částečně optikou již známé analýzy.
Dostaneme pak totiž zajímavé vlastnosti těchto funkcí, jako například tu, že každá zobecněná funkce má všechny derivace.
Abychom se ale k~těmto vlastnostem a~k~celé teorii zobecněných funkcí propracovali, je nutné se nejprve oprostit od zažitého
pohledu na funkce. To znamená, že na funkci nebudeme pohlížet \uv{bodově}.
\section{Koncept testování funkcemi}
Testovat funkcemi můžeme různými způsoby. Pokud bychom chtěli zjišťovat nějakou danou vlastnost jisté látky na teplotě $T$, hledáme funkci popisující tuhle závislost.
To znamená, že hledáme nějakou $f(T)$. Mohli bychom náš vzorek rozdělat na malé kousky a~ty zahřívat na různé teploty a~následně měřit danou vlastnost.
Sami cítíte, že tohle by nebyla nejlepší metoda, tzv. {\it vyčíslování funkce v~daném bodě}. To znamená, že konkrétně
počítám hodnotu~$f(T)$ v~konkrétních hodnotách~$T$. V~praxi ale nemáme přesně regulovatelnou teplotu, takže se pohybujeme na nějakém teplotním intervalu $\left[a,b\right]$.
Mohli bychom tedy měřit celkovou hodnotu veličiny a~tu dělit délkou onoho intervalu, tj. počítat $\frac{1}{b-a}\int_{\left[a,b\right]} f(T)\dd T$.
Pokud bychom pak zmenšovali náš interval $\left[a,b\right]$, dostali bychom v limitě hodnotu funkce $f(T)$ v~daném bodě $T$. Tento způsob můžeme nazvat
{\it průměrováním funkce přes interval}. Vidíme, že již poskytuje zajímavější pohled na hledanou funkci, ale cítíme, že je příliš \uv{hrubý}.
V~podstatě nezahrnuje informaci o~tom, jak často (s~jakou pravděpodobností) se teplota nachází v daných bodech intervalu.
Pokud bychom tohle teplotní rozdělení znali, nazvěme jej třeba $\phi (T)$, můžeme náš předešlý postup opakovat jen s~tím rozdílem,
že vážíme každý bod intervalu touto četností. Matematicky řečeno počítáme $\int_{\left[a,b\right]} f(T)\phi(T)\dd T$.
Budeme-li mít tuto znalost pro značné množství funkcí $\phi(T)$, můžeme pak zjistit chování $f(T)$. Toto je ve zkratce nastíněný třetí
a~nejsilnější koncept testování funkcemi, tzv. {\it testování pomocí testovacích funkcí}.
\begin{remark}
$$ \displaystyle\int_{a} ^{b} f(T)\phi(T) \dd T = \langle f,\phi \rangle $$
Tedy tento integrál je totožný s definicí skalárního součinu na prostoru spojitých funkcí na intervalu $\left[a,b\right]$ (vizte LAA2, reps. LAB2).
\end{remark}
\section{Testovací funkce}
\subsection{Úvod do problematiky}
\begin{define}
{\bf Nosičem funkce (supportem) $\phi$} rozumíme množinu $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$. Označujeme jej $\nf \phi$.
\end{define}
\begin{define}
Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinu testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem.
Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$
\end{define}
\begin{remark}
Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$. Máme-li $\phi, \psi \in \D(\R^n)$,
pak součet $\phi + \psi \in \D(\R^n)$ a nosič $\nf (\phi + \psi) $ je zřejmě sjednocení $\nf \phi \cup \nf \psi.$
Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$ Odtud již plyne, že~$\D$~s~operacemi sčítání a násobení skalárem tvoří lineární vektorový prostor.
\end{remark}
Abychom získali jistou intuici a~vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a~zobecníme.
\begin{define}
Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále
$$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$
Pak nazvěme $f$ {\bf zobecněnou funkcí}.
\noindent {\bf Akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} rozumíme
$$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x , \: \forall \phi \in \D(\R^1)$$.
\end{define}
\begin{remark}
Zkuste najít množinu funkcí $f$ tak, aby definice zobecněných funkce (výše) byla rozumná.
\end{remark}
\begin{theorem}[ilustrativní, jednoduchá]
Nechť $f, \ g$ jsou spojité reálné funkce reálné proměnné a nechť dále akce libovolné testovací funkce $\phi$ na $f$ a $g$ jsou shodné, tj.
$\displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \int_\R g(x)\phi(x)\dd x$. Pak $f=g$.
\begin{remark}
Tahle věta nám má ukázat, že dává smysl testovat funkce pomocí testovacích funkcí.
\end{remark}
\begin{proof}
Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi(x) \dd x = 0$.
Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $f(x) > g(x)$. Pak předpokládejme, že existuje jistá
$\phi' \in \D(\R^1)$ taková, že $\nf \phi' \subset U_{x_0}$. O~tom, že tahle testovací funkce existuje se přesvědčíte na cvičeních. Pak můžeme psát
$\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi '(x) \dd x = \displaystyle \int_{\nf \phi '} \left( f(x)-g(x) \right)\phi'(x) \dd x \geq \epsilon \displaystyle \int_\R \phi'(x) \dd x > 0.$
Toto nám již dává spor s naším předpokladem. Je vhodné zde poznamenat, že nenulovost posledního integrálu plyne z toho, že mohu vždy najít takovou testovací funkci, jejíž integrál bude nenulový.
Kdybychom měli např. lichou testovací funkci, tak můžeme jako vhodnou testovací funkci použít její kvadrát, který je rovněž testovací funkcí. Toto plyne z poznámky pod definicí testovací funkce.
\end{proof}
\end{theorem}
\section{Konvence a domluvy ($L^2$ Hilbertův prostor)}
Mějme prostor $\mathcal{L}^2(\R^n)$, tj. prostor všech komplexních funkcí $f(x)$ reálné proměnné Lebesgueovsky integrabilních s~kvadrátem,
tj. $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x < + \infty$. Pro $f$, $g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$ definujme zobrazení
$\langle f,g \rangle := \mathcal{L} \displaystyle \int _{\R^n} f(x) \overline{g(x)} \dd x$.
Je otázkou, je-li toto zobrazení skalárním součinem na $\mathcal{L}^2(\R^n)$.
Aby jím bylo, musí být splněny následující podmínky:
\begin{enumerate}
\item Zobrazení musí splňovat $\langle \cdot,\cdot \rangle :\mathcal{L}^2 \times \mathcal{L}^2 \longrightarrow \mathbb{C} $;
\item Musí být lineární v 1. argumentu;
\item Musí být hermitovské, tj. $\langle f,g \rangle = \overline{$\langle g,f \rangle}$ pro libovolné $f, \ g \in \mathcal{L}(\R^n)$
\item Musí být positivní, tj. $\langle f,f \rangle \geq 0$ $\forall f \in \mathcal{L}^2$ a $\langle f,f \rangle = 0 \Leftrightarrow f=0$.
\end{enumerate}
Je zřejmé, že 1., 2. i 3. podmínka jsou triviálně splněny (3. vyplývá z vlastnosti komplexního sdružování integrálů). Ve čtvrté podmínce je její první část
triviálně splněna volbou prostoru $\mathcal{L}^2(\R ^n)$. Ve druhé části je ekvivalence směrem zprava doleva triviální, ale problém nastává při implikaci zleva doprava
musí být splněna podmínka $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x = 0$. Tuhle podmínku ale splňuje nekonečně mnoho funkcí.
Jsou to všechny nulové funkce, které mohou být nenulové na množině nulové míry. Proto toto zobrazení není normou na prostoru $\mathcal{L}^2(\R^n)$.
Můžeme ale vytvořit prostor, na kterém tohle zobrazení normou bude.
\subsection {Zavedení $L^2$}
Definujme relaci ekvivalence $\sim$:
\begin{define}
Buďte $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$. Pak relaci $\sim$ definujeme následovně:
$f \sim g \Leftrightarrow f-g=0$ s. v. (tj. skoro všude, tedy liší se nejvýše na množině nulové míry).
\end{define}
Jedná se o~ekvivalenci, neboť je tato relace symetrická, reflexivní a~transitivní (triviálně ověřitelné).
Pomocí této ekvivalence potom faktorizujeme množinu $\mathcal{L}^2(\R^n)$ do tříd ekvivalence, které nám budou definovat novou strukturu $L^2(\R ^n)$, tzn.
$L^2(\R ^n) = \mathcal{L}^2(\R^n) \vert_\sim $. Pro tuhle množinu (jejíž prvky nejsou funkce, ale třídy ekvivalence!) je ale výše uvedené zobrazení skalárním součinem.
Můžeme totiž každou třídu ekvivalence ztotožnit s~jedním z~jejich prvků. Pak se již jedná o~funkce a~definice našeho skalárního součinu dává dobrý smysl.
\begin{define}
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje k~$a\in V$}, značíme $a_n \to a$, právě tehdy, když $\Vert a_n - a \Vert \to 0$ pro $n \to +\infty$.
\end{define}
\noindent Vidíme, že jsme definici konvergence na vektorovém prostoru převedli na konvergenci $\R$ resp. $\mathbb{C}$.
\begin{define}
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ je cauchyovská}, právě když
$$\left( \forall \epsilon > 0 \right) \left(\exists n_0 \in \mathbb{N} \rigth) \left( \forall m,\ n > n_0 \right) \left( \Vert a_m - a_n \Vert < \epsilon \right).$$
\end{define}
\begin{define}
Řekneme, že lineární vektorový prostor $V$ s normou je {\bf Banachův}, právě tehdy, když každá cauchyovská posloupnost konverguje ve $V$, tj. limitní prvek je prvek $V$, tzn. prostor $V$~je úplný.
\end{define}
\begin{remark}
Bolzano-Cauchyovo kritérium pro číselné posloupnosti je důkazem úplnosti $\R^n$. \\
Pojmy výše zmíněné je možné zobecnit na prostory s metrikou $\varrho$.
\end{remark}
\begin{define}
Úplný lineární prostor se skalárním součinem nazýváme {\bf Hilbertův}.
\end{define}
\begin{remark}
Hilbertovy prostory jsou speciálním případem Banachových prostorů, protože si stačí uvědomit, že skalární součin indukuje normu.
\end{remark}
Nyní uvedeme několik důležitých vět, jejichž důkaz přesahuje rámec přednášky RMF, ale jsou pro výklad látky podstatné. Detaily a důkazy těchto vět se zabývá přednáška z funkcionální analýzy (FA1).
\begin{theorem}
Prostory $L^p$ jsou Banachovy prosotry.
\end{theorem}
\begin{remark}
$$ L^p = \{ \mbox{třídy ekvivalence na } \mathcal{L}^p \ \vert \ \Vert f \Vert_{L^p} = \left( \displaystyle\int_{\R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}} \}$$
Opět $f$ chápeme jako jednoho zástupce konkrétní třídy ekvivalence. Zároveň by bylo vhodné ještě dokázat, že takto zvolená norma dává pro všechny prvky jedné třídy ekvivalence
stejnou hodnotu, což ale intuitivně cítíme při použití Lebesgueova integrálu.
Zásadním důsledkem této věty je fakt, že $L^2$ je Hilbertův prostor. Tato vlastnost se nám bude později velmi hodit.
\end{remark}
\begin{remark}
Předchozí poznámku můžeme \uv{rozšířit} na podmnožiny $\R^n$. Pak se zavádí $L^p (G)$ s~normou $\Vert f \Vert_{L^p (G)} = \left( \displaystyle\int_{G \subset \R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}}$.
\end{remark}
Jeden ze zásadních výsledků funkcionální analýzy je ještě zmínit:
\begin{theorem}
$L^q (G) \subset L^p (G)$ pro $\mu(G) < +\infty \Leftrightarrow p<q.$
\end{theorem}
\subsection{Lokálně integrovatelné funkce}
Vraťme se nyní k otázce, kterou jsme si na začátku této kapitoly položili: Jaké funkce volit, aby byla definice zobecněných funkcí $\D(G)$ rozumná?
Odpovědí jsou tzv. lokálně integrovatelné funkce na $G$.
\begin{define}
Množinu $L^1_{loc}(G) := \{ f \ \vert \ \forall x_0 \in G \ \exists U_{x_0} \mbox{ takové, že } \displaystyle \int_{U_{x_0}} f < +\infty \}$ nazýváme
{\bf lokálně integrovatelné funkce na $G$}.
\end{define}
Na první pohled nemusí být jasné, že tahle množina skutečně vyhovuje požadavkům na naše zobecněné funkce. O~tom, že tomu tak skutečně je, nás
přesvědčí následující tvrzení, resp. z~něj tato vlastnost okamžitě plyne.
\begin{theorem}
$f \in L^1_{loc}(G) \Leftrightarrow \forall K \subset G \mbox{ kompaktní } \exists \displaystyle \int_K f < + \infty$.
\begin{proof} Důkaz provedeme z definice kompaktnosti:
\begin{remark}
Řekneme, že množina $K$ je {\it pokrytá} systémem množin $\mathcal{S}$, pokud $K \subset \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{S}}A$.
{\it Podpokrytí} je podmnožina $\mathcal{S}$.
Řekneme, že $K$ je {\it kompaktní}, právě když každé pokrytí $K$ má konečné podpokrytí.
\end{remark}
\begin{enumerate}
\item[$\Leftarrow$] Triviální - stačí nalézt $K$ tak, aby $U_{x_0} \subset K$.
\item[$\Rightarrow$] Beru $K$ libovolnou kompaktní množinu a~pokryji ji okolími $U_{x_0}$ pro všechna $x_0 \in K$. Jelikož je ale $K$ kompaktní množina, víme, že existuje
konečné podpokrytí $\{ U_{x_0^k} \vert k\in\{1, \2,\ \dots, \ N \} \}$. Pak můžeme odhadovat
$$\displaystyle \int_K f \leq \displaystyle \int_K \vert f \vert = \displaystyle \int_{\limits \bigcup_{k=1} ^{N} U_{x_0}} \vert f \vert \leq
\displaystyle \sum_{k=1} ^{N} \displaystyle \int_{U_{x_0}^k} \vert f \vert < +\infty$$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Jestliže $f\in L_{loc} ^1 (\R^n)$, pak $\left(f,\phi\right) = \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x \stackrel{\phi \in \D}{=}
\displaystyle \int_{\nf \phi} f(x)\phi(x)\dd x < + \infty$.
Poslední nerovnost plyne z faktu, že nosič $\phi$ je kompaktní množina, tudíž $f\phi$ je integrabilní na této množině.
\end{remark}
