Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Nástin teorie integrabilních distribucí}
\Def{
$k$-rozměrná distribuce na varietě $M$, $\dim M =n \ge k$, je hladké zobrazení, které každému $p \in M$ přiřazuje $k$-rozměrný podprostor v~$T_pM$. Značíme $\Delta_k (p) \subset T_pM$, $\dim \Delta_k(p)=k$.
}
\Pzn{
Hladkost z předcházející definice chápeme ve smyslu: $\forall p \in M,\ \exists U=U^\circ,\ p \in U,\ X_1,\dots,X_k \in \Xs(U)$ tak, že $\Delta_k(q) = \mrm{span}\left\{\zuz{X_1}{q},\dots,\zuz{X_k}{q}\right\},\ \forall q \in U$.
}
\Def{
Integrální podvarieta dimenze $l$ distribuce $\Delta_k$ je vložená podvarieta $N$ dimenze $l$ taková, že $\forall p \in N$ je $T_pN \subset \Delta_k (p)$.
}
%\Pzn{ ??? Tedy například integrální křivky jsou integrální podvariety dimenze 1. }
\Def{
Distribuce $\Delta_k$ je (úplně) integrabilní právě tehdy, když $\forall p \in M$ existují na okolí $U$ bodu $p$ souřadnice $\left( x^1,\dots x^k, y^1,\dots,y^{n-k}\right)$ takové, že rovnice $y^j = konst_j,\forall j \in \widehat{n-k}$ definují $k$-rozměrné integrální podvariety distribuce $\Delta_k$. Takové $(x,y)$ se nazývá Frobeniova mapa.
}
\Vet{(Frobeniova)
$\Delta_k$ je úplně integrabilní $\Leftrightarrow$ $[\Delta_k , \Delta_k] \subset \Delta_k$, to znamená \\
$\forall U=U^\circ \subset M,\ \forall X,Y \in \Xs (U),\ \forall p \in U: X(p), Y(p) \in \Delta_k(p) \rimpl
\forall q \in U,\ [X,Y](q) \in \Delta_k(q)$. Bez důkazu.
}
\Pzn{
Používá se zápisu $[X,Y]\in \Delta_k \quad\Leftrightarrow\quad \forall q \in U,\ [X,Y](q) \in \Delta_k(q)$.
}
\Pzn{
$[\Delta_k,\Delta_k](p) = \mrm{span}\left\{ \zuz{[X_1,X_2]}{p} \middle| X_1,X_2 \in \Xs(U), p\in U = U^{\circ},\forall q \in U : \zuz{X_1}{q}, \zuz{X_2}{q} \in \Delta(q)\right\}$
}
\Pzn{
Integrabilní podvariety $M$, $N$, pro které $M \cap N \neq \emptyset$ lze navazovat, tj. vytvářet podvariety postupem $O=M \cup N$.
}
\Def{
Sjednocením ntegrrálních podvariet získáme listy distribuce $\Delta_k$. \textbf{Maximální list} je takový, ke kterému už nelze přidat žádnou integrální podvarietu. Maximální listy tvoří tzv. foliaci variety danou integrabilní distribucí.
}
\Pzn{
Nejedná se obecně o vložení, protože se vloženost může narušit nekonečným sjednocením (viz příklad s~$T^2$).
}
\Vet{(Chevalley)
Maximální listy integrabilní distribuce jsou prostě vnořené podvariety. Bez důkazu.
}
\Dsl{
Pro Lieovu grupu $G$ a algebru $\g$ a podalgebru $\h \subset \g$, splňující $[\h ,\h] \subset \h$ je podvarieta $H$ z~poznámky~\ref{Veta} maximální list integrabilní distribuce určené $\h$ procházející $e$. $H$ je podgrupa, protože díky levoinvariantnosti $\h$ je $gH$ opět maximální list. Ten je z definice buď totožný s původním nebo s ním má prázdný průnik. Ale pokud $g \in H \rimpl ge = g \in H \rimpl gH = H$. Obdobně $g \in H \rimpl g^{-1}H = H$, protože $g^{-1}g = e \in H \rimpl g^{-1} \in H$.
}
