Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Cartanova kritéria}
\Vet{
$\g$ podalgebra $\gl(V)$ a $\forall X,Y \in \g$ je $\Tr (XY)=0$. Pak $\g$ je řešitelná.
}
\begin{proof}
Pro $V$ nad $\C$ (jinak komplexifikací), ukážeme že $\forall X \in \g^{(1)},\ X$ je nilpotentní, pak je totiž $\g^{(1)}$ nilpotentní $\rimpl \g^{(1)}$ řešitelná, $\g / \g^{(1)}$ řešitelná$\rimpl \g$ řešitelná.
Pro $X \in \g^{(1)}$ použijeme Jordanův rozklad ve vhodné bázi V:
\begin{align*}
X = S + N,\quad [S,N] = 0,\quad \exists k \in \N,\ N^k = 0,\quad S = \mrm{diag}( \lambda_1,\dots,\lambda_n )
\end{align*}
Pro $\ad_X,\ad_S,\ad_N : \g \to \g \subset \gl(V)$ a $\{ E_{ij} \}$ bázi $\gl(V)$, tedy máme:
\begin{align*}
\ad_X = \ad_S + \ad_N,\quad [\ad_S,\ad_N] = 0,\quad \left(\ad_N\right)^{2k} = 0,\quad \ad_S\left( E_{ij} \right) = \left( \lambda_i - \lambda_j \right) E_{ij},
\end{align*}
tj. $\ad_S$ je diagonální a $\ad_X = \ad_S + \ad_N$ je Jordanův rozklad$\rimpl \exists p \in \mathcal{P}[x],\ \ad_S = p(\ad_X)$. Dále platí: $\overline{S} = \mrm{diag}\left( \overline{\lambda}_1,\dots,\overline{\lambda}_n \right)\rimpl \ad_{\overline{S}}\left( E_{ij} \right) = \left( \overline{\lambda}_i - \overline{\lambda}_j \right) E_{ij}\rimpl \exists$ polynom $q: \overline{\lambda}_i - \overline{\lambda}_j = q\left( \lambda_i - \lambda_j \right)\rimpl \ad_{\overline{S}} = q\left( \ad_S \right) \rimpl \exists \widetilde{p} \in \mathcal{P}[x],\ \ad_{\overline{S}} = q\left( \ad_S \right) = \widetilde{p}\left( \ad_X \right) \rimpl$Pro $\ad_S,\ad_N,\ad_{\overline{S}}: \g \to \g$, protože jsou to polynomy v $\ad_X$, platí:
\begin{align*}
[\overline{S},N] &= \ad_{\overline{S}}N = \widetilde{p}(\ad_X)N = \widetilde{p}(0)N \\
\left( \overline{S}N \right)^2 &= \overline{S}N\overline{S}N = \overline{S}^2N^2 - \overline{S}\widetilde{p}(0)NN = \left( \overline{S}^2 - \widetilde{p}(0)\overline{S} \right)N^2 \\
&\vdots \\
\left( \overline{S}N \right)^k &= \left( \dots \right) N^k
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \overline{S}N$ je nilpotentní.
\begin{align*}
\Tr\left( \overline{S}X \right) = \Tr\left( \overline{S} ( S + N ) \right) = \Tr \left( \overline{S}S \right) + \underbrace{\Tr \left( \overline{S}N \right)}_{=\,0} = \sum_{j=1}^n \left| \lambda_j \right|^2
\end{align*}
$\forall X \in \g^{(1)}, X = \sum_k[A_k,B_k]$, kde $A_k,B_k \in \g$ platí:
\begin{align*}
\Tr \left( \overline{S}X \right) = \Tr \left( \overline{S}\sum_k [A_k,B_k] \right) = \sum_k \Tr \left( \overline{S}A_kB_k - \overline{S}B_kA_k \right) = \sum_k \Tr \big( \underbrace{\left[ \overline{S},A_k \right]}_{\in\, \g} B_k \big) = 0
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \lambda_j = 0,\ \forall j \in \hat{n} \rimpl X = N$.
\end{proof}
Následující věty umožňují rozhodnout, zda je $\g$ řešitelná nebo poloprostá pouze na základě znalosti $K$ a $\g^2$. Nazývají se \textbf{Cartanova kritéria}.
\Vet{(1. Cartanovo kritérium)
Lieova algebra $\g$ je řešitelná $\quad\Leftrightarrow\quad$ $K(X,Y)=0,\ \forall X \in \g,\ \forall Y \in \g^{(1)} = \g^2$.
}
\begin{proof}
$\Rightarrow)$ nad $\C$ (jinak komlplexifikací): $\g$ řešitelná$\rimpl \ad_\g$ řešitelná$\quad\xRightarrow{Lie}\quad \ad_\g$ ve vhodné bázi tvoří horní trojúhelníkové matice, $\ad_{\g^{(1)}} = \left( \ad_\g \right)^{(1)} \rimpl \ad_{\g^{(1)}}$ obsahuje horní trojúhelníkové matice s nulovou diagonálou$\rimpl K(X,Y) = \Tr\left( \ad_x \ad_Y \right) = 0,\ \forall X \in \g, \forall Y \in \g^{(1)}$. \\
$\Leftarrow)\ K(X,Y) = 0,\ \forall X \in \g,\ \forall Y \in \g^{(1)} \rimpl K(X,Y) = 0,\ \forall X,Y \in \g^{(1)} \rimpl \Tr\left( \ad_X \ad_Y \right) = 0,\ \forall X,Y \in \g^{(1)} \rimpl \ad_{\g^{(1)}}$ řešitelná$\rimpl \g^{(1)}$ řešitelná. Zároveň $\g / \g^{(1)}$ je Abelovská$\rimpl \g$ řešitelná.
\end{proof}
\Pzn{
Připomeňme $\h^\perp=\{X \in \g | K(X,Y)=0, \forall Y \in \h \}$.
}
\Vet{(2. Cartanovo kritérium)
Lieova algebra $\g$ je poloprostá$\quad\Leftrightarrow\quad$její Killingova forma $K$ je nedegenerovaná, tj. $\g^\perp = 0$.
}
\begin{proof}
$\Rightarrow)$ degenerovaná $K \rimpl \g$ není poloprostá: Definujeme radikál Killingovy formy:
\begin{align*}
\mrm{rad}\,K = \g^\perp = \left\{ X \in g \middle| K(X,Y) = 0,\ \forall Y \in \g \right\}
\end{align*}
$\zuz{K}{\mrm{rad}\,K \times \mrm{rad}\,K} = 0 \quad\xRightarrow{1.\ Cartan.\ k.}\quad \mrm{rad}\,K$ je řešitelný ideál, tj $\exists k \in \N_0,\ \left( \mrm{rad}\,K \right)^{(k)} \neq 0,\ \left( \mrm{rad}\,K \right)^{(k+1)} = 0 \rimpl \left( \mrm{rad}\,K \right)^{(k)} \neq 0,\ \left[ \left( \mrm{rad}\,K \right)^{(k)}, \left( \mrm{rad}\,K \right)^{(k)} \right] = 0 \rimpl \g$ není poloprostá.\\
$\Leftarrow)\ \g$ není poloprostá$\rimpl K$ je degenerovaná:
$\g$ není poloprostá$\rimpl \exists \h \neq 0,\ \h$ ideál, $[\h,\h] = 0$. Pro libovolné $X \in \h,\ Y,Z \in g$ platí:
\begin{align*}
\left( \ad_X \ad_Y \right)^2Z = \underbrace{\ad_X \underbrace{\ad_Y \underbrace{\ad_X \underbrace{\ad_YZ}_{\in\, \g}}_{\in\, \h}}_{\in\, \h}}_{\in\, [\h,\h]\, =\, 0} = 0.
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \ad_X\ad_Y$ je nilpotentní$\rimpl K(X,Y) = \Tr\left( \ad_X\ad_Y \right) = 0 \rimpl \h \subset \g^\perp,\ \h \neq 0 \rimpl \g^\perp \neq 0$, tj. algebra má degenerovanou formu.
\end{proof}
\Pzn{
Pro konečněrozměrné vektorové prostory je bilineární forma $\omega$ degenerovaná$\quad\Leftrightarrow\quad \det \omega =0$. ($\omega$ značí v~tomto případě zároveň i matici formy.)
}
\Vet{
Poloprostá Lieova algebra $\g$ je direktním součtem prostých ideálů.
}
\begin{proof}
$\g$ poloprostá, tj. $\exists \h$ ideál, $0 \neq \h \subsetneqq \g$ ($\h^\perp$ taky ideál). Pro libovolné $X,Y \in \h \cap \h^\perp, Z \in \g$ platí:
\begin{align*}
K\big( [X,Y], Z \big) = -K\big( Y,\underbrace{[X,Z]}_{\in\,\h} \big) = 0 \rimpl [X,Y] \in \g^\perp = 0 \rimpl \left( \h \cap \h^\perp \right)^{(1)} = 0 \rimpl \h \cap \h^\perp = 0.
\end{align*}
A když zvolíme $(X_j)$ bázi $\h$ máme:
\begin{align*}
\forall Y \in \g,\ A(Y) = X_j K( X_j,Y ) \rimpl \mrm{Ran}\,A = \h,\ \ker A = \h^\perp \rimpl \dim\h + \dim\h^\perp = \dim\g
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \h \dotplus \h^\perp = \h \oplus \h^\perp = \g$. Dál rekurzí (pokud $\h$ není prostý, postup zopakujeme).
\end{proof}
\Vet{
Všechny derivace poloprosté Lieovy algebry $\g$ jsou vnitřní.
}
\begin{proof}
Označme $\mfrk{D}(\g)$ Lieovu algebru všech derivací algebry $\g$, potom $\ad : \g \to \mfrk{D}(\g)$. Pro libovolné $D \in \mfrk{D}(\g),\ X,Y \in \g$ platí:
\begin{align*}
\left[D, \ad_X \right] Y = D\left( [X,Y] \right) - \left[ X,D(Y) \right] = \left[ D(X).Y \right] + \left[ X,D(Y) \right] - \left[ X,D(Y) \right] = \ad_{D(X)}Y
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \left[ D,\ad_X \right] = \ad_{D(X)},\ \forall D \in \mfrk{D}(\g),\ \forall X \in \g \rimpl \ad_\g$ tvoří ideál $\mfrk{D}(\g) \rimpl \left( \ad_\g \right)^\perp$ ideál$\rimpl \ad_\g \cap \ad_\g^\perp$ ideál. Dále platí:
\begin{align*}
\g \text{ poloprostá}\rimpl \Zs(\g) = \ker \ad = 0 \rimpl \g \cong \ad_\g \rimpl \ad_\g \text{ poloprostá.}
\end{align*}
$\Rightarrow\quad K$ Killingova forma na $\mfrk{D}(\g)$ zúžená na $\ad_\g$ je nedegenerovaná, tj. i zúžená na $\ad_\g \cap \ad_\g^\perp$ je nedegenerovaná a protože $\zuz{K}{\ad_\g\cap\ad_\g^\perp\times\ad_\g\cap\ad_\g^\perp} = 0 \rimpl \ad_\g \cap \ad_\g^\perp$ řešitelný ideál v poloprosté algebře $\ad_\g \rimpl \ad_\g\cap\ad_\g^\perp = 0$. Pro libovolné $D \in \ad_\g^\perp,\ X \in \g$ proto máme:
\begin{align*}
\ad_\g \ni \ad_{D(X)} = \left[ D,\ad_X \right] \in \ad_\g^\perp \rimpl \ad_{D(X)} = 0,\qquad \forall D \in \ad_\g^\perp,\ \forall X \in \g
\end{align*}
$\Rightarrow\quad D(X) \in \ker\ad = \{ 0 \},\ \forall D \in \ad_\g^\perp,\ \forall X \in \g \rimpl \ad_\g^\perp = 0$. Zároveň platí:
\begin{align*}
\dim \ad_\g + \dim \ad_\g^\perp = \dim \mfrk{D}(\g)
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \mfrk{D}(\g) = \ad_\g$.
\end{proof}
\subsection{Cartanova podlagebra}
\Def{
\textbf{Normalizátor} podalgebry $\h$ v~$\g$ je $\Norm (\h)=\{X \in \g | [X,\h] \subset \h \}$.
}
\Pzn{
Zřejmě $\h \subset \Norm (\h)$ a pro $\h$ ideál $\g,\ \Norm (\h) = \g$.
}
\Def{
\textbf{Cartanova podalgebra} Lieovy algebry $\g$ je libovolná nilpotentní podalgebra, která je rovna svému normalizátoru.
}
\Pzn{
Cartanova podalgebra je pro algebry nad $\C$ určena jednoznačně až na automorfismus. Nad $\R$ to obecně neplatí.
}
\Def{
$\g$ nad $\C,\ X \in \g,\ \g_\lambda (X) := \lim_{k \to +\infty}\ker(\ad_X - \lambda\mathbb{1})^k$ (zobecněné vlastní podprostory odpovídající Jordanovým blokům).
}
\begin{itemize}
\item Pro libovolný $X \in \g$ je $\g= \dot{\bigplus}_{\lambda \in \sigma(\ad_X)} \g_\lambda (X)$.
\item $\dim \g_0 (X) \ge 1$, protože $\ad_X X =[X,X]=0$ a tedy $X \in \g_0 (X)$.
\item $\dim \g_0(X)$ se nazývá \textbf{nulita prvku $X$}.
\end{itemize}
\Pzn{
Pokud $\lambda \notin \sigma(X) \rimpl \g_\lambda(X) \equiv \big\{ \vec{0} \big\}$.
}
\Def{
$X \in \g$ je \textbf{regulární} $\Leftrightarrow$ $\dim \g_0(X)=\min_{Y \in \g} \dim \g_0(Y)$, tj. nulita je nejmenší možná.
}
\Pzn{
Skoro všechny prvky $X \in \g$ jsou regulární, ve smyslu: Nechť $\{e_j\}_{j=1}^n$ báze $\g$ a $X=\alpha^j e_j$, potom $\mu (\{\{\alpha^j\}_{j=1}^n \in \C^n | \text{$X$ není regulární} \})=0$, kde $\mu$ je Lebesgueova míra na $\C^n$.
}
\lmma{
\begin{align*}
\left( \ad_X - (\lambda + \mu)\mathbb{1} \right)^k [Y,Z] = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j}\left[ \left( \ad_X - \lambda\mathbb{1} \right)^j Y, \left( \ad_X - \mu\mathbb{1} \right)^{k-j} Z \right],\qquad \forall X,Y,Z \in \g.
\end{align*}
}
\begin{proof}
Indukcí: $k=1$:
\begin{align*}
\left( \ad_X - (\lambda + \mu)\mathbb{1} \right) [Y,Z] = \left[ \left( \ad_X - \lambda\mathbb{1} \right) Y,Z \right] + \left[ Y, \left( \ad_X - \mu\mathbb{1} \right) Z \right]
\end{align*}
$k-1 \to k$:
\begin{align*}
\left( \ad_X - (\lambda + \mu)\mathbb{1} \right)^k [Y,Z] &= \left( \ad_X - (\lambda + \mu)\mathbb{1} \right) \sum_{j=0}^{k-1} \binom{k-1}{j}\left[ \left( \ad_X - \lambda\mathbb{1} \right)^j Y, \left( \ad_X - \mu\mathbb{1} \right)^{k-1-j} Z \right] = \\
&= \sum_{j=0}^{k-1} \binom{k-1}{j}\left[ \left( \ad_X - \lambda\mathbb{1} \right)^{j+1} Y, \left( \ad_X - \mu\mathbb{1} \right)^{k-1-j} Z \right] + \\
&\qquad+\sum_{j=0}^{k-1} \binom{k-1}{j}\left[ \left( \ad_X - \lambda\mathbb{1} \right)^j Y, \left( \ad_X - \mu\mathbb{1} \right)^{k-j} Z \right] = \\
&= \sum_{j=0}^{k} \left( \binom{k-1}{j-1} + \binom{k-1}{j} \right) \left[ \left( \ad_X - \lambda\mathbb{1} \right)^j Y, \left( \ad_X - \mu\mathbb{1} \right)^{k-j} Z \right] = \\
&= \sum_{j=0}^k \binom{k}{j}\left[ \left( \ad_X - \lambda\mathbb{1} \right)^j Y, \left( \ad_X - \mu\mathbb{1} \right)^{k-j} Z \right]
\end{align*}
\end{proof}
\Dsl{
$\left[ \g_\lambda(X),\g_\mu(X) \right] \subset \g_{\lambda+\mu}(X)$
}
\lemma{
Buď $X$ regulární prvek $\g$. Pak $\g_0(X)$ je nilpotentní podalgebra $\g$.
}
\begin{proof}
$\left[ \g_0(X),\g_0(X) \right] \subset \g_0(X) \rimpl \g_0(X)$ je podalgebra. Zřejmě $\zuz{\ad_X}{\g_0(X)}$ je nilpotentní a $\forall \lambda \in \sigma(\ad_X),\ \lambda \neq 0,\ \zuz{\ad_X}{\g_\lambda(X)}$ je regulární zobrazení. Vezmeme $\forall Y \in \g_0(X),\ Y(t) = tY + (1-t)X \in \g_0(X)$. Protože $\left[ \g_0(X),\g_\lambda(X) \right] \subset \g_\lambda(X)$, platí $\ad_{Y(t)}\g_\lambda(X) \subset \g_\lambda(X)$, dosadíme $t = 0 \rimpl \zuz{\ad_{Y(0)}}{\g_\lambda(X)}$ je regulární zobrazení pokud $\lambda \neq 0 \rimpl$protoźe vlastní čísal závisí na parametrech spojitě a $Y(0) = X$, tak platí:
\begin{align*}
\exists \varepsilon > 0,\ \forall \lambda \in \sigma(\ad_X),\ \lambda \neq 0,\ \forall |t| < \varepsilon,\ \zuz{\ad_{Y(t)}}{\g_\lambda(x)}\text{ je regulární.}
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \g_0(Y(t)) \subset \g_0(X),\ \forall |t| < \varepsilon$ (na ostatních prostorech je zobrazení regulární)$\rimpl$ díky minimalitě nulity musí být $\g_0(Y(t)) = \g_0(X),\ \forall |t| < \varepsilon$, tj.:
\begin{align*}
\ker \left( t \ad_Y + (1-t) \ad_X \right)^k = \g_0(X), \qquad \forall |t| <\varepsilon.
\end{align*}
$\Rightarrow\quad$Operátor $\left( \zuz{\ad_{Y(t)}}{g_0(X)} \right)^k$ je polynom v $t$ s hodnotami v maticích, nulový $\forall |t| < \varepsilon \rimpl$ je to nulový polynom$\rimpl \left( \zuz{\ad_Y}{\g_0(X)} \right)^k = \left( \zuz{\ad_{Y(1)}}{\g_0(X)} \right)^k = 0 \rimpl$ všechny elementy $Y \in \g_0(X)$ jsou $\zuz{\ad}{\g_0(X)}$ nilpotentní$\rimpl \g_0(X)$ nilpotentní.
\end{proof}
\Dsl{
$\zuz{\ad_{\g_0(H)}}{\g}$ je maticová reprezentace $\g_0(H)$, tj. maticová nilpotentní algebra nad $\C$.
Z~Engelovy věty víme, že existuje báze $\g$ taková, že $\forall H \in \g_0(H),\ \{\lambda_j \}\subset (\g_0(H))^*$ máme:
\begin{align*}
\ad_H =
\left(
\begin{array}{ccc ccc ccc c}
0 & & ? & \multicolumn{1}{|c}{} &&& &&& \\
\vdots & \ddots && \multicolumn{1}{|c}{} & \mathbb{O} &&& \mathbb{O} && \cdots \\
0 & \cdots & 0 & \multicolumn{1}{|c}{} &&& &&& \\ \cline{1-6}
&&& \multicolumn{1}{|c}{\lambda_1 (H)} & & \multicolumn{1}{c|}{?} &&&& \\
& \mathbb{O} && \multicolumn{1}{|c}{} & \ddots & \multicolumn{1}{c|}{} && \mathbb{O} && \cdots \\
&&& \multicolumn{1}{|c}{0} && \multicolumn{1}{c|}{\lambda_1(H)} &&&& \\ \cline{4-9}
&&& && \multicolumn{1}{c|}{} & \lambda_2(H) && \multicolumn{1}{c|}{?} & \\
& \mathbb{O} &&& \mathbb{O} & \multicolumn{1}{c|}{} && \ddots & \multicolumn{1}{c|}{} & \\
&&& && \multicolumn{1}{c|}{} & 0 && \multicolumn{1}{c|}{\lambda_2(H)} & \\ \cline{7-9}
& \vdots &&& \vdots &&&&& \ddots
\end{array}\right)
\end{align*}
}
\Def{
Nenulové $\lambda_j \in \g_0^*$ z~rozkladu $\ad_H,\ \forall H \in \g_0$ se nazývají \textbf{kořeny}. Množinu všech kořenů značíme $\Delta$.
}
\Def{
Podprostor $\g_\lambda$ příslušející kořenu $\lambda$ se nazývá \textbf{kořenový podprostor}. Vektor $Y_\lambda \in \g_\lambda$ se nazývá \textbf{kořenový vektor}.
}
\Vet{
Buď $X \in \g$ regulární, $\g$ poloprostá. Potom $\g_0(X)$ je Cartanova podalgebra $\g$.
}
\begin{proof}
$\g$ poloprostá, $X$ regulární$\rimpl \g = \g_0 \dotplus \dot{\bigplus}_{\lambda \in \Delta}\g_\lambda$, kde $\g_0 \equiv \g_0(X)$ nilpotentní. \\
Normalizátor $\g_0$ je $\g_0$: $\forall H \in \g_0,\ \ad_H : \g_\lambda \to \g_\lambda$ a $\forall Y \in \g_\lambda,\ \lambda \neq 0$ platí:
\begin{align*}
[H,Y_\lambda] = \lambda(H) Y_\lambda + \underbrace{\dots}_{\text{LN na }Y_\lambda} = 0 \rimpl Y_\lambda = 0,
\end{align*}
protože $\forall \lambda \in \Delta,\ \exists H \in \g_0,\ \lambda(H) \neq 0$. Takže $\forall H \in \g_0,\ \forall Y \in \g,\ Y = \sum_{\lambda \in \Delta}Y_\lambda$ platí:
\begin{align*}
[H,Y] = 0 \rimpl Y = 0.
\end{align*}
$\rimpl \g_0$ se rovná svému normalizátoru, tedy $\g_0$ je Cartanova podalgebra $\g$.
\end{proof}
\Pzn{
Tento rozklad je výhodný pouze pro \textbf{poloprosté} algebry, protože tam vždy $\g_\lambda$ odpovídá celému zobecněnému podprostoru ($\lambda=0$ Cartanově podalgebře $\g_0 \equiv \g_0(X)$) a tak lze rozložit celou algebru
\begin{align*}
\g= \dot{\bigplus_{\lambda \in \Delta \cup \{0\}}}\g_\lambda \,.
\end{align*}
Pro nepoloprosté algebry to zaručeno není, protože pro zobecněné podprostory není zaručena existence vlastních vektorů a tedy ani příslušných funkcionálů $\lambda$.
}
\Prl{Různé volby $\g_0$ pro algebru $\mfrk{sl}(2)=\mrm{span}\{H,X_+,X_-\}$.
}
Regulární prvky jsou např. $H$ a $X_++X_-$.\footnote{
Tady je vidět, že vlastnost regularity není lineární, protože $X_+$ ani $X_-$ regulární nejsou.
} Definujeme souřadnicové funkcionály:
\begin{align*}
X=\phi (X)H+\phi_+(X)X_++\phi_-(X)X_-\,.
\end{align*}
Můžeme tak nalézt dva rozklady
\begin{small}
\begin{align*}
\g_0&=\g_0(H)=\mrm{span}\{H \}, & \g_{\lambda_1} &=\mrm{span}\{X_+\}, & \g_{-\lambda_1} &=\mrm{span}\{X_-\}\,; \\
\g_0&=\g_0(X_++X_-)=\mrm{span}\{X_++X_- \}, & \g_{\lambda_2} &=\mrm{span}\{H-X_++X_-\}, & \g_{-\lambda_2} &=\mrm{span}\{-H-X_++X_-\}\,,
\end{align*}
\end{small}
$\lambda_1=2\phi$, $\lambda_2=2(\phi_++\phi_-)$.
\lemma{
$K(H,Y)=0,\ \forall H \in \g_0,\ \forall Y \in \g_\lambda,\ \lambda \in \Delta$.
}
\begin{proof}
$\ad_H : \g_\mu \to \g_\mu,\ \ad_Y: \g_\mu \to \g_{\lambda+\mu}$, kde $\mu \in \Delta \cup \{ 0 \} \rimpl \left(\ad_H\ad_Y\right)^k : \g_\mu \to \g_{\mu + k\lambda} \rimpl \exists k \in \N: \mu+k\lambda$ není ani kořen ani $0 \rimpl \g_{\mu +k\lambda} = \{0\} \rimpl \ad_H\ad_Y$ je nilpotentní$\rimpl K(H,Y) = \Tr ( \ad_H\ad_Y) = 0$, tj. $\g_0 \perp \g_\lambda,\ \forall \lambda \in \Delta$.
\end{proof}
\lemma{
$\g$ komplexní poloprostá, $H \in \g_0$, potom platí:
\begin{align*}
\lambda (H)=0, \forall \lambda \in \Delta \rimpl H=0,
\end{align*}
tj. $\mathrm{span}\, \Delta =\g_0^*$.
}
\begin{proof}
$\lambda(H) = 0,\ \forall \lambda \in \Delta \rimpl \zuz{\ad_H}{\g}$ je horní torjúhelníková matice s nulovou diagonálou$\rimpl \forall \widetilde{H} \in \g_0: K(H,\widetilde{H}) = \Tr\left( \ad_H\ad_{\widetilde{H}} \right) = 0 \rimpl H \in \g_0^\perp \land H \in \g_\lambda^\perp \rimpl H \in \g^\perp \rimpl H = 0$, protože $\g$ je poloprostá, tj. $K$ nedegenerovaná.
\end{proof}
\Vet{(Alternativní definice)
Cartanova podalgebra $\g_0$ komplexní poloprosté Lieovy algebry $\g$ je maximální Abelovská podalgebra, splňující $\forall H \in \g_0,\ \ad_H$ je poloprostý prvek.
}
\begin{proof}
Máme rozklad $\g = \dot{\bigplus}_{\lambda \in \Delta \cup \{0\}}\g_\lambda$ a platí:
\begin{align*}
&K\left( [H_1,H_2],X \right) = 0, &&\forall H_1,H_2 \in \g_0,\ \forall X \in \g_\lambda,\ \lambda \in \Delta, \\
&K\left( [H_1,H_2],H_3 \right) = \Tr \big( \underbrace{\big[\ad_{H_1},\ad_{H_2}\big]}_{\text{ostře hor. trojúh.}} \ad_{H_3} \big) = 0, && \forall H_1,H_2,H_3 \in \g_0.
\end{align*}
$\Rightarrow\quad [H_1,H_2] \in \g^\perp = \{0\},\ \forall H_1,H_2 \in \g_0 \rimpl \g_0$ Abelovská a maximální, protože $\mrm{Norm}(\g_0) = \g_0$. Dále platí:
\begin{align*}
&\zuz{\ad_H}{\g_\lambda} = \lambda(H)\mathbb{1} + \underbrace{\dots}_{\text{nad diag.}} && \forall H \in \g_0,\ \forall \lambda \in \Delta, \\
&\ad_H = S + N && S\text{ poloprostý},\ \exists k \in \N,\ N^k = 0
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \zuz{S}{\g_\lambda} = \lambda(H)\mathbb{1},\ \forall \lambda \in \Delta \cup \{0\}$. Takže $\forall X \in \g_\lambda,\ \forall Y \in \g_\mu$, kde $\lambda,\mu \in \Delta \cup \{0\}$, máme:
\begin{align*}
S[X,Y] = \left( \lambda(H) + \mu(H) \right) [X,Y] = [ \lambda(H)X,Y] + [X,\mu(H)Y] = [SX,Y] + [X,SY]
\end{align*}
$\Rightarrow\quad S \in \mfrk{D}(\g),\ \g$ poloprostá$\rimpl \exists W \in \g,\ S = \ad_W \quad\land\quad \exists p \in \mathcal{P}[x],\ S = p(\ad_H) = \ad_W$.
\begin{align*}
\left[ \ad_W,\ad_{H_1} \right] = \left[ p(\ad_H), \ad_{H_1} \right] = 0,\qquad \forall H_1 \in \g_0,
\end{align*}
protože $\g_0$ Abelovská $([H,H_1] = 0\rimpl [\ad_H,\ad_{H_1}] = 0)$. Zároveň $\g$ poloprostá, tj. $\Zs(\g) = 0 = \ker \ad \rimpl [W,H_1] = 0,\ \forall H_1 \in \g_0 \rimpl W \in \g_0$ díky maximalitě. Máme tedy
\begin{align*}
N = \ad_H - S = \ad_H - \ad_W = \ad\underbrace{_{H-W}}_{\in \g_0}
\end{align*}
$\Rightarrow\quad \sigma(\ad_{H-W}) = \{0\} \rimpl \lambda(H - W) = 0,\ \forall \lambda \in \Delta \rimpl H-W = 0 \rimpl \ad_H = S$.
\end{proof}
\subsection{Shrnutí pro poloprosté Lieovy algebry}
komplexní poloprostá algebra $\g$:
\begin{align*}
&\g = \g_0\dotplus\dot{\bigplus_{\lambda \in \Delta}}\g_\lambda \\
&\g_0 \dots\text{ Cartanova podalgebra} \\
&\Delta = \{\lambda\} \subset \g_0^* \dots \text{ množina kořenů (lin. funkcionály)} \\
&\lambda \in \Delta \quad\Leftrightarrow\quad \lambda \neq 0 \quad\land\quad \exists \g_\lambda \subset\subset \g,\ \g_\lambda \neq 0,\ \g_\lambda = \bigcap_{H\in\g_0}\ker (\ad_H - \lambda(H)\mathbb{1}) \dots \text{ kořenový podprostor} \\
&\forall H_1,H_2 \in \g_0,\ [H_1,H_2] = 0, \\
&\forall H \in \g_0,\ \ad_H : \g_\lambda \to \g_\lambda \text{ je poloprostý } \forall \lambda \in \Delta \\
&\forall \lambda \in \Delta,\ \forall X_\lambda \in \g_\lambda,\ \ad_{X_\lambda}: \g_\mu \to \g_{\lambda + \mu} \text{, tj. } \ad_{X_\lambda} \text{ je nilpotentní} \\
& \g_0 \perp \g_\lambda, \forall \lambda \in \Delta
\end{align*}
